Rene sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu. Introducerea sistemului de coordonate
Un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu este un triplu de axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct O, numit origine.
Axele de coordonate sunt de obicei notate cu litere și se numesc, respectiv, axa absciselor, axa y, axa aplicată, sau axa Oy, axa (Fig. 33).
Ortele axelor de coordonate Ox, Oy, Oz sunt notate respectiv sau Vom folosi în principal această din urmă notație.
Distinge între sistemele de coordonate dreapta și stânga.
Sistemul de coordonate se numește drept dacă de la sfârșitul celei de-a treia orth până la virajul de la prima orth la a doua orth s-a văzut care se produce împotriva cronometrului (Fig. 34, a).
Sistemul de coordonate se numește stânga dacă de la sfârșitul celui de-al treilea vector unitar se vede că rotația de la prima unitate la a doua unitate se produce în sensul acelor de ceasornic (Fig. 34, b).
Astfel, dacă înșurubați șurubul în direcția vectorului k, rotindu-l de atunci în cazul sistemului din dreapta, filetul ar trebui să fie dreapta, iar în cazul sistemului stâng - stânga (Fig. 35).
Multe prevederi ale algebrei vectoriale nu depind de folosirea sistemului de coordonate din dreapta sau din stânga. Cu toate acestea, uneori această circumstanță contează. În viitor, vom folosi întotdeauna sistemul de coordonate potrivit, așa cum este obișnuit în fizică.
Pentru a determina poziția unui punct în spațiu, vom folosi coordonatele dreptunghiulare carteziene (Fig. 2).
Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare din spațiu este format din trei axe de coordonate reciproc perpendiculare OX, OY, OZ. Axele de coordonate se intersectează în punctul O, care se numește originea coordonatelor, pe fiecare axă se alege direcția pozitivă indicată de săgeți, iar unitatea de măsură a segmentelor de pe axe. Unitățile sunt de obicei (nu neapărat) aceleași pentru toate axele. Axa OX se numește axa absciselor (sau pur și simplu abscisa), axa OY se numește axa ordonatelor (ordonate), axa OZ se numește axa aplicată (aplica).
Poziția punctului A în spațiu este determinată de trei coordonate x, y și z. Coordonata x este egală cu lungimea segmentului OB, coordonata y este egală cu lungimea segmentului OC, coordonata z este lungimea segmentului OD în unitățile selectate. Segmentele OB, OC și OD sunt definite de planuri trasate dintr-un punct paralel cu planurile YOZ, XOZ și respectiv XOY.
Coordonata x se numește abscisa punctului A, coordonata y se numește ordonata punctului A, iar coordonata z se numește aplicata punctului A.
Simbolic este scris astfel:
sau legați o înregistrare de coordonate la un anumit punct folosind un index:
x A , y A , z A ,
Fiecare axă este considerată drept o linie numerică, adică are o direcție pozitivă, iar coordonatele negative sunt atribuite punctelor situate pe raza negativă (distanța este luată cu semnul minus). Adică dacă, de exemplu, punctul B nu se afla, ca în figură, pe raza OX, ci pe continuarea ei în sens opus față de punctul O (pe partea negativă a axei OX), atunci abscisa x din punctul A ar fi negativ (minus distanța OB ). La fel și pentru celelalte două axe.
Axele de coordonate OX, OY, OZ prezentate în fig. 2 formează un sistem de coordonate drept. Aceasta înseamnă că dacă priviți planul YOZ de-a lungul direcției pozitive a axei OX, atunci mișcarea axei OY către axa OZ va fi în sensul acelor de ceasornic. Această situație poate fi descrisă folosind regula gimlet: dacă brațul (șurubul din dreapta) este rotit în direcția de la axa OY la axa OZ, atunci se va deplasa pe direcția pozitivă a axei OX.
Vectorii de lungime unitară direcționați de-a lungul axelor de coordonate se numesc vectori de coordonate. Ele sunt de obicei denumite ca 
(Fig. 3). Există și denumirea 
Ortele formează baza sistemului de coordonate.
În cazul unui sistem de coordonate drept, sunt valabile următoarele formule cu produse vectoriale ale ortelor:
Un sistem ordonat de două sau trei axe care se intersectează perpendiculare între ele, cu o origine comună (origine) și o unitate comună de lungime se numește sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare .
Sistemul general de coordonate carteziene (sistem de coordonate afine) pot include, de asemenea, axe nu neapărat perpendiculare. În onoarea matematicianului francez Rene Descartes (1596-1662), este numit un astfel de sistem de coordonate în care o unitate comună de lungime este numărată pe toate axele, iar axele sunt drepte.
Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan are două axe sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu - trei axe. Fiecare punct dintr-un plan sau din spațiu este determinat de un set ordonat de coordonate - numere în conformitate cu lungimea unității a sistemului de coordonate.
Rețineți că, după cum reiese din definiție, există un sistem de coordonate carteziene pe o linie dreaptă, adică într-o singură dimensiune. Introducerea coordonatelor carteziene pe o linie dreaptă este una dintre modalitățile prin care oricărui punct de pe o dreaptă i se atribuie un număr real bine definit, adică o coordonată.
Metoda coordonatelor, care a apărut în lucrările lui René Descartes, a marcat o restructurare revoluționară a întregii matematici. A devenit posibil să se interpreteze ecuații (sau inegalități) algebrice sub formă de imagini geometrice (grafice) și, invers, să se caute o soluție la probleme geometrice folosind formule analitice, sisteme de ecuații. Da, inegalitate z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy si situat deasupra acestui plan cu 3 unitati.
Cu ajutorul sistemului de coordonate carteziene, apartenența unui punct la o curbă dată corespunde faptului că numerele Xși y satisface o ecuație. Deci, coordonatele unui punct al unui cerc centrat într-un punct dat ( A; b) satisface ecuația (X - A)² + ( y - b)² = R² .
Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan
Două axe perpendiculare pe un plan cu o origine comună și aceeași formă de unitate de scară Sistemul de coordonate carteziene în plan . Una dintre aceste axe se numește axa Bou, sau axa x , celălalt - axa Oi, sau axa y . Aceste axe sunt numite și axe de coordonate. Notează prin MXși My respectiv proiecţia unui punct arbitrar M pe osie Bouși Oi. Cum să obțineți proiecții? Treceți prin punct M Bou. Această linie intersectează axa Bou la punct MX. Treceți prin punct M linie dreaptă perpendiculară pe axă Oi. Această linie intersectează axa Oi la punct My. Acest lucru este prezentat în figura de mai jos.
Xși y puncte M vom numi respectiv mărimile segmentelor dirijate OMXși OMy. Valorile acestor segmente direcționale sunt calculate, respectiv, ca X = X0 - 0 și y = y0 - 0 . coordonate carteziene Xși y puncte M abscisă și ordonată . Faptul că punctul M are coordonate Xși y, se notează după cum urmează: M(X, y) .
Axele de coordonate împart planul în patru cadran , a cărui numerotare este prezentată în figura de mai jos. De asemenea, indică dispunerea semnelor pentru coordonatele punctelor, în funcție de amplasarea acestora într-unul sau altul cadran.
Pe lângă coordonatele dreptunghiulare carteziene din plan, sistemul de coordonate polar este adesea luat în considerare. Despre metoda de trecere de la un sistem de coordonate la altul - în lecție sistem de coordonate polare .
Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu
Coordonatele carteziene din spațiu sunt introduse în analogie completă cu coordonatele carteziene dintr-un plan.
Trei axe reciproc perpendiculare în spațiu (axe de coordonate) cu o origine comună Oși aceeași formă de unitate de scară Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu .
Una dintre aceste axe se numește axa Bou, sau axa x , celălalt - axa Oi, sau axa y , a treia - axa Oz, sau aplica axa . Lăsa MX, My Mz- proiecții ale unui punct arbitrar M spatii pe axa Bou , Oiși Oz respectiv.
Treceți prin punct M BouBou la punct MX. Treceți prin punct M plan perpendicular pe axa Oi. Acest plan intersectează axa Oi la punct My. Treceți prin punct M plan perpendicular pe axa Oz. Acest plan intersectează axa Oz la punct Mz.
Coordonate dreptunghiulare carteziene X , yși z puncte M vom numi respectiv mărimile segmentelor dirijate OMX, OMyși OMz. Valorile acestor segmente direcționale sunt calculate, respectiv, ca X = X0 - 0 , y = y0 - 0 și z = z0 - 0 .
coordonate carteziene X , yși z puncte M sunt denumite în mod corespunzător abscisă , ordonată și aplicatie .
Luate în perechi, axele de coordonate sunt situate în planurile de coordonate xOy , yOzși zOx .
Probleme despre punctele din sistemul de coordonate carteziene
Exemplul 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte pe axa x.
Soluţie. După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa x este situată pe axa x în sine, adică pe axa Bou, și, prin urmare, are o abscisă egală cu abscisa punctului însuși și o ordonată (coordonată pe axă Oi, pe care axa x o intersectează în punctul 0), egal cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale acestor puncte pe axa x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Exemplul 2 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte pe axa y.
Soluţie. După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa y este situată pe axa y în sine, adică pe axa Oi, și, prin urmare, are o ordonată egală cu ordonata punctului însuși și o abscisă (coordonata pe axă Bou, pe care axa y o intersectează în punctul 0), egal cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale acestor puncte pe axa y:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Exemplul 3 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Bou .
Bou Bou Bou, va avea aceeași abscisă ca și punctul dat, iar ordonata egală în valoare absolută cu ordonata punctului dat și opusă în semn acesteia. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Bou :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Rezolvați singur problemele din sistemul de coordonate carteziene și apoi uitați-vă la soluții
Exemplul 4 Determinați în ce cadrane (sferturi, figură cu cadrane - la sfârșitul paragrafului „Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan”) poate fi localizat punctul M(X; y) , dacă
1) X y > 0 ;
2) X y < 0 ;
3) X − y = 0 ;
4) X + y = 0 ;
5) X + y > 0 ;
6) X + y < 0 ;
7) X − y > 0 ;
8) X − y < 0 .
Exemplul 5 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(A; b) .
Găsiți coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Oi .
Continuăm să rezolvăm problemele împreună
Exemplul 6 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Găsiți coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Oi .
Soluţie. Rotiți cu 180 de grade în jurul axei Oi segment de linie direcționat dintr-o axă Oi pana la acest punct. În figură, unde sunt indicate cadranele planului, vedem că punctul simetric cu cel dat în raport cu axa Oi, va avea aceeași ordonată ca și punctul dat și o abscisă egală în valoare absolută cu abscisa punctului dat și opusă în semn acesteia. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte în jurul axei Oi :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Exemplul 7 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene pe plan
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Găsiți coordonatele punctelor care sunt simetrice față de aceste puncte în raport cu originea.
Soluţie. Rotim cu 180 de grade în jurul originii segmentului direcționat mergând de la origine la punctul dat. În figură, unde sunt indicate cadranele planului, vedem că un punct simetric unuia dat față de originea coordonatelor va avea o abscisă și o ordonată egale în valoare absolută cu abscisa și ordonata punctului dat. , dar opus în semn lor. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte în raport cu originea:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Exemplul 8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte:
1) într-un avion Oxy ;
2) la avion Oxz ;
3) la avion Oyz ;
4) pe axa absciselor;
5) pe axa y;
6) pe axa aplicației.
1) Proiectia unui punct pe un plan Oxy situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o abscisă și ordonată egale cu abscisa și ordonata punctului dat și o aplicație egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oxy :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Proiectia unui punct pe un plan Oxz situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o abscisă și aplicată egale cu abscisa și aplicatul punctului dat și o ordonată egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Proiectia unui punct pe un plan Oyz situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o ordonată și o aplicată egale cu ordonata și aplicata unui punct dat și o abscisă egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa x este situată pe axa x în sine, adică pe axa Bou, și, prin urmare, are o abscisă egală cu abscisa punctului însuși, iar ordonata și aplicata proiecției sunt egale cu zero (deoarece axele ordonatelor și aplicate intersectează abscisa în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa x:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Proiecția unui punct pe axa y este situată pe axa y însăși, adică pe axa Oi, și, prin urmare, are o ordonată egală cu ordonata punctului însuși, iar abscisa și aplicația proiecției sunt egale cu zero (deoarece abscisa și axele aplicate intersectează axa ordonatelor în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa y:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Proiecția unui punct pe axa aplicată este situată pe axa aplicată însăși, adică axa Oz, și, prin urmare, are o aplicație egală cu aplicata punctului însuși, iar abscisa și ordonata proiecției sunt egale cu zero (deoarece abscisa și axele ordonatelor intersectează axa aplicată în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa aplicată:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Exemplul 9 Punctele sunt date în sistemul de coordonate carteziene în spațiu
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Găsiți coordonatele punctelor care sunt simetrice față de aceste puncte în raport cu:
1) avion Oxy ;
2) avion Oxz ;
3) avion Oyz ;
4) axa absciselor;
5) axa y;
6) axa aplicatiei;
7) originea coordonatelor.
1) „Avansați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oxy Oxy, va avea o abscisă și o ordonată egale cu abscisa și ordonata punctului dat și o aplicată egală ca mărime cu aplicatul punctului dat, dar opus ca semn acestuia. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele în raport cu planul Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Avansați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oxz pe aceeași distanță. Conform figurii care afiseaza spatiul de coordonate, vedem ca punctul simetric fata de cel dat fata de axa Oxz, va avea o abscisă și aplicată egale cu abscisa și aplicata punctului dat și o ordonată egală ca mărime cu ordonata punctului dat, dar opusă ca semn acesteia. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele în raport cu planul Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Avansați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oyz pe aceeași distanță. Conform figurii care afiseaza spatiul de coordonate, vedem ca punctul simetric fata de cel dat fata de axa Oyz, va avea o ordonata si o aplicata egale cu ordonata si o aplicata a punctului dat, si o abscisa egala ca marime cu abscisa punctului dat, dar opus ca semn acestuia. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele în raport cu planul Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Prin analogie cu punctele simetrice din plan și cu punctele din spațiu simetrice față de date față de planuri, observăm că în cazul simetriei în jurul unei axe a sistemului de coordonate carteziene în spațiu, coordonatele pe axa în jurul căreia este stabilită simetria își va păstra semnul, iar coordonatele celorlalte două axe vor fi aceleași ca valoare absolută cu coordonatele punctului dat, dar opuse ca semn.
4) Abscisa își va păstra semnul, în timp ce ordonata și aplicatul își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele despre axa x:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata își va păstra semnul, în timp ce abscisa și aplicatul își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele despre axa y:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplicatul își va păstra semnul, iar abscisa și ordonata își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele despre axa aplicată:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Prin analogie cu simetria în cazul punctelor de pe un plan, în cazul simetriei cu privire la originea coordonatelor, toate coordonatele unui punct simetric cu un punct dat vor fi egale în valoare absolută cu coordonatele unui punct dat, dar opus în semn lor. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor care sunt simetrice cu datele în raport cu originea.
Dacă prin punctul O în spațiu desenăm trei linii per-pen-di-ku-lar-le-numim, luăm pe-dreapta-le-nie, notând tăieturi simple, atunci vom obține dreptunghiular si-ste-mu ko-or-di-nat in spatiu. Axele lui ko-or-di-nat sunt na-zy-va-yut-sya astfel: Oh - axa abs-ciss, Oy - axa or-di-nat și Oz - axa în sus-pli-cat. Întregul si-ste-ma ko-or-di-nat înseamnă-me-cha-et-sya - Oxyz. În acest fel, sunt trei avioane co-or-di-nat-nye: Oxy, Oxz, Oyz.
Dăm un exemplu de construire a unui punct B (4; 3; 5) într-un sistem dreptunghiular de co-or-di-nat (vezi Fig. 1).
Orez. 1. Construcția punctului B în spațiu
Primul punct co-or-di-na-ta B - 4, deci de la-cla-dy-va-em la Ox 4, noi-dim o axă para-ral-lel-but directă Oy pentru a re-re-se -che-tion cu o linie dreaptă, care trece prin y \u003d 3. În acest fel, obținem punctul K. Acest punct se află în planul Oxy și are co-or-di-na-you K (4; 3; 0). Acum trebuie să pro-ve-sti direct par-ral-lel-dar axa Oz. Și drept, cineva-paradis trece printr-un punct cu app-pli-ka-that 5 și para-ral-lel-on dia-go-on-whether pa-ral-le-lo-gram -ma în planul Oxy. Pe re-se-che-nii lor, vom obține punctul dorit B.
Luați în considerare distribuția punctelor, pentru unii, unul sau două co-sau-di-na-you sunt egale cu 0 (vezi Fig. 2).
De exemplu, punctul A(3;-1;0). Este necesar să continuăm axa Oy la stânga până la valoarea -1, găsim punctul 3 pe axa Ox, iar pe re-se-ce-a liniilor care trec prin aceste valori -tion, obținem punctul A. Acesta punctul are app-pli-ka-tu 0, ceea ce înseamnă că se află în planul Oxy.
Punctul C (0; 2; 0) are abs-cis-su și app-pli-ka-tu 0 - nu de la-me-cha-e. Or-di-na-ta este egal cu 2, ceea ce înseamnă că punctul C se află doar pe axa Oy, ceva-paradis este-la-is-a-re-re-se-che-no-it este plat stey Oxy și Oyz.
Pentru a muta punctul D (-4; 0; 3) continuăm axa Ox înapoi pentru na-cha-lo ko-or-di-nat până la punctul -4. Acum, restaurați-o-sute-nav-li-va-em din acest punct per-pen-di-ku-lyar - drept, paralel cu axa Oz pentru a re-re-se-che-niya cu o linie dreaptă, paralel cu axa Ox și trecând prin valoarea 3 pe axa Oz. Conform curentului D (-4; 0; 3). Deoarece or-di-pe acel punct este egal cu 0, atunci punctul D se află în planul Oxz.
Următorul punct este E(0;5;-3). Or-di-na-ta punctele 5, app-pli-ka-ta -3, trecem linii drepte care trec prin aceste valorion-reply -th-axes, iar pe re-se-che-nii lor , obținem punctul E (0; 5; -3). Acest punct are primul co-or-di-to-tu 0, ceea ce înseamnă că se află în planul Oyz.
2. Coordonatele vectoriale
La naiba cu unghi drept si-ste-mu ko-or-di-nat în spațiu Oxyz. Za-da-dim in spatiul unui dreptunghiular si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. Pe fiecare dintre axele lo-zhi-tel-nyh in-lu de la-lo-weep de la na-cha-la ko-or-di-nat un singur vector, adică vector-torus, lungimea ceva-ro- go este egal cu unu. Notăm un singur vector al axei abs-ciss, un singur vector al axei or-di-nat și un singur vector al axei up-pli-kat (vezi Fig. 1). Aceste pleoape sunt co-pe-dreapta-le-na cu axe pe-dreapta-le-ni-i-mi, au o singură lungime și or-to-go-nal-na - în perechi - dar per-pen-di -ku-lyar-ny. Așa secol-ra-na-zy-va-yut ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-mi sau ba-zi- somn.
Orez. 1. Raz-lo-aceeași-vârstă-că-ra în trei co-or-di-nat-ny secol-care-cadre
Luați un mem-tor, în-me-stim-l în na-cha-lo ko-or-di-nat și răspândiți acest vector-tor în trei anumite-plan-nar-nym - le-zha -shim în diferite planuri - un secol la cadru. Pentru a face acest lucru, să coborâm proiecția punctului M pe planul Oxy și să găsim un șanț vectorial co-or-di-on-you și. On-lu-cha-eat:. Ras-look-rim pe din-del-no-sti fiecare din aceste secole-acel-sant. Torusul vectorial se află pe axa Ox, ceea ce înseamnă că, conform proprietății de a înmulți vectorul cu un număr, acesta poate fi reprezentat ca un fel de număr x feminin pe vectorul co-or-di-nat-ny. , iar lungimea pleoapei este exact de x ori mai mare decât lungimea lui . În același mod, să pășim cu un secol-că-ra-mi și, și într-un lu-cha-eat times-lo-aceeași-vârstă secol-că-ra în trei ko-or-di-nat-ny secole la berbec:
Co-ef-fi-qi-en-you din acest timp x, y și z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra în spațiu.
Ras-look-rim right-vi-la, some-rye poses-in-la-yut conform ko-or-di-on-acolo date-secole-la-sanț pentru a găsi ko-or-di-na- ești suma și diferența lor, precum și co-or-di-na-you pro-from-ve-de-niya a unui anumit secol-that-ra pe un anumit număr.
1) Complexitate:
2) You-chi-ta-nie:
3) Înmulțirea cu un număr: 
,
Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go owl-pa-yes-et cu na-cha-scrap ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya rază-secol-rom.(Fig. 2). Vector-tor - ra-di-us-vector, unde x, y și z sunt co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion of this century-to-ra conform co-or - di-nat-ny secol la berbec,,. În acest caz, x este prima co-sau-di-on-ta a punctului A pe axa Ox, y este co-sau-di-on-ta a punctului B pe axa Oy, z este co-sau - di-na-ta punctul C pe axa Oz. Potrivit lui ri-sun-ku, este clar că ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-men-but is-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi puncte M.
Luați punctul A(x1;y1;z1) și punctul B(x2;y2;z2) (vezi Fig. 3). Ne imaginăm un secol-tor ca o diferență între un secol și un șanț și, prin proprietatea sa, un secol-un șanț. Mai mult, și - ra-di-us-vek-to-ry, și co-or-di-na-you lor co-pa-da-yut cu co-or-di-na-ta-mi con- tsov aceste secole-şanţ. Apoi ne putem imagina ko-or-di-na-you century-that-ra ca o diferență cu-de-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat century-that-ditch și : . În acest fel, ko-or-di-na-you secol la ra, putem vy-ra-zit prin ko-or-di-na-you of the end și na-cha-la century-to-ra .
Ras-uitați-vă la exemplele, proprietățile il-lu-stri-ru-yu-sche ale unui șanț de secol și a lor-ra-aceeași-țiune prin co-or-di-on-you. Take-meme century-that-ry , , . Ni se cere vector-shi-va-yut. În acest caz, a-l găsi înseamnă să găsești co-or-di-na-you un secol-că-ra, pe cineva care este complet determinat de el. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie în loc de o sută de secole-un-sanț cu-de-rep-stven-dar co-or-di-on-you. By-lu-cha-eat:
Acum înmulțim numărul 3 pentru fiecare co-or-di-na-tu între paranteze și același de-la-em cu 2:
Avem suma a trei șanțuri secole, le depozităm conform proprietății mai sus studiate:
Răspuns: 
Exemplul nr. 2.
Dat: pi-ra-mi-da triunghiular AOBC (vezi Fig. 4). Avioane AOB, AOC și OCB - în perechi, dar per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.
Găsi: ,,,,,,,.
Rezolvare: Să introducem un dreptunghiular si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz cu începutul numărării în punctul O. Prin condiția cunoaștem punctele A, B și C pe axe și se-re -di-ny a marginilor pi-ra-mi-dy - M, P și N. Conform ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you vârfurile pi-ra-mi -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).
Sistemul de coordonate dreptunghiular (alte denumiri - plat, bidimensional), numit după omul de știință francez Descartes (1596-1650) „Sistemul de coordonate cartezian în plan”, este format prin intersecția a două axe numerice pe plan în unghi drept ( perpendicular), astfel încât semiaxa pozitivă a uneia îndreptată spre dreapta (axa x sau abscisă), iar a doua - în sus (axa y sau axa y).
Punctul de intersecție al axelor coincide cu punctul 0 al fiecăreia dintre ele și se numește origine.
Pentru fiecare dintre axe, este selectată o scară arbitrară (un segment de lungime unitară). Fiecare punct al planului corespunde unei perechi de numere, numite coordonatele acestui punct din plan. Dimpotrivă, orice pereche ordonată de numere corespunde unui punct al planului pentru care aceste numere sunt coordonate.
Prima coordonată a unui punct se numește abscisa acelui punct, iar a doua coordonată se numește ordonată.
Întregul plan de coordonate este împărțit în 4 cadrane (sferturi). Cadranele sunt situate de la primul la al patrulea în sens invers acelor de ceasornic (vezi Fig.).
Pentru a determina coordonatele unui punct, trebuie să găsiți distanța acestuia față de axa absciselor și axa ordonatelor. Deoarece distanța (cea mai mică) este determinată de perpendiculară, două perpendiculare (linii auxiliare pe planul coordonatelor) sunt coborâte din punctul de pe axă, astfel încât punctul de intersecție a acestora să fie locul punctului dat în planul coordonatelor. Punctele de intersecție a perpendicularelor cu axele se numesc proiecții ale punctului pe axele de coordonate.
Primul cadran este limitat de semiaxele pozitive ale abscisei și ordonatei. Prin urmare, coordonatele punctelor din acest sfert de plan vor fi pozitive
(semnele „+” și
De exemplu, punctul M (2; 4) din figura de mai sus.
Al doilea cadran este delimitat de semiaxa absciselor negative și axa y pozitivă. Prin urmare, coordonatele punctelor de-a lungul axei absciselor vor fi negative (semnul „-”), iar de-a lungul axei ordonatelor vor fi pozitive (semnul „+”).
De exemplu, punctul C (-4; 1) din figura de mai sus.
Al treilea cadran este delimitat de semiaxa absciselor negative și axa y negativă. Prin urmare, coordonatele punctelor de-a lungul abscisei și ordonatelor vor fi negative (semnele „-” și „-”).
De exemplu, punctul D (-6; -2) din figura de mai sus.
Al patrulea cadran este delimitat de semiaxa absciselor pozitive și axa y negativă. Prin urmare, coordonatele punctelor de-a lungul axei x vor fi pozitive (semnul „+”). iar de-a lungul axei ordonatelor - negativ (semnul „-”).
De exemplu, punctul R (3; -3) din figura de mai sus.
Construirea unui punct după coordonatele date
găsim prima coordonată a punctului de pe axa x și trasăm o linie auxiliară prin ea - perpendiculara;
găsim a doua coordonată a punctului pe axa y și trasăm o linie auxiliară prin ea - perpendiculara;
punctul de intersecție a două perpendiculare (drepte auxiliare) și va corespunde punctului cu coordonatele date.