Formula de calcul a diagonalei unui dreptunghi. Zona dreptunghiulară

4. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi prin diagonala unui pătrat:

5. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin diametrul unui cerc (circumscris):

6. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

7. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi în termeni de cosinus al unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii la acest unghi:

8. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului:

Unghiul dintre o latură și o diagonală a unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin diagonală și latură:

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin unghiul dintre diagonale:

Unghiul dintre diagonalele dreptunghiului.

Formule pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin unghiul dintre latură și diagonală:

β = 2α

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin zonă și diagonală.

Conţinut:

O diagonală este un segment de linie care leagă două vârfuri opuse ale unui dreptunghi. Un dreptunghi are două diagonale egale. Dacă laturile dreptunghiului sunt cunoscute, diagonala poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora, deoarece diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare. Dacă laturile nu sunt date, dar se cunosc alte cantități, de exemplu, aria și perimetrul sau raportul laturilor, puteți găsi laturile dreptunghiului și apoi calculați diagonala folosind teorema lui Pitagora.

Pași

1 Alăturat

1. 1 Scrieți teorema lui Pitagora. Formula: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Conectați părțile laterale în formulă. Sunt date în problemă sau trebuie măsurate. Valorile laterale sunt înlocuite cu 3
   • În exemplul nostru:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 După suprafață și perimetru

     1. 1 Formula: S \u003d l w (În figură, simbolul A este folosit în loc de S.)
     2. 2 Această valoare este înlocuită cu S 3 Rescrieți formula pentru a izola w 4 Scrieți formula pentru calcularea perimetrului unui dreptunghi. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 Înlocuiți valoarea perimetrului dreptunghiului în formulă. Această valoare este înlocuită cu P 6 Împărțiți ambele părți ale ecuației la 2. Veți obține suma laturilor dreptunghiului și anume w + l 7 În formulă, înlocuiți expresia pentru a calcula w 8 Scapă de fracții. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu l 9 Setați ecuația la 0. Pentru a face acest lucru, scădeți termenul cu variabila de ordinul întâi din ambele părți ale ecuației.
        • În exemplul nostru:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Ordonați termenii ecuației. Primul membru va fi al doilea membru variabil, apoi primul membru variabil și apoi membrul liber. În același timp, nu uitați de semnele („plus” și „minus”) care se află în fața membrilor. Rețineți că ecuația va fi scrisă ca o ecuație pătratică.
          • În exemplul nostru, 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • În exemplul nostru, ecuația 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Găsiți l 13 Scrieți teorema lui Pitagora. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Utilizați teorema lui Pitagora, deoarece fiecare diagonală a unui dreptunghi o împarte în două triunghiuri dreptunghice egale. Mai mult, laturile dreptunghiului sunt catetele triunghiului, iar diagonala dreptunghiului este ipotenuza triunghiului.
            • 14 Aceste valori sunt înlocuite cu un 15 Pătrați lungimea și lățimea, apoi adăugați rezultatele. Amintiți-vă că la pătratul unui număr, acesta este înmulțit cu el însuși.
              • În exemplul nostru:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Utilizați un calculator pentru a găsi rapid rădăcina pătrată. Puteți folosi și calculatorul online. vei găsi c

                3 După zonă și raport de aspect

                1. 1 Scrieți o ecuație care caracterizează raportul laturilor. Izolați l 2 Scrieți formula pentru calcularea ariei unui dreptunghi. Formula: S = l w (în figură se folosește notația A în loc de S.)
                   • Această metodă este aplicabilă și atunci când se cunoaște valoarea perimetrului dreptunghiului, dar atunci trebuie să utilizați formula pentru a calcula perimetrul, nu aria. Formula pentru calcularea perimetrului unui dreptunghi: P = 2 (w + l)
                2. 3 Introduceți zona dreptunghiului în formulă. Această valoare este înlocuită cu S 4 Înlocuiți expresia care caracterizează raportul laturilor în formulă.În cazul unui dreptunghi, puteți înlocui o expresie pentru a calcula l 5 Scrieți o ecuație pătratică. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele și egalați ecuația cu zero.
                   • În exemplul nostru:
                     35 = w (w + 2) 6 Factorizați ecuația pătratică. Citiți mai departe pentru instrucțiuni detaliate.
                     • În exemplul nostru, ecuația 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Găsiți w 8 Înlocuiți valoarea lățimii (sau lungimii) găsită în ecuația care caracterizează raportul laturilor. Deci, puteți găsi cealaltă parte a dreptunghiului.
                       • De exemplu, dacă ați calculat că lățimea unui dreptunghi este de 5 cm și raportul de aspect este dat de ecuația l = w + 2 9 Scrieți teorema lui Pitagora. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                         • Utilizați teorema lui Pitagora, deoarece fiecare diagonală a unui dreptunghi o împarte în două triunghiuri dreptunghice egale. Mai mult, laturile dreptunghiului sunt catetele triunghiului, iar diagonala dreptunghiului este ipotenuza triunghiului.
                       • 10 Introduceți valorile de lungime și lățime în formulă. Aceste valori sunt înlocuite cu un 11 Pătrați lungimea și lățimea, apoi adăugați rezultatele. Amintiți-vă că la pătratul unui număr, acesta este înmulțit cu el însuși.
                         • În exemplul nostru:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației. Utilizați un calculator pentru a găsi rapid rădăcina pătrată. Puteți folosi și calculatorul online. Veți găsi c (stil de afișare c) , care este ipotenuza triunghiului și, prin urmare, diagonala dreptunghiului.
                           • În exemplul nostru:
                             74 = c 2 (stil de afișare 74=c^(2))
                             74 = c 2 (stil de afișare (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (stil de afișare 8,6024=c)
                             Astfel, diagonala unui dreptunghi a cărui lungime este cu 2 cm mai mare decât lățimea și a cărui suprafață este de 35 cm 2 este de aproximativ 8,6 cm.

Definiție.

Dreptunghi Este un patrulater cu două laturi opuse egale și toate cele patru unghiuri egale.

Dreptunghiurile diferă unul de celălalt doar în raportul dintre latura lungă și cea scurtă, dar toate cele patru colțuri sunt drepte, adică 90 de grade fiecare.

Latura lungă a unui dreptunghi se numește lungime dreptunghi, iar scurtul lățimea dreptunghiului.

Laturile unui dreptunghi sunt, de asemenea, înălțimile acestuia.

Proprietățile de bază ale unui dreptunghi

Un dreptunghi poate fi un paralelogram, un pătrat sau un romb.

1. Laturile opuse ale unui dreptunghi au aceeași lungime, adică sunt egale:

AB=CD, BC=AD

2. Laturile opuse ale dreptunghiului sunt paralele:

3. Laturile adiacente ale unui dreptunghi sunt întotdeauna perpendiculare:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Toate cele patru colțuri ale dreptunghiului sunt drepte:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Suma unghiurilor unui dreptunghi este de 360 ​​de grade:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalele unui dreptunghi au aceeași lungime:

7. Suma pătratelor diagonalei unui dreptunghi este egală cu suma pătratelor laturilor:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Fiecare diagonală a unui dreptunghi împarte dreptunghiul în două figuri identice și anume triunghiuri dreptunghiulare.

9. Diagonalele dreptunghiului se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Punctul de intersecție al diagonalelor se numește centrul dreptunghiului și este și centrul cercului circumscris

11. Diagonala unui dreptunghi este diametrul cercului circumscris

12. Un cerc poate fi descris întotdeauna în jurul unui dreptunghi, deoarece suma unghiurilor opuse este de 180 de grade:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cerc nu poate fi înscris într-un dreptunghi a cărui lungime nu este egală cu lățimea sa, deoarece sumele laturilor opuse nu sunt egale între ele (un cerc poate fi înscris doar într-un caz special de dreptunghi - un pătrat).

Laturile unui dreptunghi

Definiție.

Lungime dreptunghi numiți lungimea perechii mai lungi a laturilor sale. Lățimea dreptunghiului numiți lungimea perechii mai scurte de laturi ale acesteia.

Formule pentru determinarea lungimilor laturilor unui dreptunghi

1. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în termeni de diagonală și cealaltă latură:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în ceea ce privește suprafața și cealaltă parte:

b = dcos	β
	2

dreptunghi diagonală

Definiție.

Dreptunghi diagonal Se numește orice segment care leagă două vârfuri ale colțurilor opuse ale unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea lungimii diagonalei unui dreptunghi

1. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni a două laturi ale dreptunghiului (prin teorema lui Pitagora):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

4. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de raza cercului circumscris:

d=2R

5. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris:

d = D o

6. Formula diagonalei unui dreptunghi în termeni de sinus al unghiului adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

8. Formula diagonalei unui dreptunghi în funcție de sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului

d = √2S: sinβ

Perimetrul unui dreptunghi

Definiție.

Perimetrul unui dreptunghi este suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea lungimii perimetrului unui dreptunghi

1. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de două laturi ale dreptunghiului:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		b

3. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de diagonală și orice latură:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Zona dreptunghiulară

Definiție.

Zona dreptunghiulară numit spațiu delimitat de laturile dreptunghiului, adică în perimetrul dreptunghiului.

Formule pentru determinarea ariei unui dreptunghi

1. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de două laturi:

S = a b

2. Formula pentru aria unui dreptunghi prin perimetru și orice latură:

5. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula pentru aria unui dreptunghi în ceea ce privește diametrul cercului circumscris și orice latură:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Cerc circumscris în jurul unui dreptunghi

Definiție.

Un cerc circumscris unui dreptunghi Se numește un cerc care trece prin patru vârfuri ale unui dreptunghi, al cărui centru se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea razei unui cerc circumscris unui dreptunghi

1. Formula pentru raza unui cerc circumscris unui dreptunghi prin două laturi:

Problema găsirii diagonalei unui dreptunghi poate fi formulată în trei moduri diferite. Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre ele. Metodele depind de datele cunoscute, deci cum găsiți diagonala unui dreptunghi?

Dacă se cunosc două părți

În cazul în care sunt cunoscute două laturi ale dreptunghiului a și b, pentru a găsi diagonala este necesar să folosiți teorema lui Pitagora: a 2 + b 2 \u003d c 2, aici a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic, c este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Când o diagonală este desenată într-un dreptunghi, aceasta este împărțită în două triunghiuri dreptunghiulare. Cunoaștem cele două laturi ale acestui triunghi dreptunghic (a și b). Adică, pentru a găsi diagonala unui dreptunghi, este necesară următoarea formulă: c \u003d √ (a 2 + b 2), aici c este lungimea diagonalei dreptunghiului.

După latură și unghi cunoscute, între latură și diagonală

Fie cunoscute latura dreptunghiului a și unghiul pe care îl face cu diagonala dreptunghiului α. Mai întâi, să ne amintim formula cosinus: cos α \u003d a / c, aici c este diagonala dreptunghiului. Cum se calculează diagonala unui dreptunghi din această formulă: c = a/cos α.

Conform laturii cunoscute, unghiul dintre latura adiacentă dreptunghiului și diagonală.

Deoarece diagonala unui dreptunghi împarte dreptunghiul în sine în două triunghiuri dreptunghiulare, este logic să ne întoarcem la definiția unui sinus. Sinus - raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.sin α \u003d b / c. De aici derivăm o formulă pentru găsirea diagonalei unui dreptunghi, care este și ipotenuza unui triunghi dreptunghic: с = b/sin α.

Acum ești priceput în această chestiune. Îți poți face plăcere profesorului de geometrie mâine!