Ecuații cuadratice. Noțiuni de bază

Acasă

Pompe de puțuri

Acest tutorial video explică cum se rezolvă o ecuație pătratică. Rezolvarea ecuațiilor pătratice începe de obicei în liceu, clasa a VIII-a. Rădăcinile unei ecuații pătratice se găsesc folosind o formulă specială. Să fie dată o ecuație pătratică de forma ax2+bx+c=0, unde x este necunoscuta, a, b și c sunt coeficienții, care sunt numere reale. Mai întâi, trebuie să determinați discriminantul folosind formula D=b2-4ac. După aceasta, rămâne să calculați rădăcinile ecuației pătratice folosind formula cunoscută. Acum să încercăm să rezolvăm un exemplu specific. Ca ecuație inițială luăm x2+x-12=0, adică. coeficientul a=1, b=1, c=-12. Folosind o formulă binecunoscută, puteți determina discriminantul. Apoi, folosind formula pentru găsirea rădăcinilor ecuației, le calculăm. În cazul nostru, discriminantul va fi egal cu 49. Faptul că valoarea discriminantului este un număr pozitiv ne spune că această ecuație pătratică va avea două rădăcini. După calcule simple, constatăm că x1=-4, x2=3. Astfel, am rezolvat ecuația pătratică calculându-i rădăcinile Lecție video „Rezolvarea ecuațiilor pătratice (clasa a VIII-a). Găsirea rădăcinilor folosind formula" pe care o puteți viziona online oricând gratuit. Multă baftă!

Vă reamintim că o ecuație pătratică completă este o ecuație de forma:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai dificilă (doar puțin) decât acestea.

Tine minte, Orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant!

Chiar incomplet.

Celelalte metode te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind un discriminant.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind această metodă este foarte simplă; principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are 2 rădăcini. Trebuie să acordați o atenție deosebită pasului 2.

Discriminantul D ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci formula din pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice.

Graficul funcției este o parabolă:

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9

Rezolvați ecuația

Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are două rădăcini.

Pasul 3.

Răspuns:

Exemplul 10

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11

Rezolvați ecuația

Ecuația este prezentată în formă standard, deci Pasul 1 sărim.

Pasul 2.

Găsim discriminantul:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina discriminantului. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta

Dacă vă amintiți, există un tip de ecuație care se numește redusă (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus.

Exemplul 12

Rezolvați ecuația

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este egală, adică. obținem prima ecuație:

Și produsul este egal cu:

Să compunem și să rezolvăm sistemul:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Răspuns: ; .

Exemplul 13

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14

Rezolvați ecuația

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru gratuit.

Pentru că dacă ecuația devine imediat liniară, pentru că va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În acest scaun se numește ecuația incomplet.

Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică ecuația este complet.

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, să ne uităm la metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Putem distinge următoarele tipuri de ecuații:

I., în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum să ne uităm la soluția pentru fiecare dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr pătrat nu poate fi negativ, deoarece atunci când înmulțiți două numere negative sau două pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Nu este nevoie să memorezi aceste formule. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Exemplul 15

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Exemplul 16

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a nota pe scurt că o problemă nu are soluții, folosim pictograma set gol.

Răspuns:

Exemplul 17

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice complete

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina de la discriminant în formula pentru rădăcini?

Dar discriminantul poate fi negativ.

Ce să fac?

Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

Dacă, atunci ecuația are rădăcini:
Dacă, atunci ecuația are aceleași rădăcini și, de fapt, o rădăcină:
Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.
Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce este posibil un număr diferit de rădăcini?

Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz special, care este o ecuație pătratică, .

Aceasta înseamnă că rădăcinile unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție cu axa (axa) absciselor.

O parabolă poate să nu intersecteze axa deloc sau o poate intersecta într-unul (când vârful parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă, atunci în jos.

4 exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Exemplul 18

Răspuns:

Exemplul 19

Răspuns: .

Exemplul 20

Răspuns:

Exemplul 21

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Folosirea teoremei lui Vieta este foarte ușoară.

Tot ce ai nevoie este ridica o astfel de pereche de numere, al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai în ecuații pătratice reduse ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul 22

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Și produsul este egal cu:

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală cu;
Și. Suma este egală.

și sunt soluția pentru sistem:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul 23

Soluţie:

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și apoi să verificăm dacă suma lor este egală:

si: dau in total.

si: dau in total. Pentru a obține, este suficient să schimbați pur și simplu semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul 24

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu diferențele modulelor lor.

Să selectăm perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este egală - nu se potrivește;

și: - neadecvat;

şi: - potrivite. Tot ce rămâne este să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, rădăcina cu modulul mai mic trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul 25

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal și apoi să determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, doar rădăcinile și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul 26

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este dată, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini au semnul minus.

Să selectăm perechi de numere al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil să veniți cu rădăcini oral, în loc să numărați acest discriminant urât.

Încercați să folosiți teorema lui Vieta cât mai des posibil!

Dar teorema lui Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor.

Pentru a beneficia de pe urma folosirii lui, trebuie să aduci acțiunile la automatitate. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple.

Dar nu înșela: nu poți folosi un discriminant! Doar teorema lui Vieta!

5 exemple de teorema lui Vieta pentru munca independentă

Exemplul 27

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu piesa:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este exact ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Exemplul 28

Sarcina 2.

Și din nou teorema noastră preferată Vieta: suma trebuie să fie egală, iar produsul trebuie să fie egal.

Dar din moment ce nu trebuie să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Exemplul 29

Sarcina 3.

Hmm... Unde este asta?

Trebuie să mutați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Bine, oprește-te! Ecuația nu este dată.

Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date.

Deci mai întâi trebuie să dați o ecuație.

Dacă nu poți conduce, renunță la această idee și rezolvă-o într-un alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).

Permiteți-mi să vă reamintesc că a da o ecuație pătratică înseamnă a egaliza coeficientul principal:

Apoi suma rădăcinilor este egală cu și produsul.

Aici este la fel de ușor ca decojirea perelor să alegi: la urma urmei, este un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Exemplul 30

Sarcina 4.

Membrul liber este negativ.

Ce e special la asta?

Și adevărul este că rădăcinile vor avea semne diferite.

Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, dar un produs.

Deci, rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus.

Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică.

Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Exemplul 31

Sarcina 5.

Ce ar trebui să faci mai întâi?

Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale cu și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor ar trebui să fie egală, ceea ce înseamnă că minusul va avea o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Rezuma

Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
Folosind teorema lui Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
Dacă ecuația nu este dată sau nu se găsește o pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, printr-un discriminant).

3. Metoda de selectare a unui pătrat complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați sub formă de termeni din formule de înmulțire prescurtate - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după înlocuirea variabilelor, ecuația poate fi prezentată sub forma unei ecuații pătratice incomplete de tipul.

De exemplu:

Exemplul 32

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 33

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic?

Acesta este un lucru discriminatoriu! Exact așa am obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Ecuație cuadratică- aceasta este o ecuație de formă, unde - necunoscutul, - coeficienții ecuației pătratice, - termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egali cu zero:

dacă coeficientul, ecuația arată astfel: ,
dacă există un termen liber, ecuația are forma: ,
dacă și, ecuația arată astfel: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să exprimăm necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

dacă, atunci ecuația nu are soluții,
dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să scoatem factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminant

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Să calculăm discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

dacă, atunci ecuația are rădăcini, care se găsesc prin formula:
dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (ecuația formei unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Rezolvare prin metoda selectării unui pătrat complet

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

Nu au rădăcini;
Au exact o rădăcină;
Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

Daca D< 0, корней нет;
Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de erori.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Clasă: 8

Să luăm în considerare tehnicile standard (studite într-un curs de matematică școlar) și non-standard pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

1. Descompunerea părții stângi a ecuației pătratice în factori liniari.

Să ne uităm la exemple:

3) x 2 + 10x – 24 = 0.

6(x 2 + x – x) = 0 | : 6

x 2 + x – x – = 0;

x(x – ) + (x – ) = 0;

x(x – ) (x + ) = 0;

= ; – .

Răspuns: ; – .

Pentru munca independenta:

Rezolvați ecuații pătratice folosind metoda factorizării liniare a părții stângi a unei ecuații pătratice.

a) x 2 – x = 0;

d) x 2 – 81 = 0;

g) x 2 + 6x + 9 = 0;

b) x 2 + 2x = 0;

e) 4x 2 – = 0;

h) x 2 + 4x + 3 = 0;

c) 3x 2 – 3x = 0;

e) x 2 – 4x + 4 = 0;

i) x 2 + 2x – 3 = 0.

a) 0; 1

b) -2; 0

c) 0; 1

2. Metoda de selectare a unui pătrat complet.

Să ne uităm la exemple:

Pentru munca independentă.

Rezolvați ecuații pătratice folosind metoda pătratului perfect.

3. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formula.

ax 2 + inx + c = 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2akh + 2akh · 2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;

2 = la 2 – 4ac; = ± ;

Să ne uităm la exemple.

Pentru munca independentă.

Rezolvați ecuații pătratice folosind formula x 1,2 =.

4. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta (directă și inversă)

x 2 + px +q = 0 – ecuație pătratică redusă

prin teorema lui Vieta.

Dacă ecuația are două rădăcini identice în semn și aceasta depinde de coeficient.

Dacă p, atunci .

De exemplu:

Dacă ecuația are două rădăcini de semn diferit, iar rădăcina mai mare va fi dacă p și va fi dacă p.

De exemplu:

Pentru munca independentă.

Fără a rezolva ecuația pătratică, utilizați teorema inversă a lui Vieta pentru a determina semnele rădăcinilor sale:

a, b, j, l – diverse rădăcini;

c, d, h – negativ;

g, e, g, i, m – pozitiv;

5. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind metoda „aruncă”.

Pentru munca independentă.

Rezolvați ecuații pătratice folosind metoda „aruncă”.

6. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind proprietățile coeficienților săi.

I. ax 2 + bx + c = 0, unde a 0

1) Dacă a + b + c = 0, atunci x 1 = 1; x 2 =

Dovada:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Prin teorema lui Vieta

Prin condiție, a + b + c = 0, atunci b = -a – c. În continuare primim

De aici rezultă că x 1 =1; x 2 = . Q.E.D.

2) Dacă a – b + c = 0 (sau b = a + c), atunci x 1 = – 1; x 2 = –

Dovada:

Prin teorema lui Vieta

Prin condiția a – b + c = 0, adică. b = a + c. În continuare obținem:

Prin urmare x 1 = – 1; x 2 = – .

Să ne uităm la exemple.

1) 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.

a + b + c = 345 – 137 – 208 = 0

x 1 = 1; x 2 = =

2) 132 x 2 – 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.

x 1 = 1; x 2 = =

Răspuns: 1;

Pentru munca independentă.

Folosind proprietățile coeficienților unei ecuații pătratice, rezolvați ecuațiile

II. ax 2 + bx + c = 0, unde a 0

x 1,2 = . Fie b = 2k, i.e. chiar Apoi primim

x 1,2 = = = =

Să ne uităm la un exemplu:

3x 2 – 14x + 16 = 0.

D 1 = (-7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1

x 1 = = 2; x 2 =

Răspuns: 2;

Pentru munca independentă.

a) 4x 2 – 36x + 77 = 0

b) 15x 2 – 22x – 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 – 12x + 4 = 0

Răspunsuri:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = – ± 2 – q

Să ne uităm la un exemplu:

x 2 – 14x – 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 = -1; x 2 = 15.

Răspuns: -1; 15.

Pentru munca independentă.

a) x 2 – 8x – 9 = 0

b) x 2 + 6x – 40 = 0

c) x 2 + 18x + 81 = 0

d) x 2 – 56x + 64 = 0

7. Rezolvarea unei ecuații pătratice folosind grafice.

a) x 2 – 3x – 4 = 0

Raspunsul 1; 4

b) x 2 – 2x + 1 = 0

c) x 2 – 2x + 5 = 0

Răspuns: fără soluții

Pentru munca independentă.

Rezolvați grafic ecuații pătratice:

8. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind compasul și riglă.

ax 2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 și x 2 sunt rădăcini.

Fie A(0; 1), C(0;

Conform teoremei secantei:

OB · OD = OA · OS.

Prin urmare avem:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

K(; 0), unde = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Construiți punctul S(-; ) – centrul cercului și punctul A(0;1).

2) Desenați un cerc cu raza R = SA/

3) Abcisele punctelor de intersecție ale acestui cerc cu axa x sunt rădăcinile ecuației pătratice originale.

Există 3 cazuri posibile:

1) R > SK (sau R > ).

Cercul intersectează axa x în punctul B(x 1; 0) și D(x 2; 0), unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (sau R = ).

Cercul atinge axa x în direcția B 1 (x 1; 0), unde x 1 este rădăcina ecuației pătratice

ax 2 + bx + c = 0.

3) R< SK (или R < ).

Cercul nu are puncte comune cu axa x, adică. fara solutii.

1) x 2 – 2x – 3 = 0.

Centrul S(-;), adică

x 0 = = – = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) – centrul cercului.

Să desenăm un cerc (S; AS), unde A(0; 1).

9. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă

Pentru a rezolva problema, utilizați tabelele matematice cu patru cifre de V.M. Bradis (Tabelul XXII, p. 83).

Nomograma permite, fără a rezolva ecuația pătratică x 2 + px + q = 0, să se determine rădăcinile ecuației din coeficienții ei. De exemplu:

5) z 2 + 4z + 3 = 0.

Ambele rădăcini sunt negative. Prin urmare, vom face o înlocuire: z 1 = – t. Obținem o nouă ecuație:

t 2 – 4t + 3 = 0.

t1 = 1; t2 = 3

z 1 = – 1 ; z 2 = – 3.

Răspuns: – 3; - 1

6) Dacă coeficienții p și q depășesc scara, atunci se efectuează înlocuirea z = k · t și se rezolvă ecuația folosind o nomogramă: z 2 + pz + q = 0.

k 2 t 2 + p · kt + q = 0. |: k 2

k se ia cu așteptarea ca următoarele inegalități să aibă loc:

Pentru munca independentă.

y 2 + 6y – 16 = 0.

y 2 + 6y = 16, |+ 9

y 2 + 6y + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8.

Răspuns: -8; 2

Pentru munca independentă.

Rezolvați geometric ecuația y 2 – 6y – 16 = 0.

În timpul lecției se va introduce conceptul de ecuație pătratică și se vor lua în considerare cele două tipuri ale acesteia: completă și incompletă. O atenție deosebită în lecție va fi acordată varietăților de ecuații pătratice incomplete; în a doua jumătate a lecției vor fi luate în considerare multe exemple.

Subiect:Ecuații cuadratice.

Lecţie:Ecuații cuadratice. Noțiuni de bază

Definiție.Ecuație cuadratică numită ecuație a formei

Numerele reale fixe care definesc o ecuație pătratică. Aceste numere au nume specifice:

Coeficient senior (multiplicator la );

Al doilea coeficient (multiplicator la );

Termen liber (un număr fără un factor variabil).

Cometariu. Trebuie înțeles că succesiunea specificată de scriere a termenilor într-o ecuație pătratică este standard, dar nu obligatorie, iar în cazul rearanjarii lor, este necesar să se poată determina coeficienții numerici nu prin aranjarea lor ordinală, ci prin apartenență. la variabile.

Definiție. Expresia se numește trinom pătratic.

Exemplul 1. Având în vedere o ecuație pătratică . Coeficienții săi:

coeficient senior;

Al doilea coeficient (rețineți că coeficientul este indicat cu un semn înainte);

Membru gratuit.

Definiție. Dacă , atunci se numește ecuația pătratică neatins, iar dacă , atunci se numește ecuația pătratică dat.

Exemplul 2. Dați o ecuație pătratică . Să împărțim ambele părți la 2: .

Cometariu. După cum se poate observa din exemplul anterior, împărțind la coeficientul de conducere nu am schimbat ecuația, ci i-am schimbat forma (am făcut-o redusă), în mod similar ar putea fi înmulțită cu un număr diferit de zero. Astfel, ecuația pătratică nu este dată de un singur triplet de numere, dar ei spun că este specificată până la un set de coeficienți diferit de zero.

Definiție.Ecuație pătratică redusă se obține din neredus prin împărțirea la coeficientul conducător și are forma:

Sunt acceptate următoarele denumiri: . Apoi ecuație pătratică redusă are forma:

cometariu. În forma redusă a ecuației pătratice, puteți vedea că ecuația pătratică poate fi specificată cu doar două numere: .

Exemplul 2 (continuare). Să indicăm coeficienții care definesc ecuația pătratică redusă . , . Acești coeficienți sunt indicați și ținând cont de semn. Aceleași două numere definesc ecuația pătratică neredusă corespunzătoare .

cometariu. Ecuațiile pătratice nereduse și reduse corespunzătoare sunt aceleași, adică. au aceleași seturi de rădăcini.

Definiție. Unii dintre coeficienți în formă neredusă sau în formă redusă a unei ecuații pătratice pot fi zero. În acest caz, se numește ecuația pătratică incomplet. Dacă toți coeficienții sunt nenuli, atunci se numește ecuația pătratică complet.

Există mai multe tipuri de ecuații pătratice incomplete.

Dacă nu ne-am gândit încă să rezolvăm o ecuație pătratică completă, atunci putem rezolva cu ușurință una incompletă folosind metode deja cunoscute nouă.

Definiție.Rezolvați ecuația pătratică- înseamnă să găsiți toate valorile variabilei (rădăcinile ecuației) la care această ecuație se transformă într-o egalitate numerică corectă sau să stabiliți că nu există astfel de valori.

Exemplul 3. Să luăm în considerare un exemplu de acest tip de ecuații pătratice incomplete. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să eliminăm factorul comun. Putem rezolva ecuații de acest tip după următorul principiu: produsul este egal cu zero dacă și numai dacă unul dintre factori este egal cu zero, iar celălalt există pentru această valoare a variabilei. Prin urmare:

Răspuns.; .

Exemplul 4. Rezolvați ecuația.

Soluţie. 1 cale. Să factorizăm folosind formula diferenței de pătrate

, prin urmare, similar cu exemplul anterior sau .

Metoda 2. Să mutăm termenul inactiv la dreapta și să luăm rădăcina pătrată a ambelor părți.

Răspuns. .

Exemplul 5. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să mutam termenul liber la dreapta, dar , adică în ecuație, un număr nenegativ este echivalat cu un număr negativ, ceea ce nu are sens pentru nicio valoare a variabilei, prin urmare, nu există rădăcini.

Răspuns. Nu există rădăcini.

Exemplul 6.Rezolvați ecuația.

Soluţie. Împărțiți ambele părți ale ecuației la 7: .

Răspuns. 0.

Să ne uităm la exemple în care trebuie mai întâi să reduceți o ecuație pătratică la forma standard și apoi să o rezolvați.

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Pentru a reduce o ecuație pătratică la forma standard, trebuie să mutați toți termenii într-o parte, de exemplu, spre stânga și să aduceți pe alții similari.

Am obținut o ecuație pătratică incompletă, pe care deja știm să o rezolvăm, obținem că sau .

Răspuns. .

Exemplul 8 (problema cu cuvinte). Produsul a două numere naturale consecutive este de două ori pătratul celui mai mic. Găsiți aceste numere.

Soluţie. Problemele de text, de regulă, sunt rezolvate folosind următorul algoritm.

1) Întocmirea unui model matematic. În această etapă, este necesar să traduceți textul problemei în limbajul simbolurilor matematice (compuneți o ecuație).

Să notăm un prim număr natural ca necunoscut, apoi următorul (numerele consecutive) va fi . Cel mai mic dintre aceste numere este numărul , să scriem ecuația în funcție de condițiile problemei:

, Unde . A fost elaborat un model matematic.

Secțiuni