Lasa L- spațiu liniar arbitrar, a i Î L sunt elementele sale (vectorii).

Definiție 3.3.1. Expresie , Unde , - numere reale arbitrare, numite combinație liniară vectori a 1 , a 2 ,…, a n.

Dacă vectorul R = , atunci ei spun asta R descompuse în vectori a 1 , a 2 ,…, a n.

Definiție 3.3.2. O combinație liniară de vectori se numește nebanală, dacă printre numere există cel puțin unul altul decât zero. În caz contrar, se numește combinația liniară banal.

Definiția 3.3.3 . Vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt numite dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora astfel încât

= 0 .

Definiția 3.3.4. Vectorii a 1 ,a 2 ,…, a n sunt numite liniar independente dacă egalitatea = 0 posibil numai dacă toate numerele l 1, l 2,…, l n sunt simultan zero.

Rețineți că orice element diferit de zero a 1 poate fi considerat un sistem liniar independent, deoarece egalitatea l a 1 = 0 posibil doar cu condiția l= 0.

Teorema 3.3.1. O condiție necesară și suficientă pentru o dependență liniară a 1 , a 2 ,…, a n este posibilitatea de a descompune cel puțin unul dintre aceste elemente în restul.

Dovada. Nevoie. Fie elementele a 1 , a 2 ,…, a n dependent liniar. Înseamnă că = 0 , și cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, l n diferit de zero. Lăsați pentru certitudine l 1 ¹ 0. Apoi

adică elementul a 1 este descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adecvarea. Fie elementul a 1 descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n, adică a 1 = . Apoi = 0 , prin urmare, există o combinație liniară netrivială de vectori a 1 , a 2 ,…, a n egal cu 0 , deci sunt dependente liniar .

Teorema 3.3.2. Dacă cel puțin unul dintre elementele a 1 , a 2 ,…, a n zero, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.

Dovada . Lasa A n= 0 , apoi = 0 , ceea ce înseamnă dependența liniară a elementelor indicate.

Teorema 3.3.3. Dacă dintre n vectori orice p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dovada. Fie, pentru certitudine, elementele a 1 , a 2 ,…, a p dependent liniar. Aceasta înseamnă că există o combinație liniară non-trivială astfel încât = 0 . Egalitatea indicată va fi păstrată dacă adăugăm elementul la ambele părți ale acestuia. Apoi + = 0 , în timp ce cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, lp diferit de zero. Prin urmare, vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt dependente liniar.

Corolarul 3.3.1. Dacă n elemente sunt liniar independente, atunci orice k dintre ele sunt liniar independente (k< n).

Teorema 3.3.4. Dacă vectorii a 1 , a 2 ,…, a n- 1 sunt liniar independente, iar elementele a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n sunt dependente liniar, apoi vectorul A n poate fi descompus în vectori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Dovada.Întrucât prin condiția a 1 , a 2 ,…, A n- 1, a n sunt dependente liniar, atunci există o combinație liniară netrivială a acestora = 0 , și (în caz contrar, vectorii a 1 , a 2 ,…, a n- unu). Dar apoi vectorul

,

Q.E.D.

Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există astfel de numere , printre care cel puțin unul este diferit de zero, că egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Dacă această egalitate este valabilă numai dacă toți , atunci sistemul de vectori este numit liniar independent.

Teorema. Sistemul de vectori va dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți.

Exemplul 1 Polinom este o combinație liniară de polinoame https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinoamele constituie un sistem liniar independent, deoarece https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemplul 2 Sistemul matricial , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> este liniar independent, deoarece combinația liniară este egală cu matrice zero numai atunci când https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dependent liniar.

Decizie.

Compuneți o combinație liniară a acestor vectori https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" înălțime =" 22">.

Echivalând coordonatele cu același nume ale vectorilor egali, obținem https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

În sfârșit, obținem

și

Sistemul are o soluție trivială unică, astfel încât combinația liniară a acestor vectori este zero numai dacă toți coeficienții sunt zero. Prin urmare, acest sistem de vectori este liniar independent.

Exemplul 4 Vectorii sunt liniar independenți. Care vor fi sistemele de vectori

A).;

b).?

Decizie.

A). Compuneți o combinație liniară și egalați-o cu zero

Folosind proprietățile operațiilor cu vectori într-un spațiu liniar, rescriem ultima egalitate în formă

Deoarece vectorii sunt independenți liniar, coeficienții pentru trebuie să fie egali cu zero, adică gif" width="12" height="23 src=">

Sistemul de ecuații rezultat are o soluție trivială unică .

De la egalitate (*) executat doar la https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniar independent;

b). Compuneți egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicând un raționament similar, obținem

Rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Gauss, obținem

sau

Ultimul sistem are un număr infinit de soluții https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Astfel, există o non- set zero de coeficienți pentru care egalitatea (**) . Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplul 5 Sistemul vectorial este liniar independent, iar sistemul vectorial este dependent liniar..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

În egalitate (***) . Într-adevăr, pentru , sistemul ar fi dependent liniar.

Din relatie (***) primim sau Denota .

obține

Sarcini pentru rezolvare independentă (în sala de clasă)

1. Un sistem care conține un vector zero este dependent liniar.

2. Sistem vectorial unic A, este dependent liniar dacă și numai dacă, a=0.

3. Un sistem format din doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali (adică unul dintre ei se obține din celălalt prin înmulțirea cu un număr).

4. Dacă un vector este adăugat la un sistem liniar dependent, atunci se obține un sistem liniar dependent.

5. Dacă un vector este îndepărtat dintr-un sistem liniar independent, atunci sistemul de vectori rezultat este liniar independent.

6. Dacă sistemul S liniar independent, dar devine liniar dependent atunci când se adaugă un vector b, apoi vectorul b exprimată liniar în termeni de vectori ai sistemului S.

c). Sistemul de matrice , , în spațiul matricelor de ordinul doi.

10. Fie sistemul de vectori A,b,c spațiul vectorial este liniar independent. Demonstrați independența liniară a următoarelor sisteme de vectori:

A).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– număr arbitrar

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lasa A,b,c sunt trei vectori în plan care pot fi folosiți pentru a forma un triunghi. Vor fi acești vectori dependenți liniar?

12. Dați doi vectori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Mai ridicați doi vectori 4D a3 șia4 astfel încât sistemul a1,a2,a3,a4 a fost liniar independent .

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Decizie. Căutăm o soluție generală a sistemului de ecuații

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

metoda gaussiana. Pentru a face acest lucru, scriem acest sistem omogen în coordonate:

Matricea sistemului

Sistemul permis arată astfel: (r A = 2, n= 3). Sistemul este consistent și nedefinit. Soluția sa generală ( X 2 - variabilă liberă): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Prezența unei soluții private diferite de zero, de exemplu, , indică faptul că vectorii A 1 , A 2 , A 3 dependent liniar.

Exemplul 2

Aflați dacă sistemul dat de vectori este liniar dependent sau liniar independent:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Decizie. Luați în considerare sistemul omogen de ecuații A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

sau extins (prin coordonate)

Sistemul este omogen. Dacă este nedegenerat, atunci are o soluție unică. În cazul unui sistem omogen, soluția zero (trivială). Prin urmare, în acest caz sistemul de vectori este independent. Dacă sistemul este degenerat, atunci are soluții diferite de zero și, prin urmare, este dependent.

Verificarea sistemului pentru degenerare:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistemul este nedegenerat și, prin urmare, vectorii A 1 , A 2 , A 3 sunt liniar independente.

Sarcini. Aflați dacă sistemul dat de vectori este liniar dependent sau liniar independent:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Demonstrați că un sistem de vectori va fi dependent liniar dacă conține:

a) doi vectori egali;

b) doi vectori proporţionali.

Vectorii, proprietățile lor și acțiunile cu ei

Vectori, acțiuni cu vectori, spațiu vectorial liniar.

Vectorii sunt o colecție ordonată a unui număr finit de numere reale.

Acțiuni: 1. Înmulțirea unui vector cu un număr: lambda * vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Adunarea vectorilor (aparțin aceluiași spațiu vectorial) vector x + vector y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – vector n-dimensional (spațiu liniar) x + vector 0 = vector x

Teorema. Pentru ca un sistem de n vectori dintr-un spațiu liniar n-dimensional să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca unul dintre vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

Teorema. Orice set de n+ primul vector al spațiului liniar n-dimensional yavl. dependent liniar.

Adunarea vectorilor, înmulțirea vectorilor cu numere. Scăderea vectorilor.

Suma a doi vectori este vectorul direcționat de la începutul vectorului până la sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul să coincidă cu sfârșitul vectorului. Dacă vectorii sunt dați de expansiunile lor în termeni de vectori de bază, atunci prin adăugarea vectorilor se adună coordonatele lor respective.

Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul unui sistem de coordonate carteziene. Lasa

Să arătăm asta

Figura 3 arată că

Suma oricărui număr finit de vectori poate fi găsită folosind regula poligonului (Fig. 4): pentru a construi suma unui număr finit de vectori, este suficient să potriviți începutul fiecărui vector următor cu sfârșitul celui anterior. și construiți un vector care leagă începutul primului vector cu sfârșitul ultimului.

Proprietățile operației de adunare vectorială:

În aceste expresii m, n sunt numere.

Diferența de vectori se numește vector.Al doilea termen este un vector opus vectorului ca direcție, dar egal cu acesta ca lungime.

Astfel, operația de scădere vectorială este înlocuită cu operația de adunare

Vectorul, al cărui început se află la originea coordonatelor, iar sfârșitul în punctul A (x1, y1, z1), se numește vectorul rază al punctului A și se notează sau pur și simplu. Deoarece coordonatele sale coincid cu coordonatele punctului A, expansiunea sa în termeni de vectori are forma

Un vector care începe în punctul A(x1, y1, z1) și se termină în punctul B(x2, y2, z2) poate fi scris ca

unde r 2 este vectorul rază al punctului B; r 1 - vectorul rază a punctului A.

Prin urmare, expansiunea vectorului în termeni de orte are forma

Lungimea sa este egală cu distanța dintre punctele A și B

MULTIPLICARE

Deci, în cazul unei probleme plate, produsul unui vector prin a = (ax; ay) și un număr b se găsește prin formula

a b = (ax b; ay b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2) cu 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Deci, în cazul unei probleme spațiale, produsul vectorului a = (ax; ay; az) și numărul b se găsește prin formula

a b = (ax b; ay b; az b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2; -5) cu 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Produsul scalar al vectorilor și unde este unghiul dintre vectorii si ; dacă oricare, atunci

Din definiția produsului scalar rezultă că

unde, de exemplu, este valoarea proiecției vectorului pe direcția vectorului .

Patratul scalar al unui vector:

Proprietățile produsului punct:

Punctează produsul în coordonate

În cazul în care un apoi

Unghiul dintre vectori

Unghiul dintre vectori - unghiul dintre direcțiile acestor vectori (unghiul cel mai mic).

Produs vectorial (Produsul vectorial al doi vectori.)- este un pseudovector perpendicular pe planul construit de doi factori, care este rezultatul operației binare „înmulțire vectorială” pe vectori din spațiul euclidian tridimensional. Produsul nu este nici comutativ, nici asociativ (este anticomutativ) și este diferit de produsul scalar al vectorilor. În multe probleme de inginerie și fizică, este necesar să se poată construi un vector perpendicular pe două existente - produsul vectorial oferă această oportunitate. Produsul încrucișat este util pentru „măsurarea” perpendicularității vectorilor - lungimea produsului încrucișat a doi vectori este egală cu produsul lungimii lor dacă sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.

Produsul vectorial este definit numai în spații tridimensionale și șapte-dimensionale. Rezultatul produsului vectorial, ca și produsul scalar, depinde de metrica spațiului euclidian.

Spre deosebire de formula pentru calcularea produsului scalar din coordonatele vectorilor dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular tridimensional, formula pentru produsul vectorial depinde de orientarea sistemului de coordonate dreptunghiulare sau, cu alte cuvinte, de „chiralitatea” acestuia.

Coliniaritatea vectorilor.

Doi vectori nenuli (nu egali cu 0) sunt numiți coliniari dacă se află pe drepte paralele sau pe aceeași linie. Permitem, dar nu recomandam, un sinonim - vectori „paraleli”. Vectorii coliniari pot fi dirijați în aceeași direcție („co-direcționați”) sau direcționați opus (în acest din urmă caz ​​sunt uneori numiți „anticoliniari” sau „antiparaleli”).

Produsul mixt al vectorilor ( a,b,c)- produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial al vectorilor b și c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

uneori se numește produsul punctual triplu al vectorilor, aparent datorită faptului că rezultatul este un scalar (mai precis, un pseudoscalar).

Semnificație geometrică: Modulul produsului mixt este numeric egal cu volumul paralelipipedului format de vectori (a,b,c) .

Proprietăți

Un produs mixt este simetric oblic în raport cu toate argumentele sale: adică e. o permutare a oricăror doi factori modifică semnul produsului. Rezultă că produsul mixt în sistemul de coordonate carteziene drept (în bază ortonormală) este egal cu determinantul matricei compuse din vectori și:

Produsul mixt din sistemul de coordonate carteziene din stânga (în bază ortonormală) este egal cu determinantul unei matrice compusă din vectori și luată cu semnul minus:

În special,

Dacă oricare doi vectori sunt paraleli, atunci cu oricare al treilea vector formează un produs mixt egal cu zero.

Dacă trei vectori sunt dependenți liniar (adică, coplanari, se află în același plan), atunci produsul lor mixt este zero.

Sensul geometric - Produsul mixt în valoare absolută este egal cu volumul paralelipipedului (vezi figura) format din vectori și; semnul depinde dacă acest triplu de vectori este dreapta sau stânga.

Complanaritatea vectorilor.

Trei vectori (sau mai mulți) se numesc coplanari dacă ei, reducându-se la o origine comună, se află în același plan.

Proprietăți de complementaritate

Dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci cei trei vectori sunt de asemenea considerați coplanari.

Un triplu de vectori care conțin o pereche de vectori coliniari este coplanar.

Produs mixt al vectorilor coplanari. Acesta este un criteriu pentru coplanaritatea a trei vectori.

Vectorii coplanari sunt dependenți liniar. Acesta este, de asemenea, un criteriu de coplanaritate.

În spațiul tridimensional, 3 vectori necoplanari formează o bază

Vectori liniar dependenți și liniar independenți.

Sisteme de vectori liniar dependente și independente.Definiție. Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există cel puțin o combinație liniară netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero. Altfel, i.e. dacă doar o combinație liniară trivială de vectori dați este egală cu vectorul nul, vectorii sunt numiți liniar independent.

Teoremă (criteriul dependenței liniare). Pentru ca un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre acești vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

1) Dacă există cel puțin un vector zero printre vectori, atunci întregul sistem de vectori este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă, de exemplu, , atunci, presupunând , avem o combinație liniară netrivială .▲

2) Dacă unii dintre vectori formează un sistem dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Într-adevăr, fie vectorii , , dependenți liniar. Prin urmare, există o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero. Dar apoi, presupunând , obținem și o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero.

2. Baza și dimensiunea. Definiție. Sistem de vectori liniar independenți se numește spațiu vectorial bază acest spațiu, dacă orice vector din poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori ai acestui sistem, i.e. pentru fiecare vector există numere reale astfel încât egalitatea este valabilă.Această egalitate se numește descompunere vectorialăîn funcție de bază și de numere numit coordonate vectoriale relativ la bază(sau în bază) .

Teorema (cu privire la unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei). Fiecare vector spațial poate fi extins din punct de vedere al bazei într-un mod unic, adică coordonatele fiecărui vector din bază sunt definite fără ambiguitate.

Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În public există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar astăzi fiecare vizitator va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va atinge simultan două secțiuni de matematică superioară și vom vedea cum se înțeleg într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă Twix! ... la naiba, ei bine, argumentând prostii. Deși bine, nu voi înscrie, în final, ar trebui să existe o atitudine pozitivă de a studia.

Dependența liniară a vectorilor, independența liniară a vectorilor, baza vectoriala iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul meteo, pentru care tocmai am fost la Gismeteo: - temperatura, respectiv presiunea atmosferica. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) sunt aplicabili tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar exemplele vor fi date geometric. Astfel, totul este simplu, accesibil și vizual. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva sarcini tipice ale algebrei. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineși Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Luați în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, blatul mesei are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv clar că sunt necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Pe baza alese setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor elementelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător al mâinii stângi pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic al mâinii drepte pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce se poate spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în lecție. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul mesei computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, în timp ce un avion are o lungime și o lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. în ecuațiile, expresiile matematice. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar nu sunt dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este primită. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „oblică” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale extins din punct de vedere al bazei:
, unde sunt numerele reale . Se numesc numere coordonate vectorialeîn această bază.

Ei spun si asta vectorprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăbază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, puteți spune că un vector este extins pe o bază ortonormală a planului sau puteți spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definiția de bază oficial: pe bază de avion este o pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice vectorul plan este o combinație liniară a vectorilor de bază.

Punctul esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. bazele Acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu poate fi mutat în locul degetului mic al mâinii drepte.

Ne-am dat seama de bază, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe întregul plan. Deci, cum atribui coordonatele acelor puncte mici murdare de tabel rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de punct de referință este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Înțelegerea sistemului de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva dintre diferențele dintre un sistem de coordonate dreptunghiular și o bază ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbim despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea înseamnă originea, axele de coordonate și scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” în motorul de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să trasați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se are impresia că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi bine definit în termeni de bază ortonormală. Și aproape că este. Formularea sună astfel:

origine, și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al planului . Adică un sistem de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea, vedeți desenul pe care l-am dat mai sus - în problemele geometrice, atât vectorii, cât și axele de coordonate sunt adesea (dar nu întotdeauna) desenate.

Cred că toată lumea înțelege asta cu ajutorul unui punct (origine) și a unei baze ortonormale ORICE PUNCT al planului și ORICE VECTOR al planului pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul din avion poate fi numerotat”.

Vectorii de coordonate trebuie să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali de lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori definește grila de coordonate, iar orice punct al planului, orice vector are propriile coordonate în baza dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unu, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, se consideră unități de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul abscisei conține 4 cm, o unitate de-a lungul ordonatei conține 2 cm. Aceste informații sunt suficiente pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”, dacă este necesar.

Și a doua întrebare, la care de fapt s-a răspuns deja - este necesar ca unghiul dintre vectorii de bază să fie de 90 de grade? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, și necoliniare vectori, , a stabilit sistemul de coordonate afín al planului :

Uneori se numește acest sistem de coordonate oblic sistem. Punctele și vectorii sunt prezentate ca exemple în desen:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil, formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, pe care le-am considerat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el. Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz particular al unui sistem de coordonate afine este sistemul dreptunghiular cartezian. Prin urmare, ea, a ei, cel mai adesea trebuie văzută. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există multe situații în care este potrivit să aveți un oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, și umanoizii astfel de sisteme pot veni la gust =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru un sistem de coordonate dreptunghiular, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este disponibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani sunt coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor respective să fie proporționale.În esență, aceasta este o rafinare coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Decizie:
a) Aflați dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să întocmești imediat o proporție și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută și invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotestare, se poate folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, există egalități . Valabilitatea lor poate fi verificată cu ușurință prin operații elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Compuneți proporția din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, prin urmare, acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, recenzenții nu resping această opțiune, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să rezolvi proporția aici? (Serios, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

La ce valoare a vectorilor parametri va fi coliniar?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm doar ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani, următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este egal cu zero.

Sper foarte, foarte mult că în acest moment înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile care au apărut.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a utiliza această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Vom decide Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor :
, deci acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul compus din coordonatele vectorilor :
, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Pare mult mai compact și mai frumos decât soluția cu proporții.

Cu ajutorul materialului considerat, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și să se demonstreze paralelismul segmentelor, liniilor drepte. Luați în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să construiți un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Amintiți-vă definiția paralelogramului:
Paralelogram Se numește patrulater, în care laturile opuse sunt paralele pe perechi.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și .

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („conform școlii” - vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să iei decizia corect, cu aranjamentul. Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:
, deci acești vectori sunt coliniari și .

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele pe perechi, deci este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți o definiție a unui trapez, dar este suficient doar să vă amintiți cum arată.

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Soluție completă la sfârșitul lecției.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale cu.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

A) ;
b)
în)

Decizie:
a) Verificați dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se face prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali și printr-un determinant de ordinul trei, această metodă este tratată în articol Produsul încrucișat al vectorilor.

La fel ca în cazul planului, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor și liniilor spațiale.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor spațiali tridimensionali.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre regularitățile pe care le-am luat în considerare în avion vor fi valabile și pentru spațiu. Am încercat să minimizez rezumatul teoriei, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul mesei computerului, să examinăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, sunt necesari trei vectori spațiali pentru a construi baza. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să vă întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu trebuie să demonstrați acest lucru profesorilor, indiferent de cum vă răsuciți degetele, dar nu puteți scăpa de definiții =)

În continuare, punem o întrebare importantă, dacă oricare trei vectori formează o bază a unui spațiu tridimensional? Vă rugăm să apăsați cu trei degete ferm pe blatul mesei computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre măsurători - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, destul de evident, că baza spațiului tridimensional nu este creată.

De remarcat că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali s-a desprins așa =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele. Aici este logic să adăugăm că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, imaginați-vă din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu sunt în niciun fel exprimate unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza unui spațiu tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, în timp ce orice vector al spațiului singura cale se extinde în baza dată, unde sunt coordonatele vectorului în baza dată

Ca reamintire, puteți spune, de asemenea, că un vector este reprezentat ca combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca și pentru cazul plan, un punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:

origine, și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite să categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar cu planul, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa în sistemul de coordonate afine al spațiului.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, după cum toată lumea poate ghici, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

punct din spațiu numit origine, și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al spațiului . poza familiara:

Înainte de a trece la sarcinile practice, sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Afirmațiile opuse, cred, sunt de înțeles.

Dependența liniară/independența vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind determinantul (articolul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să atârnați un băț geometric pe un cui și să mânuiți o bâtă de baseball algebră liniară:

Trei vectori spațiali sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba de aici - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate că sunt deloc prost orientați, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza unui spațiu tridimensional:

Decizie: De fapt, întreaga soluție se rezumă la calcularea determinantului.

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor (determinantul este extins pe prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza unui spațiu tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează baza

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Decizie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:

În esență, trebuie să rezolvați o ecuație cu un determinant. Zburăm în zerouri ca zmeele în jerboas - cel mai profitabil este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru aceasta trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul original și să vă asigurați că prin redeschiderea acestuia.

În concluzie, să luăm în considerare o altă problemă tipică, care este mai mult de natură algebrică și este inclusă în mod tradițional în cursul algebrei liniare. Este atât de răspândită încât merită un subiect separat:

Demonstrați că 3 vectori formează baza unui spațiu tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în baza dată

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază a spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Decizie: Să ne ocupăm mai întâi de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este baza - nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și primul pas este exact același cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:

Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:

, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază a unui spațiu tridimensional.

! Important : coordonate vectoriale neapărat scrie în coloane determinant, nu șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.