Teoria progresiei aritmetice și geometrice. Formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice
Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru
Secvență numerică
Așa că hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:
Secvență numerică este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.
De exemplu, pentru secvența noastră:
Numărul atribuit este specific unui singur număr de secvență. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.
De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .
În cazul nostru:
Cele mai comune tipuri de progresie sunt aritmetice și geometrice. În acest subiect, vom vorbi despre al doilea tip - progresie geometrică.
De ce avem nevoie de o progresie geometrică și de istoria ei.
Chiar și în cele mai vechi timpuri, matematicianul italian, călugărul Leonardo din Pisa (mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci), s-a ocupat de nevoile practice ale comerțului. Călugărul s-a confruntat cu sarcina de a determina care este cel mai mic număr de greutăți care poate fi folosit pentru cântărirea mărfurilor? În scrierile sale, Fibonacci demonstrează că un astfel de sistem de ponderi este optim: Aceasta este una dintre primele situații în care oamenii au avut de-a face cu o progresie geometrică, despre care probabil ați auzit și despre care aveți cel puțin o idee generală. Odată ce ați înțeles pe deplin subiectul, gândiți-vă de ce un astfel de sistem este optim?
În prezent, în practica de viață, o progresie geometrică se manifestă la investirea banilor într-o bancă, când se percepe suma dobânzii la suma acumulată în cont pentru perioada anterioară. Cu alte cuvinte, dacă puneți bani pe un depozit la termen într-o bancă de economii, atunci într-un an depozitul va crește cu de la suma inițială, adică. noua sumă va fi egală cu contribuția înmulțită cu. Într-un alt an, această sumă va crește cu, i.е. suma obţinută în acel moment se înmulţeşte din nou cu şi aşa mai departe. O situație similară este descrisă în problemele de calcul așa-numitele interes compus- procentul se ia de fiecare data din suma care se afla in cont, tinand cont de dobanda anterioara. Despre aceste sarcini vom vorbi puțin mai târziu.
Există multe mai multe cazuri simple în care se aplică o progresie geometrică. De exemplu, răspândirea gripei: o persoană a infectat o persoană, ea, la rândul său, a infectat o altă persoană și, prin urmare, al doilea val de infecție - o persoană și ei, la rândul lor, au infectat o alta ... și așa mai departe. .
Apropo, o piramidă financiară, același MMM, este un calcul simplu și uscat în funcție de proprietățile unei progresii geometrice. Interesant? Să ne dăm seama.
Progresie geometrică.
Să presupunem că avem o secvență de numere:
Veți răspunde imediat că este ușor și numele unei astfel de secvențe este cu diferența dintre membrii ei. Ce zici de asa ceva:
Dacă scadeți numărul anterior din următorul număr, atunci veți vedea că de fiecare dată când obțineți o nouă diferență (și așa mai departe), dar succesiunea există cu siguranță și este ușor de observat - fiecare număr următor este de ori mai mare decât cel anterior !
Acest tip de secvență se numește progresie geometrică si este marcat.
O progresie geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.
Constrângerile conform cărora primul termen ( ) nu este egal și nu sunt aleatorii. Să spunem că nu există, iar primul termen este încă egal, iar q este, hmm .. să, atunci rezultă:
De acord că aceasta nu este o progresie.
După cum înțelegeți, vom obține aceleași rezultate dacă este orice număr, altul decât zero, dar. În aceste cazuri, pur și simplu nu va exista o progresie, deoarece întreaga serie de numere va fi fie toate zerourile, fie un număr și toate restul zerouri.
Acum să vorbim mai detaliat despre numitorul unei progresii geometrice, adică despre.
Să repetăm: - acesta este un număr, de câte ori se schimbă fiecare termen ulterior progresie geometrică.
Ce crezi că ar putea fi? Așa este, pozitiv și negativ, dar nu zero (am vorbit despre asta puțin mai sus).
Să spunem că avem un pozitiv. Să fie în cazul nostru, a. Care este al doilea termen și? Puteți răspunde cu ușurință:
În regulă. În consecință, dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei au același semn - ei pozitiv.
Dacă este negativ? De exemplu, a. Care este al doilea termen și?
Este o cu totul altă poveste
Încercați să numărați termenul acestei progresii. Cât ai primit? Eu am. Astfel, dacă, atunci alternează semnele termenilor progresiei geometrice. Adică, dacă vedeți o progresie cu semne alternante în membrii săi, atunci numitorul ei este negativ. Aceste cunoștințe vă pot ajuta să vă testați atunci când rezolvați probleme pe această temă.
Acum să exersăm puțin: încercați să determinați care secvențe numerice sunt o progresie geometrică și care sunt una aritmetică:
Am înţeles? Comparați răspunsurile noastre:
- Progresie geometrică - 3, 6.
- Progresie aritmetică - 2, 4.
- Nu este nici o progresie aritmetică, nici geometrică - 1, 5, 7.
Să revenim la ultima noastră progresie și să încercăm să-i găsim termenul în același mod ca în aritmetică. După cum probabil ați ghicit, există două moduri de a-l găsi.
Înmulțim succesiv fiecare termen cu.
Deci, al-lea membru al progresiei geometrice descrise este egal cu.
După cum ghiciți deja, acum voi înșivă veți obține o formulă care vă va ajuta să găsiți orice membru al unei progresii geometrice. Sau l-ai scos deja pentru tine, descriind cum să-l găsești pe al-lea membru în etape? Dacă da, atunci verificați corectitudinea raționamentului dvs.
Să ilustrăm acest lucru prin exemplul găsirii celui de-al-lea membru al acestei progresii:
Cu alte cuvinte:
Găsiți-vă valoarea unui membru al unei progresii geometrice date.
S-a întâmplat? Comparați răspunsurile noastre:
Atenție că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am înmulțit succesiv cu fiecare membru anterior al progresiei geometrice.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - o aducem într-o formă generală și obținem:
Formula derivată este adevărată pentru toate valorile - atât pozitive, cât și negative. Verificați-l singur calculând termenii unei progresii geometrice cu următoarele condiții: , a.
ai numarat? Să comparăm rezultatele:
Sunteți de acord că ar fi posibil să găsiți un membru al progresiei în același mod ca un membru, totuși, există posibilitatea de a calcula greșit. Și dacă am găsit deja al treilea termen al unei progresii geometrice, a, atunci ce ar putea fi mai ușor decât să folosim partea „trunchiată” a formulei.
O progresie geometrică infinit descrescătoare.
Mai recent, am vorbit despre ceea ce poate fi fie mai mare, fie mai mic decât zero, cu toate acestea, există valori speciale pentru care se numește progresia geometrică în scădere infinit.
De ce crezi că are un astfel de nume?
Pentru început, să scriem o progresie geometrică formată din membri.
Sa zicem, atunci:
Vedem că fiecare termen ulterior este mai mic decât cel anterior în timp, dar va fi vreun număr? Răspunzi imediat - „nu”. De aceea, infinit descrescătoare - scade, scade, dar nu devine niciodată zero.
Pentru a înțelege clar cum arată vizual, să încercăm să desenăm un grafic al progresiei noastre. Deci, pentru cazul nostru, formula ia următoarea formă:
Pe grafice, suntem obișnuiți să construim dependență de:
Esența expresiei nu s-a schimbat: în prima intrare, am arătat dependența valorii unui membru de progresie geometrică de numărul său ordinal, iar în a doua intrare, am luat pur și simplu valoarea unui membru de progresie geometrică pentru, și numărul ordinal a fost desemnat nu ca, ci ca. Tot ce rămâne de făcut este să trasezi graficul.
Să vedem ce ai. Iată graficul pe care l-am primit:
Vedea? Funcția scade, tinde spre zero, dar nu o traversează niciodată, deci este în scădere infinit. Să ne marchem punctele pe grafic și, în același timp, ce înseamnă și coordonatele:
Încercați să descrieți schematic un grafic al unei progresii geometrice dacă primul său termen este, de asemenea, egal. Analizați care este diferența cu graficul nostru anterior?
Ai reușit? Iată graficul pe care l-am primit:
Acum că ați înțeles pe deplin elementele de bază ale subiectului progresiei geometrice: știți ce este, știți cum să-i găsiți termenul și, de asemenea, știți ce este o progresie geometrică infinit descrescătoare, să trecem la proprietatea sa principală.
proprietatea unei progresii geometrice.
Vă amintiți proprietatea membrilor unei progresii aritmetice? Da, da, cum să găsiți valoarea unui anumit număr al unei progresii atunci când există valori anterioare și ulterioare ale membrilor acestei progresii. Amintit? Acest:
Acum ne confruntăm cu exact aceeași întrebare pentru termenii unei progresii geometrice. Pentru a obține o astfel de formulă, să începem să desenăm și să raționăm. O să vezi, este foarte ușor, iar dacă uiți, îl poți scoate singur.
Să luăm o altă progresie geometrică simplă, în care cunoaștem și. Cum să găsești? Cu o progresie aritmetică, acest lucru este ușor și simplu, dar cum este aici? De fapt, nici în geometrie nu este nimic complicat - trebuie doar să pictezi fiecare valoare dată nouă conform formulei.
Întrebați, și acum ce facem cu el? Da, foarte simplu. Pentru început, să descriem aceste formule în figură și să încercăm să facem diverse manipulări cu ele pentru a ajunge la o valoare.
Facem abstracție de la numerele pe care ni le sunt date, ne vom concentra doar pe exprimarea lor printr-o formulă. Trebuie să găsim valoarea evidențiată în portocaliu, cunoscând termenii adiacente acesteia. Să încercăm să efectuăm diverse acțiuni cu ei, în urma cărora putem obține.
Plus.
Să încercăm să adăugăm două expresii și obținem:
Din această expresie, după cum puteți vedea, nu vom putea exprima în niciun fel, prin urmare, vom încerca o altă opțiune - scăderea.
Scădere.
După cum puteți vedea, nu putem exprima nici din aceasta, prin urmare, vom încerca să înmulțim aceste expresii unele cu altele.
Multiplicare.
Acum priviți cu atenție ce avem, înmulțind termenii unei progresii geometrice date nouă în comparație cu ceea ce trebuie găsit:
Ghici despre ce vorbesc? În mod corect, pentru a-l găsi, trebuie să luăm rădăcina pătrată a numerelor de progresie geometrică adiacente numărului dorit înmulțite între ele:
Bine. Tu însuți ai dedus proprietatea unei progresii geometrice. Încercați să scrieți această formulă în formă generală. S-a întâmplat?
Ați uitat starea când? Gândiți-vă de ce este important, de exemplu, încercați să îl calculați singur, la. Ce se întâmplă în acest caz? Așa e, prostie totală, deoarece formula arată așa:
În consecință, nu uitați de această limitare.
Acum să calculăm ce este
Răspuns corect - ! Dacă nu ai uitat cea de-a doua valoare posibilă la calcul, atunci ești un tip grozav și poți trece imediat la antrenament, iar dacă ai uitat, citește ce este analizat mai jos și fii atent la motivul pentru care ambele rădăcini trebuie să fie scrise în răspuns .
Să desenăm ambele progresii geometrice - una cu o valoare, iar cealaltă cu o valoare și să verificăm dacă ambele au dreptul de a exista:
Pentru a verifica dacă o astfel de progresie geometrică există sau nu, este necesar să vedem dacă este aceeași între toți membrii ei dați? Calculați q pentru primul și al doilea caz.
Vedeți de ce trebuie să scriem două răspunsuri? Pentru că semnul termenului cerut depinde dacă este pozitiv sau negativ! Și din moment ce nu știm ce este, trebuie să scriem ambele răspunsuri cu un plus și un minus.
Acum că ați stăpânit punctele principale și ați dedus formula proprietății unei progresii geometrice, găsiți, știind și
Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte:
Ce credeți, dacă ni s-ar da nu valorile membrilor progresiei geometrice adiacente numărului dorit, ci echidistante de acesta. De exemplu, trebuie să găsim, și dat și. Putem folosi formula pe care am derivat-o în acest caz? Încercați să confirmați sau să infirmați această posibilitate în același mod, descriind în ce constă fiecare valoare, așa cum ați făcut atunci când ați derivat formula inițial.
Ce ai primit?
Acum uită-te din nou cu atenție.
si corespunzator:
Din aceasta putem concluziona că formula funcționează nu numai cu vecinii cu termenii doriti ai unei progresii geometrice, dar si cu echidistant din ceea ce caută membrii.
Astfel, formula noastră originală devine:
Adică dacă în primul caz am spus asta, acum spunem că poate fi egal cu orice număr natural care este mai mic. Principalul lucru este să fie același pentru ambele numere date.
Exersează pe exemple specifice, doar fii extrem de atent!
- , . A găsi.
- , . A găsi.
- , . A găsi.
M-am decis? Sper că ați fost extrem de atenți și ați observat o mică captură.
Comparăm rezultatele.
În primele două cazuri, aplicăm cu calm formula de mai sus și obținem următoarele valori:
În al treilea caz, luând în considerare cu atenție numerele de serie ale numerelor care ni s-au dat, înțelegem că acestea nu sunt echidistante față de numărul pe care îl căutăm: este numărul anterior, dar scos în poziție, deci nu este posibil. pentru a aplica formula.
Cum să o rezolv? De fapt, nu este atât de dificil pe cât pare! Să scriem împreună cu tine în ce constă fiecare număr dat nouă și numărul dorit.
Deci avem și. Să vedem ce putem face cu ei. Sugerez despartirea. Primim:
Înlocuim datele noastre în formula:
Următorul pas îl putem găsi - pentru aceasta trebuie să luăm rădăcina cubă a numărului rezultat.
Acum să ne uităm din nou la ceea ce avem. Avem, dar trebuie să găsim și, la rândul său, este egal cu:
Am găsit toate datele necesare pentru calcul. Inlocuieste in formula:
Raspunsul nostru: .
Încercați să rezolvați singur o altă problemă:
Dat: ,
A găsi:
Cât ai primit? Eu am - .
După cum puteți vedea, de fapt, aveți nevoie amintiți-vă doar o singură formulă- . Tot restul le puteți retrage fără nicio dificultate în orice moment. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scrieți cea mai simplă progresie geometrică pe o bucată de hârtie și notați cu ce, conform formulei de mai sus, este egal cu fiecare dintre numerele sale.
Suma termenilor unei progresii geometrice.
Acum luați în considerare formulele care ne permit să calculăm rapid suma termenilor unei progresii geometrice într-un interval dat:
Pentru a obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite, înmulțim toate părțile ecuației de mai sus cu. Primim:
Privește atent: ce au în comun ultimele două formule? Așa este, membri comuni, de exemplu și așa mai departe, cu excepția primului și ultimului membru. Să încercăm să scădem prima ecuație din a doua ecuație. Ce ai primit?
Acum exprimați prin formula unui membru al unei progresii geometrice și înlocuiți expresia rezultată în ultima noastră formulă:
Grupați expresia. Ar trebui să iei:
Tot ce rămâne de făcut este să exprime:
În consecință, în acest caz.
Ce-ar fi dacă? Ce formulă funcționează atunci? Imaginați-vă o progresie geometrică la. Cum este ea? În mod corect, o serie de numere identice, respectiv, formula va arăta astfel:
Ca și în cazul progresiei aritmetice și geometrice, există multe legende. Una dintre ele este legenda lui Seth, creatorul șahului.
Mulți oameni știu că jocul de șah a fost inventat în India. Când regele hindus a întâlnit-o, a fost încântat de inteligența ei și de varietatea de poziții posibile în ea. Aflând că a fost inventat de unul dintre supușii săi, regele a decis să-l recompenseze personal. L-a chemat pe inventator la el și a ordonat să-i ceară tot ce vrea, promițându-i că-i va îndeplini și cea mai pricepută dorință.
Seta a cerut timp să se gândească, iar când a doua zi Seta a apărut în fața regelui, acesta l-a surprins pe rege cu modestia fără egal a cererii sale. A cerut un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, grâu pentru al doilea, pentru al treilea, pentru al patrulea și așa mai departe.
Regele s-a supărat și l-a alungat pe Set, spunând că cererea slujitorului este nedemnă de generozitatea regală, dar a promis că slujitorul își va primi boabele pentru toate celulele consiliului.
Și acum întrebarea este: folosind formula pentru suma membrilor unei progresii geometrice, calculați câte boabe ar trebui să primească Seth?
Să începem să discutăm. Întrucât, conform condiției, Seth a cerut un bob de grâu pentru prima celulă a tablei de șah, pentru a doua, pentru a treia, pentru a patra etc., vedem că problema este despre o progresie geometrică. Ce este egal în acest caz?
Corect.
Total celule ale tablei de șah. Respectiv, . Avem toate datele, rămâne doar să înlocuim în formulă și să calculăm.
Pentru a reprezenta cel puțin aproximativ „scalele” unui număr dat, transformăm folosind proprietățile gradului:
Desigur, dacă vrei, poți să iei un calculator și să calculezi cu ce fel de număr ajungi, iar dacă nu, va trebui să mă crezi pe cuvânt: valoarea finală a expresiei va fi.
adica:
quintilioane cvadrilioane trilioane miliarde de milioane de mii.
Fuh) Dacă doriți să vă imaginați enormitatea acestui număr, atunci estimați ce dimensiune ar fi hambară necesară pentru a găzdui întreaga cantitate de cereale.
Cu o înălțime de hambar de m și o lățime de m, lungimea sa ar trebui să se extindă la km, adică. de două ori mai departe decât de la Pământ la Soare.
Dacă regele ar fi puternic la matematică, i-ar putea oferi însuși savantului să numere boabele, pentru că pentru a număra un milion de boabe, ar avea nevoie de cel puțin o zi de numărare neobosită și, având în vedere că este necesar să numere chintilioanele, boabele ar trebui să fie numărate toată viața.
Și acum vom rezolva o problemă simplă pe suma termenilor unei progresii geometrice.
Vasya, elev în clasa a V-a, s-a îmbolnăvit de gripă, dar continuă să meargă la școală. În fiecare zi, Vasya infectează două persoane care, la rândul lor, infectează încă două persoane și așa mai departe. Doar o singură persoană în clasă. În câte zile toată clasa se va îmbolnăvi de gripă?
Deci, primul membru al unei progresii geometrice este Vasya, adică o persoană. Al-lea membru al progresiei geometrice, acestea sunt cele două persoane pe care le-a infectat în prima zi a sosirii. Suma totală a membrilor progresiei este egală cu numărul de elevi 5A. În consecință, vorbim despre o progresie în care:
Să substituim datele noastre în formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice:
Întreaga clasă se va îmbolnăvi în câteva zile. Nu crezi în formule și numere? Încercați să înfățișați singur „infecția” studenților. S-a întâmplat? Vezi cum arată pentru mine:
Calculați singur în câte zile ar lua studenții gripa dacă toată lumea ar infecta o persoană și ar fi o persoană în clasă.
Ce valoare ai primit? S-a dovedit că toată lumea a început să se îmbolnăvească după o zi.
După cum puteți vedea, o astfel de sarcină și desenul pentru ea seamănă cu o piramidă, în care fiecare „aduce” ulterior oameni noi. Totuși, mai devreme sau mai târziu vine un moment în care acesta din urmă nu poate atrage pe nimeni. În cazul nostru, dacă ne imaginăm că clasa este izolată, persoana din închide lanțul (). Astfel, dacă o persoană ar fi implicată într-o piramidă financiară în care s-au dat bani dacă ai aduce alți doi participanți, atunci persoana respectivă (sau în cazul general) nu ar aduce pe nimeni, respectiv, ar pierde tot ce a investit în această înșelătorie financiară. .
Tot ce s-a spus mai sus se referă la o progresie geometrică în scădere sau în creștere, dar, după cum vă amintiți, avem un tip special - o progresie geometrică în scădere infinit. Cum se calculează suma membrilor săi? Și de ce acest tip de progresie are anumite caracteristici? Să ne dăm seama împreună.
Deci, pentru început, să ne uităm din nou la această imagine a unei progresii geometrice în scădere infinită din exemplul nostru:
Și acum să ne uităm la formula pentru suma unei progresii geometrice, derivată puțin mai devreme:
sau
Pentru ce ne străduim? Așa e, graficul arată că tinde spre zero. Adică când, va fi aproape egală, respectiv, la calcularea expresiei, vom obține aproape. În acest sens, credem că atunci când se calculează suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, această paranteză poate fi neglijată, deoarece va fi egală.
- formula este suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma fără sfârşit numarul de membri.
Dacă este indicat un anumit număr n, atunci folosim formula pentru suma n termeni, chiar dacă sau.
Și acum să exersăm.
- Aflați suma primilor termeni ai unei progresii geometrice cu și.
- Aflați suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu și.
Sper că ai fost foarte atent. Comparați răspunsurile noastre:
Acum știi totul despre progresia geometrică și este timpul să treci de la teorie la practică. Cele mai frecvente probleme exponențiale găsite la examen sunt problemele de interes compus. Despre ei vom vorbi.
Probleme pentru calcularea dobânzii compuse.
Trebuie să fi auzit de așa-numita formulă a dobânzii compuse. Înțelegi ce vrea să spună? Dacă nu, să ne dăm seama, pentru că, după ce ați realizat procesul în sine, veți înțelege imediat ce are de-a face progresia geometrică cu el.
Mergem cu toții la bancă și știm că există condiții diferite pentru depozite: acesta este termenul și întreținerea suplimentară și dobânda cu două moduri diferite de calcul - simplu și complex.
Cu interes simplu totul este mai mult sau mai puțin clar: dobânda se percepe o singură dată la sfârșitul termenului de depozit. Adică, dacă vorbim despre punerea sub 100 de ruble pe an, atunci acestea vor fi creditate abia la sfârșitul anului. În consecință, până la sfârșitul depozitului, vom primi ruble.
Interes compus este o opţiune în care capitalizarea dobânzii, adică adăugarea acestora la suma depozitului și calculul ulterior al venitului nu din suma inițială, ci din suma acumulată a depozitului. Capitalizarea nu are loc constant, ci cu o oarecare periodicitate. De regulă, astfel de perioade sunt egale și cel mai adesea băncile folosesc o lună, un trimestru sau un an.
Să presupunem că punem toate aceleași ruble pe an, dar cu o capitalizare lunară a depozitului. Ce primim?
Înțelegi totul aici? Dacă nu, hai să o luăm pas cu pas.
Am adus ruble la bancă. Până la sfârșitul lunii, ar trebui să avem în cont o sumă constând din rublele noastre plus dobânda pentru ele, adică:
Sunt de acord?
O putem scoate din paranteză și apoi obținem:
De acord, această formulă este deja mai asemănătoare cu cea pe care am scris-o la început. Rămâne să ne ocupăm de procente
În starea problemei, ni se spune despre anual. După cum știți, nu înmulțim cu - convertim procentele în zecimale, adică:
Dreapta? Acum te întrebi, de unde a venit numărul? Foarte simplu!
Repet: starea problemei spune despre ANUAL dobânda acumulată LUNAR. După cum știți, într-un an de luni, respectiv, banca ne va percepe o parte din dobânda anuală pe lună:
Realizat? Acum, încercați să scrieți cum ar arăta această parte a formulei dacă aș spune că dobânda se calculează zilnic.
Ai reușit? Să comparăm rezultatele:
Foarte bine! Să revenim la sarcina noastră: notați cât va fi creditat în contul nostru pentru a doua lună, ținând cont că se percepe dobândă la suma acumulată a depozitului.
Iată ce mi s-a întâmplat:
Sau, cu alte cuvinte:
Cred că ați observat deja un model și ați văzut o progresie geometrică în toate acestea. Scrieți cu ce va fi membrul său, sau, cu alte cuvinte, câți bani vom primi la sfârșitul lunii.
Făcut? Control!
După cum puteți vedea, dacă puneți bani într-o bancă timp de un an la o dobândă simplă, atunci veți primi ruble, iar dacă le puneți la o rată compusă, veți primi ruble. Beneficiul este mic, dar acest lucru se întâmplă doar în timpul celui de-al treilea an, dar pentru o perioadă mai lungă, capitalizarea este mult mai profitabilă:
Luați în considerare un alt tip de problemă a dobânzii compuse. După ceea ce ți-ai dat seama, va fi elementar pentru tine. Deci sarcina este:
Zvezda a început să investească în industrie în 2000 cu un capital în dolari. În fiecare an, din 2001, a realizat un profit egal cu capitalul din anul precedent. Cât profit va primi compania Zvezda la sfârșitul anului 2003, dacă profitul nu a fost retras din circulație?
Capitalul companiei Zvezda în 2000.
- capitalul companiei Zvezda în 2001.
- capitalul companiei Zvezda în 2002.
- capitalul companiei Zvezda în 2003.
Sau putem scrie pe scurt:
Pentru cazul nostru:
2000, 2001, 2002 și 2003.
Respectiv:
ruble
Rețineți că în această problemă nu avem o împărțire nici prin sau după, deoarece procentul este dat ANUAL și se calculează ANUAL. Adică, atunci când citiți problema pentru dobânda compusă, acordați atenție la ce procent este dat și în ce perioadă se percepe și abia apoi treceți la calcule.
Acum știi totul despre progresia geometrică.
A face exerciţii fizice.
- Găsiți un termen al unei progresii geometrice dacă se știe că și
- Aflați suma primilor termeni ai unei progresii geometrice, dacă se știe că și
- MDM Capital a început să investească în industrie în 2003 cu un capital în dolari. În fiecare an, din 2004, ea a realizat un profit egal cu capitalul din anul precedent. Compania „MSK Cash Flows” a început să investească în industrie în 2005 în valoare de 10.000 USD, începând să facă profit în 2006 în valoare de. Cu câți dolari îl depășește capitalul unei companii pe cel al alteia la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu au fost retrase din circulație?
Raspunsuri:
- Deoarece condiția problemei nu spune că progresia este infinită și este necesară găsirea sumei unui anumit număr de membri ai săi, calculul se efectuează conform formulei:
Compania „MDM Capital”:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- crește cu 100%, adică de 2 ori.
Respectiv:
ruble
Fluxuri de numerar MSK:2005, 2006, 2007.
- crește cu, adică ori.
Respectiv:
ruble
ruble
Să rezumam.
1) O progresie geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.
2) Ecuația membrilor unei progresii geometrice -.
3) poate lua orice valoare, cu excepția și.
- dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei au același semn - ei pozitiv;
- dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei semne alternative;
- când – progresia se numește infinit descrescătoare.
4) , at - proprietatea unei progresii geometrice (membrii vecini)
sau
, la (termeni echidistanti)
Când îl găsiți, nu uitați asta ar trebui să existe două răspunsuri..
De exemplu,
5) Suma membrilor unei progresii geometrice se calculează prin formula:
sau
sau
IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că este necesar să se găsească suma unui număr infinit de termeni.
6) Sarcinile pentru dobânda compusă se calculează și după formula celui de-al treilea membru al unei progresii geometrice, cu condiția ca fondurile să nu fi fost retrase din circulație:
PROGRESIA GEOMETRICA. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Progresie geometrică( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr este numit numitorul unei progresii geometrice.
Numitorul unei progresii geometrice poate lua orice valoare cu excepția și.
- Dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei au același semn - sunt pozitivi;
- dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei alternează semne;
- când – progresia se numește infinit descrescătoare.
Ecuația membrilor unei progresii geometrice - .
Suma termenilor unei progresii geometrice calculat prin formula:
sau
Dacă progresia este în scădere infinită, atunci:
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
La examen nu vi se va cere teorie.
Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.
Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.
Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.
Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble
Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
In concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.
„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
Progresia geometrică, împreună cu aritmetica, este o serie de numere importantă care este studiată în cursul școlar de algebră din clasa a 9-a. În acest articol, vom lua în considerare numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.
Definiţia geometric progression
Pentru început, dăm definiția acestei serii de numere. O progresie geometrică este o serie de numere raționale care se formează prin înmulțirea succesivă a primului său element cu un număr constant numit numitor.
De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțim 3 (primul element) cu 2, obținem 6. Dacă înmulțim 6 cu 2, obținem 12 și așa mai departe.
Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați prin simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.
Definiția de mai sus a unei progresii poate fi scrisă în limbajul matematicii astfel: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificăm această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1 și ajungem din nou la definiția seriei de numere luate în considerare. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari ale lui n.
Numitorul unei progresii geometrice
Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:
- b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga succesiune va crește doar modulo, dar va scădea ținând cont de semnul numerelor.
- b = 1. Adesea un astfel de caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.
Formula pentru suma
Înainte de a trece la examinarea problemelor specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui dată o formulă importantă pentru suma primelor sale n elemente. Formula este: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puteți obține această expresie singur dacă luați în considerare o secvență recursivă de membri ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.
Secvență infinit descrescătoare
Mai sus a fost o explicație a ceea ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la puteri mari, adică b∞ => 0 dacă -1
Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.
Acum vom lua în considerare câteva probleme, în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite unor numere specifice.
Sarcina numărul 1. Calculul elementelor necunoscute ale progresiei și ale sumei
Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Care va fi al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?
Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula elementul cu numărul n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Facem același lucru pentru al 10-lea membru: a10 = 29 * 3 = 1536.
Folosim formula binecunoscută pentru sumă și determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Sarcina numărul 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale progresiei
Fie -2 numitorul progresiei exponențiale bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.
Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Poate fi rezolvată în 2 moduri diferite. De dragul completității, le prezentăm pe ambele.
Metoda 1. Ideea sa este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt dintr-unul. Calculați suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum calculăm suma mare: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de starea problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre termenii m și n ai seriei în cauză. Acționăm exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultatul final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Sarcina numărul 3. Care este numitorul?
Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.
În funcție de starea problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma unei progresii infinit descrescătoare. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Rămâne să înlocuiți valorile cunoscute și să obțineți numărul necesar: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 sau -0,333 (3). Putem verifica acest rezultat calitativ dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență, modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum puteți vedea, |-1 / 3|
Sarcina numărul 4. Restaurarea unei serii de numere
Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesar să restabilim întreaga serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.
Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare membru cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțim a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina de gradul cinci a raportului membrilor cunoscut din condiția problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile unui element cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Astfel, am găsit care este numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.
Unde se folosesc progresiile geometrice?
Dacă nu ar exista aplicarea în practică a acestei serii numerice, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar există o astfel de aplicație.
Cele mai cunoscute 3 exemple sunt enumerate mai jos:
- Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul de succesiune de numere infinit descrescătoare.
- Dacă boabele de grâu sunt plasate pe fiecare celulă a tablei de șah, astfel încât 1 bob să fie plasat pe prima celulă, 2 - pe a 2-a, 3 - pe a 3-a și așa mai departe, atunci vor fi necesare 18446744073709551615 boabe pentru a umple toate celulele de tabla!
- În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a rearanja discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial de la numărul de discuri n utilizate.
Instruire
10, 30, 90, 270...
Este necesar să se găsească numitorul unei progresii geometrice.
Decizie:
1 opțiune. Să luăm un membru arbitrar al progresiei (de exemplu, 90) și să-l împărțim la cel anterior (30): 90/30=3.
Dacă se cunoaște suma mai multor membri ai unei progresii geometrice sau suma tuturor membrilor unei progresii geometrice descrescătoare, atunci pentru a găsi numitorul progresiei, utilizați formulele adecvate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), unde Sn este suma primilor n termeni ai progresiei geometrice și
S = b1/(1-q), unde S este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare (suma tuturor membrilor progresiei cu un numitor mai mic de unu).
Exemplu.
Primul termen al unei progresii geometrice descrescătoare este egal cu unu, iar suma tuturor termenilor săi este egală cu doi.
Este necesar să se determine numitorul acestei progresii.
Decizie:
Înlocuiți datele din sarcină în formulă. Obține:
2=1/(1-q), de unde – q=1/2.
O progresie este o succesiune de numere. Într-o progresie geometrică, fiecare termen ulterior se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr q, numit numitor al progresiei.
Instruire
Dacă se cunosc două membre vecine ale geometricului b(n+1) și b(n), pentru a obține numitorul este necesar să se împartă numărul cu număr mare la cel care îl precede: q=b(n). +1)/b(n). Aceasta rezultă din definiția progresiei și a numitorului acesteia. O condiție importantă este ca primul termen și numitorul progresiei să nu fie egale cu zero, altfel este considerat nedefinit.
Astfel, între membrii progresiei se stabilesc următoarele relații: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Prin formula b(n)=b1 q^(n-1) poate fi calculat orice membru al unei progresii geometrice, în care numitorul q și membrul b1 sunt cunoscuți. De asemenea, fiecare modulo de progresie este egal cu media membrilor săi vecini: |b(n)|=√, deci progresia are .
Un analog al unei progresii geometrice este cea mai simplă funcție exponențială y=a^x, unde x este în exponent, a este un număr. În acest caz, numitorul progresiei coincide cu primul termen și este egal cu numărul a. Valoarea funcției y poate fi înțeleasă ca al n-lea membru al progresiei, dacă argumentul x este luat ca număr natural n (contor).
O altă proprietate importantă a progresiei geometrice, care a dat progresia geometrică
Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Este ușor de observat că formula generală a celui de-al n-lea membru al progresiei geometrice este b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.Deja în Egiptul antic, ei cunoșteau nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o sarcină din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb, fiecare spic poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?
 |
|
Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic |
Această sarcină a fost repetată de multe ori cu diferite variații între alte popoare și în alte momente. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare fiind în 7 teci. Problema întreabă câte articole sunt.
Suma primilor n membri ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, după cum urmează: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Să adunăm numărul b 1 q n la S n și să obținem:
|
Prin urmare, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), și obținem formula necesară.
Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul VI. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm unde acest fapt era cunoscut babilonienilor. .
Creșterea rapidă a unei progresii geometrice într-un număr de culturi, în special în India, este folosită în mod repetat ca simbol vizual al imensității universului. În legenda binecunoscută despre apariția șahului, conducătorul îi oferă inventatorului lor posibilitatea de a alege el însuși o recompensă și el cere un astfel de număr de boabe de grâu cât se va obține dacă unul este plasat pe prima celulă a tablei de șah. , doi pe al doilea, patru pe al treilea, opt pe al patrulea și etc., de fiecare dată când numărul este dublat. Vladyka a crezut că sunt, cel mult, câțiva saci, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar fi trebuit să primească (2 64 - 1) granule, care este exprimată ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta numărul necesar de boabe. Această legendă este uneori interpretată ca o referire la posibilitățile aproape nelimitate ascunse în jocul de șah.
Faptul că acest număr are într-adevăr 20 de cifre este ușor de observat:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (un calcul mai precis dă 1,84 10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?
O progresie geometrică crește dacă numitorul este mai mare decât 1 în valoare absolută sau descrește dacă este mai mic de unu. În acest din urmă caz, numărul q n poate deveni arbitrar mic pentru n suficient de mare. În timp ce un exponențial crescător crește neașteptat de repede, un exponențial descrescător scade la fel de repede.
Cu cât n este mai mare, cu atât numărul q n diferă de zero mai slab și cu atât suma n membri ai progresiei geometrice S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) este mai apropiată de numărul S \u003d b 1 / (1 - q) . (Așa argumentat, de exemplu, F. Viet). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole, întrebarea care este sensul însumării progresiei geometrice ALL, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.
O progresie geometrică descrescătoare poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Mușcătură” și „Achile și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunem lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Desigur, așa este. din punct de vedere al ideilor despre progresia geometrică infinită sumă finită. Și totuși - cum poate fi asta?
|
Orez. 2. Progresie cu un factor de 1/2 |
În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este egal cu 1/2, ci cu un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timpul l/v, broasca țestoasă se va deplasa cu o distanță lu/v în acest timp. Când Ahile trece prin acest segment, distanța dintre el și țestoasă va deveni egală cu l (u / v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu prima. termenul l și numitorul u/v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă până la punctul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Dar, din nou, cum ar trebui interpretat acest rezultat și de ce are vreun sens, nu a fost foarte clar de mult.
|
Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient 2/3 |
Suma unei progresii geometrice a fost folosită de Arhimede pentru a determina aria unui segment de parabolă. Fie segmentul dat al parabolei delimitat de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB . Fie C mijlocul lui AB , E mijlocul lui AC , F mijlocul lui CB . Desenați drepte paralele cu DC prin punctele A , E , F , B ; fie tangenta trasata in punctul D , aceste drepte se intersecteaza in punctele K , L , M , N . Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teoriei generale a secțiunilor conice, DC este diametrul unei parabole (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi ca axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 \u003d 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea unui segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).
În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , iar din moment ce DK = 2DL , atunci KA = 4LH . Deoarece KA = 2LG , LH = HG . Aria segmentului ADB al parabolei este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre acestea putând fi efectuată aceeași operațiune - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:
Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au o bază comună AD, iar înălțimile diferă de 2 ori), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria lui triunghiul ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ∆AHD și ∆DRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ∆ADB. Repetând această operațiune aplicată segmentelor AH , HD , DR și RB, se va selecta și triunghiuri din ele, aria cărora, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB , luate împreună și, prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB . etc:
Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă este patru treimi dintr-un triunghi, având cu el aceeași bază și înălțime egală”.
SECVENȚE NUMERICE VI
§ l48. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare
Până acum, vorbind de sume, am presupus întotdeauna că numărul de termeni din aceste sume este finit (de exemplu, 2, 15, 1000 etc.). Dar atunci când rezolvi unele probleme (în special matematica superioară), trebuie să te ocupi de sumele unui număr infinit de termeni
S= A 1 + A 2 + ... + A n + ... . (1)
Care sunt aceste sume? A-prioriu suma unui număr infinit de termeni A 1 , A 2 , ..., A n , ... se numește limita sumei S n primul P numere când P -> ∞ :
S=S n = (A 1 + A 2 + ... + A n ). (2)
Limita (2), desigur, poate exista sau nu. În consecință, se spune că suma (1) există sau nu există.
Cum să aflăm dacă suma (1) există în fiecare caz particular? O soluție generală la această întrebare depășește cu mult scopul programului nostru. Cu toate acestea, există un caz special important pe care trebuie să îl luăm în considerare acum. Vom vorbi despre însumarea termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
Lasa A 1 , A 1 q , A 1 q 2 , ... este o progresie geometrică infinit descrescătoare. Aceasta înseamnă că | q |< 1. Сумма первых P membrii acestei progresii este egal cu
Din teoremele de bază privind limitele variabilelor (vezi § 136) obținem:
Dar 1 = 1, a q n = 0. Prin urmare
Deci, suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este egală cu primul termen al acestui progres împărțit la unu minus numitorul acestei progresii.
1) Suma progresiei geometrice 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... este
iar suma unei progresii geometrice este 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... egal
2) O fracție periodică simplă 0,454545 ... se transformă într-una obișnuită.
Pentru a rezolva această problemă, reprezentăm această fracție ca o sumă infinită:
Partea dreaptă a acestei egalități este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, al cărei prim termen este 45/100, iar numitorul este 1/100. Asa de
În modul descris, se poate obține și regula generală pentru transformarea fracțiilor periodice simple în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38):
Pentru a converti o fracție periodică simplă într-una obișnuită, trebuie să procedați după cum urmează: puneți perioada fracției zecimale la numărător, iar la numitor - un număr format din nouă luate de câte ori există cifre în perioadă. a fracției zecimale.
3) Fracția periodică mixtă 0,58333 .... se transformă într-o fracție obișnuită.
Să reprezentăm această fracție ca o sumă infinită:
În partea dreaptă a acestei egalități, toți termenii, începând de la 3/1000, formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, al cărei prim termen este 3/1000, iar numitorul este 1/10. Asa de
În modul descris, se poate obține și regula generală pentru conversia fracțiilor periodice mixte în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38). Nu îl includem în mod deliberat aici. Nu este nevoie să memorezi această regulă greoaie. Este mult mai util să știm că orice fracție periodică mixtă poate fi reprezentată ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare și a unui număr. Și formula
pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, trebuie, desigur, să ne amintim.
Ca exercițiu, vă invităm, pe lângă problemele nr. 995-1000 de mai jos, să apelați din nou la problema nr. 301 § 38.
Exerciții
995. Ce se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare?
996. Găsiți sume ale progresiilor geometrice infinit descrescătoare:
997. Pentru ce valori X progresie
scade la infinit? Găsiți suma unei astfel de progresii.
998. Într-un triunghi echilateral cu o latură A un nou triunghi este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un nou triunghi este înscris în acest triunghi în același mod și așa mai departe la infinit.
a) suma perimetrelor tuturor acestor triunghiuri;
b) suma suprafețelor acestora.
999. Într-un pătrat cu o latură A un nou pătrat este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un pătrat este înscris în acest pătrat în același mod și așa mai departe la infinit. Aflați suma perimetrelor tuturor acestor pătrate și suma ariilor lor.
1000. Faceți o progresie geometrică infinit descrescătoare, astfel încât suma ei să fie egală cu 25 / 4, iar suma pătratelor termenilor săi să fie egală cu 625 / 24.