Piramida trapezoidală. Piramida trunchiată

Sarcină

Soluţie.

La baza piramidei se află un triunghi dreptunghic. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află pe ipotenuza acestuia. În consecință, AB = 10 cm, AO = 5 cm.

Deoarece înălțimea ON = 12 cm, dimensiunea coastelor AN și NB este egală cu
AN 2 = AO 2 + ON 2
AN 2 = 5 2 + 12 2
AN = √169
AN=13

Deoarece cunoaștem valoarea AO = OB = 5 cm și valoarea unuia dintre picioarele bazei (8 cm), atunci înălțimea coborâtă la ipotenuză va fi egală cu
CB2 = CO2 + OB2
64 = CO2 + 25
CO2 = 39
CO = √39

În consecință, valoarea muchiei CN va fi egală cu
CN 2 \u003d CO 2 + NO 2
CN 2 = 39 + 144
CN = √183

Răspuns: 13, 13 , √183

Sarcină

Soluţie.
Volumul piramidei se gaseste dupa formula:
V = 1/3 Sh

Găsim aria bazei folosind formula pentru a găsi aria unui triunghi dreptunghic:
S = ab/2 = 8 * 6 / 2 = 24
Unde
V \u003d 1/3 * 24 * 10 \u003d 80 cm 3.

S podea \u003d Fiul + S lateral.

Etapa a III-a: Călătorie virtuală în lumea piramidelor – prezentarea elevilor

Etapa IV - Studierea unui subiect nou - însoțită de o prezentare multimedia

Concepte studiate:

Notează subiectul.

Casa. sarcina: nr. 70.

Etapa VI Reflecție.

Întrebări de control

7. Care este înălțimea piramidei?

Sarcina de acasă: nr. 75

Notare

Anexa 1

Anexa 2

Proprietățile magice ale piramidelor

O altă modalitate de a obține efectul este să puneți apă pură de izvor în piramidă, să o păstrați timp de o zi și apoi să o frecați în scalp înainte de a merge la culcare. Durează mai mult, dar este mai practic.

De exemplu, dacă crești pești într-un acvariu-piramidă de sticlă, rezultatul este uimitor: apa se autopurifică! Nu există semne de putrezire, nu există scurgeri pe fund, sticla nu devine verde și nu este nevoie să cheltuiți bani pentru cumpărarea filtrelor de acvariu - piramida curățește totul de la sine. Geometria piramidei structurează moleculele de apă într-un mod special, stabilind un program de suprimare a degradarii în interiorul acvariului.

Piramida este un absorbitor de radiații. Dacă îl pui pe un computer și îl orientezi corect spre punctele cardinale, piramida va crea un câmp mai benefic. Cu cât piramida este mai mare, cu atât factorul ei bun este mai mare. Orice impact negativ va fi fie stins, fie redistribuit în ceva neutru.

Vizualizați conținutul documentului
„Piramide trunchiate”

Tema lecției: Piramida trunchiată, elementele sale principale.

Obiectivele lecției:

Educational: să familiarizeze elevii cu conceptul de trunchi de piramidă, elementele sale și formulele de calcul a ariilor suprafețelor laterale și complete;

În curs de dezvoltare: să dezvolte imaginația spațială a elevilor, capacitatea de a reprezenta piramide și de a le recunoaște printre alte figuri spațiale;

Educatori: această temă contribuie la educarea curiozității, a ingeniozității, a atenției și la dezvoltarea interesului pentru matematică, la formarea acurateții în construcția figurilor matematice.

Tip de lecție: introducere în material nou

TO al lecției: tablă interactivă, computer, prezentări „Piramide”, „Piramide trunchiate”, „Călătorie virtuală în lumea piramidelor”.

Pașii lecției:

Etapa I: organizatorică

Etapa II Actualizarea cunoștințelor

1) sondaj oral folosind diapozitive

Lista de intrebari:

(diapozitivul 2) - dintre figurile prezentate, numiți numerele celor care sunt piramide.

Dintre modele, selectați și piramidele.

Care poliedru se numește piramidă? Numiți și afișați elementele lor principale, afișați-le pe modele. (Diapozitive 3, 4)

Tipuri de piramide. (diapozitivele 5-7)

Faceți un desen al unei piramide triunghiulare și patrulatere.

Din ce este formată întreaga suprafață a piramidei? (diapozitivul 8)

Proprietățile marginilor laterale și ale fețelor laterale ale unei piramide regulate. (Diapozitivul 9)

Formule pentru calcularea suprafețelor piramidelor (scrieți pe tablă, verificați pe ecran) (diapozitivul 10-11)

2) rezolvați problema din manual conform desenelor finalizate

S podea \u003d Fiul + S lateral.

Etapa a III-a: Călătorie virtuală în lumea piramidelor – prezentarea elevilor

Etapa IV - Studierea unui subiect nou - însoțită de o prezentare multimedia

Concepte studiate:

Piramida trunchiată (definiție);

Elemente ale unei piramide trunchiate;

Piramida trunchiată corectă;

Aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate;

Suprafața totală a unei piramide trunchiate.

Notează subiectul.

Desenați o piramidă arbitrară în caiet.

Desenați un plan paralel cu baza.

Acest plan împarte piramida în două părți. Ce poți spune despre ei?

Definiți o piramidă trunchiată.

Numiți elementele principale ale unei piramide trunchiate.

Ce poți spune despre fețele laterale?

Ce fel de piramidă trunchiată se numește corectă? Ce se poate spune despre fețele sale laterale?

În ce constă suprafața totală a unei piramide trunchiate?

Scrieți o formulă pentru a calcula suprafața totală a acesteia.

Care este suprafața laterală?

Numiți obiecte care au forma unei piramide trunchiate. (diapozitiv)

Etapa V Rezolvarea problemelor - Nr 71, 77 din manualul Geometrie 7-11 A.V.Pogorelov.

Rezolvarea problemelor în perechi. (Anexa 1)

Casa. sarcina: nr. 70.

Etapa VI Reflecție.

Întrebări de control

1. Ce poliedru se numește piramidă?

2. Ce piramidă se numește triunghiulară?

3. Care piramidă se numește corectă?

4. Care este apotema unei piramide regulate?

5 Care piramidă se numește tetraedru?

6. Ce piramidă se numește trunchiată?

7. Care este înălțimea piramidei?

8. Care este suprafața laterală a unei piramide obișnuite?

9. Care este aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate?

Sarcina de acasă: nr. 75

Notare

Anexa 1

Rezolvarea problemelor de alegere - cuplurile aleg o problemă și o rezolvă.

1. Baza piramidei este un dreptunghi cu laturile de 6 cm si 8 cm.Fiecare margine a piramidei este de 13 cm.Calculati inaltimea piramidei.

2. Baza piramidei este un triunghi dreptunghic cu catetele de 6 cm și 8 cm.Toate unghiurile diedrice de la baza piramidei sunt de 60 °. Aflați înălțimea piramidei.

3. Într-o piramidă trunchiată patruunghiulară, laturile unei baze sunt de 6, 7, 8, 9 cm, iar latura mai mică a celeilalte baze este de 5 cm. Găsiți celelalte laturi ale acestei baze.

4. Într-o piramidă triunghiulară regulată cu înălțimea h, se trasează un plan prin latura bazei a, traversând marginea laterală opusă în unghi drept. Găsiți zona secțională.

5. Latura bazei unei piramide hexagonale regulate este a, iar unghiul diedric la bază este de 45 °. Aflați volumul piramidei.

6. Într-o piramidă patruunghiulară trunchiată obișnuită, laturile bazei inferioare și superioare sunt egale cu a și b, iar unghiul diedrul de la marginea bazei inferioare este egal cu a. Aflați volumul piramidei.

7. Construiți o secțiune a piramidei printr-un plan care trece prin vârful piramidei și două puncte date pe baza acesteia.

8. Într-o piramidă trunchiată patruunghiulară obișnuită, înălțimea este de 2 cm, iar laturile bazelor sunt de 3 cm și 5 cm. Aflați diagonala acestei piramide.

Anexa 2

Proprietățile magice ale piramidelor

Termenul „piramidă” este împrumutat din grecescul „pyramis” sau „pyramidos”. Grecii, la rândul lor, au împrumutat acest cuvânt din limba egipteană. Alții cred că termenul provine din forma pâinii din Grecia antică („pyros” - secară). Datorită faptului că forma flăcării seamănă cu imaginea unei piramide, unii oameni de știință au crezut că termenul provine din cuvântul grecesc „sărbătoare” - care înseamnă foc, iar focul, după cum știți, este un simbol al vieții lui. toate creaturile.

Piramidele pot fi atribuite uneia dintre cele mai misterioase de pe planetă.

În prezent, s-a dovedit că piramida concentrează energie de înaltă calitate care este utilă pentru oameni. S-a stabilit că obiectele în formă de piramidă au un impact pozitiv asupra mediului.

A argumentat inginerul ceh Karel Duban, specialist în unde radio. că piramidele concentrează energia cosmică, care este „actorul” în ele.

El a descoperit o legătură între forma spațiului piramidal și procesele biologice și fizico-chimice care au loc în acest spațiu.

S-a dovedit că energia formei piramidei „poate face” multe: cafeaua instant, stând deasupra piramidei, capătă gustul natural; vinurile ieftine își îmbunătățesc semnificativ gustul; apa capătă proprietăți de a favoriza vindecarea, tonifică organismul, reduce reacția inflamatorie după mușcături, arsuri și acționează ca un ajutor natural pentru îmbunătățirea digestiei; carnea, peștele, ouăle, legumele, fructele sunt mumificate, dar nu se deteriorează; laptele nu se acrește mult timp; brânza nu se mucește. Dacă stai sub piramidă, atunci procesul de meditație se îmbunătățește, intensitatea durerilor de cap și de dinți scade, iar vindecarea rănilor și ulcerelor se accelerează. Piramidele elimină impactul geopatogen din jurul lor și armonizează spațiul interior al incintei. Cercetătorul olandez al piramidei Paul Likens a experimentat cu o varietate de materiale: semințe de grădină (ridichea a crescut de 2 ori mai mare decât controlul din același set de semințe), ierburi - rămân verzi și continuă să-și poarte încărcătura energetică, puterea de vindecare crește semnificativ. .

Dacă puneți o piramidă în apartament cu anumiți parametri, gândacii părăsesc încăperea.

Punand pe capul unei cheli un model de structura piramidala si orientand-o catre punctele cardinale, se realizeaza efectul de stimulare a foliculilor de par. Radiația armonică generată de modelul piramidal pătrunde suficient în structura pielii și contribuie la efectul unui masaj blând al foliculilor de păr.

O altă modalitate de a obține efectul este să puneți apă de izvor pură în piramidă, să o păstrați timp de o zi și apoi să o frecați pe scalp înainte de a merge la culcare. Durează mai mult, dar este mai practic.

Utilizarea acestei metode este relevantă în condiții de radiație crescută, când mulți copii își pierd părul. Aceasta este o metodă fără medicamente care nu necesită costuri financiare mari și este ușor de utilizat.

Potrivit unui număr de testeri, apa obișnuită captează perfect energia piramidelor și prezintă noi proprietăți: capătă un gust pur de primăvară, are un efect de vindecare, stimulează creșterea plantelor, se știe, de asemenea, că o astfel de apă este eficientă în întărirea părului, indepartarea matretii, catifelarea pielii si netezirea ridurilor, scaparea picioarelor transpirate etc.

De exemplu, dacă crești pești într-un acvariu-piramidă de sticlă, rezultatul este uimitor: apa se autopurifică! Nu există semne de putrezire, nu există noroi pe fund, sticla nu se înverzește și nu trebuie să cheltuiți bani pentru cumpărarea filtrelor de acvariu - piramida curăță totul de la sine. Geometria piramidei structurează moleculele de apă într-un mod special, stabilind un program de suprimare a degradarii în interiorul acvariului.

Alt exemplu. FAMOSUL GENETICIST GENNADY BERDYSHEV spune: „CARNEA DIN PIRAMIDA MEA POATE CHIAR ÎN CĂLDURĂ FĂRĂ FRIGORIDER PENTRU O SĂPTĂMÂNĂ ÎNTREAGA!”.

După ce și-a construit o piramidă în dacha, un om de știință celebru spune că în ea aruncă ani.

Piramida este un amortizor al radiațiilor. Dacă îl pui pe un computer și îl orientezi corect spre punctele cardinale, piramida va crea un câmp mai benefic. Cu cât piramida este mai mare, cu atât factorul ei bun este mai mare. Orice impact negativ va fi fie stins, fie redistribuit în ceva neutru.

Și există multe astfel de exemple.

Piramida, cu condiția să fie orientată cu marginile bazei spre punctele cardinale, se transformă într-un acumulator de energie cosmică. Prin urmare, în ultimii ani, tot felul de suveniruri sub formă de piramide au fost la modă: se crede că ele curăță spațiul, radiază energie pozitivă.

și un plan de tăiere care este paralel cu baza sa.

Sau cu alte cuvinte: trunchi de piramidă- acesta este un astfel de poliedru, care este format dintr-o piramidă și secțiunea sa paralelă cu baza.

O secțiune care este paralelă cu baza piramidei împarte piramida în 2 părți. Partea piramidei dintre baza și secțiunea sa este trunchi de piramidă.

Această secțiune pentru o piramidă trunchiată se dovedește a fi una dintre bazele acestei piramide.

Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate este înălțimea piramidei trunchiate.

Piramida trunchiată va corect când piramida din care derivă era și ea corectă.

Înălțimea feței laterale trapezoidale a unei piramide trunchiate obișnuite este apotemă piramida trunchiată obișnuită.

Proprietățile unei piramide trunchiate.

1. Fiecare față laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este un trapez isoscel de aceeași dimensiune.

2. Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane asemănătoare.

3. Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt de dimensiuni egale și una este înclinată față de baza piramidei.

4. Fețele laterale ale unei trunchi de piramidă sunt trapeze.

5. Unghiurile diedrice de la marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt de mărime egală.

6. Raportul ariilor bazelor: S 2 /S 1 \u003d k 2.

Formule pentru o piramidă trunchiată.

Pentru o piramidă arbitrară:

Volumul unei piramide trunchiate este egal cu 1/3 din produsul înălțimii h (OS) prin suma ariilor bazei superioare S1 (abcde), baza inferioară a piramidei trunchiate S2 (ABCDE) și media proporțională dintre ele.

Volumul piramidei:

Unde S1, S2- suprafata de baza,

h este înălțimea piramidei trunchiate.

Suprafața laterală este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită:

Piramida trunchiată corectă- un poliedru, care este format dintr-o piramidă regulată și secțiunea acesteia, care este paralelă cu baza.

Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este ½ produsul dintre suma perimetrelor bazelor sale și apotema.

Unde S1, S2- suprafata de baza,

φ este unghiul diedric de la baza piramidei.

CH este înălțimea piramidei trunchiate, P1Și P2- perimetrele bazelor, S1Și S2- zone de baza, partea S- suprafata laterala, S plin- suprafata totala:

Secțiunea unei piramide după un plan paralel cu baza.

O secțiune a unei piramide printr-un plan care este paralel cu baza sa (perpendiculară pe înălțimea sa) împarte înălțimea și marginile laterale ale piramidei în segmente proporționale.

Secțiunea piramidei printr-un plan care este paralel cu baza sa (perpendiculară pe înălțime) este un poligon care este similar cu baza piramidei, în timp ce coeficientul de similitudine al acestor poligoane corespunde raportului dintre distanța lor față de vârf. a piramidei.

Zonele secțiunilor care sunt paralele cu baza piramidei sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârful piramidei.

Cum poți construi o piramidă? La suprafață R Să construim un poligon, de exemplu, pentagonul ABCDE. Din avion R luăm punctul S. Legând punctul S cu segmente de toate punctele poligonului, obținem piramida SABCDE (fig.).

Punctul S este numit vârf, iar poligonul ABCDE - bază această piramidă. Astfel, o piramidă cu vârful S și baza ABCDE este uniunea tuturor segmentelor în care M ∈ ABCDE.

Se numesc triunghiuri SAB, SBC, SCD, SDE, SEA fetele laterale piramide, laturile comune ale fețelor laterale SA, SB, SC, SD, SE - coaste laterale.

Piramidele se numesc triunghiular, patruunghiular, n-gonal in functie de numarul de laturi ale bazei. Pe fig. sunt date imagini cu piramide triunghiulare, patrulatere și hexagonale.

Se numește planul care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei diagonală, iar secțiunea transversală rezultată - diagonală. Pe fig. 186 una dintre secțiunile diagonale ale piramidei hexagonale este umbrită.

Segmentul perpendicularei trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia se numește înălțimea piramidei (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei).

Piramida se numește corect dacă baza piramidei este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele congruente. Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt congruente.

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemă piramide. Toate apotemele unei piramide regulate sunt congruente.

Dacă desemnăm latura bazei ca A, și apotemă prin h, atunci aria unei fețe laterale a piramidei este 1/2 Ah.

Se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei suprafata laterala piramide și este notat cu latura S.

Deoarece suprafața laterală a unei piramide regulate este formată din n fețe congruente, atunci

partea S = 1 / 2 ahn= P h / 2 ,

unde P este perimetrul bazei piramidei. Prin urmare,

partea S = P h / 2

adică aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

Suprafața totală a piramidei este calculată prin formula

S = S ocn. + partea S. .

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul ariei bazei sale S ocn. la inaltimea H:

V = 1 / 3 S ocn. N.

Derivarea acestei formule și a altor câteva formule va fi prezentată într-un capitol ulterior.

Acum să construim o piramidă într-un mod diferit. Să fie dat un unghi poliedric, de exemplu, unul cu cinci laturi, cu un vârf S (fig.).

Desenați un avion R astfel încât să intersecteze toate muchiile unui unghi poliedric dat în puncte diferite A, B, C, D, E (Fig.). Atunci piramida SABCDE poate fi considerată ca intersecția unui unghi poliedric și a unui semispațiu cu o limită. R, care conține vârful S.

Evident, numărul tuturor fețelor piramidei poate fi arbitrar, dar nu mai puțin de patru. Când un plan intersectează un unghi triedric, se obține o piramidă triunghiulară, care are patru fețe. Orice piramidă triunghiulară este uneori numită tetraedru, ceea ce înseamnă patrulater.

trunchi de piramidă se poate obţine dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu planul bazei.

Pe fig. se dă imaginea unei trunchiuri de piramidă patruunghiulară.

Piramidele trunchiate se mai numesc triunghiular, patruunghiular, n-gonal in functie de numarul de laturi ale bazei. Din construcția unei trunchi de piramidă rezultă că aceasta are două baze: una superioară și una inferioară. Bazele unei piramide trunchiate sunt două poligoane ale căror laturi sunt paralele pe perechi. Fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

Înălţime O piramidă trunchiată este un segment de perpendiculară trasat din orice punct al bazei superioare până în planul celei inferioare.

Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de secțiune paralel cu bază. Înălțimea feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite (trapez) se numește apotemă.

Se poate dovedi că o piramidă trunchiată obișnuită are margini laterale congruente, toate fețele laterale sunt congruente și toate apotemele sunt congruente.

Dacă în corect trunchiat n- piramida cărbunelui prin AȘi b n denotă lungimile laturilor bazelor superioare și inferioare și prin h- lungimea apotemului, apoi aria feței laterale de pe plajă a piramidei este

1 / 2 (A + b n) h

Suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei se numește aria suprafeței sale laterale și se notează latura S. . Evident, pentru un trunchiat obișnuit n- piramida carbunelui

partea S = n 1 / 2 (A + b n) h.

Deoarece pa= P și nb n\u003d P 1 - perimetrele bazelor piramidei trunchiate, apoi

partea S \u003d 1 / 2 (P + P 1) h,

adică aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu jumătate din produsul sumei perimetrelor bazelor sale și apotema.

Secțiune paralelă cu baza piramidei

1) nervurile laterale și înălțimea vor fi împărțite în părți proporționale;

2) în secțiune obțineți un poligon asemănător bazei;

3) ariile secțiunii și ale bazei sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Este suficient să demonstrați teorema pentru o piramidă triunghiulară.

Deoarece planele paralele sunt intersectate de al treilea plan de-a lungul unor linii paralele, atunci (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (Fig.).

Liniile paralele taie laturile unghiului în părți proporționale și, prin urmare

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Prin urmare, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 și

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\dreapta|) $$

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 şi

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1) )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Prin urmare,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Unghiurile corespondente ale triunghiurilor ABC și A 1 B 1 C 1 sunt congruente, ca și unghiurile cu laturile paralele și egal direcționate. De aceea

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Arii triunghiurilor similare sunt legate ca pătratele laturilor corespunzătoare:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1) )\dreapta|) $$

Prin urmare,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Teorema. Dacă două piramide cu înălțimi egale sunt disecate la aceeași distanță de vârf prin planuri paralele cu bazele, atunci ariile secțiunilor sunt proporționale cu ariile bazelor.

Fie (Fig. 84) B și B 1 ariile bazelor a două piramide, H este înălțimea fiecăreia dintre ele, bȘi b 1 - zone de secțiune transversală prin planuri paralele cu bazele și îndepărtate de vârfuri la aceeași distanță h.

Conform teoremei anterioare, vom avea:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: și \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
Unde
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: sau \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Consecinţă. Dacă B \u003d B 1, atunci și b = b 1, adică dacă două piramide cu înălțimi egale au baze egale, atunci secțiunile echidistante de vârf sunt și ele egale.

Conceptul de piramidă

Definiția 1

O figură geometrică formată dintr-un poligon și un punct care nu se află în planul care conține acest poligon, conectată la toate vârfurile poligonului, se numește piramidă (Fig. 1).

Poligonul din care este compusa piramida se numeste baza piramidei, triunghiurile obtinute prin legatura cu punctul sunt fetele laterale ale piramidei, laturile triunghiurilor sunt laturile piramidei, iar punctul comun tuturor triunghiuri este vârful piramidei.

Tipuri de piramide

În funcție de numărul de colțuri de la baza piramidei, aceasta poate fi numită triunghiulară, patruunghiulară și așa mai departe (Fig. 2).

Figura 2.

Un alt tip de piramidă este o piramidă obișnuită.

Să introducem și să demonstrăm proprietatea unei piramide obișnuite.

Teorema 1

Toate fețele laterale ale unei piramide obișnuite sunt triunghiuri isoscele care sunt egale între ele.

Dovada.

Considerăm o piramidă $n-$gonală regulată cu vârf $S$ de înălțime $h=SO$. Să descriem un cerc în jurul bazei (Fig. 4).

Figura 4

Luați în considerare triunghiul $SOA$. Prin teorema lui Pitagora, obținem

Evident, orice margine laterală va fi definită în acest fel. Prin urmare, toate marginile laterale sunt egale între ele, adică toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Să demonstrăm că sunt egali unul cu celălalt. Deoarece baza este un poligon regulat, bazele tuturor fețelor laterale sunt egale între ele. În consecință, toate fețele laterale sunt egale conform semnului III al egalității triunghiurilor.

Teorema a fost demonstrată.

Să introducem acum următoarea definiție legată de conceptul de piramidă obișnuită.

Definiția 3

Apotema unei piramide obișnuite este înălțimea feței sale laterale.

Evident, după teorema 1, toate apotemele sunt egale.

Teorema 2

Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este definită ca produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada.

Să notăm latura bazei $n-$piramidei cărbunelui ca $a$, iar apotema ca $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Deoarece, prin teorema 1, toate laturile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Un alt tip de piramidă este piramida trunchiată.

Definiția 4

Dacă un plan paralel cu baza sa este trasat printr-o piramidă obișnuită, atunci figura formată între acest plan și planul bazei se numește piramidă trunchiată (Fig. 5).

Figura 5. Piramida trunchiată

Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.

Teorema 3

Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este definită ca produsul dintre suma semiperimetrelor bazelor și apotema.

Dovada.

Să notăm laturile bazelor $n-$piramidei cărbunelui cu $a\ și, respectiv, b$, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Din moment ce toate părțile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu de sarcină

Exemplul 1

Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare trunchiate dacă este obținută dintr-o piramidă regulată cu latura de bază 4 și apotema 5 prin tăierea printr-un plan care trece prin linia mediană a fețelor laterale.

Soluţie.

Conform teoremei dreptei medii, obținem că baza superioară a piramidei trunchiate este egală cu $4\cdot \frac(1)(2)=2$, iar apotema este egală cu $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Apoi, prin teorema 3, obținem