Laboratorul de Cercetare Spațială. Ce sunt fractalii

Am descoperit acest fractal când mă uitam la interferența undelor de pe suprafața unui râu. Valul se deplasează spre țărm, se reflectă și se suprapune pe sine. Există ordine în tiparele pe care le creează valurile? Să încercăm să-l găsim. Luați în considerare nu întreaga undă, ci doar vectorul mișcării sale. Vom face „țărmurile” netede, de dragul simplității experimentului.

Experimentul poate fi efectuat pe o bucată de hârtie obișnuită într-o cutie dintr-un caiet de școală.

Sau folosind o implementare JavaScript a algoritmului.

Luați un dreptunghi cu laturile q și p. Să trimitem o rază (vector) din colț în colț. Fasciculul se deplasează pe una dintre laturile dreptunghiului, se reflectă și continuă să se deplaseze pe latura următoare. Aceasta continuă până când fasciculul lovește unul dintre colțurile rămase. Dacă dimensiunea laturii q și p sunt numere coprime, atunci se obține un model (cum vom vedea mai târziu - un fractal).

În imagine, vedem clar cum funcționează acest algoritm.

Animație gif:

Cel mai uimitor lucru este că, cu diferite laturi ale dreptunghiului - obținem modele diferite.

De ce numesc aceste modele fractali? După cum știți, un „fractal” este o figură geometrică care are proprietățile auto-asemănării. O parte a imaginii repetă întreaga imagine ca întreg. Dacă creștem semnificativ dimensiunile laturilor Q și P, este clar că aceste modele au proprietăți de auto-similaritate.

Să încercăm să creștem. Vom crește într-un mod complicat. Luați, de exemplu, un model 17x29. Următoarele modele vor fi: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)...
O parte: F(n);
A doua parte: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
La fel ca numerele Fibonacci, numai cu primul și al doilea membru diferit al șirului: F(0)=17, F(1)=29.

Dacă partea mai mare este uniformă, modelul arată astfel:

Dacă partea mai mică este pară:

Dacă ambele părți sunt impare, obținem un model simetric:

În funcție de modul în care pornește fasciculul:

sau

Voi încerca să explic ce se întâmplă în aceste dreptunghiuri.

Să separăm pătratul de dreptunghi și să vedem ce se întâmplă la chenar.

Fasciculul iese în același punct din care a intrat.

În acest caz, numărul de pătrate prin care trece fasciculul este întotdeauna un număr par.

Prin urmare, dacă un pătrat este tăiat din dreptunghi, partea nemodificată a fractalului va rămâne.

Dacă separați pătratele de fractal de cât mai multe ori, puteți ajunge la „începutul” fractalului.

Arată ca o spirală Fibonacci?

Fractalii pot fi obținuți și din numerele Fibonacci.

În matematică, numerele Fibonacci (seria Fibonacci, succesiunea Fibonacci) se numesc numere:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Prin definiție, primele două cifre din șirul Fibonacci sunt 0 și 1, iar fiecare număr ulterior este egal cu suma celor două precedente.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Merge:

După cum putem vedea, cu cât raportul de aspect se apropie mai mult de raportul de aur, cu atât fractalul este mai detaliat.

În acest caz, fractalul repetă o parte a fractalului, mărită cu .

În loc de numerele Fibonacci, puteți folosi dimensiunile laturilor iraționale:

Obținem același fractal.

Aceiași fractali pot fi obținuți și într-un pătrat dacă fasciculul este tras la un unghi diferit:

Ce se poate spune in concluzie?
Haosul este, de asemenea, ordine. Cu regulile lor. Această ordine nu este studiată, dar destul de accesibilă. Și întreaga aspirație a științei este de a descoperi aceste regularități. Și în cele din urmă conectați piesele puzzle-ului pentru a vedea imaginea de ansamblu.
Să ne uităm la suprafața râului. Dacă arunci o piatră în ea, valuri vor merge. Cercuri destul de predispuse la studiu. Viteza, perioada, lungimea de unda - toate acestea pot fi calculate. Dar până când valul va ajunge la țărm, nu se va reflecta și nu va începe să se suprapună cu el însuși. Primim haos (interferență), care este deja dificil de studiat.
Dacă ne întoarcem înapoi? Simplificați pe cât posibil comportamentul undei. Simplificați, găsiți un model și apoi încercați să descrieți imaginea completă a ceea ce se întâmplă.
Ce poate fi simplificat? Evident, pentru a face suprafata reflectorizanta dreapta, fara indoituri. În plus, în locul undei în sine, utilizați numai vectorul de mișcare al undei. În principiu, acest lucru este suficient pentru a construi un algoritm simplu și a simula procesul pe un computer. Și chiar suficient pentru a face un „model” al comportamentului valului pe o bucată de hârtie obișnuită într-o cutie.
Ce obținem ca rezultat? Drept urmare, vedem că în procesele cu valuri (aceeași ondulație pe suprafața râului) nu avem haos, ci impunerea de fractali (structuri auto-similare) unul peste altul.

Să luăm în considerare un alt fel de valuri. După cum știți, o undă electromagnetică este formată din trei vectori - un vector de undă și un vector de câmpuri electrice și magnetice. După cum puteți vedea, dacă „prindem” un astfel de val într-o zonă închisă - acolo unde acești vectori se intersectează, obținem structuri închise destul de clare. Poate particulele elementare sunt aceiași fractali?

Toți fractalii în dreptunghiuri de la 1 la 80 (6723x6723 px):

Zone închise în fractali (6723x6723 px):

Doar un fractal frumos (4078x2518 px):

fractal

Fractal (lat. fractus- zdrobit, spart, spart) - o figură geometrică care are proprietatea auto-asemănării, adică compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară cu întreaga figură în ansamblu.În matematică, fractalii sunt înțeleși ca mulțimi de puncte din spațiul euclidian care au o dimensiune metrică fracțională (în sensul lui Minkowski sau Hausdorff) sau o dimensiune metrică, alta decât cea topologică. Fractasmul este o știință exactă independentă de studiu și compilare a fractalilor.

Cu alte cuvinte, fractalii sunt obiecte geometrice cu o dimensiune fracțională. De exemplu, dimensiunea unei linii este 1, o zonă este 2 și un volum este 3. Pentru un fractal, valoarea dimensiunii poate fi între 1 și 2 sau între 2 și 3. De exemplu, dimensiunea fractală a unui mototolit bila de hârtie este de aproximativ 2,5. În matematică, există o formulă complexă specială pentru calcularea dimensiunii fractalilor. Ramificațiile tuburilor traheale, frunzele de pe copaci, venele din braț, râul sunt fractali. În termeni simpli, un fractal este o figură geometrică, o anumită parte din care se repetă iar și iar, schimbându-se în dimensiune - acesta este principiul auto-asemănării. Fractalii sunt asemănători cu ei înșiși, sunt similari cu ei înșiși la toate nivelurile (adică, la orice scară). Există multe tipuri diferite de fractali. În principiu, se poate argumenta că tot ceea ce există în lumea reală este un fractal, fie că este un nor sau o moleculă de oxigen.

Cuvântul „haos” sugerează ceva imprevizibil, dar, de fapt, haosul este destul de ordonat și respectă anumite legi. Scopul studierii haosului și fractalilor este de a prezice tipare care, la prima vedere, pot părea imprevizibile și complet haotice.

Pionierul în acest domeniu al cunoașterii a fost matematicianul franco-american, profesorul Benoit B. Mandelbrot. La mijlocul anilor 1960, a dezvoltat geometria fractală, al cărei scop era să analizeze formele sparte, încrețite și neclare. Setul Mandelbrot (prezentat în figură) este prima asociere pe care o are o persoană când aude cuvântul „fractal”. Apropo, Mandelbrot a stabilit că dimensiunea fractală a liniei de coastă a Angliei este de 1,25.

Fractalii sunt din ce în ce mai folosiți în știință. Ei descriu lumea reală chiar mai bine decât fizica sau matematica tradițională. Mișcarea browniană este, de exemplu, mișcarea aleatorie și haotică a particulelor de praf suspendate în apă. Acest tip de mișcare este poate cel mai practic aspect al geometriei fractale. Mișcarea browniană aleatorie are un răspuns în frecvență care poate fi folosit pentru a prezice fenomene care implică cantități mari de date și statistici. De exemplu, Mandelbrot a prezis modificări ale prețului lânii folosind mișcarea browniană.

Cuvântul „fractal” poate fi folosit nu numai ca termen matematic. Un fractal din presă și literatura de știință populară poate fi numit figuri care au oricare dintre următoarele proprietăți:

Are o structură non-trivială la toate scările. Aceasta este diferența față de figurile obișnuite (cum ar fi un cerc, o elipsă, graficul unei funcții netede): dacă luăm în considerare un mic fragment al unei figuri obișnuite la o scară foarte mare, acesta va arăta ca un fragment de linie dreaptă . Pentru un fractal, mărirea nu duce la o simplificare a structurii, la toate scările vom vedea o imagine la fel de complexă.

Este auto-similar sau aproximativ auto-similar.

Are o dimensiune metrică fracțională sau o dimensiune metrică superioară celei topologice.

Cea mai utilă utilizare a fractalilor în calcul este compresia datelor fractale. În același timp, imaginile sunt comprimate mult mai bine decât se face prin metode convenționale - până la 600:1. Un alt avantaj al compresiei fractale este că atunci când măriți, nu există niciun efect de pixelare care să înrăutățească drastic imaginea. În plus, o imagine comprimată fractal după mărire arată adesea chiar mai bine decât înainte. Informaticii știu, de asemenea, că fractalii de complexitate și frumusețe infinite pot fi generați cu formule simple. Industria filmului folosește pe scară largă tehnologia grafică fractală pentru a crea elemente de peisaj realiste (nori, roci și umbre).

Studiul turbulenței în fluxuri se adaptează foarte bine la fractali. Acest lucru permite o mai bună înțelegere a dinamicii fluxurilor complexe. Flăcările pot fi modelate și folosind fractali. Materialele poroase sunt bine reprezentate sub formă fractală datorită faptului că au o geometrie foarte complexă. Pentru a transmite date la distanțe, se folosesc antene în formă de fractal, ceea ce le reduce foarte mult dimensiunea și greutatea. Fractalii sunt folosiți pentru a descrie curbura suprafețelor. O suprafață neuniformă este caracterizată de o combinație de doi fractali diferiți.

Multe obiecte din natură au proprietăți fractale, cum ar fi coastele, norii, coroanele copacilor, fulgii de zăpadă, sistemul circulator și sistemul alveolar al oamenilor sau animalelor.

Fractalii, în special în avion, sunt populari pentru combinația lor de frumusețe și ușurință de construcție cu un computer.

Primele exemple de mulțimi auto-similare cu proprietăți neobișnuite au apărut în secolul al XIX-lea (de exemplu, funcția Bolzano, funcția Weierstrass, mulțimea Cantor). Termenul „fractal” a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1975 și a câștigat o mare popularitate odată cu lansarea cărții sale „The Fractal Geometry of Nature” în 1977.

Figura din stânga arată un fractal Darer Pentagon ca exemplu simplu, care arată ca o grămadă de pentagoane strânse împreună. De fapt, se formează folosind un pentagon ca inițiator și triunghiuri isoscele, raportul dintre latura cea mai mare și cea mai mică în care este exact egal cu așa-numitul raport de aur (1,618033989 sau 1/(2cos72°)) ca generator. Aceste triunghiuri sunt tăiate de la mijlocul fiecărui pentagon, rezultând o formă care arată ca 5 pentagoane mici lipite de unul mare.

Teoria haosului spune că sistemele neliniare complexe sunt ereditar imprevizibile, dar în același timp susține că modul de exprimare a unor astfel de sisteme imprevizibile se dovedește a fi adevărat nu în egalități exacte, ci în reprezentări ale comportamentului sistemului - în grafice ale atractorilor ciudați care arată ca niște fractali. Astfel, teoria haosului, considerată de mulți drept imprevizibilitate, se dovedește a fi știința predictibilității chiar și în cele mai instabile sisteme. Doctrina sistemelor dinamice arată că ecuațiile simple pot genera un astfel de comportament haotic în care sistemul nu revine niciodată la o stare stabilă și nicio regularitate nu apare în același timp. Adesea, astfel de sisteme se comportă destul de normal până la o anumită valoare a unui parametru cheie, apoi experimentează o tranziție în care există două posibilități de dezvoltare ulterioară, apoi patru și, în final, un set haotic de posibilități.

Schemele proceselor care au loc în obiectele tehnice au o structură fractală clar definită. Structura sistemului tehnic minim (ST) presupune fluxul în cadrul TS a două tipuri de procese - principale și suport, iar această împărțire este condiționată și relativă. Orice proces poate fi principal în raport cu procesele suport, iar oricare dintre procesele suport poate fi considerat principal în raport cu procesele suport „lor”. Cercurile din diagramă indică efectele fizice care asigură fluxul acelor procese, pentru care nu este necesar să se creeze special „propriul” TS. Aceste procese sunt rezultatul interacțiunii dintre substanțe, câmpuri, substanțe și câmpuri. Mai exact, efectul fizic este un vehicul, al cărui principiu nu îl putem influența și nu vrem sau nu avem ocazia să intervenim în structura lui.

Fluxul procesului principal prezentat în diagramă este asigurat de existența a trei procese suport care sunt principalele pentru TS care le generează. Din motive de corectitudine, observăm că pentru funcționarea chiar și a unui TS minim, trei procese nu sunt în mod clar suficiente, adică. schema este foarte, foarte exagerată.

Totul nu este la fel de simplu precum se arată în diagramă. Un proces util (necesar unei persoane) nu poate fi efectuat cu o eficiență de 100%. Energia disipată este cheltuită pentru crearea proceselor dăunătoare - încălzire, vibrații etc. Ca urmare, în paralel cu procesul benefic, apar și cele dăunătoare. Nu este întotdeauna posibil să înlocuiți un proces „rău” cu unul „bun”, așa că trebuie organizate noi procese pentru a compensa consecințele care sunt dăunătoare sistemului. Un exemplu tipic este nevoia de combatere a frecării, care obligă să organizăm scheme ingenioase de lubrifiere, să folosească materiale anti-frecare scumpe sau să petreacă timp lubrifiind componentele și piesele sau înlocuindu-le periodic.

În legătură cu existența influenței inevitabile a unui mediu schimbător, un proces util poate fi necesar să fie controlat. Managementul poate fi efectuat atât cu ajutorul dispozitivelor automate, cât și direct de către o persoană. Diagrama de proces este de fapt un set de comenzi speciale, de ex. algoritm. Esența (descrierea) fiecărei comenzi este o combinație a unui singur proces util, care însoțește procesele dăunătoare și un set de procese de control necesare. Într-un astfel de algoritm, setul de procese suport este o subrutină obișnuită - și aici găsim și un fractal. Metoda lui R. Koller, creată în urmă cu un sfert de secol, face posibilă crearea de sisteme cu un set destul de limitat de doar 12 perechi de funcții (procese).

Seturi auto-asemănătoare cu proprietăți neobișnuite în matematică

Începând de la sfârșitul secolului al XIX-lea, în matematică au apărut exemple de obiecte autosimilare cu proprietăți patologice din punct de vedere al analizei clasice. Acestea includ următoarele:

setul Cantor este un set perfect de nenumărat nicăieri dens. Prin modificarea procedurii, se poate obține, de asemenea, un set nicăieri dens de lungime pozitivă.

triunghiul Sierpinski („fața de masă”) și covorul Sierpinski sunt analogi ale lui Cantor așezat în avion.

Buretele lui Menger - un analog al lui Cantor situat în spațiul tridimensional;

exemple de Weierstrass și van der Waerden ale unei funcții continue diferențiabile nicăieri.

Curba Koch - o curbă continuă care nu se intersectează cu sine de lungime infinită care nu are tangentă în niciun punct;

curba Peano este o curbă continuă care trece prin toate punctele unui pătrat.

De asemenea, traiectoria unei particule browniene nu este diferențiabilă cu probabilitatea 1. Dimensiunea lui Hausdorff este de două

Procedura recursiva pentru obtinerea curbelor fractale

Construcția curbei Koch

Există o procedură recursivă simplă pentru obținerea curbelor fractale într-un plan. Definim o linie întreruptă arbitrară cu un număr finit de legături, numită generator. În continuare, înlocuim fiecare segment din el cu un generator (mai precis, o linie întreruptă similară unui generator). În linia întreruptă rezultată, înlocuim din nou fiecare segment cu un generator. Continuând până la infinit, în limită obținem o curbă fractală. Figura din dreapta arată primii patru pași ai acestei proceduri pentru curba Koch.

Exemple de astfel de curbe sunt:

curba dragonului,

curba Koch (fulg de zăpadă Koch),

Curba Levy,

curba Minkowski,

curba Hilbert,

Dragon rupt (curb) (Fractal Harter-Hateway),

curba Peano.

Folosind o procedură similară, se obține un arbore pitagoreic.

Fractalii ca puncte fixe de mapări de contracție

Proprietatea de auto-asemănare poate fi exprimată matematic riguros după cum urmează. Fie hărți de contracție ale avionului. Luați în considerare următoarea mapare pe mulțimea tuturor submulților compacte (închise și mărginite) ale planului:

Se poate arăta că maparea este o mapare de contracție pe mulțimea de mulțimi compacte cu metrica Hausdorff. Prin urmare, după teorema lui Banach, această mapare are un punct fix unic. Acest punct fix va fi fractalul nostru.

Procedura recursivă pentru obținerea curbelor fractale descrisă mai sus este un caz special al acestei construcții. În ea, toate mapările sunt mapări similare și reprezintă numărul de linkuri generatoare.

Pentru triunghiul Sierpinski și maparea , , sunt homoteții cu centre la vârfurile unui triunghi regulat și coeficient 1/2. Este ușor de observat că triunghiul Sierpinski se transformă în sine sub cartografiere.

În cazul în care mapările sunt transformări de similaritate cu coeficienți , dimensiunea fractalului (în unele condiții tehnice suplimentare) poate fi calculată ca soluție a ecuației . Deci, pentru triunghiul Sierpinski obținem .

Conform aceleiași teoreme Banach, pornind de la orice mulțime compactă și aplicând acesteia iterații ale mapării, obținem o succesiune de mulțimi compacte convergente (în sensul metricii Hausdorff) către fractalul nostru.

Fractali în dinamică complexă

Julia a stabilit

Un alt set de Julia

Fractalii apar în mod natural în studiul sistemelor dinamice neliniare. Cel mai studiat caz este atunci când sistemul dinamic este definit prin iterații ale unui polinom sau ale unei funcții holomorfe a unei variabile complexe pe plan. Primele studii în această zonă datează de la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele de Fatou și Julia.

Lasa F(z) - polinom, z 0 este un număr complex. Luați în considerare următoarea secvență: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Suntem interesați de comportamentul acestei secvențe așa cum avem tendința de a face n catre infinit. Această secvență poate:

tinde spre infinit

străduiește-te pentru final

prezintă un comportament ciclic în limită, de exemplu: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

să se comporte haotic, adică să nu demonstreze niciunul dintre cele trei tipuri de comportament menționate.

Seturi de valori z 0, pentru care secvența prezintă un anumit tip de comportament, precum și seturi de puncte de bifurcație între diferite tipuri, au adesea proprietăți fractale.

Astfel, mulțimea Julia este mulțimea punctelor de bifurcație pentru polinom F(z)=z 2 +c(sau altă funcție similară), adică acele valori z 0 , pentru care comportamentul secvenței ( z n) se poate schimba dramatic cu modificări arbitrar mici z 0 .

O altă opțiune pentru obținerea mulțimilor fractale este introducerea unui parametru în polinom F(z) și luând în considerare setul acelor valori ale parametrilor pentru care secvența ( z n) demonstrează un anumit comportament pentru un fix z 0 . Astfel, mulțimea Mandelbrot este mulțimea tuturor pentru care ( z n) pentru F(z)=z 2 +cși z 0 nu merge la infinit.

Un alt exemplu binecunoscut de acest fel sunt bazinele lui Newton.

Este popular să se creeze imagini grafice frumoase pe baza dinamicii complexe prin colorarea punctelor plane în funcție de comportamentul sistemelor dinamice corespunzătoare. De exemplu, pentru a completa setul Mandelbrot, puteți colora punctele în funcție de viteza de efort ( z n) la infinit (definit, să zicem, ca cel mai mic număr n, unde | z n| depășește o valoare mare fixă A.

Biomorfii sunt fractali construiți pe baza unei dinamici complexe și asemănătoare cu organismele vii.

Fractali stocastici

Fractal randomizat bazat pe setul Julia

Obiectele naturale au adesea o formă fractală. Pentru modelarea lor se pot folosi fractali stocastici (aleatorii). Exemple de fractali stocastici:

traiectoria mișcării browniene în plan și în spațiu;

limita traiectoriei mișcării browniene pe plan. În 2001, Lawler, Schramm și Werner au demonstrat conjectura lui Mandelbrot că dimensiunea sa este 4/3.

Evoluțiile Schramm-Löwner sunt curbe fractale conform invariante care apar în modelele critice bidimensionale ale mecanicii statistice, de exemplu, în modelul Ising și percolație.

diverse tipuri de fractali randomizați, adică fractali obținuți folosind o procedură recursivă, în care se introduce un parametru aleator la fiecare pas. Plasma este un exemplu de utilizare a unui astfel de fractal în grafica computerizată.

În natură

Vedere frontală a traheei și bronhiilor

arbore bronșic

rețeaua de vase de sânge

Aplicație

Stiintele Naturii

În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi fluxul de fluid turbulent, procesele complexe de difuzie-adsorbție, flăcări, nori etc. Fractalii sunt utilizați la modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populații și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge).

Inginerie radio

antene fractale

Utilizarea geometriei fractale în proiectarea dispozitivelor de antenă a fost aplicată pentru prima dată de inginerul american Nathan Cohen, care locuia atunci în centrul orașului Boston, unde era interzisă instalarea de antene externe pe clădiri. Nathan a decupat o figură sub forma unei curbe Koch din folie de aluminiu și a lipit-o pe o coală de hârtie, apoi a atașat-o de receptor. Cohen și-a fondat propria companie și a lansat producția lor în serie.

Informatica

Compresia imaginii

Articolul principal: Algoritmul de compresie fractală

arbore fractal

Există algoritmi de compresie a imaginilor care folosesc fractali. Ele se bazează pe ideea că în locul imaginii în sine, puteți stoca o hartă de contracție pentru care această imagine (sau unele apropiate) este un punct fix. Una dintre variantele acestui algoritm a fost folosită [ sursa nespecificata 895 zile] de Microsoft atunci când și-a publicat enciclopedia, dar acești algoritmi nu au fost folosiți pe scară largă.

Grafică pe computer

Un alt arbore fractal

Fractalii sunt folosiți pe scară largă în grafica computerizată pentru a construi imagini ale obiectelor naturale, cum ar fi copacii, tufișurile, peisajele montane, suprafețele mării și așa mai departe. Există multe programe folosite pentru a genera imagini fractale, vezi Fractal Generator (program).

rețele descentralizate

Sistemul de atribuire a adresei IP al lui Netsukuku folosește principiul compresiei informațiilor fractale pentru a stoca în mod compact informații despre nodurile rețelei. Fiecare nod din rețeaua Netsukuku stochează doar 4 KB de informații despre starea nodurilor învecinate, în timp ce orice nod nou se conectează la rețeaua generală fără a fi nevoie de o reglementare centrală a distribuției adreselor IP, ceea ce, de exemplu, este tipic pentru Internet. Astfel, principiul compresiei informațiilor fractale garantează o funcționare complet descentralizată și, prin urmare, cea mai stabilă a întregii rețele.

Instituție de învățământ bugetar municipal

„Școala secundară nr. 3 Siverskaya”

Cercetare

matematică.

A făcut treaba

elev de clasa a VIII-a

Emelin Pavel

supraveghetor

profesor de matematică

Tupitsyna Natalya Alekseevna

p. Siversky

anul 2014

Matematica este impregnată de frumusețe și armonie,

Trebuie doar să vezi această frumusețe.

B. Mandelbrot

Introducere

Capitolul 1. Istoria apariției fractalilor _______ 5-6 p.

Capitolul 2. Clasificarea fractalilor._________________6-10pp.

fractali geometrici

Fractali algebrici

Fractali stocastici

Capitolul 3. „Geometria fractală a naturii” ______ 11-13pp.

Capitolul 4. Aplicarea fractalilor _______________13-15pp.

Capitolul 5 Lucrări practice __________________ 16-24pp.

Concluzie_________________________________25.pag

Lista literaturii și resurselor de pe Internet _______ 26 p.

Introducere

Matematică,

daca te uiti bine,

reflectă nu numai adevărul,

dar si o frumusete incomparabila.

Bertrand Russell

Cuvântul „fractal” este ceva despre care mulți oameni vorbesc în aceste zile, de la oameni de știință până la liceeni. Apare pe coperta multor manuale de matematică, reviste științifice și cutii de software pentru computer. Imaginile color ale fractalilor astăzi pot fi găsite peste tot: de la cărți poștale, tricouri până la imagini de pe desktopul unui computer personal. Deci, care sunt aceste forme colorate pe care le vedem în jur?

Matematica este cea mai veche știință. Majorității oamenilor li s-a părut că geometria în natură se limitează la forme atât de simple precum o linie, un cerc, un poligon, o sferă și așa mai departe. După cum sa dovedit, multe sisteme naturale sunt atât de complexe încât utilizarea numai a obiectelor familiare de geometrie obișnuită pentru a le modela pare fără speranță. Cum, de exemplu, să construim un model al unui lanț de munți sau al unei coroane de copac în ceea ce privește geometria? Cum să descriem diversitatea diversității biologice pe care o observăm în lumea plantelor și animalelor? Cum să ne imaginăm întreaga complexitate a sistemului circulator, constând din multe capilare și vase și care furnizează sânge în fiecare celulă a corpului uman? Imaginați-vă structura plămânilor și a rinichilor, asemănătoare cu copaci cu o coroană ramificată în structură?

Fractalii sunt un mijloc potrivit pentru a explora întrebările puse. Adesea ceea ce vedem în natură ne intrigă cu repetarea nesfârșită a aceluiași tipar, mărit sau redus de mai multe ori. De exemplu, un copac are ramuri. Aceste ramuri au ramuri mai mici și așa mai departe. Teoretic, elementul „furcă” se repetă de nenumărate ori, devenind din ce în ce mai mic. Același lucru poate fi văzut atunci când priviți o fotografie a unui teren muntos. Încercați să măriți puțin lanțul muntos --- veți vedea din nou munții. Așa se manifestă proprietatea auto-asemănării caracteristică fractalilor.

Studiul fractalilor deschide posibilități minunate, atât în ​​studiul unui număr infinit de aplicații, cât și în domeniul matematicii. Utilizarea fractalilor este foarte extinsă! Până la urmă, aceste obiecte sunt atât de frumoase încât sunt folosite de designeri, artiști, cu ajutorul lor sunt desenate în grafică multe elemente de copaci, nori, munți etc. Dar fractalii sunt folosiți chiar și ca antene în multe telefoane mobile.

Pentru mulți haologi (oameni de știință care studiază fractalii și haosul), acesta nu este doar un nou domeniu de cunoaștere care combină matematica, fizica teoretică, arta și tehnologia computerelor - aceasta este o revoluție. Aceasta este descoperirea unui nou tip de geometrie, geometria care descrie lumea din jurul nostru și care poate fi văzută nu numai în manuale, ci și în natură și peste tot în universul nemărginit..

În munca mea, am decis să „ating” lumea frumuseții și m-am hotărât pentru mine...

Obiectiv: crearea de obiecte care sunt foarte asemănătoare cu natura.

Metode de cercetare Cuvinte cheie: analiză comparativă, sinteză, modelare.

Sarcini:

cunoașterea conceptului, istoriei apariției și cercetării lui B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky și alții;

familiarizarea cu diferite tipuri de mulțimi fractale;

studiul literaturii de știință populară pe această problemă, cunoaștere

ipoteze științifice;

găsirea confirmării teoriei fractalității lumii înconjurătoare;

studiul utilizării fractalilor în alte științe și în practică;

efectuarea unui experiment pentru a crea propriile imagini fractale.

Întrebarea de bază a postului:

Arătați că matematica nu este o materie uscată, fără suflet, ea poate exprima lumea spirituală a unei persoane în mod individual și în societate în ansamblu.

Subiect de studiu: Geometrie fractală.

Obiect de studiu: fractali în matematică și în lumea reală.

Ipoteză: Tot ceea ce există în lumea reală este un fractal.

Metode de cercetare: analitic, căutare.

Relevanţă a temei declarate este determinată, în primul rând, de subiectul cercetării, care este geometria fractală.

Rezultate asteptate: Pe parcursul activității, voi putea să-mi extind cunoștințele în domeniul matematicii, să văd frumusețea geometriei fractale și să încep să lucrez la crearea propriilor fractali.

Rezultatul lucrării va fi realizarea unei prezentări pe computer, a unui buletin și a unei broșuri.

Capitolul 1

B Enua Mandelbrot

Termenul „fractal” a fost inventat de Benoit Mandelbrot. Cuvântul provine din latinescul „fractus”, care înseamnă „frânt, spulberat”.

Fractal (lat. fractus - zdrobit, spart, spart) - un termen care înseamnă o figură geometrică complexă cu proprietatea de auto-asemănare, adică compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară întregii figuri în ansamblu.

Obiectele matematice la care se referă se caracterizează prin proprietăți extrem de interesante. În geometria obișnuită, o linie are o dimensiune, o suprafață are două dimensiuni și o figură spațială este tridimensională. Fractalii, pe de altă parte, nu sunt linii sau suprafețe, ci, dacă vă puteți imagina, ceva între ele. Odată cu creșterea dimensiunii, și volumul fractalului crește, dar dimensiunea (exponentul) acestuia nu este un număr întreg, ci o valoare fracțională și, prin urmare, granița figurii fractale nu este o linie: la o mărire mare, devine clară. că este încețoșată și constă din spirale și bucle, repetând în mic scara figurii în sine. O astfel de regularitate geometrică se numește invarianță la scară sau auto-similaritate. Ea este cea care determină dimensiunea fracțională a figurilor fractale.

Înainte de apariția geometriei fractale, știința s-a ocupat de sisteme conținute în trei dimensiuni spațiale. Datorită lui Einstein, a devenit clar că spațiul tridimensional este doar un model al realității, și nu realitatea în sine. De fapt, lumea noastră este situată într-un continuum spațiu-timp cu patru dimensiuni.
Datorită lui Mandelbrot, a devenit clar cum arată un spațiu cu patru dimensiuni, la figurat vorbind, chipul fractal al Haosului. Benoit Mandelbrot a descoperit că a patra dimensiune include nu numai primele trei dimensiuni, ci și (acest lucru este foarte important!) intervalele dintre ele.

Geometria recursivă (sau fractală) înlocuiește euclidianul. Noua știință este capabilă să descrie adevărata natură a corpurilor și a fenomenelor. Geometria euclidiană s-a ocupat doar de obiecte artificiale, imaginare, aparținând trei dimensiuni. Doar a patra dimensiune le poate transforma în realitate.

Lichid, gaz, solid sunt cele trei stări fizice uzuale ale materiei care există în lumea tridimensională. Dar care este dimensiunea pufului de fum, a norilor sau, mai degrabă, a granițelor lor, continuu estompate de mișcarea turbulentă a aerului?

Practic, fractalii sunt clasificați în trei grupuri:

Fractali algebrici

Fractali stocastici

fractali geometrici

Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre ele.

Capitolul 2. Clasificarea fractalilor

fractali geometrici

Benoit Mandelbrot a propus un model fractal, care a devenit deja un clasic și este adesea folosit pentru a demonstra atât un exemplu tipic al fractalului în sine, cât și pentru a demonstra frumusețea fractalilor, care atrage, de asemenea, cercetători, artiști și oameni pur și simplu interesați.

Cu ei a început istoria fractalilor. Acest tip de fractali este obținut prin construcții geometrice simple. De obicei, la construirea acestor fractali, se procedează după cum urmează: se ia o „sămânță” - o axiomă - un set de segmente, pe baza cărora va fi construit fractalul. În plus, acestei „sămânțe” i se aplică un set de reguli, care o transformă într-o figură geometrică. În plus, același set de reguli este din nou aplicat fiecărei părți a acestei figuri. Cu fiecare pas, figura va deveni din ce în ce mai complexă, iar dacă realizăm (cel puțin în minte) un număr infinit de transformări, vom obține un fractal geometric.

Fractalii din această clasă sunt cei mai vizuali, deoarece sunt imediat vizibili auto-asemănări la orice scară de observație. În cazul bidimensional, astfel de fractali pot fi obținuți prin specificarea unei linii întrerupte, numită generator. Într-o etapă a algoritmului, fiecare dintre segmentele care alcătuiesc linia întreruptă este înlocuită cu un generator de linie întreruptă, la scara corespunzătoare. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri (sau, mai precis, la trecerea la limită), se obține o curbă fractală. Cu complexitatea aparentă a curbei rezultate, forma sa generală este dată doar de forma generatorului. Exemple de astfel de curbe sunt: ​​curba Koch (Fig.7), curba Peano (Fig.8), curba Minkowski.

La începutul secolului al XX-lea, matematicienii căutau curbe care nu aveau în niciun moment o tangentă. Aceasta a însemnat că curba și-a schimbat brusc direcția și, în plus, cu o viteză enorm de mare (derivata este egală cu infinitul). Căutarea acestor curbe a fost cauzată nu doar de interesul inactiv al matematicienilor. Cert este că la începutul secolului al XX-lea, mecanica cuantică s-a dezvoltat foarte rapid. Cercetătorul M. Brown a schițat traiectoria particulelor în suspensie în apă și a explicat acest fenomen după cum urmează: atomii de lichid care se mișcă aleatoriu lovesc particulele suspendate și, prin urmare, le pun în mișcare. După o astfel de explicație a mișcării browniene, oamenii de știință s-au confruntat cu sarcina de a găsi o curbă care să arate cel mai bine mișcarea particulelor browniene. Pentru a face acest lucru, curba trebuia să îndeplinească următoarele proprietăți: să nu aibă tangentă în niciun punct. Matematicianul Koch a propus o astfel de curbă.

La curba Koch este un fractal geometric tipic. Procesul de construcție a acestuia este următorul: luăm un singur segment, îl împărțim în trei părți egale și înlocuim intervalul din mijloc cu un triunghi echilateral fără acest segment. Ca urmare, se formează o linie întreruptă, constând din patru verigi cu lungimea de 1/3. La pasul următor, repetăm ​​operația pentru fiecare dintre cele patru link-uri rezultate și așa mai departe...

Curba limită este curba Koch.

Fulgul de nea Koch. Efectuând o transformare similară pe laturile unui triunghi echilateral, puteți obține o imagine fractală a unui fulg de zăpadă Koch.

T
Un alt reprezentant simplu al unui fractal geometric este Piața Sierpinski. Este construit destul de simplu: pătratul este împărțit prin linii drepte paralele cu laturile sale în 9 pătrate egale. Pătratul central este scos din pătrat. Se dovedește un set format din 8 pătrate rămase de „primul rang”. Făcând același lucru cu fiecare dintre pătratele de primul rang, obținem un set format din 64 de pătrate de al doilea rang. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem o succesiune infinită sau pătrat Sierpinski.

Fractali algebrici

Acesta este cel mai mare grup de fractali. Fractalii algebrici și-au primit numele deoarece sunt construiți folosind formule algebrice simple.

Ele sunt obținute folosind procese neliniare în n-spații dimensionale. Se știe că sistemele dinamice neliniare au mai multe stări stabile. Starea în care se află sistemul dinamic după un anumit număr de iterații depinde de starea sa inițială. Prin urmare, fiecare stare stabilă (sau, după cum se spune, un atractor) are o anumită zonă de stări inițiale, din care sistemul va cădea în mod necesar în stările finale considerate. Astfel, spațiul de fază al sistemului este împărțit în zone de atractie atractori. Dacă spațiul de fază este bidimensional, atunci prin colorarea regiunilor de atracție cu culori diferite, se poate obține portret faza de culoare acest sistem (proces iterativ). Schimbând algoritmul de selecție a culorii, puteți obține modele fractale complexe cu modele multicolore fanteziste. O surpriză pentru matematicieni a fost capacitatea de a genera structuri foarte complexe folosind algoritmi primitivi.

Ca exemplu, luați în considerare mulțimea Mandelbrot. Este construit folosind numere complexe.

O parte a graniței setului Mandelbrot, mărită de 200 de ori.

Setul Mandelbrot contine puncte care in timpulfără sfârşit numărul de iterații nu ajunge la infinit (punctele care sunt negre). Puncte aparținând graniței mulțimii(aici apar structurile complexe) merg la infinit într-un număr finit de iterații, iar punctele aflate în afara mulțimii ajung la infinit după mai multe iterații (fond alb).

P



Un exemplu de alt fractal algebric este mulțimea Julia. Există 2 varietăți ale acestui fractal.În mod surprinzător, mulțimile Julia sunt formate după aceeași formulă ca și mulțimea Mandelbrot. Setul Julia a fost inventat de matematicianul francez Gaston Julia, după care a fost numit setul.

Și
fapt interesant, unii fractali algebrici seamănă izbitor cu imagini de animale, plante și alte obiecte biologice, drept urmare sunt numiți biomorfi.

Fractali stocastici

O altă clasă binecunoscută de fractali sunt fractalii stocastici, care se obțin dacă oricare dintre parametrii săi sunt modificați aleatoriu într-un proces iterativ. Rezultă astfel obiecte foarte asemănătoare cu cele naturale - copaci asimetrici, linii de coastă indentate etc.

Un reprezentant tipic al acestui grup de fractali este „plasma”.

D
Pentru a-l construi, se ia un dreptunghi și se determină o culoare pentru fiecare dintre colțurile sale. Apoi, punctul central al dreptunghiului este găsit și pictat într-o culoare egală cu media aritmetică a culorilor de la colțurile dreptunghiului plus un număr aleator. Cu cât numărul aleatoriu este mai mare, cu atât imaginea va fi mai „ruptă”. Dacă presupunem că culoarea punctului este înălțimea deasupra nivelului mării, vom obține un lanț muntos în loc de plasmă. Pe acest principiu, munții sunt modelați în majoritatea programelor. Folosind un algoritm asemănător cu plasmă, se construiește o hartă a înălțimii, i se aplică diverse filtre, se aplică o textură și munții fotorealistici sunt pregătiți.

E
Dacă ne uităm la acest fractal într-o secțiune, atunci vom vedea că acest fractal este voluminos și are o „rugozitate”, tocmai din cauza acestei „rugozi” există o aplicație foarte importantă a acestui fractal.

Să presupunem că vrei să descrii forma unui munte. Figurile obișnuite din geometria euclidiană nu vor ajuta aici, deoarece nu țin cont de topografia suprafeței. Dar atunci când combinați geometria convențională cu geometria fractală, puteți obține chiar „rugozitatea” muntelui. Plasma trebuie aplicată pe un con obișnuit și vom obține relieful muntelui. Astfel de operații pot fi efectuate cu multe alte obiecte din natură, datorită fractalilor stocastici, natura însăși poate fi descrisă.

Acum să vorbim despre fractali geometrici.

.

Capitolul 3 „Geometria fractală a naturii”

De ce geometria este adesea denumită „rece” și „uscată”? Un motiv este incapacitatea ei de a descrie forma unui nor, munte, coastă sau copac. Norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri, coastele nu sunt cercuri, copac scoarța nu este netedă, ci complexitatea de un nivel complet diferit. Numărul de scări de lungimi diferite ale obiectelor naturale pentru toate scopurile practice este infinit. "

(Benoit Mandelbrot „Geometria fractală a naturii” ).

La Frumusețea fractalilor este dublă: încântă ochiul, așa cum demonstrează cel puțin expoziția mondială de imagini fractale, organizată de un grup de matematicieni din Bremen sub conducerea lui Peitgen și Richter. Ulterior, exponatele acestei expoziții grandioase au fost surprinse în ilustrații pentru cartea „Frumusețea fractalilor” a acelorași autori. Mai există însă un alt aspect, mai abstract sau mai sublim, al frumuseții fractalilor, deschis, după R. Feynman, doar privirii mentale a teoreticianului, în acest sens, fractalii sunt frumoși cu frumusețea unei probleme matematice dificile. Benoit Mandelbrot le-a subliniat contemporanilor săi (și, probabil, descendenților săi) o lacună nefericită în Elementele lui Euclid, conform căreia, neobservând omisiunea, timp de aproape două milenii omenirea a înțeles geometria lumii înconjurătoare și a învățat rigoarea matematică a prezentare. Desigur, ambele aspecte ale frumuseții fractalilor sunt strâns interconectate și nu se exclud, ci se completează reciproc, deși fiecare dintre ele este autosuficient.

Geometria fractală a naturii, conform lui Mandelbrot, este o geometrie reală care satisface definiția geometriei propusă în „Programul Erlangen” al lui F. Klein. Cert este că înainte de apariția geometriei non-euclidiene, N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, a existat o singură geometrie - cea care a fost stabilită în „Începuturi”, iar întrebarea ce este geometria și care dintre geometrii este geometria lumii reale nu a apărut și nu a putut apărea. Dar odată cu apariția unei alte geometrii, a apărut întrebarea ce este geometria în general și care dintre multele geometrii corespunde lumii reale. Potrivit lui F. Klein, geometria studiază astfel de proprietăți ale obiectelor care sunt invariante la transformări: Euclidian - invarianți ai grupului de mișcări (transformări care nu modifică distanța dintre niciunul dintre două puncte, adică reprezentând o suprapunere de translații și rotații paralele cu sau fără schimbarea orientării) , geometria Lobachevsky-Bolyai - invarianți ai grupului Lorentz. Geometria fractală se ocupă cu studiul invarianților grupului de transformări autoafine, i.e. proprietăți exprimate prin legile puterii.

În ceea ce privește corespondența cu lumea reală, geometria fractală descrie o clasă foarte largă de procese și fenomene naturale și, prin urmare, putem, după B. Mandelbrot, să vorbim pe bună dreptate despre geometria fractală a naturii. Nou - obiectele fractale au proprietăți neobișnuite. Lungimile, ariile și volumele unor fractali sunt egale cu zero, altele se întorc la infinit.

Natura creează adesea fractali uimitori și frumoși, cu o geometrie perfectă și o asemenea armonie încât pur și simplu îngheți de admirație. Și iată exemplele lor:

scoici de mare

Fulger admirandu-le frumusetea. Fractalii creați de fulgere nu sunt aleatori sau regulați.

formă fractală subspecie de conopidă(Brassica cauliflora). Acest tip special este un fractal deosebit de simetric.

P ferigă este, de asemenea, un bun exemplu de fractal printre floră.

Păuni toată lumea este cunoscută pentru penajul lor colorat, în care sunt ascunse fractali solide.

Modele de gheață, îngheț pe ferestre, acestea sunt și fractali

O
t imagine mărită pliant, inainte de ramuri de copac- puteți găsi fractali în orice

Fractalii sunt peste tot și peste tot în natura din jurul nostru. Întregul univers este construit după legi surprinzător de armonioase cu precizie matematică. Este posibil după aceea să ne gândim că planeta noastră este un grup aleatoriu de particule? Cu greu.

capitolul 4

Fractalii găsesc din ce în ce mai multe aplicații în știință. Motivul principal pentru aceasta este că ei descriu lumea reală uneori chiar mai bine decât fizica sau matematica tradițională. Aici sunt cateva exemple:

O
zilele celor mai puternice aplicații ale fractalilor se află grafica pe computer. Aceasta este compresia fractală a imaginilor. Fizica și mecanica modernă abia încep să studieze comportamentul obiectelor fractale.

Avantajele algoritmilor de compresie a imaginilor fractale sunt dimensiunea foarte mică a fișierului împachetat și timpul scurt de recuperare a imaginii. Imaginile împachetate fractal pot fi scalate fără apariția pixelizării (calitate slabă a imaginii - pătrate mari). Dar procesul de compresie durează mult și uneori durează ore întregi. Algoritmul de împachetare fractal cu pierderi vă permite să setați nivelul de compresie, similar cu formatul jpeg. Algoritmul se bazează pe căutarea unor bucăți mari din imagine similare unor bucăți mici. Și numai piesa care este similară cu care este scrisă în fișierul de ieșire. La comprimare, se folosește de obicei o grilă pătrată (piesele sunt pătrate), ceea ce duce la o ușoară unghiulare la restaurarea imaginii, o grilă hexagonală nu are un astfel de dezavantaj.

Iterated a dezvoltat un nou format de imagine, „Sting”, care combină compresia fractală și „wave” (cum ar fi jpeg) fără pierderi. Noul format vă permite să creați imagini cu posibilitatea de scalare ulterioară de înaltă calitate, iar volumul fișierelor grafice este de 15-20% din volumul imaginilor necomprimate.

În mecanică și fizică fractalii sunt folosiți datorită proprietății unice de a repeta contururile multor obiecte naturale. Fractalii vă permit să aproximați copacii, suprafețele de munte și fisurile cu o precizie mai mare decât aproximările cu segmente de linie sau poligoane (cu aceeași cantitate de date stocate). Modelele fractale, ca și obiectele naturale, au „rugozitate”, iar această proprietate este păstrată la o creștere arbitrar de mare a modelului. Prezența unei măsuri uniforme pe fractali face posibilă aplicarea integrării, a teoriei potențialului, pentru a le folosi în locul obiectelor standard în ecuațiile deja studiate.

T
Geometria fractală este, de asemenea, folosită proiectarea dispozitivelor de antenă. Acesta a fost folosit pentru prima dată de inginerul american Nathan Cohen, care locuia atunci în centrul Bostonului, unde era interzisă instalarea de antene externe pe clădiri. Cohen a decupat o formă de curbă Koch din folie de aluminiu și apoi a lipit-o pe o bucată de hârtie înainte de a o atașa la un receptor. S-a dovedit că o astfel de antenă nu funcționează mai rău decât una convențională. Și deși principiile fizice ale unei astfel de antene nu au fost studiate până acum, acest lucru nu l-a împiedicat pe Cohen să-și înființeze propria companie și să înființeze producția lor în serie. În acest moment, compania americană „Fractal Antenna System” a dezvoltat un nou tip de antenă. Acum puteți înceta să mai folosiți antene externe proeminente în telefoanele mobile. Așa-numita antenă fractală este situată direct pe placa principală în interiorul dispozitivului.

Există, de asemenea, multe ipoteze despre utilizarea fractalilor - de exemplu, sistemele limfatic și circulator, plămânii și multe altele au și proprietăți fractale.

Capitolul 5. Lucrări practice.

Mai întâi, să ne concentrăm pe fractalii „Colier”, „Victorie” și „Pătrat”.

În primul rând - "Colier"(Fig. 7). Cercul este inițiatorul acestui fractal. Acest cerc este format dintr-un anumit număr de aceleași cercuri, dar de dimensiuni mai mici și el însuși este unul dintre mai multe cercuri care sunt la fel, dar de dimensiuni mai mari. Deci procesul de educație este nesfârșit și se poate desfășura atât într-o direcție, cât și în sens invers. Acestea. figura poate fi mărită luând doar un arc mic, sau poate fi redusă luând în considerare construcția sa din altele mai mici.

orez. 7.

„Colier” fractal

Al doilea fractal este "Victorie"(Fig. 8). El a primit acest nume pentru că în exterior seamănă cu litera latină „V”, adică „victorie”-victorie. Acest fractal constă dintr-un anumit număr de „v” mici, care formează un „V” mare, iar în jumătatea stângă, în care cele mici sunt plasate astfel încât jumătățile lor stângi să formeze o linie dreaptă, partea dreaptă este construită. in acelasi fel. Fiecare dintre acești „v” este construit în același mod și continuă acest lucru la infinit.

Fig.8. Fractal „Victorie”

Al treilea fractal este „Pătrat” (Fig. 9). Fiecare dintre laturile sale este formată dintr-un rând de celule, în formă de pătrate, ale căror laturi reprezintă și rânduri de celule și așa mai departe.

Fig. 9. Fractal „Pătrat”

Fractalul a fost numit „Trandafir” (Fig. 10), datorită asemănării sale exterioare cu această floare. Construcția unui fractal este asociată cu construcția unei serii de cercuri concentrice, a căror rază se modifică proporțional cu un raport dat (în acest caz, R m / R b = ¾ = 0,75.). După aceea, în fiecare cerc este înscris un hexagon regulat, a cărui latură este egală cu raza cercului descris în jurul lui.

Orez. 11. Fractal „Trandafir*”

În continuare, ne întoarcem la pentagonul obișnuit, în care îi desenăm diagonalele. Apoi, în pentagonul obținut la intersecția segmentelor corespunzătoare, desenăm din nou diagonalele. Să continuăm acest proces până la infinit și să obținem fractalul „Pentagramă” (Fig. 12).

Să introducem un element de creativitate și fractalul nostru va lua forma unui obiect mai vizual (Fig. 13).

R
este. 12. Fractal „Pentagramă”.

Orez. 13. Fractal „Pentagramă *”

Orez. 14 fractali „Gaura neagră”

Experimentul nr. 1 „Arborele”

Acum că am înțeles ce este un fractal și cum să construiesc unul, am încercat să-mi creez propriile imagini fractale. În Adobe Photoshop, am creat o mică subrutină sau acțiune, particularitatea acestei acțiuni este că repetă acțiunile pe care le fac și așa obțin un fractal.

Pentru început, am creat un fundal pentru viitorul nostru fractal cu o rezoluție de 600 x 600. Apoi am trasat 3 linii pe acest fundal - baza viitorului nostru fractal.

Cu Următorul pas este să scrieți scenariul.

strat duplicat ( strat > duplicat) și schimbați tipul de amestec în „ Ecran" .

Hai sa-i spunem " fr1". Duplicați acest strat (" fr1") de încă 2 ori.

Acum trebuie să trecem la ultimul strat (fr3) și îmbinați-l de două ori cu precedentul ( ctrl+e). Reduceți luminozitatea stratului ( Imagine > Ajustări > Luminozitate/Contrast , luminozitate setată 50% ). Din nou, îmbinați cu stratul anterior și tăiați marginile întregului desen pentru a elimina părțile invizibile.

Ca pas final, am copiat această imagine și am lipit-o micșorată și rotită. Iată rezultatul final.

Concluzie

Această lucrare este o introducere în lumea fractalilor. Am luat în considerare doar cea mai mică parte din ceea ce sunt fractalii, pe baza principiilor care sunt construite.

Grafica fractală nu este doar un set de imagini care se repetă, este un model al structurii și principiului oricărei ființe. Întreaga noastră viață este reprezentată de fractali. Toată natura din jurul nostru este formată din ele. Trebuie remarcat faptul că fractalii sunt folosiți pe scară largă în jocurile pe calculator, unde terenurile sunt adesea imagini fractale bazate pe modele tridimensionale ale seturilor complexe. Fractalii facilitează foarte mult desenarea graficii pe computer; cu ajutorul fractalilor, sunt create multe efecte speciale, diverse imagini fabuloase și incredibile etc. De asemenea, cu ajutorul geometriei fractale, sunt desenați copaci, nori, coaste și toate celelalte naturi. Grafica fractală este necesară peste tot, iar dezvoltarea „tehnologiilor fractale” este una dintre cele mai importante sarcini de astăzi.

În viitor, intenționez să învăț cum să construiesc fractali algebrici atunci când studiez numerele complexe mai detaliat. De asemenea, vreau să încerc să-mi construiesc propria imagine fractală în limbajul de programare Pascal folosind cicluri.

Trebuie remarcat utilizarea fractalilor în tehnologia computerelor, pe lângă construirea pur și simplu de imagini frumoase pe ecranul unui computer. Fractalii în tehnologia computerelor sunt utilizați în următoarele domenii:

1. Comprimați imagini și informații

2. Ascunderea informațiilor în imagine, în sunet, ...

3. Criptarea datelor folosind algoritmi fractali

4. Crearea muzicii fractale

5. Modelarea sistemului

În munca noastră, nu sunt date toate domeniile cunoașterii umane, unde teoria fractalilor și-a găsit aplicarea. Vrem doar să spunem că nu a trecut mai mult de o treime de secol de la apariția teoriei, dar în acest timp fractalii pentru mulți cercetători au devenit o lumină strălucitoare bruscă în noapte, care a iluminat fapte și modele necunoscute până acum în mod specific. zonele de date. Cu ajutorul teoriei fractalilor, au început să explice evoluția galaxiilor și dezvoltarea celulei, apariția munților și formarea norilor, mișcarea prețurilor la bursă și dezvoltarea societății și a familiei. . Poate că, la început, această pasiune pentru fractali a fost chiar prea furtunoasă și încercările de a explica totul folosind teoria fractalilor au fost nejustificate. Dar, fără îndoială, această teorie are dreptul să existe și regretăm că în ultima vreme a fost cumva uitată și a rămas soarta elitei. În pregătirea acestei lucrări, a fost foarte interesant pentru noi să găsim aplicații ale TEORIEI în PRACTICĂ. Pentru că de foarte multe ori există sentimentul că cunoștințele teoretice se deosebesc de realitatea vieții.

Astfel, conceptul de fractali devine nu numai o parte a științei „pure”, ci și un element al culturii umane. Știința fractală este încă foarte tânără și are un viitor mare în față. Frumusețea fractalilor este departe de a fi epuizată și încă ne va oferi multe capodopere - cele care încântă ochiul și cele care aduc adevărată plăcere minții.

10. Referințe

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fractali și multifractali. RHD 2001 .

Vitolin D. Utilizarea fractalilor în grafica computerizată. // Computerworld-Rusia.-1995

Mandelbrot B. Seturi de fractali autoafine, „Fractali în fizică”. M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii. - M.: „Institutul de Cercetări Informatice”, 2002.

Morozov A.D. Introducere în teoria fractalilor. Nijni Novgorod: Editura Nizhegorod. universitate 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Frumusețea fractalilor. - M.: „Mir”, 1993.

Resurse de internet

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Fractalii sunt cunoscuți de aproape un secol, sunt bine studiati și au numeroase aplicații în viață. Acest fenomen se bazează pe o idee foarte simplă: un număr infinit de figuri în frumusețe și varietate pot fi obținute din structuri relativ simple folosind doar două operații - copiere și scalare.

Acest concept nu are o definiție strictă. Prin urmare, cuvântul „fractal” nu este un termen matematic. Acesta este de obicei numele unei figuri geometrice care satisface una sau mai multe dintre următoarele proprietăți:

• are o structură complexă la orice mărire;
• este (aproximativ) auto-similar;
• are o dimensiune Hausdorff (fractală) fracțională, care este mai mare decât cea topologică;
• poate fi construit prin proceduri recursive.

La începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea, studiul fractalilor era mai mult episodic decât sistematic, deoarece matematicienii anteriori studiau în principal obiectele „bune” care puteau fi studiate folosind metode și teorii generale. În 1872, matematicianul german Karl Weierstrass a construit un exemplu de funcție continuă care nu poate fi diferențiată nicăieri. Cu toate acestea, construcția sa a fost în întregime abstractă și greu de înțeles. Prin urmare, în 1904, suedezul Helge von Koch a venit cu o curbă continuă care nu are tangentă nicăieri și este destul de simplu să o desenezi. S-a dovedit că are proprietățile unui fractal. O variație a acestei curbe se numește fulg de zăpadă Koch.

Ideile de auto-asemănare a figurilor au fost preluate de francezul Paul Pierre Levy, viitorul mentor al lui Benoit Mandelbrot. În 1938, a fost publicat articolul său „Plane and spatial curves and surfaces consisting of parts similar to the whole”, în care este descris un alt fractal - curba C Lévy. Toți fractalii de mai sus pot fi atribuiți condiționat unei singure clase de fractali constructivi (geometrici).

O altă clasă este fractalii dinamici (algebrici), care includ mulțimea Mandelbrot. Primele studii în această direcție datează de la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele matematicienilor francezi Gaston Julia și Pierre Fatou. În 1918, au fost publicate aproape două sute de pagini din lucrarea Iuliei, dedicate iterațiilor de funcții raționale complexe, în care sunt descrise mulțimi Julia - o întreagă familie de fractali strâns legate de mulțimea Mandelbrot. Această lucrare a fost distinsă cu premiul Academiei Franceze, dar nu conținea o singură ilustrație, așa că a fost imposibil de apreciat frumusețea obiectelor descoperite. În ciuda faptului că această lucrare a făcut-o celebră pe Julia printre matematicienii vremii, a fost rapid uitată.

Abia o jumătate de secol mai târziu, odată cu apariția computerelor, atenția s-a îndreptat către munca lui Julia și Fatou: ei au făcut vizibilă bogăția și frumusețea lumii fractalilor. La urma urmei, Fatou nu s-ar putea uita niciodată la imaginile pe care le cunoaștem acum ca imagini ale setului Mandelbrot, deoarece numărul necesar de calcule nu poate fi făcut manual. Prima persoană care a folosit un computer pentru asta a fost Benoit Mandelbrot.

În 1982, a fost publicată cartea lui Mandelbrot „Geometria fractală a naturii”, în care autorul a colectat și sistematizat aproape toate informațiile despre fractali disponibile la acea vreme și le-a prezentat într-o manieră ușoară și accesibilă. Mandelbrot a pus accentul principal în prezentarea sa nu pe formule grele și construcții matematice, ci pe intuiția geometrică a cititorilor. Datorită ilustrațiilor generate de computer și poveștilor istorice, cu care autorul a diluat cu pricepere componenta științifică a monografiei, cartea a devenit un bestseller, iar fractalii au devenit cunoscuți publicului larg. Succesul lor în rândul non-matematicienilor se datorează în mare măsură faptului că cu ajutorul unor construcții și formule foarte simple pe care chiar și un licean le poate înțelege, se obțin imagini de o complexitate și frumusețe uimitoare. Când computerele personale au devenit suficient de puternice, a apărut chiar și o întreagă tendință în artă - pictura fractală și aproape orice proprietar de computer ar putea să o facă. Acum pe Internet puteți găsi cu ușurință multe site-uri dedicate acestui subiect.

Bună tuturor! Numele meu este, Ribenek Valeria, Ulyanovsk și astăzi voi posta câteva dintre articolele mele științifice pe site-ul LCI.

Primul meu articol științific din acest blog îi va fi dedicat fractali. Voi spune imediat că articolele mele sunt concepute pentru aproape orice public. Acestea. Sper că vor fi de interes atât pentru școlari, cât și pentru elevi.

Recent am aflat despre obiecte atât de interesante ale lumii matematice precum fractalii. Dar ele există nu numai în matematică. Ne înconjoară peste tot. Fractalii sunt naturali. Despre ce sunt fractalii, despre tipurile de fractali, despre exemple ale acestor obiecte și aplicarea lor, voi spune în acest articol. Pentru început, vă voi spune pe scurt ce este un fractal.

Fractal(lat. fractus - zdrobit, spart, spart) este o figură geometrică complexă care are proprietatea auto-asemănării, adică este compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară cu întreaga figură în ansamblu. Într-un sens mai larg, fractalii sunt înțeleși ca seturi de puncte din spațiul euclidian care au o dimensiune metrică fracțională (în sensul lui Minkowski sau Hausdorff) sau o dimensiune metrică, alta decât cea topologică. De exemplu, voi insera o imagine cu patru fractali diferiți.

Permiteți-mi să vă spun puțin despre istoria fractalilor. Conceptele de geometrie fractală și fractală, care au apărut la sfârșitul anilor '70, au devenit ferm stabilite în viața de zi cu zi a matematicienilor și programatorilor încă de la mijlocul anilor '80. Cuvântul „fractal” a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a se referi la structurile neregulate, dar auto-asemănătoare pe care le-a studiat. Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu publicarea în 1977 a cărții lui Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale altor oameni de știință care au lucrat în perioada 1875-1925 în același domeniu (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Dar numai în vremea noastră a fost posibilă combinarea muncii lor într-un singur sistem.

Există multe exemple de fractali, pentru că, așa cum am spus, ei ne înconjoară peste tot. În opinia mea, chiar și întregul nostru Univers este un fractal imens. La urma urmei, totul în el, de la structura atomului până la structura Universului însuși, se repetă exact unul pe celălalt. Dar există, desigur, exemple mai specifice de fractali din diferite zone. Fractalii, de exemplu, sunt prezenți în dinamica complexă. Acolo apar în mod natural în studiul neliniarului sisteme dinamice. Cel mai studiat caz este atunci când sistemul dinamic este specificat prin iterații polinom sau holomorf funcţia unui complex de variabile la suprafata. Unii dintre cei mai faimoși fractali de acest tip sunt setul Julia, setul Mandelbrot și bazinele Newton. Mai jos, în ordine, imaginile arată fiecare dintre fractalii de mai sus.

Un alt exemplu de fractali sunt curbele fractale. Cel mai bine este să explicați cum să construiți un fractal folosind exemplul curbelor fractale. O astfel de curbă este așa-numita Koch Snowflake. Există o procedură simplă pentru obținerea curbelor fractale pe un plan. Definim o linie întreruptă arbitrară cu un număr finit de legături, numită generator. În continuare, înlocuim fiecare segment din el cu un generator (mai precis, o linie întreruptă similară unui generator). În linia întreruptă rezultată, înlocuim din nou fiecare segment cu un generator. Continuând până la infinit, în limită obținem o curbă fractală. Mai jos este afișat un fulg de zăpadă Koch (sau curbă).

Există, de asemenea, o mulțime de curbe fractale. Cele mai cunoscute dintre ele sunt deja amintita Koch Snowflake, precum și curba Levy, curba Minkowski, Dragonul spart, curba Piano și arborele Pitagore. O imagine a acestor fractali și a istoriei lor, cred că, dacă doriți, o puteți găsi cu ușurință pe Wikipedia.

Al treilea exemplu sau tip de fractali sunt fractalii stocastici. Astfel de fractali includ traiectoria mișcării browniene pe un plan și în spațiu, evoluții Schramm-Löwner, diverse tipuri de fractali randomizati, adică fractali obținuți printr-o procedură recursivă, în care se introduce un parametru aleator la fiecare pas.

Există și fractali pur matematici. Acestea sunt, de exemplu, setul Cantor, buretele Menger, triunghiul Sierpinski și altele.

Dar poate că cei mai interesanți fractali sunt cei naturali. Fractalii naturali sunt obiecte din natură care au proprietăți fractale. Și există deja o listă mare. Nu voi enumera totul, pentru că, probabil, nu le pot enumera pe toate, dar voi povesti despre unele. De exemplu, în natura vie, astfel de fractali includ sistemul nostru circulator și plămânii. Și, de asemenea, coroanele și frunzele copacilor. Tot aici poti include stele de mare, arici de mare, corali, scoici, unele plante, precum varza sau broccoli. Mai jos, câțiva astfel de fractali naturali din fauna sălbatică sunt afișați clar.

Dacă luăm în considerare natura neînsuflețită, atunci există exemple mult mai interesante decât în ​​natura vie. Fulgere, fulgi de zăpadă, nori, cunoscuți de toată lumea, modele pe ferestre în zilele geroase, cristale, lanțuri muntoase - toate acestea sunt exemple de fractali naturali din natura neînsuflețită.

Am luat în considerare exemple și tipuri de fractali. În ceea ce privește utilizarea fractalilor, aceștia sunt utilizați în diverse domenii ale cunoașterii. În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi fluxul de fluid turbulent, procesele complexe de difuzie-adsorbție, flăcări, nori etc. Fractalii sunt utilizați la modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populații și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge). După crearea curbei Koch, s-a propus utilizarea acesteia la calcularea lungimii liniei de coastă. De asemenea, fractalii sunt utilizați activ în inginerie radio, în informatică și tehnologia computerelor, în telecomunicații și chiar în economie. Și, desigur, viziunea fractală este folosită în mod activ în arta și arhitectura contemporană. Iată un exemplu de picturi fractale:

Și, așadar, mă gândesc să-mi completez povestea despre un fenomen matematic atât de neobișnuit ca un fractal. Astăzi am aflat despre ce este un fractal, cum a apărut, despre tipurile și exemplele de fractali. Și am vorbit și despre aplicarea lor și am demonstrat clar unii dintre fractali. Sper că v-a plăcut această scurtă excursie în lumea obiectelor fractale uimitoare și fermecatoare.