Mulți oameni se întreabă cum să rotunjească numerele. Această nevoie apare adesea pentru persoanele care își conectează viața cu contabilitate sau alte activități care necesită calcule. Rotunjirea se poate face la numere întregi, zecimi și așa mai departe. Și trebuie să știi cum să o faci corect, astfel încât calculele să fie mai mult sau mai puțin precise.

Oricum, ce este un număr rotund? Este cel care se termină cu 0 (în cea mai mare parte). În viața de zi cu zi, capacitatea de a rotunji numerele facilitează foarte mult călătoriile la cumpărături. La casă, puteți estima aproximativ costul total al achizițiilor, puteți compara cât costă un kilogram din același produs în pachete de diferite greutăți. Cu numerele reduse la o formă convenabilă, este mai ușor să faci calcule mentale fără a apela la ajutorul unui calculator.

De ce sunt rotunjite numerele în sus?

O persoană tinde să rotunjească orice numere în cazurile în care trebuie efectuate operațiuni mai simplificate. De exemplu, un pepene galben cântărește 3.150 de kilograme. Când o persoană le spune prietenilor despre câte grame are un fruct sudic, el poate fi considerat un interlocutor nu foarte interesant. Expresii precum „Așa că am cumpărat un pepene galben de trei kilograme” sună mult mai concise, fără a intra în tot felul de detalii inutile.

Interesant este că chiar și în știință nu este nevoie să se ocupe întotdeauna de cele mai precise numere. Și dacă vorbim de fracții infinite periodice, care au forma 3,33333333 ... 3, atunci acest lucru devine imposibil. Prin urmare, cea mai logică opțiune ar fi pur și simplu să le rotunjiți. De regulă, rezultatul după aceea este ușor distorsionat. Deci, cum rotunjiți numerele?

Câteva reguli importante pentru rotunjirea numerelor

Deci, dacă doriți să rotunjiți un număr, este important să înțelegeți principiile de bază ale rotunjirii? Aceasta este o operațiune de modificare care vizează reducerea numărului de zecimale. Pentru a efectua această acțiune, trebuie să cunoașteți câteva reguli importante:

1. Dacă numărul cifrei necesare este în intervalul 5-9, se efectuează rotunjirea în sus.
2. Dacă numărul cifrei dorite este între 1-4, se efectuează rotunjirea în jos.

De exemplu, avem numărul 59. Trebuie să-l rotunjim. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați numărul 9 și să adăugați unul pentru a obține 60. Acesta este răspunsul la întrebarea cum să rotunjiți numerele. Acum să luăm în considerare cazurile speciale. De fapt, ne-am dat seama cum să rotunjim un număr la zeci folosind acest exemplu. Acum rămâne doar să punem în practică aceste cunoștințe.

Cum se rotunjește un număr la numere întregi

Se întâmplă adesea să fie nevoie să rotunjiți, de exemplu, numărul 5,9. Această procedură nu este dificilă. Mai întâi trebuie să omitem virgula, iar la rotunjire, apare în fața ochilor noștri numărul deja familiar 60. Și acum punem virgula și obținem 6.0. Și din moment ce zerourile în zecimale sunt de obicei omise, ajungem la numărul 6.

O operație similară poate fi efectuată cu numere mai complexe. De exemplu, cum rotunjiți numere precum 5,49 la numere întregi? Totul depinde de ce obiective ți-ai stabilit. În general, conform regulilor matematicii, 5,49 încă nu este 5,5. Prin urmare, nu poate fi rotunjit. Dar îl poți rotunji până la 5,5, după care devine legală rotunjirea până la 6. Dar acest truc nu funcționează întotdeauna, așa că trebuie să fii extrem de atent.

În principiu, un exemplu de rotunjire corectă a unui număr la zecimi a fost deja luat în considerare mai sus, așa că acum este important să afișați doar principiul principal. De fapt, totul se întâmplă aproximativ în același mod. Dacă cifra care se află în a doua poziție după virgulă zecimală este în intervalul 5-9, atunci este în general eliminată, iar cifra din fața acesteia este mărită cu unu. Dacă este mai mică de 5, atunci această cifră este eliminată, iar cea anterioară rămâne la locul ei.

De exemplu, de la 4,59 la 4,6, numărul „9” dispare și unul se adaugă celor cinci. Dar când se rotunjește 4.41, unitatea este omisă, iar cele patru rămân neschimbate.

Cum folosesc marketerii incapacitatea consumatorului de masă de a rotunji numerele?

Se pare că majoritatea oamenilor din lume nu au obiceiul de a evalua costul real al unui produs, care este exploatat în mod activ de către marketeri. Toată lumea cunoaște sloganuri bursiere precum „Cumpără pentru doar 9,99”. Da, înțelegem în mod conștient că acesta este deja, de fapt, zece dolari. Cu toate acestea, creierul nostru este aranjat în așa fel încât percepe doar prima cifră. Deci operația simplă de a aduce numărul într-o formă convenabilă ar trebui să devină un obicei.

De foarte multe ori, rotunjirea permite o mai bună estimare a succeselor intermediare, exprimate în formă numerică. De exemplu, o persoană a început să câștige 550 USD pe lună. Un optimist va spune că acesta este aproape 600, un pesimist - că este puțin mai mult de 500. Se pare că există o diferență, dar este mai plăcut pentru creier să „vadă” că obiectul a realizat ceva mai mult ( sau vice versa).

Există nenumărate exemple în care capacitatea de a rotunji este incredibil de utilă. Este important să fii creativ și, dacă este posibil, să nu fii încărcat cu informații inutile. Atunci succesul va fi imediat.

Metode

Câmpuri diferite pot utiliza metode diferite de rotunjire. În toate aceste metode, semnele „în plus” sunt setate la zero (se aruncă), iar semnul care le precede este corectat după o anumită regulă.

• Rotunjirea la cel mai apropiat număr întreg(Engleză) rotunjire) - rotunjirea cel mai des folosită, în care numărul este rotunjit la un întreg, modulul diferenței cu care acest număr are un minim. În general, atunci când un număr din sistemul zecimal este rotunjit la a N-a zecimală, regula poate fi formulată după cum urmează:
  • dacă N+1 caracter< 5 , atunci semnul N este reținut și N+1 și toate cele ulterioare sunt setate la zero;
  • dacă N+1 caractere ≥ 5, atunci semnul N-lea este mărit cu unu, iar N + 1 și toate cele ulterioare sunt setate la zero;
  De exemplu: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Rotunjirea in jos modulo(rotunjire spre zero, întreg Ing. repara, trunchiază, întreg) este cea mai „simple” rotunjire, deoarece după zeroul semnelor „în plus” se păstrează semnul anterior. De exemplu, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Rotunjind(rotunjiți la +∞, rotunjiți în sus, ing. tavan) - dacă semnele nulabile nu sunt egale cu zero, semnul precedent se mărește cu unu dacă numărul este pozitiv, sau se păstrează dacă numărul este negativ. În jargon economic - rotunjire în favoarea vânzătorului, creditorului(a persoanei care primește banii). În special, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Rotunjirea în jos(rotunjiți la −∞, rotunjiți în jos, engl. podea) - dacă semnele nulabile nu sunt egale cu zero, semnul precedent se reține dacă numărul este pozitiv sau se crește cu unu dacă numărul este negativ. În jargon economic - rotunjire în favoarea cumpărătorului, debitorului(persoana care dă banii). Aici 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Rotunjirea modulo(rotunzi spre infinit, rotunjire departe de zero) este o formă de rotunjire relativ rar folosită. Dacă caracterele nullabile nu sunt egale cu zero, caracterul precedent este incrementat cu unu.

Opțiuni de rotunjire 0,5 la cel mai apropiat număr întreg

O descriere separată este cerută de regulile de rotunjire pentru cazul special când (N+1)-a cifră = 5 și cifrele ulterioare sunt zero. Dacă în toate celelalte cazuri, rotunjirea la cel mai apropiat număr întreg oferă o eroare de rotunjire mai mică, atunci acest caz particular se caracterizează prin faptul că pentru o singură rotunjire este formal indiferent dacă se face „sus” sau „jos” - în ambele cazuri , se introduce o eroare de exact 1/2 din cifra cea mai putin semnificativa . Există următoarele variante ale regulii de rotunjire la cel mai apropiat număr întreg pentru acest caz:

• Rotunjire matematică- rotunjirea este întotdeauna în sus (cifra anterioară este întotdeauna mărită cu unu).
• rotunjire bancară(Engleză) rotunjirea bancherului) - rotunjirea pentru acest caz are loc la cel mai apropiat număr par, adică 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Rotunjire aleatoare- rotunjirea în sus sau în jos aleatoriu, dar cu probabilitate egală (poate fi folosită în statistică).
• Rotunjire alternativă- Rotunjirea are loc alternativ în sus sau în jos.

În toate cazurile, când semnul (N + 1)-al-lea nu este egal cu 5 sau semnele ulterioare nu sunt egale cu zero, rotunjirea are loc conform regulilor uzuale: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Rotunjirea matematică corespunde pur și simplu formal regulii generale de rotunjire (vezi mai sus). Dezavantajul său este că la rotunjirea unui număr mare de valori poate apărea acumulare. erori de rotunjire. Un exemplu tipic: rotunjirea sumelor monetare la ruble întregi. Deci, dacă în registrul de 10.000 de linii există 100 de linii cu sume care conțin valoarea de 50 în termeni de copeici (și aceasta este o estimare foarte realistă), atunci când toate aceste linii sunt rotunjite „în sus”, suma „ total” conform registrului rotunjit va fi cu 50 de ruble mai mult decât exact .

Celelalte trei opțiuni tocmai sunt inventate pentru a reduce eroarea totală a sumei la rotunjirea unui număr mare de valori. Rotunjirea „la cel mai apropiat par” se bazează pe presupunerea că, cu un număr mare de valori rotunjite care au 0,5 în restul rotunjit, în medie, jumătate va fi la stânga și jumătate la dreapta celui mai apropiat par, astfel erorile de rotunjire se vor anula reciproc. Strict vorbind, această ipoteză este adevărată numai atunci când mulțimea de numere care se rotunjește are proprietățile unei serii aleatoare, ceea ce este de obicei adevărat în aplicațiile de contabilitate în care vorbim de prețuri, sume în conturi etc. Dacă ipoteza este încălcată, atunci rotunjirea „la par” poate duce la erori sistematice. Pentru astfel de cazuri, următoarele două metode funcționează cel mai bine.

Ultimele două opțiuni de rotunjire asigură că aproximativ jumătate dintre valorile speciale sunt rotunjite într-un fel și jumătate în celălalt. Dar implementarea unor astfel de metode în practică necesită eforturi suplimentare pentru organizarea procesului de calcul.

Aplicații

Rotunjirea este utilizată pentru a lucra cu numere în cadrul numărului de cifre care corespunde acurateței reale a parametrilor de calcul (dacă aceste valori sunt valori reale măsurate într-un fel sau altul), precizia de calcul realizabilă în mod realist, sau precizia dorită a rezultatului. În trecut, rotunjirea valorilor intermediare și rezultatul a fost de importanță practică (pentru că atunci când se calculează pe hârtie sau se folosește dispozitive primitive precum abacul, luarea în considerare a zecimalei suplimentare poate crește serios volumul de muncă). Acum rămâne un element al culturii științifice și inginerești. În aplicațiile de contabilitate, în plus, poate fi necesară utilizarea rotunjirii, inclusiv a celor intermediare, pentru a proteja împotriva erorilor de calcul asociate cu capacitatea de biți finiți a dispozitivelor de calcul.

Utilizarea rotunjirii atunci când lucrați cu numere de precizie limitată

Mărimile fizice reale sunt întotdeauna măsurate cu o oarecare precizie finită, care depinde de instrumentele și metodele de măsurare și este estimată prin abaterea maximă relativă sau absolută a valorii reale necunoscute față de cea măsurată, care în reprezentarea zecimală a valorii corespunde fie cu un anumit număr de cifre semnificative sau la o anumită poziție în notația unui număr, toate numerele de după (în dreapta) sunt nesemnificative (se află în eroarea de măsurare). Parametrii măsurați înșiși sunt înregistrați cu un astfel de număr de caractere încât toate cifrele sunt de încredere, poate că ultima este îndoielnică. Eroarea în operațiile matematice cu numere de precizie limitată este păstrată și se modifică conform legilor matematice cunoscute, așa că atunci când în calculele ulterioare apar valori intermediare și rezultate cu un număr mare de cifre, doar o parte din aceste cifre sunt semnificative. Cifrele rămase, prezente în valori, nu reflectă de fapt nicio realitate fizică și iau timp doar pentru calcule. Ca urmare, valorile intermediare și rezultatele în calcule cu precizie limitată sunt rotunjite la numărul de zecimale care reflectă acuratețea reală a valorilor obținute. În practică, se recomandă de obicei să stocați încă o cifră în valori intermediare pentru calcule manuale lungi „în lanț”. Când se folosește un computer, rotunjirile intermediare în aplicațiile științifice și tehnice își pierd cel mai adesea sensul și numai rezultatul este rotunjit.

Deci, de exemplu, dacă o forță de 5815 gf este dată cu o precizie de un gram de forță și o lungime a umărului de 1,4 m cu o precizie de un centimetru, atunci momentul forței în kgf conform formulei, în cazul a unui calcul formal cu toate semnele, va fi egal cu: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Totuși, dacă luăm în considerare eroarea de măsurare, atunci obținem că eroarea relativă limită a primei valori este 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , al doilea - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , eroarea relativă a rezultatului conform regulii de eroare a operației de înmulțire (la înmulțirea valorilor aproximative se adună erorile relative) va fi 7,3 10 −3 , care corespunde erorii absolute maxime a rezultatului ±0,059 kgf m! Adică, în realitate, ținând cont de eroare, rezultatul poate fi de la 8,082 la 8,200 kgf m, astfel, în valoarea calculată de 8,141 kgf m, doar prima cifră este complet de încredere, chiar și a doua este deja îndoielnică! Va fi corect să rotunjiți rezultatul calculului la prima cifră îndoielnică, adică la zecimi: 8,1 kgf m sau, dacă este necesar, o indicație mai precisă a marjei de eroare, prezentați-l într-o formă rotunjită la una sau două zecimale cu indicarea erorii: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Reguli empirice de aritmetică cu rotunjire

În cazurile în care nu este nevoie să luați în considerare cu precizie erorile de calcul, ci doar să estimați aproximativ numărul de numere exacte ca rezultat al calculului prin formula, puteți utiliza un set de reguli simple pentru calcule rotunjite:

1. Toate valorile brute sunt rotunjite la precizia reală de măsurare și înregistrate cu numărul corespunzător de cifre semnificative, astfel încât toate cifrele din notația zecimală să fie de încredere (este permis ca ultima cifră să fie îndoielnică). Dacă este necesar, valorile sunt înregistrate cu zerouri semnificative din dreapta, astfel încât numărul real de caractere de încredere să fie indicat în înregistrare (de exemplu, dacă o lungime de 1 m este măsurată efectiv la cel mai apropiat centimetru, „1,00 m” este scris astfel încât să se poată vedea că două caractere sunt de încredere în înregistrare după virgulă zecimală) sau precizia este indicată în mod explicit (de exemplu, 2500 ± 5 m - aici doar zeci sunt de încredere și ar trebui rotunjite la ele) .
2. Valorile intermediare sunt rotunjite cu o cifră „de rezervă”.
3. La adunarea și scăderea, rezultatul este rotunjit la ultima zecimală a parametrilor cel mai puțin precis (de exemplu, la calcularea unei valori de 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, rezultatul este rotunjit la zecimi de metru, adică este, la 2,6 m). Totodată, se recomandă efectuarea calculelor într-o astfel de ordine încât să se evite scăderea numerelor apropiate și efectuarea operațiilor asupra numerelor, dacă este posibil, în ordinea crescătoare a modulelor acestora.
4. La înmulțirea și împărțirea, rezultatul este rotunjit la cel mai mic număr de cifre semnificative pe care le au parametrii (de exemplu, când se calculează viteza de mișcare uniformă a unui corp la o distanță de 2,5 10 2 m, pentru 600 s rezultatul ar trebui să fie rotunjită la 4,2 m/s, deoarece distanța are două cifre și timpul are trei, presupunând că toate cifrele din intrare sunt semnificative).
5. La calcularea valorii funcției f(x) se cere estimarea valorii modulului derivatei acestei funcţii în vecinătatea punctului de calcul. În cazul în care un (|f"(x)| ≤ 1), atunci rezultatul funcției este exact la aceeași zecimală ca și argumentul. În caz contrar, rezultatul conține mai puține zecimale exacte în funcție de sumă log 10 (|f"(x)|), rotunjit la cel mai apropiat număr întreg.

În ciuda lipsei de strictețe, regulile de mai sus funcționează destul de bine în practică, în special din cauza probabilității destul de mari de anulare reciprocă a erorilor, care de obicei nu este luată în considerare atunci când erorile sunt luate în considerare cu exactitate.

Greșeli

Destul de des există abuzuri de numere nerotunde. De exemplu:

• Notați numerele care au o precizie scăzută, în formă nerotunjită. În statistică: dacă 4 persoane din 17 au răspuns „da”, atunci scriu „23,5%” (în timp ce „24%” este corect).
• Utilizatorii pointerului gândesc uneori astfel: „indicatorul s-a oprit între 5,5 și 6 mai aproape de 6, lasă-l să fie 5,8” - acest lucru este de asemenea interzis (gradarea dispozitivului corespunde, de obicei, preciziei sale reale). În acest caz, trebuie să spuneți „5.5” sau „6”.

Vezi si

• Procesarea observației
• Erori de rotunjire

Note

Literatură

• Henry S. Warren, Jr. capitolul 3// Trucuri algoritmice pentru programatori = Hacker's Delight.- M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

Astăzi vom lua în considerare un subiect destul de plictisitor, fără să înțelegem pe care nu este posibil să trecem mai departe. Acest subiect se numește „numere rotunjite” sau, cu alte cuvinte, „valori aproximative ale numerelor”.

Valori aproximative

Valorile aproximative (sau aproximative) sunt folosite atunci când valoarea exactă a ceva nu poate fi găsită sau această valoare nu este importantă pentru subiectul studiat.

De exemplu, se poate spune verbal că o jumătate de milion de oameni trăiesc într-un oraș, dar această afirmație nu va fi adevărată, deoarece numărul de oameni din oraș se schimbă - oamenii vin și pleacă, se nasc și mor. Prin urmare, mai corect ar fi să spunem că orașul trăiește aproximativ jumătate de milion de oameni.

Alt exemplu. Cursurile încep la nouă dimineața. Am ieșit din casă la 8:30. După ceva timp, pe drum, ne-am întâlnit cu prietenul nostru, care ne-a întrebat cât este ceasul. Când am ieșit din casă era 8:30, am petrecut un timp necunoscut pe drum. Nu știm cât este ceasul, așa că îi răspundem unui prieten: „acum aproximativ pe la ora nouă”.

În matematică, valorile aproximative sunt indicate folosind un semn special. Arata cam asa:

Se citește ca „aproximativ egal”.

Pentru a indica valoarea aproximativă a ceva, ei recurg la o astfel de operație precum rotunjirea numerelor.

Rotunjirea numerelor

Pentru a găsi o valoare aproximativă, o operație precum rotunjirea numerelor.

Cuvântul rotunjire vorbește de la sine. A rotunji un număr înseamnă a-l rotunji. Un număr rotund este un număr care se termină cu zero. De exemplu, următoarele numere sunt rotunde,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Orice număr poate fi rotund. Procesul prin care un număr este rotunjit este numit rotunjirea numărului.

Ne-am ocupat deja de „rotunjirea” numerelor atunci când împărțim numere mari. Amintiți-vă că pentru aceasta am lăsat neschimbată cifra care formează cea mai semnificativă cifră și am înlocuit cifrele rămase cu zerouri. Dar acestea au fost doar schițe pe care le-am făcut pentru a facilita împărțirea. Un fel de hack. De fapt, nici măcar nu a fost rotunjirea numerelor. De aceea, la începutul acestui paragraf am luat cuvântul rotunjire între ghilimele.

De fapt, esența rotunjirii este de a găsi cea mai apropiată valoare din original. În același timp, numărul poate fi rotunjit până la o anumită cifră - la cifra zecilor, cifra sutelor, cifra a miilor.

Luați în considerare un exemplu simplu de rotunjire. Este dat numărul 17. Este necesar să-l rotunjiți la cifra zecilor.

Fără să privim înainte, să încercăm să înțelegem ce înseamnă „rotunjirea la cifra zecilor”. Când se spune să rotunjim numărul 17, ni se cere să găsim cel mai apropiat număr rotunjit pentru numărul 17. În același timp, în timpul acestei căutări, numărul care se află pe locul zecilor în numărul 17 (adică unități) poate, de asemenea, fi schimbat.

Imaginează-ți că toate numerele de la 10 la 20 se află pe o linie dreaptă:

Figura arată că pentru numărul 17 cel mai apropiat număr rotund este 20. Deci răspunsul la problemă va fi astfel: 17 este aproximativ egal cu 20

17 ≈ 20

Am găsit o valoare aproximativă pentru 17, adică am rotunjit-o la locul zecilor. Se vede că după rotunjire a apărut un nou număr 2 pe locul zecilor.

Să încercăm să găsim un număr aproximativ pentru numărul 12. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă din nou că toate numerele de la 10 la 20 se află pe o linie dreaptă:

Figura arată că cel mai apropiat număr rotund pentru 12 este numărul 10. Deci răspunsul la problemă va fi astfel: 12 este aproximativ egal cu 10

12 ≈ 10

Am găsit o valoare aproximativă pentru 12, adică am rotunjit-o la locul zecilor. De această dată, numărul 1, care se afla pe locul 12 al zecilor, nu a fost afectat de rotunjire. De ce s-a întâmplat acest lucru, vom lua în considerare mai târziu.

Să încercăm să găsim cel mai apropiat număr de numărul 15. Din nou, imaginați-vă că toate numerele de la 10 la 20 se află pe o linie dreaptă:

Figura arată că numărul 15 este la fel de îndepărtat de numerele rotunde 10 și 20. Se pune întrebarea: care dintre aceste numere rotunde va fi o valoare aproximativă pentru numărul 15? Pentru astfel de cazuri, am convenit să luăm un număr mai mare ca o aproximare. 20 este mai mare decât 10, deci valoarea aproximativă pentru 15 este numărul 20

15 ≈ 20

Numerele mari pot fi, de asemenea, rotunjite. Desigur, nu le este posibil să deseneze o linie dreaptă și să înfățișeze numere. Există o cale pentru ei. De exemplu, să rotunjim numărul 1456 la locul zecilor.

Trebuie să rotunjim 1456 la locul zecilor. Cifra zecilor începe la cinci:

Acum uităm temporar de existența primelor cifre 1 și 4. Numărul 56 rămâne

Acum ne uităm la ce număr rotund este mai aproape de numărul 56. Evident, cel mai apropiat număr rotund pentru 56 este numărul 60. Așa că înlocuim numărul 56 cu numărul 60

Deci, când rotunjim numărul 1456 la locul zecilor, obținem 1460

1456 ≈ 1460

Se poate observa că după rotunjirea numărului 1456 la cifra zecilor, modificările au afectat și cifra zecilor în sine. Noul număr rezultat are acum un 6 în loc de un 5 în locul zecilor.

Puteți rotunji numerele nu numai la cifra zecilor. De asemenea, puteți rotunji până la descărcarea de sute, mii, zeci de mii.

După ce devine clar că rotunjirea nu este altceva decât găsirea celui mai apropiat număr, puteți aplica reguli gata făcute care ușurează mult rotunjirea numerelor.

Prima regulă de rotunjire

Din exemplele anterioare, a devenit clar că la rotunjirea unui număr la o anumită cifră, cifrele inferioare sunt înlocuite cu zerouri. Se numesc cifrele care sunt înlocuite cu zerouri figuri aruncate.

Prima regulă de rotunjire arată astfel:

Dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra stocată rămâne neschimbată.

De exemplu, să rotunjim numărul 123 la locul zecilor.

În primul rând, găsim cifra stocată. Pentru a face acest lucru, trebuie să citiți sarcina în sine. În descărcare, care este menționată în sarcină, există o cifră stocată. Sarcina spune: rotunjiți numărul 123 până la cifra zecilor.

Vedem că există un doi în locul zecilor. Deci cifra stocată este numărul 2

Acum găsim prima dintre cifrele aruncate. Prima cifră care trebuie eliminată este cifra care urmează cifrei care trebuie reținută. Vedem că prima cifră după cele două este numărul 3. Deci numărul 3 este prima cifră aruncată.

Acum aplicați regula de rotunjire. Se spune că dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra stocată rămâne neschimbată.

Așa facem. Lăsăm neschimbată cifra stocată și înlocuim toate cifrele inferioare cu zerouri. Cu alte cuvinte, tot ce urmează după numărul 2 este înlocuit cu zerouri (mai precis, zero):

123 ≈ 120

Deci, când rotunjim numărul 123 la cifra zecilor, obținem numărul aproximativ 120.

Acum să încercăm să rotunjim același număr 123, dar până la sute de loc.

Trebuie să rotunjim numărul 123 la locul sutelor. Din nou, căutăm o cifră salvată. De data aceasta, cifra stocată este 1, deoarece rotunjim numărul la locul sutelor.

Acum găsim prima dintre cifrele aruncate. Prima cifră care trebuie eliminată este cifra care urmează cifrei care trebuie reținută. Vedem că prima cifră după unitate este numărul 2. Deci numărul 2 este prima cifră aruncată:

Acum să aplicăm regula. Se spune că dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra stocată rămâne neschimbată.

Așa facem. Lăsăm neschimbată cifra stocată și înlocuim toate cifrele inferioare cu zerouri. Cu alte cuvinte, tot ce urmează după numărul 1 este înlocuit cu zerouri:

123 ≈ 100

Deci, când rotunjim numărul 123 la locul sutelor, obținem numărul aproximativ 100.

Exemplul 3 Rotunjiți numărul 1234 la locul zecilor.

Aici cifra care trebuie păstrată este 3. Iar prima cifră care trebuie aruncată este 4.

Deci, lăsăm neschimbat numărul salvat 3 și înlocuim totul după el cu zero:

1234 ≈ 1230

Exemplul 4 Rotunjiți numărul 1234 la locul sutelor.

Aici, cifra stocată este 2. Și prima cifră aruncată este 3. Conform regulii, dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra stocată rămâne neschimbat.

Deci, lăsăm neschimbat numărul salvat 2 și înlocuim totul după el cu zerouri:

1234 ≈ 1200

Exemplul 3 Rotunjiți numărul 1234 la locul al miile.

Aici, cifra stocată este 1. Și prima cifră aruncată este 2. Conform regulii, dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra stocată rămâne neschimbat.

Deci, lăsăm neschimbat numărul salvat 1 și înlocuim totul după el cu zerouri:

1234 ≈ 1000

A doua regulă de rotunjire

A doua regulă de rotunjire arată astfel:

Dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci cifra stocată este mărită cu unu.

De exemplu, să rotunjim numărul 675 la locul zecilor.

În primul rând, găsim cifra stocată. Pentru a face acest lucru, trebuie să citiți sarcina în sine. În descărcare, care este menționată în sarcină, există o cifră stocată. Sarcina spune: rotunjiți numărul 675 la cifra zecilor.

Vedem că în categoria zecilor există un șapte. Deci cifra stocată este numărul 7

Acum găsim prima dintre cifrele aruncate. Prima cifră care trebuie eliminată este cifra care urmează cifrei care trebuie reținută. Vedem că prima cifră după șapte este numărul 5. Deci numărul 5 este prima cifră aruncată.

Avem că prima dintre cifrele aruncate este 5. Deci, trebuie să creștem cifra stocată 7 cu una și să înlocuim totul după ea cu zero:

675 ≈ 680

Deci, când rotunjim numărul 675 la cifra zecilor, obținem numărul aproximativ 680.

Acum să încercăm să rotunjim același număr 675, dar până la sute de loc.

Trebuie să rotunjim numărul 675 la locul sutelor. Din nou, căutăm o cifră salvată. De data aceasta, cifra stocată este 6, deoarece rotunjim numărul la locul sutelor:

Acum găsim prima dintre cifrele aruncate. Prima cifră care trebuie eliminată este cifra care urmează cifrei care trebuie reținută. Vedem că prima cifră după șase este numărul 7. Deci numărul 7 este prima cifră aruncată:

Acum aplicați a doua regulă de rotunjire. Se spune că dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci cifra reținută este mărită cu unu.

Avem că prima dintre cifrele aruncate este 7. Deci trebuie să creștem cifra stocată 6 cu una și să înlocuim totul după ea cu zerouri:

675 ≈ 700

Deci, când rotunjim numărul 675 la locul sutelor, obținem aproximativ 700.

Exemplul 3 Rotunjiți numărul 9876 la locul zecilor.

Aici cifra care trebuie păstrată este 7. Iar prima cifră care trebuie aruncată este 6.

Deci, creștem numărul stocat 7 cu unul și înlocuim tot ce se află după el cu zero:

9876 ≈ 9880

Exemplul 4 Rotunjiți numărul 9876 la locul sutelor.

Aici, cifra stocată este 8. Și prima cifră aruncată este 7. Conform regulii, dacă prima dintre cifrele aruncate este 5, 6, 7, 8 sau 9 la rotunjirea numerelor, atunci cifra reținută este mărită cu unu.

Deci creștem numărul salvat 8 cu unul și înlocuim tot ce se află după el cu zerouri:

9876 ≈ 9900

Exemplul 5 Rotunjiți numărul 9876 la locul al miile.

Aici, cifra stocată este 9. Și prima cifră aruncată este 8. Conform regulii, dacă prima dintre cifrele aruncate este 5, 6, 7, 8 sau 9 la rotunjirea numerelor, atunci cifra reținută este mărită cu unu.

Deci creștem numărul salvat 9 cu unul și înlocuim tot ce se află după el cu zerouri:

9876 ≈ 10000

Exemplul 6 Rotunjiți numărul 2971 la cea mai apropiată sută.

Când rotunjiți acest număr la sute, ar trebui să aveți grijă, deoarece cifra reținută aici este 9, iar prima cifră aruncată este 7. Deci cifra 9 trebuie să crească cu unu. Dar adevărul este că, după ce creșteți nouă câte unul, obțineți 10, iar această cifră nu se va încadra în sutele de numere noi.

În acest caz, în locul sutelor noului număr, trebuie să scrieți 0 și să transferați unitatea la următoarea cifră și să o adăugați la numărul care este acolo. Apoi, înlocuiți toate cifrele după zero stocat:

2971 ≈ 3000

Rotunjirea zecimale

Când rotunjiți fracțiile zecimale, ar trebui să fiți deosebit de atenți, deoarece o fracție zecimală este formată dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Și fiecare dintre aceste două părți are propriile sale rânduri:

Biți ai părții întregi:

• cifra unitatii
• locul zecilor
• sute de loc
• mii de cifre

Cifre fracționale:

• locul zece
• locul sute
• locul al miilea

Luați în considerare fracția zecimală 123,456 - o sută douăzeci și trei virgulă patru sute cincizeci și șase de miimi. Aici partea întreagă este 123, iar partea fracțională este 456. Mai mult, fiecare dintre aceste părți are propriile cifre. Este foarte important să nu le confundați:

Pentru partea întreagă, se aplică aceleași reguli de rotunjire ca și pentru numerele obișnuite. Diferența este că, după rotunjirea părții întregi și înlocuirea tuturor cifrelor după cifra stocată cu zerouri, partea fracțională este complet eliminată.

De exemplu, să rotunjim fracția 123,456 la cifra zecilor. Exact până la locul zecilor, dar nu locul zece. Este foarte important să nu confundăm aceste categorii. Descarcare zeci este situat în partea întreagă, iar descărcarea zecimiîn fracţionare.

Trebuie să rotunjim 123.456 la locul zecilor. Cifra care trebuie stocată aici este 2, iar prima cifră care trebuie eliminată este 3

Conform regulii, dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra reținută rămâne neschimbată.

Aceasta înseamnă că cifra stocată va rămâne neschimbată, iar restul va fi înlocuit cu zero. Dar partea fracționată? Este pur și simplu aruncat (eliminat):

123,456 ≈ 120

Acum să încercăm să rotunjim aceeași fracție la 123,456 cifra unitatii. Cifra care va fi stocată aici va fi 3, iar prima cifră care va fi aruncată este 4, care se află în partea fracțională:

Conform regulii, dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra reținută rămâne neschimbată.

Aceasta înseamnă că cifra stocată va rămâne neschimbată, iar restul va fi înlocuit cu zero. Partea fracțională rămasă va fi aruncată:

123,456 ≈ 123,0

Zeroul care rămâne după virgulă zecimală poate fi, de asemenea, eliminat. Deci răspunsul final va arăta astfel:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Acum să aruncăm o privire la rotunjirea părților fracționale. Aceleași reguli se aplică pentru rotunjirea părților fracționale ca și pentru rotunjirea părților întregi. Să încercăm să rotunjim fracția 123,456 la locul zece. Pe locul zecimii este numărul 4, ceea ce înseamnă că este cifra stocată, iar prima cifră aruncată este 5, care se află pe locul sutimii:

Conform regulii, dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci cifra reținută este mărită cu unu.

Deci numărul stocat 4 va crește cu unu, iar restul va fi înlocuit cu zerouri

123,456 ≈ 123,500

Să încercăm să rotunjim aceeași fracție 123,456 la locul sute. Cifra stocată aici este 5, iar prima cifră care trebuie eliminată este 6, care se află pe miile:

Conform regulii, dacă, la rotunjirea numerelor, prima dintre cifrele aruncate este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci cifra reținută este mărită cu unu.

Deci numărul stocat 5 va crește cu unu, iar restul va fi înlocuit cu zerouri

123,456 ≈ 123,460

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

§ 4. Rotunjirea rezultatelor

Prelucrarea rezultatelor măsurătorilor în laboratoare se realizează pe calculatoare și computere și este pur și simplu uimitor cum o serie lungă de numere după virgulă zecimală îi afectează magic pe mulți studenți. „Așa este”, spun ei. Cu toate acestea, este ușor de observat, de exemplu, că notația a = 2,8674523 ± 0,076 este lipsită de sens. Cu o eroare de 0,076, ultimele cinci cifre ale numărului nu înseamnă absolut nimic.

Dacă greșim în sutimi, atunci nu există credință în miimi, mai ales în zece miimi. O înregistrare corectă a rezultatului ar fi 2,87 ± 0,08. Este întotdeauna necesar să faceți rotunjirea necesară, astfel încât să nu existe impresia falsă că rezultatele sunt mai precise decât sunt în realitate.

Reguli de rotunjire

1. Eroarea de măsurare este rotunjită la prima cifră semnificativă, crescând-o întotdeauna cu unu.
   Exemple:

   8.27 ≈ 9	0.237 ≈ 0.3
   0.0862 ≈ 0.09	0.00035 ≈ 0.0004
   857.3 ≈ 900	43.5 ≈ 50

2. Rezultatele măsurătorilor sunt rotunjite cu o precizie „la eroare”, adică ultima cifră semnificativă din rezultat trebuie să fie în aceeași cifră ca și în eroare.
   Exemple:

   243,871 ± 0,026 ≈ 243,87 ± 0,03;
   243,871 ± 2,6 ≈ 244 ± 3;
   1053 ± 47 ≈ 1050 ± 50.

3. Rotunjirea rezultatului măsurării se realizează prin simpla aruncare a cifrelor dacă prima dintre cifrele aruncate este mai mică de 5.
   Exemple:

   8,337 (rotunzi la zecimi) ≈ 8,3;
   833,438 (rotunjire în sus) ≈ 833;
   0,27375 (rotunjit la sutimi) ≈ 0,27.

4. Dacă prima dintre cifrele aruncate este mai mare sau egală cu 5 , (urmată de una sau mai multe cifre diferite de zero), atunci ultima dintre cifrele rămase este mărită cu unu.
   Exemple:

   8,3351 (rotunjit la sutimi) ≈ 8,34;
   0,2510 (rotunzi la zecimi) ≈ 0,3;
   271,515 (rotunjire în sus) ≈ 272.

5. Dacă cifra aruncată este 5 și nu există cifre semnificative în spatele ei (sau există doar zerouri), atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu când este impară și lăsată neschimbată când este pară.
   Exemple:

   0,875 (rotunjit la sutimi) ≈ 0,88;
   0,5450 (rotunjit la sutimi) ≈ 0,54;
   275.500 (rotunjire în sus) ≈ 276;
   276.500 (rotunjire în sus) ≈ 276.

Notă.

1. Numerele semnificative sunt cifrele corecte ale unui număr, cu excepția zerourilor din fața numărului. De exemplu, 0,00807 - acest număr are trei cifre semnificative: 8, zero între 8 și 7 și 7; primele trei zerouri sunt nesemnificative.
   8.12 10 3 - în acest număr 3 cifre semnificative.
2. Intrările 15.2 și 15.200 sunt diferite. Intrarea 15.200 înseamnă că sutimile și miimile sunt corecte. În intrarea 15.2, numerele întregi și zecimi sunt corecte.
3. Rezultatele experimentelor fizice sunt înregistrate doar în cifre semnificative. O virgulă este plasată imediat după cifra diferită de zero, iar numărul este înmulțit cu zece până la puterea corespunzătoare. Zerourile de la începutul sau de la sfârșitul unui număr nu sunt de obicei notate. De exemplu, numerele 0,00435 și 234000 sunt scrise astfel: 4,35·10 -3 și 2,34·10 5 . O astfel de notație simplifică calculele, mai ales în cazul formulelor care sunt convenabile pentru luarea logaritmilor.

Sarcina nr. 1. Rotunjirea rezultatelor măsurătorilor

La efectuarea măsurătorilor, este important să respectați anumite reguli pentru rotunjirea și înregistrarea rezultatelor acestora în documentația tehnică, deoarece dacă aceste reguli nu sunt respectate, sunt posibile erori semnificative în interpretarea rezultatelor măsurătorilor.

Reguli de scriere a numerelor

1. Cifre semnificative ale unui număr dat - toate cifrele de la prima din stânga, diferită de zero, până la ultima din dreapta. În acest caz, zerourile care urmează din factorul 10 nu sunt luate în considerare.

Exemple.

un număr 12,0are trei cifre semnificative.

b) Număr 30are două cifre semnificative.

c) Numărul 12010 8 are trei cifre semnificative.

G) 0,51410 -3 are trei cifre semnificative.

e) 0,0056are două cifre semnificative.

2. Dacă este necesar să se indice că numărul este exact, după numărul sau ultima cifră semnificativă este tipărită cu caractere aldine cuvântul „exact”. De exemplu: 1 kW/h = 3600 J (exact) sau 1 kW/h = 360 0 J .

3. Distingeți înregistrările numerelor aproximative după numărul de cifre semnificative. De exemplu, se disting numerele 2.4 și 2.40. Intrarea 2.4 înseamnă că numai numerele întregi și zecimi sunt corecte, valoarea adevărată a numărului poate fi, de exemplu, 2,43 și 2,38. Scrierea lui 2,40 înseamnă că și sutimile sunt corecte: adevărata valoare a numărului poate fi 2,403 și 2,398, dar nu 2,41 și nu 2,382. Înregistrarea 382 înseamnă că toate cifrele sunt corecte: dacă ultima cifră nu poate fi garantată, atunci numărul trebuie scris 3,810 2 . Dacă numai primele două cifre sunt corecte în numărul 4720, acesta trebuie scris ca: 4710 2 sau 4,710 3 .

4. Numărul pentru care este indicată toleranța trebuie să aibă ultima cifră semnificativă din aceeași cifră ca și ultima cifră semnificativă a abaterii.

Exemple.

a) Corect: 17,0 + 0,2. Nu dreapta: 17 + 0,2sau 17,00 + 0,2.

b) Corect: 12,13+ 0,17. Nu dreapta: 12,13+ 0,2.

c) Corect: 46,40+ 0,15. Nu dreapta: 46,4+ 0,15sau 46,402+ 0,15.

5. Valorile numerice ale cantității și erorile (abaterile) acesteia trebuie înregistrate cu indicarea aceleiași unități de cantitate. De exemplu: (80.555 + 0,002) kg.

6. Intervalele dintre valorile numerice ale cantităților sunt uneori recomandabil să se scrie sub formă de text, apoi prepoziția „de la” înseamnă „”, prepoziția „la” - „”, prepoziția „de mai sus” - ​​">", prepoziția "mai puțin" - "<":

"d ia valori de la 60 la 100” înseamnă „60 d100",

"d ia valori peste 120 mai puțin de 150” înseamnă „120<d< 150",

"d ia valori de la 30 la 50" înseamnă "30<d50".

Reguli de rotunjire a numerelor

1. Rotunjirea unui număr este respingerea cifrelor semnificative din dreapta la o anumită cifră cu o posibilă modificare a cifrei acestei cifre.

2. Dacă prima dintre cifrele aruncate (numărând de la stânga la dreapta) este mai mică de 5, atunci ultima cifră stocată nu este modificată.

Exemplu: rotunjirea unui număr 12,23până la trei cifre semnificative dă 12,2.

3. Dacă prima dintre cifrele aruncate (numărând de la stânga la dreapta) este 5, atunci ultima cifră stocată este mărită cu unu.

Exemplu: rotunjirea unui număr 0,145până la două cifre 0,15.

Notă . În acele cazuri în care este necesar să se țină seama de rezultatele rotunjirilor anterioare, procedați după cum urmează.

4. Dacă cifra aruncată este obținută ca urmare a rotunjirii în jos, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu una (cu trecerea, dacă este necesar, la următoarele cifre), în caz contrar, invers. Acest lucru se aplică atât numerelor fracționale, cât și numerelor întregi.

Exemplu: rotunjirea unui număr 0,25(obținut ca urmare a rotunjirii anterioare a numărului 0,252) dă 0,3.

4. Dacă prima dintre cifrele aruncate (numărând de la stânga la dreapta) este mai mare de 5, atunci ultima cifră stocată este mărită cu unu.

Exemplu: rotunjirea unui număr 0,156până la două cifre semnificative dă 0,16.

5. Rotunjirea se efectuează imediat la numărul dorit de cifre semnificative, și nu în etape.

Exemplu: rotunjirea unui număr 565,46până la trei cifre semnificative dă 565.

6. Numerele întregi sunt rotunjite după aceleași reguli ca și numerele fracționale.

Exemplu: rotunjirea unui număr 23456până la două cifre semnificative dă 2310 3

Valoarea numerică a rezultatului măsurării trebuie să se termine cu o cifră de aceeași cifră cu valoarea erorii.

Exemplu:Număr 235,732 + 0,15trebuie rotunjit la 235,73 + 0,15dar nu înainte 235,7 + 0,15.

7. Dacă prima dintre cifrele aruncate (numărând de la stânga la dreapta) este mai mică de cinci, atunci cifrele rămase nu se schimbă.

Exemplu: 442,749+ 0,4rotunjit la 442,7+ 0,4.

8. Dacă prima dintre cifrele aruncate este mai mare sau egală cu cinci, atunci ultima cifră reținută este mărită cu unu.

Exemplu: 37,268 + 0,5rotunjit la 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 trebuie să fie rotunjiteinainte de 37,3 + 0,5.

9. Rotunjirea trebuie făcută imediat la numărul dorit de cifre semnificative, rotunjirea incrementală poate duce la erori.

Exemplu: rotunjirea treptată a unui rezultat de măsurare 220,46+ 4dă în primul pas 220,5+ 4iar pe al doilea 221+ 4, în timp ce rezultatul corect de rotunjire este 220+ 4.

10. Dacă eroarea instrumentelor de măsurare este indicată doar cu una sau două cifre semnificative, iar valoarea de eroare calculată se obține cu un număr mare de cifre, în valoarea finală trebuie lăsate doar primele una sau, respectiv, două cifre semnificative. a erorii calculate. În acest caz, dacă numărul rezultat începe cu cifrele 1 sau 2, atunci eliminarea celui de-al doilea semn duce la o eroare foarte mare (până la 3050%), ceea ce este inacceptabil. Dacă numărul rezultat începe cu numărul 3 sau mai mult, de exemplu, cu numărul 9, atunci păstrarea celui de-al doilea caracter, i.e. indicarea unei erori, de exemplu, 0,94 în loc de 0,9, este o informare greșită, deoarece datele originale nu oferă o asemenea acuratețe.

Pe baza acesteia, în practică a fost stabilită următoarea regulă: dacă numărul rezultat începe cu o cifră semnificativă egală sau mai mare de 3, atunci numai acesta este stocat în el; dacă începe cu cifre semnificative mai mici de 3, adică cu numerele 1 și 2, apoi două cifre semnificative sunt stocate în el. În conformitate cu această regulă, se stabilesc și valorile normalizate ale erorilor instrumentelor de măsură: în numerele 1,5 și 2,5% sunt indicate două cifre semnificative, dar în numerele 0,5; 4; 6% indică o singură cifră semnificativă.

Exemplu:Pe un voltmetru de clasa de precizie 2,5cu limita de măsurare x La = 300 În citirea tensiunii măsurate x = 267,5Î. În ce formă trebuie înregistrat rezultatul măsurătorii în raport?

Este mai convenabil să calculați eroarea în următoarea ordine: mai întâi trebuie să găsiți eroarea absolută, apoi cea relativă. Eroare absolută  X =  0 X La/100, pentru eroarea redusă a voltmetrului  0 \u003d 2,5% și limitele de măsurare (domeniul de măsurare) ale dispozitivului X La= 300 V:  X= 2,5300/100 = 7,5 V ~ 8 V; eroare relativă  =  X100/X = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Deoarece prima cifră semnificativă a valorii erorii absolute (7,5 V) este mai mare de trei, această valoare trebuie rotunjită la 8 V conform regulilor obișnuite de rotunjire, dar în valoarea erorii relative (2,81%) prima cifră semnificativă este mai mică. decât 3, deci aici trebuie stocate două zecimale în răspuns și indicat  = 2,8%. Valoare primită X= 267,5 V trebuie rotunjit la aceeași zecimală care încheie valoarea de eroare absolută rotunjită, adică la unități întregi de volți.

Astfel, în răspunsul final trebuie raportat: „Măsurarea s-a făcut cu o eroare relativă  = 2,8% . Tensiunea măsurată X= (268+ 8) B".

În acest caz, este mai clar să se indice limitele intervalului de incertitudine al valorii măsurate sub forma X= (260276) V sau 260 VX276 V.