Care este rădăcina lui x. Funcția de putere și rădăcini - definiție, proprietăți și formule

Sunt date principalele proprietăți ale funcției de putere, inclusiv formulele și proprietățile rădăcinilor. Sunt prezentate derivata, integrala, extinderea seriei de puteri si reprezentarea prin intermediul numerelor complexe a functiei de putere.

Conţinut

O funcție de putere, y = x p , cu exponent p are următoarele proprietăți:
(1.1) definite şi continue pe platou
la ,
la ;
(1.2) are multe sensuri
la ,
la ;
(1.3) crește strict la ,
scade strict la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dovada proprietăților este dată pe pagina Power Function (Proof of Continuity and Properties).

Rădăcini - definiție, formule, proprietăți

Rădăcina unui număr x de grad n este numărul a cărui ridicare la puterea n dă x:
.
Aici n = 2, 3, 4, ... este un număr natural mai mare decât unu.

De asemenea, puteți spune că rădăcina numărului x de gradul n este rădăcina (adică soluția) ecuației
.
Rețineți că funcția este inversul funcției.

Rădăcina pătrată a lui x este rădăcina puterii lui 2: .
Rădăcina cubă a lui x este rădăcina puterii lui 3: .

Chiar și gradul

Pentru puterile pare n = 2 m, rădăcina este definită pentru x ≥ 0 . O formulă folosită frecvent este valabilă atât pentru x pozitiv, cât și pentru negativ:
.
Pentru rădăcina pătrată:
.

Ordinea în care sunt efectuate operațiile este importantă aici - adică mai întâi se efectuează pătratul, rezultând un număr nenegativ, iar apoi se extrage rădăcina din acesta (dintr-un număr nenegativ, puteți extrage rădăcina pătrată ). Dacă am schimba ordinea: , atunci pentru negativ x rădăcina ar fi nedefinită, iar odată cu ea întreaga expresie ar fi nedefinită.

grad impar

Pentru puteri impare, rădăcina este definită pentru toate x:
;
.

Proprietățile și formulele rădăcinilor

Rădăcina lui x este o funcție de putere:
.
Pentru x ≥ 0 sunt valabile următoarele formule:
;
;
, ;
.

Aceste formule pot fi aplicate și pentru valorile negative ale variabilelor. Este necesar doar să ne asigurăm că expresia radicală a puterilor chiar nu este negativă.

Valori private

Rădăcina lui 0 este 0: .
Rădăcina lui 1 este 1: .
Rădăcina pătrată a lui 0 este 0: .
Rădăcina pătrată a lui 1 este 1: .

Exemplu. Rădăcină de la rădăcini

Luați în considerare exemplul rădăcinii pătrate a rădăcinilor:
.
Convertiți rădăcina pătrată internă folosind formulele de mai sus:
.
Acum să transformăm rădăcina originală:
.
Asa de,
.

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Iată graficele funcției pentru valorile nenegative ale argumentului x. Grafice ale funcției de putere definite pentru valorile negative ale lui x sunt prezentate în pagina „Funcția de putere, proprietățile și graficele sale”

Funcție inversă

Inversa unei funcții de putere cu exponentul p este o funcție de putere cu exponentul 1/p .

Daca atunci .

Derivata functiei de putere

Derivată de ordinul al n-lea:
;

Derivarea formulelor > > >

Integrala unei funcții de putere

P≠- 1 ;
.

Extinderea seriei de putere

La - 1 < x < 1 are loc următoarea descompunere:

Expresii în termeni de numere complexe

Considerăm o funcție a unei variabile complexe z:
f (z) = z t.
Exprimăm variabila complexă z în termeni de modul r și argumentul φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Reprezentăm numărul complex t ca părți reale și imaginare:
t = p + i q .
Avem:

Mai mult, luăm în considerare faptul că argumentul φ nu este definit în mod unic:
,

Luați în considerare cazul când q = 0 , adică exponentul este un număr real, t = p. Apoi
.

Dacă p este un număr întreg, atunci kp este, de asemenea, un număr întreg. Apoi, datorită periodicității funcțiilor trigonometrice:
.
Adică, funcția exponențială cu un exponent întreg, pentru un z dat, are o singură valoare și, prin urmare, este o singură valoare.

Dacă p este irațional, atunci produsele lui kp nu dau un număr întreg pentru orice k. Deoarece k trece printr-o serie infinită de valori k = 0, 1, 2, 3, ..., atunci funcția z p are infinite de valori. Ori de câte ori argumentul z este incrementat 2 pi(o tură), trecem la o nouă ramură a funcției.

Dacă p este rațional, atunci poate fi reprezentat ca:
, Unde m,n sunt numere întregi fără divizori comuni. Apoi
.
Primele n valori, pentru k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dați n valori diferite ale lui kp:
.
Cu toate acestea, valorile ulterioare dau valori care diferă de cele anterioare printr-un număr întreg. De exemplu, pentru k = k 0+n avem:
.
Funcții trigonometrice ale căror argumente diferă prin multipli 2 pi, au valori egale. Prin urmare, cu o creștere suplimentară a k, obținem aceleași valori ale lui z p ca și pentru k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Astfel, o funcție exponențială cu un exponent rațional este multivalorică și are n valori (ramuri). Ori de câte ori argumentul z este incrementat 2 pi(o tură), trecem la o nouă ramură a funcției. După n astfel de întoarceri, ne întoarcem la prima ramură de la care a început numărătoarea inversă.

În special, o rădăcină de grad n are n valori. Ca exemplu, luați în considerare rădăcina a n-a a unui număr pozitiv real z = x. În acest caz φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Deci, pentru rădăcina pătrată, n = 2 ,
.
Chiar și pentru k, (- 1 ) k = 1. Pentru k impar, (- 1 ) k = - 1.
Adică, rădăcina pătrată are două semnificații: + și -.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Vezi si:

Lecție și prezentare pe tema: „Grafic al funcției rădăcinii pătrate. Domeniul de aplicare și reprezentarea grafică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VIII-a
Manual electronic pentru manualul Mordkovich A.G.
Caiet electronic de lucru algebră pentru clasa a VIII-a

Graficul funcției rădăcinii pătrate

Băieți, ne-am întâlnit deja cu construcția de grafice de funcții și de mai multe ori. Am construit seturi de funcții liniare și parabole. În general, este convenabil să scrieți orice funcție ca $y=f(x)$. Aceasta este o ecuație cu două variabile - pentru fiecare valoare a lui x, obținem y. După efectuarea unei operații date f, mapăm mulțimea tuturor x posibile la mulțimea y. Ca funcție f, putem scrie aproape orice operație matematică.

De obicei, atunci când trasăm funcții, folosim un tabel în care notăm valorile x și y. De exemplu, pentru funcția $y=5x^2$, este convenabil să folosiți următorul tabel: Marcați punctele obținute pe sistemul de coordonate carteziene și conectați-le cu grijă cu o curbă netedă. Funcția noastră nu este limitată. Numai cu aceste puncte putem înlocui absolut orice valoare a lui x din domeniul de definiție dat, adică acele x pentru care expresia are sens.

Într-una din lecțiile anterioare, am învățat o nouă operație de extragere a rădăcinii pătrate. Se pune întrebarea, putem, folosind această operație, să setăm o funcție și să construim graficul acesteia? Să folosim forma generală a funcției $y=f(x)$. Lăsăm y și x în locul lor, iar în loc de f introducem operația cu rădăcina pătrată: $y=\sqrt(x)$.
Cunoscând operația matematică, am putut defini funcția.

Trasarea funcției rădăcină pătrată

Să diagramăm această funcție. Pe baza definiției rădăcinii pătrate, o putem calcula numai din numere nenegative, adică $x≥0$.
Să facem un tabel:
Să ne marchem punctele pe planul de coordonate.

Rămâne să conectăm cu atenție punctele obținute.

Băieți, fiți atenți: dacă graficul funcției noastre este întors pe partea sa, atunci obținem ramura stângă a parabolei. De fapt, dacă liniile din tabelul de valori sunt schimbate (linia de sus cu partea de jos), atunci obținem valorile doar pentru parabolă.

Domeniul funcției $y=\sqrt(x)$

Folosind graficul funcției, proprietățile sunt destul de ușor de descris.
1. Domeniul definiției: $$.
b) $$.

Soluţie.
Ne putem rezolva exemplul în două moduri. Fiecare scrisoare descrie un mod diferit.

A) Să revenim la graficul funcției construite mai sus și să marchem punctele necesare ale segmentului. Se vede clar că pentru $x=9$ funcția este mai mare decât toate celelalte valori. Prin urmare, atinge valoarea maximă în acest moment. La $x=4$ valoarea funcției este mai mică decât toate celelalte puncte, ceea ce înseamnă că aici este cea mai mică valoare.

$y_(cel mai mult)=\sqrt(9)=3$, $y_(cel mai mult)=\sqrt(4)=2$.

B) Știm că funcția noastră este în creștere. Aceasta înseamnă că fiecare valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Cele mai mari și mai mici valori sunt atinse la sfârșitul segmentului:

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

Exemplul 2
Rezolvați ecuația:

$\sqrt(x)=12-x$.

Soluţie.
Cea mai ușoară modalitate este de a reprezenta graficul a două funcții și de a găsi punctul lor de intersecție.
Graficul arată clar punctul de intersecție cu coordonatele $(9;3)$. Deci, $x=9$ este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=9$.

Băieți, putem fi siguri că acest exemplu nu mai are soluții? Una dintre funcții este în creștere, cealaltă este în scădere. În cazul general, fie nu au puncte comune, fie se intersectează doar într-unul singur.

Exemplul 3

Trasează și citește graficul funcției:

$\begin (cazuri) -x, x 9. \end (cazuri)$

Trebuie să construim trei grafice parțiale ale funcției, fiecare pe propriul interval.

Să descriem proprietățile funcției noastre:
1. Domeniul definiției: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ pentru $x=0$ și $x=12$; $y>0$ pentru $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Funcția este descrescătoare pe segmentele $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funcția crește pe intervalul $(0;9)$.
4. Funcția este continuă pe întregul domeniu al definiției.
5. Nu există o valoare maximă sau minimă.
6. Interval de valori: $(-∞;+∞)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției rădăcinii pătrate pe segment:
a) $$;
b) $$.
2. Rezolvați ecuația: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Trasează și citește graficul funcției: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Construiți și citiți graficul funcției: $y=\sqrt(-x)$.

Se consideră funcția y=√x. Graficul acestei funcții este prezentat în figura de mai jos.

Graficul funcției y=√x

După cum puteți vedea, graficul seamănă cu o parabolă rotită, sau mai degrabă cu una dintre ramurile sale. Obținem o ramură a parabolei x=y^2. Din figură se poate observa că graficul atinge axa Oy o singură dată, în punctul cu coordonatele (0; 0).
Acum merită remarcat principalele proprietăți ale acestei funcții.

Proprietățile funcției y=√x

1. Domeniul funcției este o rază )