Integrarea funcțiilor raționale Funcție fracțională - rațională Cele mai simple fracții raționale Descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple fracții Integrarea celor mai simple fracții Regula generală pentru integrarea fracțiilor raționale

polinom de gradul n. Funcție fracționară - rațională O funcție fracțională - rațională este o funcție egală cu raportul a două polinoame: O fracție rațională se numește proprie dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, adică m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Funcție fracțională - rațională Convertiți fracția improprie la forma corectă: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Cele mai simple fracții raționale Fracții raționale proprii de formă: Se numesc cele mai simple fracții raționale de tipuri. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Teorema: Orice fracție rațională regulată, al cărei numitor este factorizat: poate fi reprezentată, de altfel, într-un mod unic ca sumă de fracții simple: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Să clarificăm formularea teoremei folosind următoarele exemple: Pentru a afla coeficienții nedeterminați A, B, C, D ... se folosesc două metode: metoda comparării coeficienților și metoda parțială. valorile unei variabile. Să ne uităm la prima metodă cu un exemplu. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Reprezentați o fracție ca sumă de fracții simple: Reduceți cele mai simple fracții la un numitor comun Echivalați numărătorii fracțiilor rezultate și inițiale Echivalați coeficienții la aceleași puteri ale lui x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integrarea celor mai simple fracții Să găsim integralele celor mai simple fracții raționale: Să luăm în considerare integrarea fracțiilor de al 3-lea tip folosind un exemplu. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integrarea fracțiilor simpledx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integrarea fracţiilor simple O integrală de acest tip prin substituţie: se reduce la suma a două integrale: Prima integrală se calculează prin introducerea t sub semnul diferenţialului. A doua integrală se calculează folosind formula recursivă: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk la dt N la dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integrarea fracțiilor simple a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Regula generală pentru integrarea fracțiilor raționale Dacă fracția este improprie, atunci reprezentați-o ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii. După ce a descompus numitorul unei fracții raționale propriu-zise în factori, reprezentați-o ca o sumă de fracții simple cu coeficienți nedeterminați.Găsiți coeficienți nedeterminați prin compararea coeficienților sau prin metoda valorilor parțiale ale unei variabile. Integrați polinomul și suma rezultată a fracțiilor simple.

Exemplu Să aducem fracția la forma corectă. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 xxx xxx 234 242 xxx 234 242 xxx xxx

Exemplu Factorizarea numitorului unei fracții proprii Reprezentarea unei fracții ca sumă de fracții simple Găsirea coeficienților nesiguri folosind metoda valorilor parțiale ale variabilei xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1) x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Exemplu dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

„Un matematician, ca un artist sau un poet, creează tipare. Și dacă tiparele lui sunt mai stabile, este doar pentru că sunt alcătuite din idei... Tiparele unui matematician, la fel ca cele ale unui artist sau ale unui poet, trebuie să fie frumoase; ideile, la fel ca culorile sau cuvintele, trebuie să se potrivească. Frumusețea este prima cerință: nu există loc în lume pentru matematica urâtă».

G.H. Hardy

În primul capitol s-a remarcat că există antiderivate ale unor funcții destul de simple care nu mai pot fi exprimate în termeni de funcții elementare. În acest sens, acele clase de funcții capătă o mare importanță practică, despre care se poate spune cu siguranță că antiderivatele lor sunt funcții elementare. Această clasă de funcții include funcții raționale, care este raportul a două polinoame algebrice. Multe probleme duc la integrarea fracțiilor raționale. Prin urmare, este foarte important să poți integra astfel de funcții.

2.1.1. Funcții raționale fracționale

Fracția rațională(sau funcţie raţională fracţională) este raportul a două polinoame algebrice:

unde și sunt polinoame.

Amintește-ți asta polinom (polinom, o întreagă funcţie raţională) ngradul se numește o funcție a formei

Unde sunt numere reale. De exemplu,

este un polinom de gradul I;

este un polinom de gradul al patrulea etc.

Fracția rațională (2.1.1) se numește corect, dacă gradul este mai mic decât gradul , i.e. n<m, altfel se numește fracția gresit.

Orice fracție improprie poate fi reprezentată ca suma unui polinom (parte întreagă) și a unei fracții proprii (parte fracțională). Selectarea părților întregi și fracționale ale unei fracții improprie se poate face conform regulii împărțirii polinoamelor la un „colț”.

Exemplul 2.1.1. Selectați părțile întregi și fracționale ale următoarelor fracții raționale improprii:

A) , b) .

Decizie . a) Folosind algoritmul de împărțire „colț”, obținem

Astfel, primim

.

b) Aici folosim și algoritmul de împărțire „colț”:

Drept urmare, obținem

.

Să rezumam. Integrala nedefinită a unei fracții raționale poate fi reprezentată în general ca suma integralelor unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise. Găsirea antiderivatelor polinoamelor nu este dificilă. Prin urmare, în viitor, vom lua în considerare în principal fracțiile raționale adecvate.

2.1.2. Cele mai simple fracții raționale și integrarea lor

Există patru tipuri de fracții raționale proprii, care sunt clasificate ca cele mai simple fracții raționale (elementare):

unde este un număr întreg, , adică trinom pătrat nu are rădăcini reale.

Integrarea celor mai simple fracții de primul și al doilea tip nu prezintă mari dificultăți:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Să luăm acum în considerare integrarea celor mai simple fracții de al 3-lea tip și nu vom lua în considerare fracțiile de al 4-lea tip.

Începem cu integralele formei

.

Această integrală este de obicei calculată luând pătratul întreg la numitor. Rezultatul este o integrală de tabel de următoarea formă

sau .

Exemplul 2.1.2. Găsiți integrale:

A) , b) .

Decizie . a) Selectăm un pătrat întreg dintr-un trinom pătrat:

De aici găsim

b) Selectând pătratul complet din trinomul pătrat, obținem:

Prin urmare,

.

Pentru a găsi integrala

putem extrage derivata numitorului din numărător și extinde integrala în suma a două integrale: prima dintre ele prin înlocuirea se reduce la formă

,

iar al doilea - la cele de mai sus.

Exemplul 2.1.3. Găsiți integrale:

.

Decizie . observa asta . Selectăm derivata numitorului în numărător:

Prima integrală se calculează folosind substituția :

În a doua integrală, selectăm pătratul complet la numitor

În sfârșit, obținem

2.1.3. Expansiunea unei fracții raționale propriu-zise
suma fracțiilor simple

Orice fracție rațională adecvată poate fi reprezentat unic ca o sumă de fracții simple. Pentru a face acest lucru, numitorul trebuie descompus în factori. Din algebra superioară se știe că fiecare polinom cu coeficienți reali

O funcție rațională este o fracție de forma , al cărei numărător și numitor sunt polinoame sau produse ale polinoamelor.

Exemplul 1 Pasul 2

.

Înmulțim coeficienți nedeterminați cu polinoame care nu sunt în această fracție individuală, dar care sunt în alte fracții obținute:

Deschidem parantezele și echivalăm numărătorul integrandului original primit cu expresia obținută:

În ambele părți ale egalității, căutăm termeni cu aceleași puteri ale lui x și alcătuim un sistem de ecuații din ei:

.

Anulăm toate x-urile și obținem un sistem echivalent de ecuații:

.

Astfel, expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

.

Exemplul 2 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărător:

.

Acum începem să căutăm coeficienți nesiguri. Pentru a face acest lucru, echivalăm numărătorul fracției inițiale din expresia funcției cu numărătorul expresiei obținute după reducerea sumei fracțiilor la un numitor comun:

Acum trebuie să creați și să rezolvați un sistem de ecuații. Pentru a face acest lucru, echivalăm coeficienții variabilei cu gradul corespunzător în numărătorul expresiei inițiale a funcției și coeficienți similari în expresia obținută la pasul anterior:

Rezolvam sistemul rezultat:

Deci, de aici

.

Exemplul 3 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărător:

Începem să căutăm coeficienți nesiguri. Pentru a face acest lucru, echivalăm numărătorul fracției inițiale din expresia funcției cu numărătorul expresiei obținute după reducerea sumei fracțiilor la un numitor comun:

Ca și în exemplele anterioare, compunem un sistem de ecuații:

Reducem x și obținem un sistem echivalent de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

.

Exemplul 4 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărător:

.

Cum să echivalăm numărătorul fracției inițiale cu expresia din numărătorul obținută după descompunerea fracției în suma fracțiilor simple și reducerea acestei sume la un numitor comun, știm deja din exemplele anterioare. Prin urmare, doar pentru control, prezentăm sistemul de ecuații rezultat:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

Exemplul 5 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărător:

.

Aducem independent această sumă la un numitor comun, echivalăm numărătorul acestei expresii cu numărătorul fracției inițiale. Rezultatul ar trebui să fie următorul sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

.

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

.

Exemplul 6 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărător:

Efectuăm aceleași acțiuni cu această sumă ca în exemplele anterioare. Rezultatul ar trebui să fie următorul sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

.

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

.

Exemplul 7 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărător:

.

După acțiuni cunoscute cu suma rezultată, ar trebui să se obțină următorul sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

.

Exemplul 8 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărător:

.

Să facem câteva modificări la acțiunile deja aduse automatității pentru a obține un sistem de ecuații. Există un truc artificial, care în unele cazuri ajută la evitarea calculelor inutile. Aducând suma fracțiilor la un numitor comun, obținem și echivalând numărătorul acestei expresii cu numărătorul fracției inițiale, obținem.

Lucrările de control privind integrarea funcțiilor, inclusiv a fracțiilor raționale, se acordă studenților cursurilor I și II. Exemplele de integrale vor fi în principal de interes pentru matematicieni, economiști și statisticieni. Aceste exemple au fost solicitate la lucrul de control de la LNU. Eu. Frank. Condițiile din următoarele exemple sunt „Găsiți integrala” sau „Calculați integrala”, prin urmare, pentru a economisi spațiu și timpul dvs., acestea nu au fost scrise.

Exemplul 15. Am ajuns la integrarea funcțiilor raționale fracționale. Ele ocupă un loc aparte printre integrale, deoarece necesită mult timp pentru a calcula și a ajuta profesorii să-ți testeze cunoștințele nu doar în integrare. Pentru a simplifica funcția sub integrală, adunăm și scădem o expresie la numărător care ne permite să împărțim funcția sub integrală în două simple

Ca rezultat, găsim o integrală destul de repede, în a doua trebuie să extindem fracția în suma fracțiilor elementare

Când sunt reduse la un numitor comun, obținem astfel de numere

Apoi, deschideți parantezele și grupați

Echivalăm valoarea la aceleași grade de „x” la dreapta și la stânga. Ca rezultat, ajungem la un sistem de trei ecuații liniare (SLAE) cu trei necunoscute.

Modul de rezolvare a sistemelor de ecuații este descris în alte articole de pe site. În versiunea finală, veți primi următoarele soluții SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Înlocuim constantele în expansiunea fracțiilor în cele mai simple și efectuăm integrarea


Acest exemplu este rezolvat.

Exemplul 16. Din nou, trebuie să găsiți integrala funcției raționale fracționale. Pentru început, descompunem ecuația cubică care este conținută în numitorul fracției în factori simpli

În continuare, efectuăm descompunerea fracției în cea mai simplă

Reducem partea dreaptă la un numitor comun și deschidem parantezele din numărător.


Echivalăm coeficienții la aceleași puteri ale variabilei. Ajungem din nou la SLAE cu trei necunoscute

Înlocuim valorile A, B, C în expansiune și calculăm integrala

Primii doi termeni dau logaritmul, ultimul este de asemenea ușor de găsit.

Exemplul 17. În numitorul unei funcții raționale fracționale, avem diferența de cuburi. După formulele de înmulțire prescurtată, o descompunem în doi factori primi

Apoi, pictăm funcția fracțională rezultată pentru suma fracțiilor simple și le reducem la un numitor comun

La numărător obținem următoarea expresie.

Din el formăm un sistem de ecuații liniare pentru calcularea a 3 necunoscute

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Inlocuim A, B, C in formula si realizam integrarea. Ca urmare, ajungem la următorul răspuns


Aici, numărătorul celei de-a doua integrale a fost transformat într-un logaritm, în timp ce restul de sub integrală dă arc tangente.
Există o mulțime de exemple similare despre integrarea fracțiilor raționale pe Internet. Exemple similare pot fi găsite în materialele de mai jos.

Integrarea unei funcții fracționale-raționale.
Metoda coeficienților nedeterminați

Continuăm să lucrăm la integrarea fracțiilor. Am considerat deja integralele unor tipuri de fracții în lecție, iar această lecție într-un sens poate fi considerată o continuare. Pentru a înțelege cu succes materialul, sunt necesare abilități de integrare de bază, așa că dacă tocmai ați început să studiați integralele, adică sunteți un ceainic, atunci trebuie să începeți cu articolul Integrală nedefinită. Exemple de soluții.

Destul de ciudat, acum ne vom ocupa nu atât de găsirea integralelor cât de... rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. În această conexiune puternic Vă recomand să vizitați lecția Și anume, trebuie să cunoașteți bine metodele de substituție (metoda „școală” și metoda adunării (scăderii) termen cu termen a ecuațiilor sistemului).

Ce este o funcție rațională fracțională? Cu cuvinte simple, o funcție fracționară-rațională este o fracție în numărătorul și numitorul căreia sunt polinoame sau produse ale polinoamelor. În același timp, fracțiile sunt mai sofisticate decât cele discutate în articol. Integrarea unor fracții.

Integrarea funcției fracționale-rationale corecte

Imediat un exemplu și un algoritm tipic pentru rezolvarea integralei unei funcții raționale fracționale.

Exemplul 1

Pasul 1. Primul lucru pe care îl facem ÎNTOTDEAUNA când rezolvăm o integrală a unei funcții rațional-fracționale este să punem următoarea întrebare: este corectă fracția? Acest pas se face pe cale orală, iar acum voi explica cum:

Mai întâi uită-te la numărător și află grad superior polinom:

Cea mai mare putere a numărătorului este două.

Acum uită-te la numitor și află grad superior numitor. Modul evident este să deschideți parantezele și să aduceți termeni similari, dar o puteți face mai ușor, în fiecare paranteza găsi cel mai înalt grad

și înmulțiți mental: - astfel, gradul cel mai înalt al numitorului este egal cu trei. Este destul de evident că dacă deschidem cu adevărat parantezele, atunci nu vom obține un grad mai mare de trei.

Concluzie: Cea mai mare putere a numărătorului STRICT mai mică decât cea mai mare putere a numitorului, atunci fracția este corectă.

Dacă în acest exemplu numărătorul conținea un polinom 3, 4, 5 etc. grad, atunci fracția ar fi gresit.

Acum vom lua în considerare numai funcțiile fracționale-rationale proprii. Cazul în care gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului, îl vom analiza la sfârșitul lecției.

Pasul 2 Să factorizăm numitorul. Să ne uităm la numitorul nostru:

În general, aici este deja un produs al factorilor, dar, cu toate acestea, ne întrebăm: este posibil să extindem altceva? Obiectul torturii, desigur, va fi trinomul pătrat. Rezolvăm ecuația pătratică:

Discriminantul este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă că trinomul este într-adevăr factorizat:

Regula generală: TOT ceea ce la numitor POATE fi factorizat - factorizați

Să începem să luăm o decizie:

Pasul 3 Folosind metoda coeficienților nedeterminați, extindem integrandul într-o sumă de fracții simple (elementare). Acum va fi mai clar.

Să ne uităm la funcția noastră integrand:

Și, știi, un gând intuitiv scapă cumva prin faptul că ar fi bine să transformăm fracția noastră mare în câteva mici. De exemplu, așa:

Se pune întrebarea, este chiar posibil să faci asta? Să tragem uşuraţi, teorema corespunzătoare de analiză matematică afirmă - ESTE POSIBIL. O astfel de descompunere există și este unică.

Există o singură captură, coeficienții noi Pa nu știm, de unde și denumirea – metoda coeficienților nedeterminați.

Ai ghicit, gesturile ulterioare deci, nu chicoti! va avea ca scop doar ÎNVĂȚAREA lor - pentru a afla cu ce sunt egali.

Atenție, explic o dată în detaliu!

Deci, să începem să dansăm de la:

În partea stângă aducem expresia la un numitor comun:

Acum scăpăm în siguranță de numitori (pentru că sunt la fel):

În partea stângă, deschidem parantezele, în timp ce nu atingem încă coeficienții necunoscuți:

În același timp, repetăm ​​regula școlară a înmulțirii polinoamelor. Când eram profesor, am învățat să spun această regulă cu fața dreaptă: Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom..

Din punctul de vedere al unei explicații clare, este mai bine să puneți coeficienții între paranteze (deși personal nu fac asta niciodată pentru a economisi timp):

Compunem un sistem de ecuații liniare.
În primul rând, căutăm diplome superioare:

Și scriem coeficienții corespunzători în prima ecuație a sistemului:

Ei bine, amintiți-vă următoarea nuanță. Ce s-ar întâmpla dacă partea dreaptă nu ar exista deloc? Spune, s-ar arăta fără niciun pătrat? În acest caz, în ecuația sistemului, ar fi necesar să se pună zero în dreapta: . De ce zero? Și pentru că în partea dreaptă puteți atribui oricând acest pătrat cu zero: dacă nu există variabile sau (și) un termen liber în partea dreaptă, atunci punem zerouri în partea dreaptă a ecuațiilor corespunzătoare ale sistemului.

Scriem coeficienții corespunzători în a doua ecuație a sistemului:

Și, în sfârșit, apă minerală, selectăm membri gratuiti.

Eh,... glumeam. Glume deoparte - matematica este o știință serioasă. În grupul nostru de institut, nimeni nu a râs când profesorul asistent a spus că va împrăștia membrii de-a lungul unei linii numerice și va alege pe cel mai mare dintre ei. Să fim serioși. Deși... cine trăiește pentru a vedea sfârșitul acestei lecții va zâmbi în continuare liniștit.

Sistem gata:

Rezolvam sistemul:

(1) Din prima ecuație, o exprimăm și o substituim în ecuațiile a 2-a și a 3-a ale sistemului. De fapt, se putea exprima (sau o altă literă) dintr-o altă ecuație, dar în acest caz este avantajos să o exprimăm din prima ecuație, deoarece există cele mai mici cote.

(2) Prezentăm termeni similari în a 2-a și a 3-a ecuație.

(3) Adunăm ecuațiile a 2-a și a 3-a termen cu termen, obținând egalitatea , din care rezultă că

(4) Substituim în a doua (sau a treia) ecuație, din care aflăm că

(5) Înlocuim și în prima ecuație, obținând .

Dacă aveți dificultăți cu metodele de rezolvare a sistemului, rezolvați-le în clasă. Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?

După rezolvarea sistemului, este întotdeauna util să faceți o verificare - înlocuiți valorile găsite în fiecare ecuația sistemului, ca rezultat, totul ar trebui să „converge”.

Aproape sosit. Se găsesc coeficienții, în timp ce:

O lucrare curată ar trebui să arate cam așa:

După cum puteți vedea, principala dificultate a sarcinii a fost să compune (corect!) și să rezolve (corect!) un sistem de ecuații liniare. Și în etapa finală, totul nu este atât de dificil: folosim proprietățile liniarității integralei nedefinite și integrăm. Vă atrag atenția asupra faptului că sub fiecare dintre cele trei integrale avem o funcție complexă „liberă”, am vorbit despre caracteristicile integrării acesteia în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Verificați: diferențiați răspunsul:

Integrandul original a fost obținut, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.
În timpul verificării, a fost necesară aducerea expresiei la un numitor comun, iar acest lucru nu este întâmplător. Metoda coeficienților nedeterminați și aducerea expresiei la un numitor comun sunt acțiuni reciproc inverse.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită.

Să revenim la fracția din primul exemplu: . Este ușor de observat că la numitor toți factorii sunt DIFERȚI. Se pune întrebarea, ce să faceți dacă, de exemplu, este dată o astfel de fracție: ? Aici avem grade la numitor sau, în termeni matematici, factori multipli. În plus, există un trinom pătrat necompunebil (este ușor de verificat că discriminantul ecuației este negativ, deci trinomul nu poate fi factorizat în niciun fel). Ce sa fac? Expansiunea într-o sumă de fracții elementare va arăta ca cu coeficienți necunoscuți în partea de sus sau într-un alt mod?

Exemplul 3

Trimiteți o funcție

Pasul 1. Verificăm dacă avem o fracție corectă
Puterea cea mai mare a numărătorului: 2
Cel mai mare numitor: 8
, deci fracția este corectă.

Pasul 2 Se poate lua în calcul ceva în numitor? Evident că nu, totul este deja aranjat. Trinomul pătrat nu se extinde într-un produs din motivele de mai sus. Bun. Mai puțină muncă.

Pasul 3 Să reprezentăm o funcție fracționară-rațională ca sumă de fracții elementare.
În acest caz, descompunerea are următoarea formă:

Să ne uităm la numitorul nostru:
Când descompunem o funcție fracțională-rațională într-o sumă de fracții elementare, se pot distinge trei puncte fundamentale:

1) Dacă numitorul conține un factor „singuratic” la primul grad (în cazul nostru), atunci punem un coeficient nedefinit în vârf (în cazul nostru). Exemplele nr. 1,2 constau numai din astfel de factori „singuratici”.

2) Dacă numitorul conține multiplu multiplicator, atunci trebuie să descompuneți după cum urmează:
- adică sortați secvențial toate gradele lui „x” de la primul până la al n-lea grad. În exemplul nostru, există doi factori multipli: și , aruncați o altă privire la descompunerea pe care am dat-o și asigurați-vă că sunt descompuse exact conform acestei reguli.

3) Dacă numitorul conține un polinom necompunebil de gradul doi (în cazul nostru ), atunci când extindeți în numărător, trebuie să scrieți o funcție liniară cu coeficienți nedeterminați (în cazul nostru, cu coeficienți nedeterminați și ).

De fapt, există și un al 4-lea caz, dar voi păstra tăcerea, deoarece în practică este extrem de rar.

Exemplul 4

Trimiteți o funcție ca sumă de fracţii elementare cu coeficienţi necunoscuţi.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Urmați cu strictețe algoritmul!

Dacă v-ați dat seama de principiile după care trebuie să descompuneți o funcție fracțională-rațională într-o sumă, atunci puteți sparge aproape orice integrală a tipului luat în considerare.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Pasul 1. Evident, fracția este corectă:

Pasul 2 Se poate lua în calcul ceva în numitor? Poate sa. Iată suma cuburilor . Factorizarea numitorului folosind formula de înmulțire prescurtată

Pasul 3 Folosind metoda coeficienților nedeterminați, extindem integrantul într-o sumă de fracții elementare:

Rețineți că polinomul este indecompunebil (verificați dacă discriminantul este negativ), așa că în partea de sus punem o funcție liniară cu coeficienți necunoscuți, și nu doar o singură literă.

Aducem fracția la un numitor comun:

Să creăm și să rezolvăm sistemul:

(1) Din prima ecuație, exprimăm și substituim în a doua ecuație a sistemului (acesta este cel mai rațional mod).

(2) Prezentăm termeni similari în a doua ecuație.

(3) Adăugăm a doua și a treia ecuație a sistemului termen cu termen.

Toate calculele ulterioare, în principiu, sunt orale, deoarece sistemul este simplu.

(1) Notăm suma fracțiilor în conformitate cu coeficienții aflați .

(2) Folosim proprietățile de liniaritate ale integralei nedefinite. Ce s-a întâmplat în a doua integrală? Puteți găsi această metodă în ultimul paragraf al lecției. Integrarea unor fracții.

(3) Încă o dată folosim proprietățile liniarității. În a treia integrală, începem să selectăm un pătrat complet (penultimul paragraf al lecției Integrarea unor fracții).

(4) Luăm a doua integrală, în a treia selectăm pătratul complet.

(5) Luăm integrala a treia. Gata.