Acasă
fosă septică
Trapez dreptunghiular: toate formulele și exemplele de probleme. Memorați și aplicați proprietățile unui trapez Cum să găsiți un unghi ascuțit al unui trapez

Trapez dreptunghiular: toate formulele și exemplele de probleme. Memorați și aplicați proprietățile unui trapez Cum să găsiți un unghi ascuțit al unui trapez

Trapez este un patrulater cu două laturi paralele, care sunt bazele, și două laturi neparalele, care sunt laturile.

Există și nume precum isoscel sau isoscel.

Este un trapez cu unghiuri drepte pe partea laterală.

Elemente de trapez

a, b bazele unui trapez(a paralelă cu b),

m, n — laturi trapez,

d 1 , d 2 — diagonalele trapez,

h- înălţime trapez (un segment care leagă bazele și, în același timp, perpendicular pe acestea),

MN- linia de mijloc(un segment care leagă punctele medii ale laturilor).

Zona trapezului

  1. Prin jumătate din suma bazelor a, b și a înălțimii h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
  2. Prin linia mediană MN și înălțimea h : S = MN\cdot h
  3. Prin diagonalele d 1 , d 2 și unghiul (\sin \varphi ) dintre ele: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Proprietăți trapezoid

Linia mediană a trapezului

linia de mijloc paralel cu bazele, egal cu jumătatea sumei lor, și împarte fiecare segment cu capete situate pe linii drepte care conțin bazele (de exemplu, înălțimea figurii) în jumătate:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

Suma unghiurilor unui trapez

Suma unghiurilor unui trapez, adiacent fiecărei laturi, este egal cu 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Triunghiuri cu arie egală ale unui trapez

De dimensiuni egale, adică având arii egale, sunt segmentele diagonalelor și triunghiurile AOB și DOC formate din laturi.

Asemănarea triunghiurilor trapezoidale formate

triunghiuri asemănătoare sunt AOD și COB, care sunt formate din bazele și segmentele diagonale ale acestora.

\triangle AOD \sim \triangle COB

coeficient de similitudine k se gaseste prin formula:

k = \frac(AD)(BC)

Mai mult, raportul ariilor acestor triunghiuri este egal cu k^(2) .

Raportul dintre lungimile segmentelor și bazelor

Fiecare segment care leagă bazele și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct în raport cu:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Acest lucru va fi valabil și pentru înălțimea cu diagonalele în sine.

Un trapez este un patru plat pătrat ale căror două laturi opuse sunt paralele. Se numesc baze. trapez, iar celelalte două laturi - laterale trapez.

Instruire

Problema găsirii unui unghi arbitrar în trapez necesită o cantitate suficientă de date suplimentare. Luați în considerare un exemplu în care sunt cunoscute două unghiuri de bază trapez. Fie cunoscute unghiurile &ang-BAD și &ang-CDA, găsiți unghiurile &ang-ABC și &ang-BCD. Un trapez are proprietatea că suma unghiurilor de pe fiecare parte este 180°-. Apoi &ang-ABC = 180°--&ang-BAD și &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.

trapezoid" class="lightbx" data-lightbox="article-image">

Într-o altă problemă poate fi indicată egalitatea laturilor trapezși câteva colțuri suplimentare. De exemplu, ca în figură, se poate ști că laturile AB, BC și CD sunt egale, iar diagonala formează un unghi &ang-CAD = α- cu baza inferioară. pătrat ABC, este isoscel, deoarece AB = BC. Apoi &ang-BAC = &ang-BCA. Să-i spunem pe scurt x și &ang-ABC - y. Suma unghiurilor oricărui triunghi pătratși este egal cu 180°-, rezultă că 2x + y = 180°-, apoi y = 180°- - 2x. În același timp, din proprietăți trapez: y + x + α- = 180°- și deci 180°- - 2x + x + α- = 180°-. Deci x = α-. Am găsit două colțuri trapez: &ang-BAC = 2x = 2α- și &ang-ABC = y = 180°- - 2α- Deoarece AB = CD prin condiție, trapezul este isoscel sau isoscel. Mijloace,

Un trapez este o figură geometrică, un patrulater care are două drepte paralele. Celelalte două drepte nu pot fi paralele, caz în care ar fi un paralelogram.

Tipuri de trapez

Există trei tipuri de trapeze: dreptunghiulare, când două unghiuri ale trapezului sunt de 90 de grade fiecare; echilateral, în care cele două linii laterale sunt egale; versatil, unde liniile laterale sunt de lungimi diferite.

Lucrând cu trapeze, puteți afla cum să le calculați aria, înălțimea, dimensiunea liniei și, de asemenea, puteți afla cum să găsiți unghiurile unui trapez.

Trapez dreptunghiular

Un trapez dreptunghiular are două unghiuri de 90 de grade. Suma celorlalte două unghiuri este de 180 de grade. Prin urmare, există o modalitate de a găsi colțurile unui trapez dreptunghiular, cunoscând dimensiunea unuia dintre colțuri. Să fie, de exemplu, 26 de grade. Este necesar doar din suma totală a unghiurilor trapezului - 360 de grade - să se scadă suma unghiurilor cunoscute. 360-(90+90+26) = 154. Unghiul dorit va fi de 154 de grade. Poate fi considerat mai simplu: deoarece cele două unghiuri sunt drepte, atunci în total vor fi de 180 de grade, adică jumătate din 360; suma unghiurilor nedrepte va fi, de asemenea, egală cu 180, așa că puteți calcula mai ușor și mai rapid 180 -26 = 154.

Trapez isoscel

Un trapez isoscel are două laturi egale care nu sunt baze. Există formule care explică cum să găsești unghiurile unui trapez isoscel.

Calculul 1, dacă sunt date dimensiunile laturilor trapezului

Ele sunt notate cu literele A, B și C: A - dimensiunile laturilor, B și C - dimensiunile bazei, mai mici, respectiv mai mari. Trapezul trebuie numit și ABCD. Pentru calcule este necesar să se deseneze înălțimea H din unghiul B. S-a format un triunghi dreptunghic BHA, unde AH și BH sunt catetele, AB este ipotenuza. Acum puteți calcula dimensiunea piciorului AH. Pentru a face acest lucru, este necesar să-l scădeți pe cel mai mic din baza mai mare a trapezului și să-l împărțiți în jumătate, adică. (c-b)/2.

Pentru a găsi unghiul ascuțit al unui triunghi, utilizați funcția cos. Cos al unghiului dorit (β) va fi egal cu a / ((c-b) / 2). Pentru a afla dimensiunea unghiului β, trebuie să utilizați funcția arcos. β = arcos 2а/с-b. pentru că două unghiuri ale unui trapez echilateral sunt egale, atunci vor fi: unghi BAD \u003d unghi CDA \u003d arcos 2a / c-b.

Calcul 2. Dacă sunt date dimensiunile bazelor trapezului.

Având valorile bazelor trapezului - a și b, puteți utiliza aceeași metodă ca în soluția anterioară. Din colțul b este necesar să se coboare înălțimea h. Având în vedere dimensiunile celor două catete ale triunghiului nou creat, puteți utiliza o funcție trigonometrică similară, doar că în acest caz va fi tg. Pentru a converti un unghi și a obține valoarea acestuia, trebuie să utilizați funcția arctg. Pe baza formulelor, obținem dimensiunile unghiurilor dorite:

β \u003d arctan 2h / s-b, iar unghiul α \u003d 180 - arctan 2h / s-b /

Trapez obișnuit versatil

Există o modalitate de a găsi unghiul mai mare al trapezului. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți dimensiunile ambelor unghiuri acute. Cunoscându-le și știind că suma unghiurilor pentru orice bază a trapezului este de 180 de grade, ajungem la concluzia că unghiul obtuz dorit va consta dintr-o diferență de 180 - dimensiunea unghiului ascuțit. De asemenea, puteți găsi un alt unghi obtuz al trapezului.

Unghiurile unui trapez isoscel. Buna! Acest articol se va concentra pe rezolvarea problemelor cu un trapez. Acest grup de sarcini face parte din examen, sarcinile sunt simple. Vom calcula unghiurile trapezului, bazei și înălțimii. Rezolvarea unui număr de probleme se rezumă la rezolvarea, după cum se spune: unde suntem fără teorema lui Pitagora?

Vom lucra cu un trapez isoscel. Are laturi și unghiuri egale la baze. Există un articol pe blog despre trapez,.

Observăm o nuanță mică și importantă, pe care nu o vom descrie în detaliu în procesul de rezolvare a sarcinilor în sine. Uite, dacă avem două baze, atunci baza mai mare este împărțită în trei segmente după înălțimile coborâte la ea - una este egală cu baza mai mică (acestea sunt laturi opuse ale dreptunghiului), celelalte două sunt egale între ele ( acestea sunt catetele triunghiurilor dreptunghice egale):

Un exemplu simplu: date două baze ale unui trapez isoscel 25 și 65. Baza mai mare este împărțită în segmente, după cum urmează:

*Și mai departe! Desemnările literelor nu sunt introduse în sarcini. Acest lucru se face în mod intenționat pentru a nu supraîncărca soluția cu bibelouri algebrice. Sunt de acord că acest lucru este analfabet din punct de vedere matematic, dar scopul este de a transmite esența. Și puteți oricând să faceți singur desemnările vârfurilor și ale altor elemente și să scrieți o soluție corectă din punct de vedere matematic.

Luați în considerare sarcinile:

27439. Bazele unui trapez isoscel sunt 51 și 65. Laturile sunt 25. Aflați sinusul unghiului ascuțit al trapezului.

Pentru a găsi unghiul, trebuie să reprezentați înălțimile. Pe schiță, notăm datele în condiția de dimensiune. Baza inferioară este de 65, este împărțită pe înălțimi în segmente 7, 51 și 7:

Într-un triunghi dreptunghic, cunoaștem ipotenuza și catetul, putem găsi al doilea catet (înălțimea trapezului) și apoi să calculăm sinusul unghiului.

Conform teoremei lui Pitagora, piciorul specificat este egal cu:

Prin urmare:

Răspuns: 0,96

27440. Bazele unui trapez isoscel sunt 43 și 73. Cosinusul unui unghi ascuțit al unui trapez este 5/7. Găsiți partea.

Să construim înălțimile și să marchem datele în condiția de mărime, baza inferioară este împărțită în segmente 15, 43 și 15:


27441. Baza mai mare a unui trapez isoscel este 34. Latura laterală este 14. Sinusul unui unghi ascuțit este (2√10)/7. Găsiți o bază mai mică.

Să construim înălțimi. Pentru a găsi o bază mai mică, trebuie să aflăm cu ce segmentul care este catetul dintr-un triunghi dreptunghic (indicat cu albastru) este egal cu:

Putem calcula înălțimea trapezului și apoi găsim piciorul:

După teorema lui Pitagora, calculăm piciorul:

Deci baza mai mică este:

27442. Bazele unui trapez isoscel sunt 7 și 51. Tangenta unui unghi ascuțit este 5/11. Aflați înălțimea trapezului.

Să trasăm înălțimile și să marchem datele în condiția de magnitudine. Baza inferioară este împărțită în segmente:

Ce sa fac? Exprimăm tangenta unghiului pe care îl cunoaștem la bază într-un triunghi dreptunghic:

27443. Baza mai mică a unui trapez isoscel este 23. Înălțimea trapezului este 39. Tangenta unui unghi ascuțit este 13/8. Găsiți o bază mai mare.

Construim înălțimi și calculăm cu ce este egal piciorul:


Deci baza mai mare va fi:

27444. Bazele unui trapez isoscel sunt 17 și 87. Înălțimea trapezului este 14. Aflați tangentei unui unghi ascuțit.

Construim înălțimi și notăm valorile cunoscute pe schiță. Baza inferioară este împărțită în segmente 35, 17, 35:

Prin definiția tangentei:

77152. Bazele unui trapez isoscel sunt 6 și 12. Sinusul unghiului ascuțit al trapezului este 0,8. Găsiți partea.

Să construim o schiță, să construim înălțimi și să notăm valorile cunoscute, baza mai mare este împărțită în segmentele 3, 6 și 3:

Exprimăm ipotenuza, notată cu x, prin cosinus:

Din identitatea trigonometrică de bază găsim cosα

Prin urmare:

27818. Care este cel mai mare unghi al unui trapez isoscel dacă se știe că diferența dintre unghiurile opuse este 50 0 ? Dați răspunsul în grade.

Din cursul geometriei, știm că dacă avem două drepte paralele și o secantă, suma unghiurilor interne unilaterale este 180 0 . În cazul nostru, asta

Condiția spune că diferența de unghiuri opuse este 50 0 , adică

Un trapez este un patru plat pătrat ale căror două laturi opuse sunt paralele. Se numesc baze. trapez, iar celelalte două laturi - laterale trapez .

Instruire

1. Problema găsirii unui unghi arbitrar în trapez necesită o cantitate destul de mare de date suplimentare. Luați în considerare un exemplu în care două colțuri sunt cunoscute la bază trapez. Fie cunoscute unghiurile ∠BAD și ∠CDA, vom găsi unghiurile ∠ABC și ∠BCD. Un trapez are proprietatea că suma unghiurilor pentru orice latură este 180°. Atunci ∠ABC = 180°-∠BAD și ∠BCD = 180°-∠CDA.

2. Într-o altă problemă poate fi indicată egalitatea laturilor trapezși orice colțuri suplimentare. Să zicem, ca în figură, se poate ști că laturile AB, BC și CD sunt egale, iar diagonala formează un unghi ∠CAD = α cu baza inferioară. pătrat ABC, este isoscel deoarece AB = BC. Atunci ∠BAC = ∠BCA. Să-l notăm x pentru concizie și ∠ABC - y. Suma unghiurilor oricărui triunghi pătrat a este 180°, rezultă că 2x + y = 180°, apoi y = 180° – 2x. În același timp, din proprietăți trapez: y + x + α = 180° și deci 180° – 2x + x + α = 180°. Astfel, x = α. Am găsit două colțuri trapez: ∠BAC = 2x = 2α și ∠ABC = y = 180° – 2α. Deci diagonalele sunt egale, iar unghiurile de la baze sunt egale. Astfel, ∠CDA = 2α și ∠BCD = 180° – 2α.

Lot diagonal pătrat- un segment, unul care conectează două vârfuri neadiacente ale unei figuri (adică vârfuri neadiacente sau care nu aparțin aceleiași laturi multe pătrat). Într-un paralelogram, cunoscând lungimea diagonalelor și lungimea laturilor, se pot calcula unghiurile dintre diagonalele .

Instruire

1. Pentru confortul perceperii informațiilor, desenați un paralelogram ABCD arbitrar pe o bucată de hârtie (un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt egale și paralele în perechi). Uniți vârfurile opuse cu segmentele de dreaptă. AC și BD rezultate sunt diagonale. Marcați punctul de intersecție al diagonalelor cu litera O. Trebuie să găsiți unghiurile BOC (AOD) și COD (AOB).

2. Un paralelogram are o serie de proprietăţi matematice: - diagonalele punctului de intersecţie se împart la jumătate; diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale pătrat;- suma tuturor unghiurilor dintr-un paralelogram este de 360 ​​de grade;- suma unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului este de 180 de grade;- suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma duală a pătratelor a laturilor ei adiacente.

3. Pentru a găsi unghiurile dintre diagonalele, folosiți teorema cosinusului din teoria geometriei elementare (euclidiană). Conform legii cosinusurilor, pătratul laturii triunghiului pătrat(A) se poate obține adunând pătratele celorlalte 2 laturi ale sale (B și C) și scăzând din suma rezultată produsul dublu al acestor laturi (B și C) cu cosinusul unghiului dintre ele.

4. În ceea ce privește triunghiul BOC al paralelogramului ABCD, teorema cosinusului va arăta astfel: Pătrat BC \u003d pătrat BO + pătrat OS - 2 * BO * OS * unghi cos BOC De aici cos unghi BOC \u003d (pătrat BC - pătrat BO - OS pătrat) / (2 * BO *OS)

5. După ce am găsit valoarea unghiului BOC (AOD), este ușor să calculați valoarea unui alt unghi cuprins între diagonalele- COD (AOB). Pentru a face acest lucru, scădeți valoarea unghiului BOC (AOD) de la 180 de grade - deoarece. suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade, iar unghiurile BOC și COD și unghiurile AOD și AOB sunt adiacente.

Videoclipuri asemănătoare

Pentru a rezolva această problemă folosind metode de algebră vectorială, trebuie să cunoașteți următoarele reprezentări: suma vectorială geometrică și produsul scalar al vectorilor și, de asemenea, ar trebui să vă amintiți calitatea sumei unghiurilor interioare ale unui patrulater.

Vei avea nevoie

  • - hartie;
  • - pix;
  • - rigla.

Instruire

1. Un vector este un segment direcționat, adică o valoare care este considerată a fi dată în întregime dacă sunt date lungimea și direcția (unghiul) față de o axă dată. Locația vectorului mai mare nu este limitată de nimic. Doi vectori sunt considerați egali dacă au lungimi identice și aceeași direcție. În consecință, la aplicarea coordonatelor, vectorii sunt reprezentați de vectorii rază ai punctelor capătului său (prefața este situată la origine).

2. Prin definiție: vectorul rezultat al sumei geometrice de vectori este un vector care provine de la începutul primului și are un sfârșit la sfârșitul celui de-al doilea, cu condiția ca sfârșitul primului să fie aliniat cu începutul celui de-al doilea. Acest lucru poate fi continuat mai departe, construind un lanț de vectori localizați în mod similar. Desenați patrulaterul dat ABCD cu vectorii a, b, c și d conform fig. 1. Aparent, cu acest aranjament, vectorul rezultat este d=a+ b+c.

3. În acest caz, este mai convenabil pentru toată lumea să determine produsul scalar pe baza vectorilor a și d. Produsul punctual, notat cu (a, d)= |a||d|cosφ1. Aici f1 este unghiul dintre vectorii a și d. Produsul scalar al vectorilor dat de coordonate este definit de următoarea expresie: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, | d|^2 = dx^2+ dy^2, apoi cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

4. Reprezentările de bază ale algebrei vectoriale în raport cu problema pusă conduc la faptul că pentru o enunțare fără ambiguitate a acestei probleme este suficient să se precizeze 3 vectori situați, eventual, pe AB, BC și CD, adică a, b. , c. Este permisă setarea în final a coordonatelor punctelor A, B, C, D, dar această metodă este redundantă (4 parametri în loc de 3).

5. Exemplu. Patrulaterul ABCD este dat de vectorii laturilor sale AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Găsiți unghiurile dintre laturile sale. Decizie. În legătură cu cele de mai sus, al 4-lea vector (pentru AD) d(dx,dy)=a+ b+c=(ax+bx +cx, ay+by+cy)=(1,3). Urmând metoda de calcul a unghiului dintre vectori acosφ1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), f1=arcos (1/ sqrt(10)).-cosφ2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, φ2=arcos(- 1/sqrt2 ), f2=3p/4.-cosf3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), f3 =arcos( -1/sqrt(10))=p-f1. În conformitate cu nota 2 - f4=2p- f1 - f2- f3=p/4.

Videoclipuri asemănătoare

Notă!
Nota 1: Definiția produsului punctual folosește unghiul dintre vectori. Aici, să zicem, f2 este unghiul dintre AB și BC, iar între a și b unghiul dat este p-f2. cos(p- f2)=- cosf2. Similar pentru φ3.Nota 2. Este bine cunoscut faptul că suma unghiurilor unui patrulater este 2n. În consecință, f4=2p- f1 - f2- f3.



Secțiuni