constanta Boltzmann. Constanta universală a gazelor este o constantă fizică fundamentală universală R, egală cu produsul constantei Boltzmann k și constantei Avogadro

Fluturii, desigur, nu știu nimic despre șerpi. Dar păsările care vânează fluturi știu despre ei. Păsările care nu recunosc șerpii sunt mai probabil să...

constanta lui Boltzmann (k (\displaystyle k) sau k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) este o constantă fizică care determină relația dintre temperatură și energie. Numit după fizicianul austriac Ludwig Boltzmann, care a adus contribuții majore la fizica statistică, în care această constantă joacă un rol cheie. Valoarea sa în Sistemul Internațional de Unități SI conform modificării definițiilor unităților SI de bază (2018) este exact egală cu

Relația dintre temperatură și energie

Într-un gaz ideal omogen la temperatură absolută T (\displaystyle T), energia pe gradul de libertate translațional este, după cum rezultă din distribuția Maxwell, kT / 2 (\displaystyle kT/2). La temperatura camerei (300 ), această energie este 2 , 07 × 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J sau 0,013 eV. Într-un gaz ideal monoatomic, fiecare atom are trei grade de libertate corespunzând la trei axe spațiale, ceea ce înseamnă că fiecare atom are energie în 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Cunoscând energia termică, se poate calcula viteza atomică rădăcină-pătrată medie, care este invers proporțională cu rădăcina pătrată a masei atomice. Viteza pătrată medie la temperatura camerei variază de la 1370 m/s pentru heliu la 240 m/s pentru xenon. În cazul unui gaz molecular, situația devine mai complicată, de exemplu, un gaz diatomic are 5 grade de libertate - 3 de translație și 2 de rotație (la temperaturi scăzute, când vibrațiile atomilor dintr-o moleculă nu sunt excitate și grade suplimentare de libertatea nu se adaugă).

Definiţia entropy

Entropia unui sistem termodinamic este definită ca logaritmul natural al numărului de microstări diferite Z (\displaystyle Z) corespunzătoare unei stări macroscopice date (de exemplu, o stare cu o energie totală dată).

Factorul de proporționalitate k (\displaystyle k)și este constanta Boltzmann. Aceasta este o expresie care definește relația dintre microscopic ( Z (\displaystyle Z)) și stări macroscopice ( S (\displaystyle S)), exprimă ideea centrală a mecanicii statistice.

Născut în 1844 la Viena. Boltzmann este un pionier și descoperitor în știință. Lucrările și cercetările sale au fost adesea greșit înțelese și respinse de societate. Cu toate acestea, odată cu dezvoltarea ulterioară a fizicii, lucrările sale au fost recunoscute și ulterior publicate.

Interesele științifice ale omului de știință au acoperit domenii fundamentale precum fizica și matematica. Din 1867 a lucrat ca profesor într-un număr de instituții de învățământ superior. În cercetările sale, el a stabilit că aceasta se datorează impacturilor haotice ale moleculelor asupra pereților vasului în care sunt amplasate, în timp ce temperatura depinde direct de viteza particulelor (moleculelor), cu alte cuvinte, de ele. Prin urmare, cu cât aceste particule se mișcă mai repede, cu atât temperatura este mai mare. Constanta Boltzmann poartă numele celebrului om de știință austriac. El a fost cel care a adus o contribuție neprețuită la dezvoltarea fizicii statice.

Sensul fizic al acestei valori constante

Constanta lui Boltzmann definește relația dintre lucruri precum temperatura și energia. În mecanica statică, joacă un rol cheie major. Constanta Boltzmann este egală cu k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. Numerele din paranteze indică eroarea permisă în valoarea valorii în raport cu ultimele cifre. Este de remarcat faptul că constanta Boltzmann poate fi derivată și din alte constante fizice. Cu toate acestea, aceste calcule sunt destul de complexe și dificil de efectuat. Ei necesită cunoștințe profunde nu numai în domeniul fizicii, ci și

Constanta Boltzmann, care este un coeficient egal cu k = 1,38 10 - 23 J K, face parte dintr-un număr semnificativ de formule din fizică. Și-a primit numele de la fizicianul austriac, unul dintre fondatorii teoriei cinetice moleculare. Formulăm definiția constantei Boltzmann:

Definiția 1

constanta Boltzmann numită constantă fizică, care determină relația dintre energie și temperatură.

Nu trebuie confundată cu constanta Stefan-Boltzmann asociată cu radiația energiei unui corp absolut rigid.

Există diferite metode de calcul al acestui coeficient. În acest articol, ne vom uita la două dintre ele.

Aflarea constantei Boltzmann prin ecuația gazului ideal

Această constantă poate fi găsită folosind o ecuație care descrie starea unui gaz ideal. Se poate determina experimental că încălzirea oricărui gaz de la T 0 \u003d 273 K la T 1 \u003d 373 K duce la o schimbare a presiunii sale de la p 0 \u003d 1,013 10 5 Pa la p 0 \u003d 1,38 10 5 Pa . Acesta este un experiment destul de simplu care poate fi făcut chiar și cu doar aer. Pentru a măsura temperatura, trebuie să utilizați un termometru, iar presiunea - un manometru. Este important de reținut că numărul de molecule dintr-un mol de orice gaz este aproximativ egal cu 6 10 23, iar volumul la o presiune de 1 atom este V = 22,4 l. Luând în considerare toți parametrii numiți, putem trece la calculul constantei Boltzmann k:

Pentru a face acest lucru, scriem ecuația de două ori, înlocuind parametrii de stare în ea.

Cunoscând rezultatul, putem afla valoarea parametrului k:

Găsirea constantei Boltzmann prin formula mișcării browniene

Pentru a doua metodă de calcul, trebuie să efectuăm și un experiment. Pentru el, trebuie să luați o oglindă mică și să o atârnați în aer cu un fir elastic. Să presupunem că sistemul oglindă-aer este într-o stare stabilă (echilibru static). Moleculele de aer lovesc oglinda, care în esență se comportă ca o particulă browniană. Totuși, ținând cont de starea sa de suspendare, putem observa oscilații de rotație în jurul unei anumite axe care coincid cu suspensia (filetul direcționat vertical). Acum să direcționăm un fascicul de lumină către suprafața oglinzii. Chiar și cu mișcări ușoare și întoarceri ale oglinzii, fasciculul reflectat în ea se va schimba vizibil. Acest lucru ne oferă capacitatea de a măsura vibrațiile de rotație ale unui obiect.

Notând modulul de torsiune ca L, momentul de inerție al oglinzii în raport cu axa de rotație ca J și unghiul de rotație al oglinzii ca φ, putem scrie ecuația de oscilație de următoarea formă:

Minusul din ecuație este legat de direcția momentului forțelor elastice, care tinde să readucă oglinda în poziția sa de echilibru. Acum să înmulțim ambele părți cu φ, să integrăm rezultatul și să obținem:

Următoarea ecuație este legea conservării energiei care va fi adevărată pentru aceste oscilații (adică energia potențială va fi convertită în energie cinetică și invers). Putem considera aceste oscilații ca fiind armonice, prin urmare:

Când am derivat una dintre formulele de mai devreme, am folosit legea distribuției uniforme a energiei pe grade de libertate. Așa că o putem scrie așa:

După cum am spus, unghiul de rotație poate fi măsurat. Deci, dacă temperatura este de aproximativ 290 K, iar modulul de torsiune L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 10 - 6, atunci putem calcula valoarea coeficientului de care avem nevoie după cum urmează:

Prin urmare, cunoscând elementele de bază ale mișcării browniene, putem găsi constanta Boltzmann prin măsurarea parametrilor macro.

Valoarea constantei Boltzmann

Valoarea coeficientului studiat constă în faptul că poate fi folosit pentru a conecta parametrii microcosmosului cu acei parametri care descriu macrocosmosul, de exemplu, temperatura termodinamică cu energia mișcării de translație a moleculelor:

Acest coeficient este inclus în ecuațiile energiei medii a unei molecule, starea unui gaz ideal, teoria cinetică a gazului, distribuția Boltzmann-Maxwell și multe altele. De asemenea, constanta Boltzmann este necesară pentru a determina entropia. Joacă un rol important în studiul semiconductorilor, de exemplu, în ecuația care descrie dependența conductivității electrice de temperatură.

Exemplul 1

Condiție: calculați energia medie a unei molecule de gaz formată din molecule N-atomice la o temperatură T, știind că toate gradele de libertate sunt excitate în molecule - rotațional, translațional, vibrațional. Toate moleculele sunt considerate în vrac.

Soluţie

Energia este distribuită uniform pe gradele de libertate pentru fiecare dintre gradele sale, ceea ce înseamnă că aceste grade vor avea aceeași energie cinetică. Va fi egal cu ε i = 1 2 k T . Apoi, pentru a calcula energia medie, putem folosi formula:

ε = i 2 k T , unde i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l este suma gradelor de libertate de rotație de translație. Litera k reprezintă constanta lui Boltzmann.

Să trecem la determinarea numărului de grade de libertate ale moleculei:

m p o s t = 3 , m υ r = 3 , deci m k o l = 3 N - 6 .

i \u003d 6 + 6 N - 12 \u003d 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Răspuns:în aceste condiţii, energia medie a moleculei va fi egală cu ε = 3 N - 3 k T .

Exemplul 2

Condiție: este un amestec de două gaze ideale a căror densitate în condiții normale este p. Determinați care va fi concentrația unui gaz în amestec, cu condiția să cunoaștem masele molare ale ambelor gaze μ 1, μ 2.

Soluţie

Mai întâi, calculați masa totală a amestecului.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02 .

Parametrul m 01 desemnează masa unei molecule a unui gaz, m 02 este masa unei molecule a altuia, n 2 este concentrația moleculelor unui gaz, n 2 este concentrația celui de-al doilea. Densitatea amestecului este egală cu ρ.

Acum, din această ecuație, exprimăm concentrația primului gaz:

n 1 \u003d ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02 .

p = n k T → n = p k T .

Înlocuiți valoarea egală rezultată:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Deoarece masele molare ale gazelor ne sunt cunoscute, putem găsi masele moleculelor primului și celui de-al doilea gaz:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

De asemenea, știm că amestecul de gaze este în condiții normale, adică. presiunea este de 1 atm, iar temperatura este de 290 K. Deci, putem considera problema rezolvată.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Ca știință cantitativă exactă, fizica nu se poate lipsi de un set de constante foarte importante care intră ca coeficienți universali în ecuații care stabilesc o legătură între anumite mărimi. Acestea sunt constante fundamentale, datorită cărora astfel de relații dobândesc invarianță și sunt capabile să explice comportamentul sistemelor fizice la diferite scări.

Printre astfel de parametri care caracterizează proprietățile inerente materiei Universului nostru se numără constanta Boltzmann - o cantitate inclusă într-un număr dintre cele mai importante ecuații. Cu toate acestea, înainte de a trece la luarea în considerare a trăsăturilor și semnificației sale, nu putem să nu spunem câteva cuvinte despre omul de știință al cărui nume îl poartă.

Ludwig Boltzmann: merit științific

Unul dintre cei mai mari oameni de știință ai secolului al XIX-lea, austriacul Ludwig Boltzmann (1844-1906) a adus o contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei cinetice moleculare, devenind unul dintre creatorii mecanicii statistice. El a fost autorul ipotezei ergodice, o metodă statistică în descrierea unui gaz ideal, ecuația de bază a cineticii fizice. A lucrat mult pe probleme de termodinamică (teorema H a lui Boltzmann, principiul statistic pentru a doua lege a termodinamicii), teoria radiațiilor (legea Stefan-Boltzmann). De asemenea, a atins în lucrările sale unele probleme de electrodinamică, optică și alte ramuri ale fizicii. Numele său este imortalizat în două constante fizice, care vor fi discutate mai jos.

Ludwig Boltzmann a fost un susținător convins și consecvent al teoriei structurii atomice și moleculare a materiei. Timp de mulți ani, a fost nevoit să lupte împotriva neînțelegerii și respingerii acestor idei în comunitatea științifică de atunci, când mulți fizicieni considerau atomii și moleculele ca fiind o abstracție excesivă, în cel mai bun caz un dispozitiv condiționat care servește la facilitarea calculelor. O boală dureroasă și atacurile unor colegi cu minte conservatoare au provocat o depresie severă în Boltzmann, incapabil să o suporte, remarcabilul om de știință s-a sinucis. Pe monumentul mormânt, deasupra bustului lui Boltzmann, în semn de recunoaștere a meritelor sale, este gravată ecuația S = k∙logW - unul dintre rezultatele fructuoasei sale activități științifice. Constanta k din această ecuație este constanta lui Boltzmann.

Energia moleculelor și temperatura materiei

Conceptul de temperatură servește la caracterizarea gradului de încălzire al unui corp. În fizică, se utilizează o scară de temperatură absolută, care se bazează pe concluzia teoriei cinetice moleculare despre temperatură ca măsură care reflectă mărimea energiei mișcării termice a particulelor unei substanțe (adică, desigur, energia cinetică medie a multor particule).

Atât SI joule, cât și CGS erg sunt unități prea mari pentru a exprima energia moleculelor, iar în practică a fost foarte dificil să se măsoare temperatura în acest fel. O unitate convenabilă de temperatură este gradul, iar măsurarea este efectuată indirect, prin înregistrarea caracteristicilor macroscopice în schimbare ale unei substanțe - de exemplu, volumul.

Cum sunt legate energia și temperatura?

Pentru a calcula stările unei substanțe reale la temperaturi și presiuni apropiate de normal, se folosește cu succes modelul unui gaz ideal, adică unul a cărui dimensiune a moleculei este mult mai mică decât volumul ocupat de o anumită cantitate de gaz și distanța. dintre particule depășește semnificativ raza interacțiunii lor. Pe baza ecuațiilor teoriei cinetice, energia medie a unor astfel de particule este definită ca E cf = 3/2∙kT, unde E este energia cinetică, T este temperatura și 3/2∙k este factorul de proporționalitate introdus. de Boltzmann. Numărul 3 caracterizează aici numărul de grade de libertate ale mișcării de translație a moleculelor în trei dimensiuni spațiale.

Valoarea k, care a fost numită mai târziu constanta Boltzmann în onoarea fizicianului austriac, arată cât de mult dintr-un joule sau erg conține un grad. Cu alte cuvinte, valoarea sa determină cât de mult crește statistic, în medie, energia mișcării haotice termice a unei particule dintr-un gaz ideal monoatomic odată cu creșterea temperaturii cu 1 grad.

De câte ori un grad este mai mic decât un joule

Valoarea numerică a acestei constante poate fi obținută în diverse moduri, de exemplu, prin măsurarea temperaturii și presiunii absolute, folosind ecuația gazului ideal, sau folosind modelul mișcării browniene. Derivarea teoretică a acestei cantități la nivelul actual de cunoștințe nu este posibilă.

Constanta lui Boltzmann este 1,38 × 10 -23 J/K (aici K este un kelvin, un grad pe scara de temperatură absolută). Pentru un grup de particule dintr-un mol de gaz ideal (22,4 litri), coeficientul care raportează energia la temperatură (constanta universală a gazului) se obține prin înmulțirea constantei Boltzmann cu numărul Avogadro (numărul de molecule dintr-un mol): R = kN A și este 8,31 J / (mol∙kelvin). Cu toate acestea, spre deosebire de aceasta din urmă, constanta Boltzmann este mai universală în natură, deoarece intră și în alte relații importante și servește și la determinarea unei alte constante fizice.

Distribuția statistică a energiei moleculelor

Deoarece stările macroscopice ale materiei sunt rezultatul comportării unei colecții mari de particule, ele sunt descrise folosind metode statistice. Acestea din urmă includ, de asemenea, aflarea modului în care sunt distribuiți parametrii energetici ai moleculelor de gaz:

• Distribuția maxwelliană a energiilor (și vitezelor) cinetice. Arată că într-un gaz aflat în echilibru, majoritatea moleculelor au viteze apropiate de viteza cea mai probabilă v = √(2kT/m 0), unde m 0 este masa moleculei.
• Distribuția Boltzmann a energiilor potențiale pentru gaze în câmpul oricăror forțe, cum ar fi gravitația Pământului. Depinde de raportul dintre doi factori: atracția către Pământ și mișcarea termică haotică a particulelor de gaz. Ca urmare, cu cât energia potențială a moleculelor este mai mică (mai aproape de suprafața planetei), cu atât concentrația acestora este mai mare.

Ambele metode statistice sunt combinate într-o distribuție Maxwell-Boltzmann care conține un factor exponențial e - E/ kT , unde E este suma energiilor cinetice și potențiale, iar kT este energia medie a mișcării termice, deja cunoscută nouă, controlată de constanta Boltzmann.

Constanta k și entropia

Într-un sens general, entropia poate fi caracterizată ca o măsură a ireversibilității unui proces termodinamic. Această ireversibilitate este legată de împrăștierea - disiparea - energiei. În abordarea statistică propusă de Boltzmann, entropia este o funcție a numărului de moduri în care un sistem fizic poate fi implementat fără a-și schimba starea: S = k∙lnW.

Aici, constanta k stabilește scara creșterii entropiei cu o creștere a acestui număr (W) de opțiuni de implementare a sistemului sau microstări. Max Planck, care a adus această formulă în forma ei modernă și a propus să dea constantei k numele de Boltzmann.

Legea radiației Stefan-Boltzmann

Legea fizică care stabilește modul în care luminozitatea energetică (puterea radiației pe unitatea de suprafață) a unui corp negru depinde de temperatura acestuia are forma j = σT 4, adică corpul radiază proporțional cu puterea a patra a temperaturii sale. Această lege este folosită, de exemplu, în astrofizică, deoarece radiația stelelor este apropiată ca caracteristici de radiația corpului negru.

În acest raport, există o altă constantă care controlează și amploarea fenomenului. Aceasta este constanta Stefan-Boltzmann σ, care este aproximativ 5,67 × 10 -8 W / (m 2 ∙K 4). Dimensiunea sa include kelvin, ceea ce înseamnă că este clar că aici este implicată și constanta Boltzmann k. Într-adevăr, valoarea lui σ este definită ca (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), unde c este viteza luminii și h este constanta lui Planck. Deci constanta Boltzmann, combinată cu alte constante ale lumii, formează o cantitate care leagă din nou energia (puterea) și temperatura - în acest caz, în raport cu radiația.

Esența fizică a constantei Boltzmann

S-a remarcat deja mai sus că constanta Boltzmann este una dintre așa-numitele constante fundamentale. Ideea nu este doar că face posibilă stabilirea unei legături între caracteristicile fenomenelor microscopice la nivel molecular și parametrii proceselor observate în macrocosmos. Și nu numai că această constantă este inclusă într-o serie de ecuații importante.

În prezent nu se știe dacă există vreun principiu fizic din care ar putea fi derivat teoretic. Cu alte cuvinte, nu rezultă din nimic că valoarea unei constante date ar trebui să fie exact aceea. Am putea folosi alte cantități și alte unități în loc de grade ca măsură a corespondenței energiei cinetice a particulelor, atunci valoarea numerică a constantei ar fi diferită, dar ar rămâne o valoare constantă. Alături de alte mărimi fundamentale de acest fel - viteza limită c, constanta lui Planck h, sarcina elementară e, constanta gravitațională G - știința ia constanta Boltzmann ca un dat al lumii noastre și o folosește pentru a descrie teoretic procesele fizice care au loc în aceasta.