În unele probleme de fizică nu se poate stabili o legătură directă între mărimile care descriu procesul. Există însă posibilitatea de a obține o egalitate care să conțină derivatele funcțiilor studiate. Așa apar ecuațiile diferențiale și nevoia de a le rezolva pentru a găsi o funcție necunoscută.

Acest articol este destinat celor care se confruntă cu problema rezolvării unei ecuații diferențiale în care funcția necunoscută este o funcție a unei variabile. Teoria este construită în așa fel încât, cu o înțelegere zero a ecuațiilor diferențiale, vă puteți face treaba.

Fiecare tip de ecuații diferențiale este asociat cu o metodă de rezolvare cu explicații detaliate și soluții ale exemplelor și problemelor tipice. Trebuie doar să determinați tipul de ecuație diferențială pentru problema dvs., să găsiți un exemplu analizat similar și să efectuați acțiuni similare.

Pentru a rezolva cu succes ecuații diferențiale, veți avea nevoie și de capacitatea de a găsi seturi de antiderivate (integrale nedefinite) ale diferitelor funcții. Dacă este necesar, vă recomandăm să consultați secțiunea.

În primul rând, luăm în considerare tipurile de ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi care pot fi rezolvate în raport cu derivata, apoi trecem la EDO de ordinul doi, apoi ne oprim pe ecuații de ordin superior și terminăm cu sisteme de ecuații diferențiale.

Reamintim că dacă y este o funcție a argumentului x .

Ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi de forma .

Să notăm câteva exemple de astfel de DE .

Ecuatii diferentiale poate fi rezolvată în raport cu derivata împărțind ambele părți ale egalității la f(x) . În acest caz, ajungem la ecuația , care va fi echivalentă cu cea inițială pentru f(x) ≠ 0 . Exemple de astfel de ODE sunt .

Dacă există valori ale argumentului x pentru care funcțiile f(x) și g(x) dispar simultan, atunci apar soluții suplimentare. Soluții suplimentare pentru ecuație dat x sunt orice funcții definite pentru acele valori de argument. Exemple de astfel de ecuații diferențiale sunt .

Ecuații diferențiale de ordinul doi.

Ecuații diferențiale omogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți.

LODE cu coeficienți constanți este un tip foarte comun de ecuații diferențiale. Soluția lor nu este deosebit de dificilă. În primul rând, se găsesc rădăcinile ecuației caracteristice . Pentru p și q diferite, sunt posibile trei cazuri: rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale și diferite, reale și coincide sau conjugat complex. În funcție de valorile rădăcinilor ecuației caracteristice, soluția generală a ecuației diferențiale se scrie ca , sau , sau respectiv.

De exemplu, luați în considerare o ecuație diferențială omogenă liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți. Rădăcinile ecuației sale caracteristice sunt k 1 = -3 și k 2 = 0. Rădăcinile sunt reale și diferite, prin urmare, soluția generală a LDE cu coeficienți constanți este


Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Soluția generală a LIDE de ordinul doi cu coeficienți constanți y este căutată ca sumă a soluției generale a LODE corespunzătoare și o soluție particulară a ecuației neomogene inițiale, adică . Paragraful anterior este dedicat găsirii unei soluții generale la o ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Și o anumită soluție este determinată fie prin metoda coeficienților nedeterminați pentru o anumită formă a funcției f (x) , aflată în partea dreaptă a ecuației originale, fie prin metoda variației constantelor arbitrare.

Ca exemple de LIDE de ordinul doi cu coeficienți constanți, prezentăm


Pentru a înțelege teoria și a vă familiariza cu soluțiile detaliate ale exemplelor, vă oferim pe pagina ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Ecuații diferențiale liniare omogene (LODE) și ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi (LNDE).

Un caz special de ecuații diferențiale de acest tip sunt LODE și LODE cu coeficienți constanți.

Soluția generală a LODE pe un anumit interval este reprezentată de o combinație liniară a două soluții particulare liniar independente y 1 și y 2 ale acestei ecuații, adică .

Principala dificultate constă tocmai în găsirea unor soluții parțiale liniar independente ale acestui tip de ecuație diferențială. De obicei, anumite soluții sunt alese dintre următoarele sisteme de funcții liniar independente:


Cu toate acestea, soluțiile speciale nu sunt întotdeauna prezentate în această formă.

Un exemplu de LODU este .

Soluția generală a LIDE este căutată sub forma , unde este soluția generală a LODE corespunzătoare și este o soluție particulară a ecuației diferențiale inițiale. Tocmai am vorbit despre găsire, dar poate fi determinat folosind metoda variației constantelor arbitrare.

Un exemplu de LNDE este .

Ecuații diferențiale de ordin superior.

Ecuații diferențiale care admit reducerea ordinii.

Ordinea ecuației diferențiale , care nu conține funcția dorită și derivatele ei până la ordinul k-1, poate fi redusă la n-k prin înlocuirea .

În acest caz, și ecuația diferențială inițială se reduce la . După găsirea soluției sale p(x), rămâne să revenim la înlocuire și să determinăm funcția necunoscută y .

De exemplu, ecuația diferențială după ce înlocuirea devine o ecuație separabilă, iar ordinea ei este redusă de la a treia la prima.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții.
Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Ecuații diferențiale (DE). Aceste două cuvinte îl îngrozesc de obicei pe laicul obișnuit. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva scandalos și greu de stăpânit pentru mulți studenți. Uuuuuu... ecuații diferențiale, cum aș supraviețui la toate astea?!

O astfel de opinie și o astfel de atitudine este fundamental greșită, pentru că de fapt ECUATIILE DIFERENTIALE SUNT SIMPLE SI CHIAR DISTRACTIVE. Ce trebuie să știi și să poți învăța să rezolvi ecuații diferențiale? Pentru a studia cu succes diferențele, trebuie să fii bun la integrare și diferențiere. Cu cât subiectele sunt mai bine studiate Derivată a unei funcții a unei variabileși Integrală nedefinită, cu atât va fi mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale. Voi spune mai multe, dacă ai abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul este practic stăpânit! Cu cât poți rezolva mai multe integrale de diferite tipuri, cu atât mai bine. De ce? Trebuie să te integrezi mult. Și diferențiați. De asemenea recomand cu caldura invata sa gasesti.

În 95% din cazuri, există 3 tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi în lucrările de testare: ecuații separabile, pe care o vom trata în această lecție; ecuații omogeneși ecuații liniare neomogene. Pentru începătorii să studieze difuzoarele, vă sfătuiesc să citiți lecțiile din această secvență, iar după ce ați studiat primele două articole, nu va strica să vă consolidați abilitățile într-un atelier suplimentar - ecuaţii care se reduc la omogene.

Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații în diferențiale totale, ecuații lui Bernoulli și altele. Dintre ultimele două tipuri, cele mai importante sunt ecuațiile în diferențiale totale, deoarece pe lângă acest DE, iau în considerare material nou - integrare parțială.

Dacă mai ai doar o zi sau două, apoi pentru preparare ultra-rapidă există curs blitzîn format pdf.

Deci, reperele sunt setate - să mergem:

Să ne amintim mai întâi ecuațiile algebrice obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu: . Ce înseamnă să rezolvi o ecuație obișnuită? Aceasta înseamnă să găsești set de numere care satisfac această ecuație. Este ușor de observat că ecuația copiilor are o singură rădăcină: . Pentru distracție, să facem o verificare, să înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

- se obtine egalitatea corecta, ceea ce inseamna ca solutia este gasita corect.

Difuzele sunt aranjate aproape în același mod!

Ecuație diferențială prima comandaîn general conţine:
1) variabilă independentă;
2) variabilă dependentă (funcție);
3) derivata întâi a funcției: .

În unele ecuații de ordinul 1, este posibil să nu existe „x” sau (și) „y”, dar acest lucru nu este esențial - important astfel încât în ​​DU a fost prima derivată și nu a avut derivate de ordin superior - , etc.

Ce înseamnă ? A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a găsi set de toate funcțiile care satisfac această ecuație. Un astfel de set de funcții are adesea forma ( este o constantă arbitrară), care este numită soluție generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială

Muniție completă. Unde sa încep soluţie?

În primul rând, trebuie să rescrieți derivatul într-o formă ușor diferită. Reamintim notația greoaie, pe care mulți dintre voi probabil a considerat-o ridicolă și inutilă. Acesta este cel care domnește în difuzoare!

În a doua etapă, să vedem dacă se poate divizarea variabilelor? Ce înseamnă separarea variabilelor? Aproximativ vorbind, pe partea stângă a trebuie să plecăm doar "jocuri", A pe drumul cel bun organiza doar x-uri. Separarea variabilelor se realizează cu ajutorul manipulărilor „școlare”: paranteze, transfer de termeni dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, transfer de factori de la o parte la alta conform regulii proporției etc.

Diferențiale și sunt multiplicatori completi și participanți activi la ostilități. În acest exemplu, variabilele sunt ușor separate prin factori de inversare conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate. În partea stângă - doar "Joc", în partea dreaptă - doar "X".

Etapa urmatoare - integrarea ecuațiilor diferențiale. Este simplu, agățăm integrale pe ambele părți:

Desigur, trebuie luate integrale. În acest caz, acestea sunt tabelare:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărei antiderivate. Există două integrale aici, dar este suficient să scrieți constanta o dată (deoarece o constantă + o constantă este încă egală cu o altă constantă). În cele mai multe cazuri, este plasat pe partea dreaptă.

Strict vorbind, după ce sunt luate integralele, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru este că „y”-ul nostru nu este exprimat prin „x”, adică soluția este prezentată în implicit formă. Soluția implicită a unei ecuații diferențiale se numește integrala generala a ecuatiei diferentiale. Adică este integrala generală.

Un răspuns în această formă este destul de acceptabil, dar există o opțiune mai bună? Să încercăm să obținem decizie comună.

Vă rog, amintiți-vă prima tehnică, este foarte comun și adesea folosit în sarcini practice: dacă un logaritm apare în partea dreaptă după integrare, atunci în multe cazuri (dar în niciun caz întotdeauna!) este de asemenea recomandabil să scrieți constanta sub logaritm.

Acesta este, ÎN LOC DEînregistrările sunt de obicei scrise .

De ce este nevoie de asta? Și pentru a facilita exprimarea „y”. Folosim proprietatea logaritmilor . În acest caz:

Acum logaritmii și modulele pot fi eliminate:

Funcția este prezentată explicit. Aceasta este soluția generală.

Răspuns: decizie comună: .

Răspunsurile la multe ecuații diferențiale sunt destul de ușor de verificat. În cazul nostru, acest lucru se face destul de simplu, luăm soluția găsită și o diferențiem:

Apoi înlocuim derivata în ecuația originală:

- se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția generală satisface ecuația , care trebuia verificată.

Dând o constantă diferite valori, puteți obține un număr infinit de decizii private ecuație diferențială. Este clar că oricare dintre funcțiile , etc. satisface ecuația diferențială.

Uneori se numește soluția generală familie de funcții. În acest exemplu, soluția generală este o familie de funcții liniare, sau mai bine zis, o familie de proporționalități directe.

După o discuție detaliată a primului exemplu, este potrivit să răspundem la câteva întrebări naive despre ecuațiile diferențiale:

1)În acest exemplu, am reușit să separăm variabilele. Este întotdeauna posibil să faci asta? Nu, nu întotdeauna. Și chiar mai des variabilele nu pot fi separate. De exemplu, în ecuații omogene de ordinul întâi trebuie înlocuit mai întâi. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi, trebuie să utilizați diverse trucuri și metode pentru a găsi o soluție generală. Ecuațiile variabile separabile pe care le considerăm în prima lecție sunt cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibil să se integreze o ecuație diferențială? Nu, nu întotdeauna. Este foarte ușor să vii cu o ecuație „fantezică” care nu poate fi integrată, în plus, există integrale care nu pot fi luate. Dar astfel de DE pot fi rezolvate aproximativ folosind metode speciale. D'Alembert și Cauchy garantează... ...ugh, lurkmore. Tocmai am citit multe, aproape că am adăugat "din cealaltă lume".

3) În acest exemplu, am obținut o soluție sub forma unei integrale generale . Este întotdeauna posibil să găsim o soluție generală din integrala generală, adică să exprimăm „y” într-o formă explicită? Nu, nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum pot exprima „y” aici?! În astfel de cazuri, răspunsul trebuie scris ca o integrală generală. În plus, uneori este posibil să se găsească o soluție generală, dar este scris atât de greoi și stângaci încât este mai bine să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale.

4) ...poate suficient pentru moment. În primul exemplu, ne-am întâlnit un alt punct important, dar pentru a nu acoperi „manențele” cu o avalanșă de informații noi, o voi lăsa până la următoarea lecție.

Să nu ne grăbim. O altă telecomandă simplă și o altă soluție tipică:

Exemplul 2

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială

Soluţie: după condiţia pe care se cere să se găsească decizie privată DE care satisface o condiție inițială dată. Acest tip de interogare se mai numește Problema Cauchy.

În primul rând, găsim o soluție generală. Nu există o variabilă „x” în ecuație, dar acest lucru nu ar trebui să fie jenant, principalul lucru este că are prima derivată.

Rescriem derivata în forma necesară:

Evident, variabilele pot fi împărțite, băieții la stânga, fetele la dreapta:

Integram ecuatia:

Se obține integrala generală. Aici, am desenat o constantă cu o stea de accent, fapt este că foarte curând se va transforma într-o altă constantă.

Acum încercăm să convertim integrala generală într-o soluție generală (exprimați „y” în mod explicit). Ne amintim de școala veche, bună: . În acest caz:

Constanta din indicator pare cumva nu cușer, deci este de obicei coborâtă din cer pe pământ. În detaliu, se întâmplă așa. Folosind proprietatea gradelor, rescriem funcția după cum urmează:

Dacă este o constantă, atunci este și o constantă, redesemnați-o cu litera:

Amintiți-vă că „demolarea” unei constante este a doua tehnică, care este adesea folosit în cursul rezolvării ecuațiilor diferențiale.

Deci solutia generala este: O familie atât de frumoasă de funcții exponențiale.

În etapa finală, trebuie să găsiți o anumită soluție care să satisfacă condiția inițială dată. Este si simplu.

Care este sarcina? Trebuie să ridic astfel de valoarea constantei pentru a satisface condiţia .

Îl poți aranja în diferite moduri, dar cel mai de înțeles, poate, va fi așa. În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero, iar în loc de „y”, doi:



Acesta este,

Versiune standard de design:

Acum înlocuim valoarea găsită a constantei în soluția generală:
– aceasta este soluția specială de care avem nevoie.

Răspuns: solutie privata:

Hai să facem o verificare. Verificarea unei anumite soluții include două etape:

În primul rând, este necesar să se verifice dacă soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială? În loc de „x” înlocuim zero și vedem ce se întâmplă:
- da, într-adevăr, s-a obținut un deuce, ceea ce înseamnă că condiția inițială este îndeplinită.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția particulară rezultată și găsim derivata:

Înlocuiți în ecuația inițială:

- se obţine egalitatea corectă.

Concluzie: soluția particulară este găsită corect.

Să trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluarea dacă variabilele pot fi separate? Poate sa. Transferăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și inversăm factorii conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să te avertizez că vine ziua judecății. Daca nu ai invatat bine integrale nedefinite, a rezolvat câteva exemple, apoi nu există unde să mergi - trebuie să le stăpânești acum.

Integrala laturii stângi este ușor de găsit, cu integrala cotangentei ne ocupăm de tehnica standard pe care am considerat-o în lecție Integrarea funcţiilor trigonometriceÎn ultimul an:

În partea dreaptă, avem un logaritm și, conform primei mele recomandări tehnice, constanta ar trebui scrisă și sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem doar logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. Prin utilizarea proprietăți cunoscute„împachetează” maxim logaritmii. Voi scrie cu mare detaliu:

Ambalajul este complet pentru a fi zdrențuit barbar:

Este posibil să exprimați „y”? Poate sa. Ambele părți trebuie să fie pătrate.

Dar nu trebuie.

Al treilea sfat tehnic: dacă pentru a obține o soluție generală trebuie să ridici la o putere sau să prinzi rădăcini, atunci În cele mai multe cazuri ar trebui să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale. Faptul este că soluția generală va arăta îngrozitor - cu rădăcini mari, semne și alte gunoi.

Prin urmare, scriem răspunsul ca o integrală generală. Este considerată o formă bună să o prezinți sub formă, adică pe partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faci asta, dar întotdeauna este benefic să-i faci pe plac profesorului ;-)

Răspuns: integrala generala:

! Notă: integrala generală a oricărei ecuații poate fi scrisă în mai multe moduri. Astfel, dacă rezultatul tău nu a coincis cu un răspuns cunoscut anterior, atunci asta nu înseamnă că ai rezolvat incorect ecuația.

Integrala generală este de asemenea verificată destul de ușor, principalul lucru este să poți găsi derivata unei functii definita implicit. Să diferențiem răspunsul:

Înmulțim ambii termeni cu:

Și împărțim la:

Ecuația diferențială inițială a fost obținută exact, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Vă reamintesc că algoritmul constă din două etape:
1) găsirea unei soluții generale;
2) găsirea soluției particulare necesare.

Verificarea se efectuează și în doi pași (vezi eșantionul din Exemplul nr. 2), aveți nevoie de:
1) asigurați-vă că soluția particulară găsită satisface condiția inițială;
2) verificați dacă o anumită soluție satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale , satisfacand conditia initiala . Efectuați o verificare.

Soluţie: Mai întâi, să găsim o soluție generală.Această ecuație conține deja diferențiale gata făcute și , ceea ce înseamnă că soluția este simplificată. Separarea variabilelor:

Integram ecuatia:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată metoda de însumare a funcţiei sub semnul diferenţialului:

Integrala generală a fost obținută, este posibilă exprimarea cu succes a soluției generale? Poate sa. Atârnăm logaritmi pe ambele părți. Deoarece sunt pozitive, semnele modulo sunt redundante:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci solutia generala este:

Să găsim o soluție specială corespunzătoare condiției inițiale date.
În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero și în loc de „y”, logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificați: În primul rând, verificați dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface ecuația diferențială. Găsim derivata:

Să ne uităm la ecuația inițială: – se prezintă în diferențiale. Există două moduri de a verifica. Este posibil să exprimăm diferența față de derivata găsită:

Înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară este găsită corect.

A doua modalitate de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație exprimă derivata, pentru aceasta împărțim toate piesele la:

Iar în DE transformat înlocuim soluția particulară obținută și derivata găsită. Ca urmare a simplificărilor, ar trebui să se obțină și egalitatea corectă.

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială. Exprimați răspunsul ca o integrală generală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți așteaptă în rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un ceainic) că variabilele pot fi separate. Luați în considerare un exemplu condiționat: . Aici trebuie să scoateți factorii din paranteze: și să separați rădăcinile:. Cum să procedați în continuare este clar.

2) Dificultăți în integrarea în sine. Integrale apar adesea nu sunt cele mai simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, atunci va fi dificil cu multe difuzoare. În plus, logica „din moment ce ecuația diferențială este simplă, atunci integralele să fie mai complicate” este populară printre compilatorii de colecții și manuale.

3) Transformări cu o constantă. După cum toată lumea a observat, o constantă în ecuațiile diferențiale poate fi gestionată destul de liber, iar unele transformări nu sunt întotdeauna clare pentru un începător. Să ne uităm la un alt exemplu ipotetic: . În ea, este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: . Da, și deoarece există un logaritm în partea dreaptă, este recomandabil să rescrieți constanta ca o altă constantă: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea formă:

Ce erezie? Iată erorile! Strict vorbind, da. Totuși, din punct de vedere de fond, nu există erori, deoarece în urma transformării unei constante variabile se obține în continuare o constantă variabilă.

Sau alt exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnul fiecărui termen: . Formal, există din nou o eroare - în dreapta, ar trebui să fie scrisă . Dar se implică informal că „minus ce” este încă o constantă ( care la fel de bine capătă orice valoare!), deci punerea unui „minus” nu are sens și poți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și, totuși, voi pune diferiți indici pentru constante atunci când le convertesc.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați o verificare.

Soluţie: Această ecuație admite separarea variabilelor. Separarea variabilelor:

Noi integrăm:

Constanta de aici nu trebuie definită sub logaritm, deoarece nu va rezulta nimic bun din ea.

Răspuns: integrala generala:

Verificați: diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții, pentru aceasta înmulțim ambii termeni cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o anumită soluție a DE.
,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Singurul indiciu este că aici obțineți o integrală generală și, mai corect, trebuie să încercați să găsiți nu o soluție anume, ci integrală privată. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

6.1. CONCEPTE ȘI DEFINIȚII DE BAZĂ

La rezolvarea diferitelor probleme de matematică și fizică, biologie și medicină, destul de des nu este posibilă stabilirea imediată a unei dependențe funcționale sub forma unei formule care leagă variabilele care descriu procesul studiat. De obicei, trebuie să folosim ecuații care conțin, pe lângă variabila independentă și funcția necunoscută, și derivatele acesteia.

Definiție. Se numește o ecuație care leagă o variabilă independentă, o funcție necunoscută și derivatele acesteia de diferite ordine diferenţial.

Funcția necunoscută este de obicei indicată y(x) sau pur și simplu y, iar derivatele sale sunt y", y" etc.

Sunt posibile și alte notații, de exemplu: dacă y= x(t), atunci x"(t), x""(t) sunt derivatele sale și t este o variabilă independentă.

Definiție. Dacă funcția depinde de o variabilă, atunci ecuația diferențială se numește obișnuită. Forma generală ecuație diferențială obișnuită:

sau

Funcții Fși f poate să nu conțină unele argumente, dar pentru ca ecuațiile să fie diferențiale, prezența unei derivate este esențială.

Definiție.Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate incluse în ea.

De exemplu, x 2 y"- y= 0, y" + sin X= 0 sunt ecuații de ordinul întâi și y"+ 2 y"+ 5 y= X este o ecuație de ordinul doi.

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale se folosește operația de integrare, care este asociată cu apariția unei constante arbitrare. Dacă se aplică acţiunea de integrare n ori, atunci, evident, soluția va conține n constante arbitrare.

6.2. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL I

Forma generală ecuație diferențială de ordinul întâi este definit de expresia

Ecuația poate să nu conțină în mod explicit Xși y, dar conține în mod necesar y”.

Dacă ecuația poate fi scrisă ca

atunci obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

Definiție. Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi (6.3) (sau (6.4)) este mulțimea soluțiilor , Unde DIN este o constantă arbitrară.

Graficul pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.

Oferind o constantă arbitrară DIN valori diferite, este posibil să se obțină anumite soluții. La suprafata xOy soluția generală este o familie de curbe integrale corespunzătoare fiecărei soluții particulare.

Dacă ai stabilit un punct A(x0, y0), prin care trebuie să treacă curba integrală, apoi, de regulă, din mulţimea funcţiilor unul poate fi evidențiat - o soluție specială.

Definiție.Decizie privată a unei ecuații diferențiale este soluția acesteia care nu conține constante arbitrare.

În cazul în care un este o soluție generală, apoi din condiție

poți găsi un permanent DIN. Se numește condiția condiția inițială.

Problema găsirii unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale (6.3) sau (6.4) care satisface condiția inițială la numit problema Cauchy. Această problemă are întotdeauna o soluție? Răspunsul este cuprins în următoarea teoremă.

teorema lui Cauchy(teorema existenței și unicității soluției). Lăsați ecuația diferențială y"= f(x, y) funcţie f(x, y) si ea

derivat parțial definită şi continuă în unele

zone D, conţinând un punct Apoi în zonă D există

singura soluție a ecuației care satisface condiția inițială la

Teorema lui Cauchy afirmă că în anumite condiții există o curbă integrală unică y= f(x), trecând printr-un punct Puncte în care nu sunt îndeplinite condițiile teoremei

Pisicile sunt numite special. Pauze în aceste puncte f(x, y) sau.

Fie mai multe curbe integrale trec printr-un punct singular, fie niciuna.

Definiție. Dacă soluția (6.3), (6.4) se găsește sub forma f(X y, c)= 0 nu este permis în raport cu y, atunci se numește integrală comună ecuație diferențială.

Teorema lui Cauchy garantează doar că există o soluție. Deoarece nu există o metodă unică pentru găsirea unei soluții, vom lua în considerare doar câteva tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi care sunt integrabile în pătrate.

Definiție. Ecuația diferențială se numește integrabil în cuadraturi, dacă căutarea soluţiei sale se reduce la integrarea funcţiilor.

6.2.1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Definiție. O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație cu variabile separabile,

Partea dreaptă a ecuației (6.5) este produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde de o singură variabilă.

De exemplu, ecuația este o ecuație cu separare

trecerea variabilelor
și ecuația

nu poate fi reprezentat în forma (6.5).

Dat fiind , rescriem (6.5) ca

Din această ecuație obținem o ecuație diferențială cu variabile separate, în care diferențialele conțin funcții care depind doar de variabila corespunzătoare:

Integrarea termen cu termen, avem

unde C= C 2 - C 1 este o constantă arbitrară. Expresia (6.6) este integrala generală a ecuației (6.5).

Împărțind ambele părți ale ecuației (6.5) la , putem pierde acele soluții pentru care, Într-adevăr, dacă la

apoi este evident o soluție a ecuației (6.5).

Exemplul 1 Găsiți o soluție satisfăcătoare a ecuației

condiție: y= 6 at X= 2 (y(2) = 6).

Soluţie. Să înlocuim la" pentru atunci . Înmulțiți ambele părți cu

dx,întrucât în ​​integrarea ulterioară este imposibil să plece dx la numitor:

iar apoi împărțind ambele părți la obținem ecuația,

care poate fi integrat. Noi integrăm:

Apoi ; potențarea, obținem y = C . (x + 1) - ob-

soluţie.

Pe baza datelor inițiale, determinăm o constantă arbitrară prin substituirea lor în soluția generală

În sfârșit, obținem y= 2(x + 1) este o soluție particulară. Luați în considerare câteva exemple de rezolvare a ecuațiilor cu variabile separabile.

Exemplul 2 Găsiți o soluție pentru ecuație

Soluţie. Dat fiind , primim .

Integrând ambele părți ale ecuației, avem

Unde

Exemplul 3 Găsiți o soluție pentru ecuație Soluţie.Împărțim ambele părți ale ecuației la acei factori care depind de o variabilă care nu coincide cu variabila sub semnul diferențial, adică prin și să integreze. Apoi primim

și, în sfârșit

Exemplul 4 Găsiți o soluție pentru ecuație

Soluţie.Știind ce vom obține. Secțiune-

variabile lim. Apoi

Integrarea, obținem

Cometariu.În exemplele 1 și 2, funcția dorită y exprimată în mod explicit (soluție generală). În exemplele 3 și 4 - implicit (integrală generală). Pe viitor, forma deciziei nu va fi specificată.

Exemplul 5 Găsiți o soluție pentru ecuație Soluţie.

Exemplul 6 Găsiți o soluție pentru ecuație satisfăcător

condiție voi)= 1.

Soluţie. Scriem ecuația sub forma

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu dxși mai departe, primim

Integrând ambele părți ale ecuației (integrala din partea dreaptă este luată pe părți), obținem

Dar după condiție y= 1 la X= e. Apoi

Înlocuiți valorile găsite DINîntr-o soluție generală:

Expresia rezultată se numește o soluție particulară a ecuației diferențiale.

6.2.2. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Definiție. Se numește ecuația diferențială de ordinul întâi omogen dacă poate fi reprezentat ca

Prezentăm un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații omogene.

1. În schimb y introduceți o nouă funcție Apoi și, prin urmare

2. Din punct de vedere al funcției u ecuația (6.7) ia forma

adică, înlocuirea reduce ecuația omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

3. Rezolvând ecuația (6.8), găsim mai întâi u, apoi y= ux.

Exemplul 1 rezolva ecuatia Soluţie. Scriem ecuația sub forma

Facem o înlocuire:
Apoi

Să înlocuim

Înmulțiți cu dx: Împarte la Xși pe apoi

Integrând ambele părți ale ecuației în raport cu variabilele corespunzătoare, avem

sau, revenind la vechile variabile, ajungem în sfârșit

Exemplul 2rezolva ecuatia Soluţie.Lăsa apoi

Împărțiți ambele părți ale ecuației la x2: Să deschidem parantezele și să rearanjam termenii:

Trecând la vechile variabile, ajungem la rezultatul final:

Exemplul 3Găsiți o soluție pentru ecuație cu conditia

Soluţie.Efectuarea unei înlocuiri standard primim

sau

sau

Deci soluția particulară are forma Exemplul 4 Găsiți o soluție pentru ecuație

Soluţie.

Exemplul 5Găsiți o soluție pentru ecuație Soluţie.

Muncă independentă

Găsiți o soluție pentru ecuații diferențiale cu variabile separabile (1-9).

Găsiți o soluție pentru ecuații diferențiale omogene (9-18).

6.2.3. Câteva aplicații ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi

Problema dezintegrarii radioactive

Rata de descompunere a Ra (radiului) în fiecare moment de timp este proporțională cu masa sa disponibilă. Aflați legea dezintegrarii radioactive a lui Ra dacă se știe că la momentul inițial a existat Ra și timpul de înjumătățire al lui Ra este de 1590 de ani.

Soluţie. Fie în momentul de față masa Ra X= x(t) g, și Atunci rata de dezintegrare a lui Ra este

Conform sarcinii

Unde k

Separând variabilele din ultima ecuație și integrând, obținem

Unde

Pentru determinare C folosim condiția inițială: .

Apoi prin urmare,

Factorul de proporționalitate k determinată din condiția suplimentară:

Avem

De aici și formula dorită

Problema ratei de reproducere a bacteriilor

Rata de reproducere a bacteriilor este proporțională cu numărul lor. La momentul inițial erau 100 de bacterii. În 3 ore numărul lor s-a dublat. Găsiți dependența de timp a numărului de bacterii. De câte ori va crește numărul bacteriilor în decurs de 9 ore?

Soluţie. Lăsa X- numărul de bacterii în acest moment t. Apoi, conform condiției,

Unde k- coeficient de proporţionalitate.

De aici Se ştie din condiţia că . Mijloace,

Din condiția suplimentară . Apoi

Funcția necesară:

Deci, la t= 9 X= 800, adică în 9 ore numărul bacteriilor a crescut de 8 ori.

Sarcina de a crește cantitatea de enzimă

În cultura drojdiei de bere, rata de creștere a enzimei active este proporțională cu cantitatea sa inițială. X. Cantitatea inițială de enzimă A dublat într-o oră. Găsiți dependență

x(t).

Soluţie. După condiție, ecuația diferențială a procesului are forma

de aici

Dar . Mijloace, C= Ași apoi

Se mai stie ca

Prin urmare,

6.3. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL AL DOILEA

6.3.1. Noțiuni de bază

Definiție.Ecuație diferențială de ordinul doi se numește relația care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele sale prima și a doua.

În cazuri speciale, x poate fi absent în ecuație, la sau y". Totuşi, ecuaţia de ordinul doi trebuie să conţină în mod necesar y". În cazul general, ecuația diferențială de ordinul doi se scrie astfel:

sau, dacă este posibil, în forma permisă pentru derivata a doua:

Ca și în cazul unei ecuații de ordinul întâi, o ecuație de ordinul doi poate avea o soluție generală și una particulară. Soluția generală arată astfel:

Găsirea unei soluții private

în condiţii iniţiale – dat

număr) este numit problema Cauchy. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că este necesară găsirea curbei integrale la= y(x), trecând printr-un punct dat și având o tangentă în acest punct, care este de aproximativ

furci cu direcție pozitivă a axei Bou unghi dat. e. (Fig. 6.1). Problema Cauchy are o soluție unică dacă partea dreaptă a ecuației (6.10), nepre-

este discontinuă și are derivate parțiale continue în raport cu tu, tu"într-o vecinătate a punctului de plecare

Pentru a găsi constantă inclus într-o anumită soluție, este necesar să se permită sistemul

Orez. 6.1. curba integrala

Ecuație diferențială obișnuită numită ecuație care relaționează o variabilă independentă, o funcție necunoscută a acestei variabile și derivatele (sau diferențiale) ei de diferite ordine.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate conținute în ea.

Pe lângă cele obișnuite, sunt studiate și ecuațiile cu diferențe parțiale. Acestea sunt ecuații care relaționează variabile independente, o funcție necunoscută a acestor variabile și derivatele sale parțiale în raport cu aceleași variabile. Dar vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite și de aceea vom omite cuvântul „obișnuit” pentru concizie.

Exemple de ecuații diferențiale:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ecuația (1) este de ordinul al patrulea, ecuația (2) este de ordinul al treilea, ecuațiile (3) și (4) sunt de ordinul doi, ecuația (5) este de ordinul întâi.

Ecuație diferențială n ordinea nu trebuie să conțină în mod explicit o funcție, toate derivatele ei de la primul la n de ordinul al-lea și o variabilă independentă. Este posibil să nu conțină în mod explicit derivate ale unor ordine, o funcție, o variabilă independentă.

De exemplu, în ecuația (1) în mod clar nu există derivate de ordinul trei și al doilea, precum și funcții; în ecuația (2) - derivată și funcție de ordinul doi; în ecuația (4) - variabilă independentă; în ecuația (5) - funcții. Doar ecuația (3) conține în mod explicit toate derivatele, funcția și variabila independentă.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale orice funcție este numită y = f(x), înlocuindu-l pe care în ecuație, se transformă într-o identitate.

Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește ea integrare.

Exemplul 1 Găsiți o soluție pentru ecuația diferențială.

Soluţie. Scriem această ecuație sub forma . Soluția este să găsim funcția prin derivata ei. Funcția originală, așa cum se știe din calculul integral, este antiderivată pentru, i.e.

Asta e rezolvarea ecuației diferențiale date . schimbându-se în ea C, vom obține soluții diferite. Am aflat că există un număr infinit de soluții pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția generală a ecuației diferențiale n Ordinea este soluția sa exprimată explicit cu privire la funcția necunoscută și care conține n constante arbitrare independente, de ex.

Soluția ecuației diferențiale din exemplul 1 este generală.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește soluția sa, în care valori numerice specifice sunt atribuite constantelor arbitrare.

Exemplul 2 Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale și o soluție particulară pentru .

Soluţie. Integram ambele părți ale ecuației de atâtea ori încât ordinea ecuației diferențiale este egală.

,

.

Ca rezultat, am obținut soluția generală -

dată o ecuație diferențială de ordinul trei.

Acum să găsim o soluție specială în condițiile specificate. Pentru a face acest lucru, înlocuim valorile lor în loc de coeficienți arbitrari și obținem

.

Dacă, pe lângă ecuația diferențială, condiția inițială este dată sub forma , atunci o astfel de problemă se numește Problema Cauchy . Valorile și sunt înlocuite în soluția generală a ecuației și se găsește valoarea unei constante arbitrare C, și apoi o soluție particulară a ecuației pentru valoarea găsită C. Aceasta este soluția la problema Cauchy.

Exemplul 3 Rezolvați problema Cauchy pentru ecuația diferențială din Exemplul 1 cu condiția .

Soluţie. Inlocuim in solutia generala valorile din conditia initiala y = 3, X= 1. Primim

Scriem soluția problemei Cauchy pentru ecuația diferențială dată de ordinul întâi:

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale, chiar și a celor mai simple, necesită abilități bune în integrarea și preluarea derivatelor, inclusiv a funcțiilor complexe. Acest lucru poate fi văzut în exemplul următor.

Exemplul 4 Aflați soluția generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Ecuația este scrisă în așa fel încât ambele părți să poată fi integrate imediat.

.

Aplicam metoda integrarii prin schimbarea variabilei (substitutie). Să , atunci .

Necesar să ia dx iar acum - atenție - o facem după regulile de diferențiere a unei funcții complexe, deoarece Xși există o funcție complexă ("măr" - extragerea rădăcinii pătrate sau, ceea ce este același - ridicarea la putere "o secundă", și "carne tocată" - expresia însăși sub rădăcină):

Găsim integrala:

Revenind la variabilă X, primim:

.

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale de gradul I.

În rezolvarea ecuațiilor diferențiale vor fi necesare nu numai abilități din secțiunile anterioare de matematică superioară, ci și abilități de la matematica elementară, adică școlară. După cum sa menționat deja, într-o ecuație diferențială de orice ordin poate să nu existe o variabilă independentă, adică o variabilă X. Cunoștințele despre proporții care nu au fost uitate (totuși, oricine le place) de la banca școlii va ajuta la rezolvarea acestei probleme. Acesta este următorul exemplu.

Ecuație diferențială (DE) este ecuația,
unde sunt variabile independente, y este o funcție și sunt derivate parțiale.

Ecuație diferențială obișnuită este o ecuație diferențială care are o singură variabilă independentă, .

Ecuație diferențială parțială este o ecuație diferențială care are două sau mai multe variabile independente.

Cuvintele „ordinare” și „derivate parțiale” pot fi omise dacă este clar ce ecuație este luată în considerare. În cele ce urmează, sunt luate în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate.

Iată un exemplu de ecuație de ordinul întâi:

Iată un exemplu de ecuație de ordinul al patrulea:

Uneori, o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termeni de diferențiale:

În acest caz, variabilele x și y sunt egale. Adică, variabila independentă poate fi fie x, fie y. În primul caz, y este o funcție a lui x. În al doilea caz, x este o funcție a lui y. Dacă este necesar, putem aduce această ecuație într-o formă în care derivata y′ intră în mod explicit.
Împărțind această ecuație la dx, obținem:
.
Din moment ce și , rezultă că
.

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale

Derivatele funcțiilor elementare sunt exprimate în termeni de funcții elementare. Integralele funcțiilor elementare nu sunt adesea exprimate în termeni de funcții elementare. Cu ecuațiile diferențiale, situația este și mai rea. Ca rezultat al soluției, puteți obține:

• dependența explicită a unei funcții de o variabilă;

  Rezolvarea unei ecuații diferențiale este funcția y = u (X), care este definit, este de n ori diferențiabil și .

• dependenta implicita sub forma unei ecuatii de tip Φ (x, y) = 0 sau sisteme de ecuații;

  Integrală a ecuației diferențiale este o soluție a unei ecuații diferențiale care are o formă implicită.

• dependența exprimată prin funcții elementare și integrale din acestea;

  Rezolvarea unei ecuații diferențiale în pătraturi - aceasta este găsirea unei soluții sub forma unei combinații de funcții elementare și integrale ale acestora.

• soluţia poate să nu fie exprimată în termeni de funcţii elementare.

Întrucât soluția ecuațiilor diferențiale se reduce la calculul integralelor, soluția include o mulțime de constante C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Numărul de constante este egal cu ordinea ecuației. Integrală parțială a unei ecuații diferențiale este integrala generală pentru valorile date ale constantelor C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Referinte:
V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.