Amestecat în raport 1 1. Cum se face o proporție? Orice student și adult va înțelege

Pentru a rezolva majoritatea problemelor din matematica de liceu, sunt necesare cunoștințe de proporție. Această abilitate simplă vă va ajuta nu numai să efectuați exerciții complexe din manual, ci și să vă adânciți în însăși esența științei matematice. Cum se face o proporție? Acum să ne dăm seama.

Cel mai simplu exemplu este o problemă în care se cunosc trei parametri, iar al patrulea trebuie găsit. Proporțiile sunt, desigur, diferite, dar adesea trebuie să găsiți un număr în procente. De exemplu, băiatul avea zece mere în total. I-a dat a patra parte mamei sale. Câte mere i-au rămas băiatului? Acesta este cel mai simplu exemplu care vă va permite să faceți o proporție. Principalul lucru este să o faci. Inițial erau zece mere. Să fie 100%. Asta i-am marcat toate merele. A dat un sfert. 1/4=25/100. Deci, a plecat: 100% (a fost inițial) - 25% (a dat) = 75%. Această cifră arată procentul cantității de fructe rămase față de cantitatea de fructe care a fost disponibilă mai întâi. Acum avem trei numere prin care putem rezolva deja proporția. 10 mere - 100%, X mere - 75%, unde x este cantitatea dorită de fructe. Cum se face o proporție? Este necesar să înțelegem ce este. Matematic arată așa. Semnul egal este pentru înțelegerea ta.

10 mere = 100%;

x mere = 75%.

Se pare că 10/x = 100%/75. Aceasta este principala proprietate a proporțiilor. La urma urmei, cu cât este mai mult x, cu atât acest număr este mai mare față de original. Rezolvăm această proporție și obținem că x=7,5 mere. De ce băiatul a decis să dea o sumă care nu este întreagă, nu știm. Acum știi cum să faci o proporție. Principalul lucru este să găsiți două rapoarte, dintre care unul conține necunoscutul dorit.

Rezolvarea unei proporții se reduce adesea la o simplă înmulțire și apoi împărțire. Copiii nu sunt învățați în școli de ce este așa. Deși este important să înțelegem că relațiile proporționale sunt clasice matematice, însăși esența științei. Pentru a rezolva proporțiile, trebuie să fii capabil să gestionezi fracțiile. De exemplu, este adesea necesar să convertiți procentele în fracții obișnuite. Adică, un record de 95% nu va funcționa. Și dacă scrieți imediat 95/100, atunci puteți face reduceri solide fără a începe numărătoarea principală. Merită să spuneți imediat că, dacă proporția dvs. s-a dovedit cu două necunoscute, atunci nu poate fi rezolvată. Nici un profesor nu te poate ajuta aici. Iar sarcina ta, cel mai probabil, are un algoritm mai complex pentru acțiuni corecte.

Luați în considerare un alt exemplu în care nu există procente. Șoferul a cumpărat 5 litri de benzină pentru 150 de ruble. S-a gândit cât va plăti pentru 30 de litri de combustibil. Pentru a rezolva această problemă, notăm cu x suma necesară de bani. Puteți rezolva singur această problemă și apoi verificați răspunsul. Dacă încă nu v-ați dat seama cum să faceți o proporție, atunci uitați-vă. 5 litri de benzină înseamnă 150 de ruble. Ca și în primul exemplu, să scriem 5l - 150r. Acum să găsim al treilea număr. Desigur, sunt 30 de litri. De acord că o pereche de 30 l - x ruble este potrivită în această situație. Să trecem la limbajul matematic.

5 litri - 150 de ruble;

30 de litri - x ruble;

Rezolvam aceasta proportie:

x = 900 de ruble.

Asta am decis noi. În sarcina dvs., nu uitați să verificați caracterul adecvat al răspunsului. Se întâmplă ca, cu o decizie greșită, mașinile să atingă viteze nerealiste de 5000 de kilometri pe oră și așa mai departe. Acum știi cum să faci o proporție. De asemenea, o poți rezolva. După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în asta.

Proporțiile sunt o combinație atât de familiară, care este probabil cunoscută din clasele primare ale unei școli cuprinzătoare. În sensul cel mai general, proporția este egalitatea a două sau mai multe rapoarte.

Adică, dacă există unele numere A, B și C

apoi proporția

dacă sunt patru numere A, B, C și D

fie este și o proporție

Cel mai simplu exemplu în care se folosește proporția este calculul procentelor.

În general, utilizarea proporțiilor este atât de largă, încât este mai ușor de spus unde nu se aplică.

Proporțiile pot fi folosite pentru a determina distanțe, mase, volume, precum și cantitatea de orice, cu o condiție importantă: proporțional, ar trebui să existe dependențe liniare între diferite obiecte. Mai jos, folosind exemplul de construire a unui aspect Bronze Horseman, veți vedea cum să calculați proporțiile în care există dependențe neliniare.

Stabiliți câte kilograme de orez vor fi dacă luați 17 la sută din volumul total de orez de 150 de kilograme?

Să facem o proporție în cuvinte: 150 de kilograme este volumul total de orez. Deci, să o luăm ca 100%. Apoi 17% din 100% va fi calculat ca proporție a două rapoarte: 100 la sută este la 150 de kilograme la fel ca 17 la sută este la un număr necunoscut.

Acum numărul necunoscut este calculat elementar

Adică răspunsul nostru este 25,5 kilograme de orez.

Există, de asemenea, mistere interesante asociate cu proporțiile, care arată că nu este necesar să se aplice neplăcut proporții pentru toate ocaziile.

Iată una dintre ele, ușor modificată:

Pentru demonstrație în biroul companiei, directorul a ordonat realizarea unui model al sculpturii „Călărețul de bronz” fără soclu de granit. Una dintre conditii este ca macheta sa fie realizata din aceleasi materiale ca si originalul, proportiile sa fie respectate si inaltimea machetei sa fie de exact 1 metru. Întrebare: Care va fi greutatea aspectului?

Să începem cu cărțile de referință.

Înălțimea călărețului este de 5,35 metri și greutatea sa este de 8.000 kg.

Dacă folosim primul gând - pentru a face o proporție: 5,35 metri este raportat la 8.000 de kilograme ca 1 metru la o valoare necunoscută, atunci s-ar putea să nu începem nici măcar calculul, deoarece răspunsul va fi greșit.

Este vorba despre o mică nuanță de care trebuie luată în considerare. Totul tine de conexiune între masă și înălțime sculpturi neliniară, adică nu se poate spune că mărind, de exemplu, un cub cu 1 metru (respectând proporțiile astfel încât să rămână cub), îi vom crește greutatea cu aceeași cantitate.

Acest lucru este ușor de verificat cu exemple:

1. lipiți un cub cu lungimea marginii de 10 centimetri. Câtă apă va intra acolo? Este logic ca 10 * 10 * 10 \u003d 1000 de centimetri cubi, adică 1 litru. Ei bine, din moment ce au turnat apă acolo (densitatea este egală cu unul) și nu un alt lichid, atunci masa va fi egală cu 1 kg.

2. lipiți un cub similar, dar cu lungimea coastei de 20 cm.Volumul de apă turnat în el va fi egal cu 20 * 20 * 20 = 8000 centimetri cubi, adică 8 litri. Ei bine, greutatea este în mod natural de 8 kg.

Este ușor de observat că relația dintre masă și modificarea lungimii muchiei cubului este neliniară, sau mai degrabă cubică.

Amintiți-vă că volumul este produsul dintre înălțime, lățime și adâncime.

Adică, atunci când o figură se modifică (în funcție de proporții / forme) de o dimensiune liniară (înălțime, lățime, adâncime), masa / volumul unei figuri tridimensionale se modifică cub.

Ne certam:

Dimensiunea noastră liniară s-a schimbat de la 5,35 metri la 1 metru, apoi masa (volumul) se va schimba ca rădăcină cubă de 8000/x

Și obțineți acel aspect Călăreț de bronzîn biroul firmei cu înălțimea de 1 metru va cântări 52 kilograme 243 grame.

Dar, pe de altă parte, dacă sarcina ar fi stabilită astfel " layout-ul trebuie să fie realizat din aceleași materiale ca și originalul, proporțiile și volum 1 metru cub „Atunci, știind că există o relație liniară între volum și masă, am folosi doar raportul standard, volumul vechi la nou și masa veche la un număr necunoscut.

Dar botul nostru ajută la calcularea proporțiilor în alte cazuri, mai frecvente și mai practice.

Cu siguranță, va fi de folos tuturor gospodinelor care gătesc mâncare.

Apar situații când se găsește o rețetă pentru un tort uimitor de 10 kg, dar volumul său este prea mare pentru a fi pregătit.. Aș dori să fie mai mic, de exemplu, doar două kilograme, dar cum să calculez toate greutățile noi și volume de ingrediente?

Aici te va ajuta un bot, care va putea calcula noii parametri ai unui tort de 2 kilograme.

De asemenea, botul va ajuta la calculele bărbaților harnici care își construiesc o casă și trebuie să calculeze câte ingrediente de beton să ia dacă au doar 50 de kilograme de nisip.

Sintaxă

Pentru utilizatorii client XMPP: pro<строка>

unde șir are elemente necesare

număr1 / număr2 - găsirea proporției.

Pentru a nu vă teme de o descriere atât de scurtă, dăm un exemplu aici.

200 300 100 3 400/100

Care spune, de exemplu, următoarele:

200 de grame de făină, 300 de mililitri de lapte, 100 de grame de unt, 3 ouă - randamentul de clătite este de 400 de grame.

Câte ingrediente trebuie să luați pentru a coace doar 100 de grame de clătite?

Cât de ușor este de observat

400/100 este raportul dintre rețeta tipică și randamentul pe care îl dorim.

Vom lua în considerare exemple mai detaliat în secțiunea corespunzătoare.

Exemple

Un prieten a împărtășit o rețetă minunată

Aluat: 200 de grame de mac, 8 oua, 200 de zahar pudra, 50 de grame de rulouri ras, 200 de grame de nuci macinate, 3 cani de miere.
Macul se fierbe timp de 30 de minute la foc mic, se pisează cu un pistil, se adaugă miere topită, biscuiți măcinați, nuci.
Bateți ouăle cu zahăr pudră, adăugați la masă.
Se amestecă ușor aluatul, se toarnă într-o formă, se coace.
Tăiați prăjitura răcită în 2 straturi, acoperiți cu gem acru, apoi cu smântână.
Se ornează cu gem de fructe de pădure.
Smântână: 1 cană smântână, 1/2 cană zahăr, bate.

Un raport (în matematică) este o relație între două sau mai multe numere de același fel. Rapoartele compară valori absolute sau părți ale unui întreg. Ratele sunt calculate și scrise în moduri diferite, dar principiile de bază sunt aceleași pentru toate rapoartele.

Pași

Partea 1

Folosind rapoarte. Rapoartele sunt folosite atât în ​​știință, cât și în viața de zi cu zi pentru a compara cantitățile. Cele mai simple rapoarte raportează doar două numere, dar există rapoarte care compară trei sau mai multe valori. În orice situație în care este prezentă mai mult de o cantitate, se poate scrie un raport. Prin legarea unor valori, rapoartele pot sugera, de exemplu, cum să crească cantitatea de ingrediente dintr-o rețetă sau substanțe într-o reacție chimică.

1. Definiţia ratios. O relație este o relație între două (sau mai multe) valori de același fel. De exemplu, dacă o prăjitură necesită 2 căni de făină și 1 ceașcă de zahăr, atunci raportul dintre făină și zahăr este de 2 la 1.

   • Raporturile pot fi folosite și atunci când două cantități nu sunt legate între ele (ca în exemplul de tort). De exemplu, dacă în clasă sunt 5 fete și 10 băieți, atunci raportul dintre fete și băieți este de 5 la 10. Aceste cantități (numărul de băieți și numărul de fete) nu depind una de alta, adică valorile lor se vor schimba dacă cineva părăsește clasa sau va veni un nou elev la clasă. Ratele compară pur și simplu valorile cantităților.

2. Observați diferitele moduri în care sunt reprezentate rapoartele. Relațiile pot fi reprezentate în cuvinte sau cu simboluri matematice.

   • Foarte des rapoartele sunt exprimate în cuvinte (așa cum se arată mai sus). În special această formă de reprezentare a rapoartelor este folosită în viața de zi cu zi, departe de știință.
   • De asemenea, rapoartele pot fi exprimate prin două puncte. Când comparați două numere într-un raport, veți folosi un singur două puncte (de exemplu, 7:13); atunci când comparați trei sau mai multe valori, puneți două puncte între fiecare pereche de numere (de exemplu, 10:2:23). În exemplul nostru de clasă, puteți exprima raportul dintre fete și băieți astfel: 5 fete: 10 băieți. Sau cam așa: 5:10.
   • Mai rar, rapoartele sunt exprimate folosind o bară oblică. În exemplul clasei, ar putea fi scris astfel: 5/10. Cu toate acestea, aceasta nu este o fracție și un astfel de raport nu este citit ca o fracție; mai mult, amintiți-vă că într-un raport, numerele nu fac parte dintr-un singur întreg.

   Partea 2

   Utilizarea rapoartelor

   1. Simplificați raportul. Raportul poate fi simplificat (similar cu fracțiile) împărțind fiecare termen (număr) al raportului la . Cu toate acestea, nu pierdeți din vedere valorile inițiale ale raportului.

      • În exemplul nostru, în clasă sunt 5 fete și 10 băieți; raportul este de 5:10. Cel mai mare divizor comun al termenilor raportului este 5 (deoarece ambele 5 și 10 sunt divizibile cu 5). Împărțiți fiecare număr de raport la 5 pentru a obține un raport de 1 fată la 2 băieți (sau 1:2). Cu toate acestea, atunci când simplificați raportul, țineți cont de valorile originale. În exemplul nostru, în clasă nu sunt 3 elevi, ci 15. Raportul simplificat compară numărul de băieți și numărul de fete. Adică pentru fiecare fată sunt 2 băieți, dar nu sunt 2 băieți și 1 fată în clasă.
      • Unele relații nu sunt simplificate. De exemplu, raportul 3:56 nu este simplificat deoarece aceste numere nu au divizori comuni (3 este un număr prim, iar 56 nu este divizibil cu 3).

   2. Utilizați înmulțirea sau împărțirea pentru a crește sau a micșora raportul. O problemă comună este creșterea sau scăderea a două valori care sunt proporționale între ele. Dacă vi se oferă un raport și trebuie să găsiți un raport mai mare sau mai mic care să se potrivească cu acesta, înmulțiți sau împărțiți raportul inițial cu un anumit număr.

      • De exemplu, un brutar trebuie să tripleze cantitatea de ingrediente dată într-o rețetă. Dacă rețeta spune că raportul dintre făină și zahăr este de 2:1 (2:1), atunci brutarul va înmulți fiecare termen cu 3 pentru a obține un raport de 6:3 (6 căni de făină la 3 căni de zahăr).
      • Pe de altă parte, dacă brutarul trebuie să reducă la jumătate cantitatea de ingrediente din rețetă, atunci brutarul va împărți fiecare termen de raport cu 2 și va obține un raport de 1:½ (1 cană făină la 1/2 cană zahăr).

   3. Căutați o valoare necunoscută atunci când sunt date două rapoarte echivalente. Aceasta este o problemă în care trebuie să găsiți o variabilă necunoscută într-o relație folosind o a doua relație care este echivalentă cu prima. Pentru a rezolva astfel de probleme, utilizați . Scrieți fiecare raport ca o fracție, puneți un semn egal între ele și înmulțiți-le termenii încrucișat.

      • De exemplu, dat un grup de elevi, în care sunt 2 băieți și 5 fete. Care va fi numărul de băieți dacă numărul fetelor va crește la 20 (proporția se păstrează)? În primul rând, notează două rapoarte - 2 băieți:5 fete și X băieți: 20 fete. Acum scrieți aceste rapoarte sub formă de fracții: 2/5 și x/20. Înmulțiți în cruce termenii fracțiilor și obțineți 5x = 40; prin urmare x = 40/5 = 8.

   Partea 3

   Greșeli comune

   1. Evitați adunarea și scăderea în problemele cu raportul de text. Multe probleme cu cuvintele arată cam așa: „Rețeta necesită 4 tuberculi de cartofi și 5 morcovi rădăcină. Dacă vrei să adaugi 8 cartofi, de câți morcovi ai nevoie pentru a menține același raport?” Când rezolvă astfel de probleme, elevii fac adesea greșeala de a adăuga aceeași cantitate de ingrediente la numărul inițial. Cu toate acestea, pentru a păstra raportul, trebuie să utilizați înmulțirea. Iată exemple de decizii corecte și greșite:

      • Incorect: „8 - 4 = 4 - așa că am adăugat 4 tuberculi de cartofi. Deci, trebuie să luați 5 rădăcini de morcov și să adăugați încă 4 la ele... Oprește-te! Raporturile nu funcționează așa. Merită încercat din nou.”
      • Corect: „8 ÷ 4 = 2 - așa că am înmulțit numărul de cartofi cu 2. În consecință, 5 rădăcini de morcov trebuie, de asemenea, înmulțite cu 2. 5 x 2 = 10 - 10 rădăcini de morcov trebuie adăugate la rețetă.”
      Înregistrați unitățile de măsură după fiecare valoare. În problemele de text, este mult mai ușor să recunoști o eroare dacă notezi unitățile de măsură după fiecare valoare. Amintiți-vă că cantitățile cu aceleași unități în numărător și numitor se anulează. Prin reducerea expresiei, veți obține răspunsul corect.
      • Exemplu: având în vedere 6 cutii, fiecare a treia cutie conține 9 bile. Câte bile sunt?
      • Incorect: 6 cutii x 3 cutii/9 bille = ... Opriți, nu se poate tăia nimic. Răspunsul va fi: „cutii x cutii/bile”. Nu are sens.
      • Corect: 6 cutii x 9 bile / 3 cutii = 6 cutii * 3 bile / 1 cutie = 6 cutii * 3 bile / 1 cutie = 6 * 3 bile / 1 = 18 bile.

Formula proporțională

Proporția este egalitatea a două rapoarte când a:b=c:d

Proprietăți de bază ale proporției

Produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor mijlocii (în cruce): dacă a:b=c:d , atunci a⋅d=b⋅c

Inversarea proporțională: dacă a:b=c:d , atunci b:a=d:c

Permutarea membrilor mijlocii: dacă a:b=c:d , atunci a:c=b:d

Permutarea membrelor extreme: dacă a:b=c:d , atunci d:b=c:a

Rezolvarea unei proporții cu o necunoscută | Ecuația

Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute încrucișat și să împărțiți la valoarea opusă

Cum se calculează proporția

O sarcină: trebuie să bei 1 tabletă de cărbune activat la 10 kilograme de greutate. Câte comprimate trebuie luate dacă o persoană cântărește 70 kg?

Să facem o proporție: 1 tabletă - 10 kg X tablete - 70 kg Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute în cruce și să împărțiți la valoarea opusă: 1 tabletă X tablete✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Răspuns: 7 tablete

O sarcină: Vasya scrie două articole în cinci ore. Câte articole va scrie în 20 de ore?

Să facem o proporție: 2 articole - 5 ore X articole - 20 de ore X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Răspuns: 8 articole

Pot spune viitorilor absolvenți de școală că abilitatea de a face proporții mi-a fost utilă atât pentru a reduce proporțional imaginile, cât și în aspectul HTML al unei pagini web, cât și în situații de zi cu zi.