Introducere

Logica este Dumnezeul gânditorilor.

L. Feuchtwanger

Capacitatea de a raționa corect este necesară în orice domeniu al activității umane: știință și tehnologie, justiție și diplomație, planificare economică și afaceri militare. Și această îndemânare se întoarce din cele mai vechi timpuri, logica, adică. știința a ceea ce forme de raționament sunt corecte a apărut cu puțin peste două mii de ani în urmă. A fost dezvoltat în secolul al VI-lea. î.Hr. în lucrările marelui filozof grec antic Aristotel, studenții și adepții săi.

La un moment dat, matematicienii au pus întrebarea: „Ce este, mai exact, matematica, activitate matematică?” Răspunsul simplu este că matematicienii demonstrează teoreme, adică descoperă unele adevăruri despre lumea reală și despre „lumea matematică ideală”. O încercare de a răspunde la întrebarea ce este o teoremă matematică, un adevăr matematic și ce enunț matematic este adevărat sau demonstrabil, acesta este punctul de plecare al logicii matematice. La școală trebuie să învățăm să analizăm, să comparăm, să evidențiem principalul, să generalizăm și să sistematizăm, să dovedim și să infirmăm, să definim și să explicăm concepte, să punem și să rezolvăm probleme. Stăpânirea acestor metode înseamnă capacitatea de a gândi. În știință, trebuie să utilizați raționamentul pentru a deriva diverse formule, modele numerice, reguli și pentru a demonstra teoreme. De exemplu, în 1781 a fost descoperită planeta Uranus. Observațiile au arătat că mișcarea acestei planete diferă de mișcarea calculată teoretic. Omul de știință francez Le Verrier (1811-1877), raționând logic și efectuând calcule destul de complexe, a determinat influența altei planete asupra lui Uranus și a indicat locația acesteia. În 1846, astronomul Halle a confirmat existența unei planete, care a fost numită Neptun. În același timp, au folosit logica raționamentului și calculelor matematice.

Al doilea punct de plecare al considerațiilor noastre este să clarificăm ce înseamnă că o funcție matematică este calculabilă și poate fi calculată folosind un algoritm, o regulă formală, o procedură descrisă cu precizie. Aceste două afirmații inițiale au multe în comun; ele sunt în mod natural unite sub numele comun „logică matematică”, unde logica matematică este înțeleasă în primul rând ca logica raționamentului matematic și a acțiunilor matematice.

Am ales acest subiect special pentru că stăpânirea elementelor logicii matematice mă va ajuta în viitoarea mea profesie economică. La urma urmei, un marketer analizează tendințelepiaţă,prețuri, cifra de afaceri și metode de marketing, colectează date despre organizațiile concurente,emite recomandări. Pentru a face acest lucru, trebuie să folosiți cunoștințele de logică.

Scopul lucrării: studiază și folosește capacitățile logicii matematice în rezolvarea problemelor din diverse domenii și activități umane.

Sarcini:

1. Analizați literatura despre esența și apariția logicii matematice.

2. Studiază elementele logicii matematice.

3. Selectați și rezolvați probleme cu elemente de logică matematică.

Metode: analiza literaturii, concepte, metoda analogiilor în rezolvarea problemelor, autoobservarea.

1. Din istoria apariţiei logicii matematice

Logica matematică este strâns legată de logică și îi datorează apariția. Bazele logicii, știința legilor și formelor gândirii umane, au fost puse de cel mai mare filozof grec antic Aristotel (384-322 î.Hr.), care în tratatele sale a examinat temeinic terminologia logicii, a analizat în detaliu teoria inferențelor. iar dovezile, au descris o serie de operații logice, au formulat legile de bază ale gândirii, inclusiv legile contradicției și excluderea celei de-a treia. Contribuția lui Aristotel la logică este foarte mare; nu fără motiv este numită logică aristotelică. Aristotel însuși a remarcat că știința pe care a creat-o și matematica (numită atunci aritmetică) aveau multe în comun. El a încercat să combine aceste două științe și anume să reducă reflecția, sau mai bine zis, inferența, la calculul bazat pe principii inițiale. Într-unul dintre tratatele sale, Aristotel s-a apropiat de una dintre ramurile logicii matematice - teoria dovezilor.

Ulterior, mulți filozofi și matematicieni au dezvoltat prevederi individuale ale logicii și uneori chiar au conturat contururile calculului propozițional modern, dar cel mai apropiat de crearea logicii matematice a venit deja în a doua jumătate a secolului al XVII-lea, remarcabilul om de știință german Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716), care a arătat calea traducerii logicii „din domeniul cuvintelor, plin de incertitudini, în domeniul matematicii, unde relațiile dintre obiecte sau enunțuri sunt determinate cu o precizie absolută”. Leibniz chiar spera că, în viitor, filozofii, în loc să se certe în zadar, vor lua hârtie și vor da seama care dintre ei are dreptate. În același timp, în lucrările sale, Leibniz a atins și sistemul de numere binar. Trebuie remarcat faptul că ideea de a folosi două caractere pentru a codifica informațiile este foarte veche. Aborigenii australieni numărau câte doi, iar unele triburi de vânători-culegători din Noua Guinee și America de Sud au folosit și un sistem de numărare binar. Unele triburi africane transmit mesaje folosind tobe sub formă de combinații de sunete și bătăi surde. Un exemplu familiar de codare cu două caractere este codul Morse, unde literele alfabetului sunt reprezentate de anumite combinații de puncte și liniuțe. După Leibniz, mulți oameni de știință remarcabili au efectuat cercetări în acest domeniu, dar adevăratul succes a venit aici la matematicianul englez autodidact George Boole (1815-1864), determinarea sa nu a cunoscut limite.

Situația financiară a părinților lui George (al căror tată era cizmar) i-a permis să absolve doar școala elementară pentru săraci. După ceva timp, Buhl, după ce și-a schimbat mai multe profesii, și-a deschis o mică școală unde a predat. A dedicat mult timp autoeducației și a devenit curând interesat de ideile logicii simbolice. În 1847, Boole a publicat articolul „Analiza matematică a logicii sau experiența în calculul inferențelor deductive”, iar în 1854 lucrarea sa principală, „Un studiu al legilor gândirii pe care se bazează teoriile matematice ale logicii și probabilității”. a apărut. Boole a inventat un fel de algebră - un sistem de notații și reguli aplicabile tuturor tipurilor de obiecte, de la numere și litere până la propoziții. Folosind acest sistem, el a putut codifica afirmații (afirmații care trebuiau dovedite adevărate sau false) folosind simbolurile limbajului său și apoi să le manipuleze, la fel ca numerele sunt manipulate în matematică. Operațiile de bază ale algebrei booleene sunt conjuncția (ȘI), disjuncția (OR) și negația (NU). După ceva timp, a devenit clar că sistemul Boole era bine potrivit pentru descrierea circuitelor electrice de comutare. Curentul dintr-un circuit poate curge sau nu, la fel cum o afirmație poate fi adevărată sau falsă. Și câteva decenii mai târziu, deja în secolul al XX-lea, oamenii de știință au combinat aparatul matematic creat de George Boole cu sistemul de numere binar, punând astfel bazele dezvoltării unui computer electronic digital. Anumite prevederi ale lucrării lui Boole au fost atinse într-o măsură sau alta atât înainte, cât și după el de către alți matematicieni și logicieni. Cu toate acestea, astăzi, în acest domeniu, lucrările lui George Boole sunt considerate printre clasicii matematici, iar el însuși este considerat, pe bună dreptate, fondatorul logicii matematice și, cu atât mai mult, cele mai importante secțiuni ale acesteia - algebra logicii (algebra booleană). ) și algebra propozițiilor.

Oamenii de știință ruși P.S. au avut, de asemenea, o mare contribuție la dezvoltarea logicii. Poreţki (1846-1907), I.I. Zhegalkin (1869-1947).

În secolul al XX-lea, el a jucat un rol imens în dezvoltarea logicii matematice.

D. Hilbert (1862-1943), care a propus un program de formalizare a matematicii asociat cu dezvoltarea fundamentelor matematicii în sine. În cele din urmă, în ultimele decenii ale secolului XX, dezvoltarea rapidă a logicii matematice s-a datorat dezvoltării teoriei algoritmilor și limbajelor algoritmice, teoria automatelor, teoria grafurilor (S.K. Kleene, A. Church, A.A Markov, P.S. Novikov și mulți alții) .

La mijlocul secolului al XX-lea, dezvoltarea tehnologiei informatice a condus la apariția elementelor logice, a blocurilor logice și a dispozitivelor informatice, care a fost asociată cu dezvoltarea suplimentară a unor domenii ale logicii precum probleme de sinteză logică, proiectare logică și modelare logică. a dispozitivelor logice și a tehnologiei informatice. În anii 80 ai secolului XX au început cercetările în domeniul inteligenței artificiale bazate pe limbaje și sisteme de programare logică. Crearea sistemelor expert a început odată cu utilizarea și dezvoltarea demonstrării automate a teoremelor, precum și a metodelor de programare probatorie pentru verificarea algoritmilor și a programelor de calculator. Schimbările în educație au început și în anii 1980. Apariția calculatoarelor personale în școlile secundare a condus la crearea manualelor de informatică cu studiul elementelor de logică matematică pentru a explica principiile logice de funcționare a circuitelor logice și a dispozitivelor informatice, precum și principiile programării logice pentru generația a cincea. calculatoare și dezvoltarea manualelor de informatică cu studiul limbajului de calcul predicat pentru proiectarea bazelor de cunoștințe .

1. Fundamentele teoriei multimilor

Conceptul de mulțime este unul dintre acele concepte fundamentale ale matematicii care este dificil de dat o definiție exactă folosind concepte elementare. Prin urmare, ne vom limita la o explicație descriptivă a conceptului de mulțime.

Mulți este o colecție de anumite obiecte complet distincte considerate ca un singur întreg. Creatorul teoriei mulțimilor, Georg Cantor, a dat următoarea definiție a unei mulțimi: „o mulțime este multe lucruri la care ne gândim ca un întreg”.

Obiectele individuale care alcătuiesc un set sunt numite elemente ale ansamblului.

Seturile sunt de obicei notate cu litere mari ale alfabetului latin, iar elementele acestor seturi sunt notate cu litere mici ale alfabetului latin. Seturile sunt scrise între acolade ( ).

Se obișnuiește să se folosească următoarea notație:

A∈ X - „elementul a aparține mulțimii X”;

A∉ X - „elementul a nu aparține mulțimii X”;

∀ - cuantificator al arbitrarului, al generalității, care denotă „oricare”, „oricare”, „pentru toți”;

∃ - cuantificator de existenta:∃ y∈ B - „există (există) un element y din mulțimea B”;

∃! - cuantificator al existenței și unicității:∃ !b∈ C - „există un element unic b din mulțimea C”;

: - "astfel încât; având o proprietate”;

→ - simbol al consecinței, înseamnă „aduce”;

⇔ - cuantificator de echivalență, echivalență - „dacă și numai dacă”.

Există multe finit și infinit . Seturile sunt numite final , dacă numărul elementelor sale este finit, i.e. dacă există un număr natural n, care este numărul de elemente ale mulţimii. A=(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ). Setul este numit fără sfârşit , dacă conține un număr infinit de elemente. B=(b 1,b2,b3 , ...). De exemplu, setul de litere ale alfabetului rus este un set finit. Mulțimea numerelor naturale este o mulțime infinită.

Numărul de elemente dintr-o mulțime finită M se numește cardinalitatea mulțimii M și se notează cu |M|. Gol set - un set care nu conține un singur element -∅ . Cele două seturi sunt numite egal , dacă sunt formate din aceleași elemente, i.e. sunt unul și același set. Mulțimile nu sunt egale X ≠ Y dacă X conține elemente care nu aparțin lui Y sau dacă Y conține elemente care nu aparțin lui X. Simbolul de egalitate a mulțimii are următoarele proprietăți:

X=X; - reflexivitate

dacă X=Y, Y=X - simetrie

dacă X=Y,Y=Z, atunci X=Z este tranzitivitatea.

Conform acestei definiții a egalității mulțimilor, obținem în mod natural că toate mulțimile goale sunt egale între ele, sau ceea ce este același lucru, că există o singură mulțime goală.

Subseturi. Relația de incluziune.

O mulțime X este o submulțime a unei mulțimi Y dacă orice element al mulțimii X∈ iar multimea Y. Notata cu X⊆ Y.

Dacă este necesar să subliniem că Y conține și alte elemente în afară de elementele din X, atunci folosiți simbolul de includere strictă⊂ :X ⊂ Y. Relația dintre simboluri⊂ Și ⊆ este dat de expresia:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y și X≠Y

Să notăm câteva proprietăți ale submulțimii care decurg din definiție:

X⊆ X (reflexivitate);

→ X⊆ Z (tranzitivitate);

Mulțimea inițială A în raport cu submulțimile sale se numește complet set și este notat cu I.

Orice subset A i a unei mulțimi A se numește o mulțime proprie a lui A.

O multime formata din toate submultimile unei multimi date X si multimea goala∅ , se numește boolean X și este notat cu β(X). Puterea booleană |β(Х)|=2 n.

Set numărabil- aceasta este o mulțime A, ale cărei elemente pot fi numerotate într-o secvență (poate infinită) a 1, a 2, a 3, ..., a n , ... astfel încât fiecare element să primească doar un număr n și fiecare număr natural n ar fi dat ca număr unuia și numai unui element din mulțimea noastră.

O mulțime echivalentă cu mulțimea numerelor naturale se numește mulțime numărabilă.

Exemplu. Mulțime de pătrate de numere întregi 1, 4, 9, ..., n 2 reprezintă doar o submulțime a mulțimii numerelor naturale N. Mulțimea este numărabilă, deoarece este adusă în corespondență unu-la-unu cu seria naturală prin atribuirea fiecărui element a numărului numărului seriei naturale a căreia este un patrat.

Există 2 moduri principale de a defini seturile.

enumerare (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

descriere - indică proprietățile caracteristice pe care le posedă toate elementele mulțimii.

Un set este complet definit de elementele sale.

O enumerare poate specifica doar seturi finite (de exemplu, un set de luni dintr-un an). Mulțimile infinite pot fi definite numai prin descrierea proprietăților elementelor sale (de exemplu, mulțimea numerelor raționale poate fi definită prin descrierea Q=(n/m, m, n).∈ Z, m≠0).

Metode pentru specificarea unui set cu o descriere:

A) specificarea unei proceduri de generareindicând setul(ele) prin care parcurge parametrii acestei proceduri - recursiv, inductiv.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - mulțime de numere Fibonicci.

(numărul de elemente x astfel încât x 1 =1,x 2 =1 și x arbitrar k+1 (pentru k=1,2,3,...) se calculează prin formula x k+2 =x k +x k+1) sau X=.

S se întreabă dacă șapca lui ar putea fi verde. Dacă ar fi așa, atunci A ar ști imediat că purta o șapcă roșie, pentru că numai o șapcă roșie pe cap o putea face ÎN ridică o mână. Dar apoi A ar părăsi camera. ÎN Aș fi raționat exact la fel și aș fi părăsit și camera. Din moment ce niciunul nu a ieșit, CU a ajuns la concluzia că propria sa șapcă ar trebui să fie roșie.

Această problemă poate fi generalizată în cazul în care există un număr mare de persoane și toți poartă șepci roșii. Să presupunem că un al patrulea actor a apărut în problemă D, chiar mai perspicace decât C. D ar putea raționa astfel: „Dacă șapca mea ar fi verde, atunci A, BȘi CU s-ar fi trezit în exact aceeași situație ca cea descrisă și în câteva minute cei mai pricepuți din trio ar fi părăsit cu siguranță camera.

Dar au trecut deja cinci minute și niciunul nu iese, așa că șapca mea este roșie.”

Dacă a apărut un al cincilea participant, chiar mai inteligent decât D, apoi a putut ajunge la concluzia că purta o șapcă roșie după ce a așteptat aproximativ zece minute. Desigur, raționamentul nostru își pierde credibilitatea din cauza presupunerilor despre diferite grade de inteligență A, B, C... și considerații destul de vagi cu privire la cât timp ar trebui să aștepte persoana cea mai perceptivă înainte de a putea numi cu încredere culoarea șapei sale.

Alte probleme cu pălăriile colorate implică mai puțină incertitudine. Aceasta este, de exemplu, următoarea problemă, inventată tot de Smullyan. Fiecare dintre cele trei A, BȘi CU- cunoaște fluent logica, adică știe să extragă instantaneu toate consecințele dintr-un anumit set de premise și știe că și alții au această abilitate.

Luăm patru ștampile roșii și patru verzi, le legăm la ochi „logicienii” noștri și lipim câte două ștampile pe fruntea fiecăruia dintre ei. Apoi le scoatem legăturile de la ochi și întrebăm pe rând A, BȘi CU aceeași întrebare: „Știi ce culoare are ștampila pe fruntea ta?” Fiecare dintre ei răspunde negativ. Apoi întrebăm din nou Ași din nou primim un răspuns negativ. Dar când punem aceeași întrebare a doua oară ÎN, răspunde afirmativ.

Ce culoare are ștampila de pe fruntea ta? ÎN?

Al treilea tip de puzzle-uri logice populare constă în probleme despre mincinoși și despre cei care spun întotdeauna adevărul. În versiunea clasică a problemei, vorbim despre un călător care se află într-o țară locuită de două triburi. Membrii unui trib mint mereu, membrii altuia spun mereu adevărul. Călătorul întâlnește doi nativi. „Tu spui mereu adevărul?” – îl întreabă pe nativul înalt. El răspunde: „Tarabara”. „A spus da”, explică un nativ mai mic care vorbește engleză, „dar este un mincinos teribil”. Cărui trib aparține fiecare dintre băștinași?

O abordare sistematică a soluției ar fi să scrieți toate cele patru posibilități: AI, IL, LI, LL (I înseamnă „adevărat”, L înseamnă „fals”) - și să le excludeți pe cele care contrazic datele problemei. Răspunsul poate fi obținut mult mai rapid observând că nativul înalt trebuie să răspundă afirmativ, fie că minte, fie că spune adevărul. Din moment ce nativul mai mic a spus adevărul, el trebuie să aparțină tribului care spune adevărul, iar prietenul său înalt din tribul mincinoșilor.

Cea mai cunoscută problemă de acest tip, complicată de introducerea ponderilor probabilistice și formularea nu foarte clară, poate fi găsită destul de neașteptat la mijlocul celui de-al șaselea capitol al cărții al astronomului englez A. Eddington „New Pathways in Science”. "Dacă A, B, CȘi D spune adevărul într-un caz din trei (indiferent unul de celălalt) și A afirmă că ÎN neagă asta CU spune parcă D mincinos, atunci care este probabilitatea ca D a spus adevarul?

Răspunsul lui Eddington, 25/71, a fost întâmpinat cu o grămadă de proteste din partea cititorilor și a dat naștere unei controverse amuzante și confuze, care nu a fost niciodată pe deplin rezolvată. Astronomul englez G. Dingle, autorul unei recenzii a cărții lui Eddington publicată în revista Nature (martie 1935), credea că problema nu merită deloc atenție ca lipsită de sens și doar dovedea că Eddington nu gândise suficient la ideile de bază. a teoriei probabilităților. Fizicianul american T. Stern (Nature, iunie 1935) s-a opus acestui lucru, spunând că, în opinia sa, problema nu este deloc lipsită de sens, dar nu există suficiente date pentru a o rezolva.

Ca răspuns, Dingle a remarcat (Nature, septembrie 1935) că dacă luăm punctul de vedere al lui Stern, atunci există suficiente date pentru o soluție și răspunsul va fi 1/3. Aici Eddington a intrat în luptă, publicând (Mathematical gazette, octombrie 1935) un articol care detaliază modul în care a ajuns la răspunsul său. Disputa a culminat cu încă două articole apărute în aceeași revistă, autorul unuia dintre ele apărându-l pe Eddington, iar celălalt propunând un punct de vedere diferit de toate precedentele.

Dificultatea constă în principal în înțelegerea formulării lui Eddington. Dacă ÎN, în timp ce își exprimă negarea, spune adevărul, atunci putem presupune în mod rezonabil că CU a spus că D a spus adevarul? Eddington credea că nu există dovezi suficiente pentru o astfel de presupunere. În același mod dacă A minciuni, atunci putem fi siguri că ÎNȘi CU Au spus ceva? Din fericire, putem ocoli toate aceste dificultăți lingvistice făcând următoarele presupuneri (Eddington nu le-a făcut):

1. Niciunul dintre cei patru nu a tăcut.

2. Declarații A, BȘi CU(fiecare separat) fie confirmă, fie infirmă afirmația care urmează.

3. O afirmație falsă coincide cu negația sa, iar o negație falsă coincide cu afirmația sa.

Toți cei patru mint independent unul de celălalt, cu o probabilitate de 1/3, adică, în medie, oricare două dintre cele trei afirmații ale lor sunt false. Dacă o afirmație adevărată este notă prin literă ȘI, și fals - prin scrisoare L, apoi pentru A, B, CȘi D vom obține un tabel format din optzeci și una de combinații diferite. Din acest număr ar trebui să excludem acele combinații care sunt imposibile din cauza condițiilor problemei.

Numărul de combinații valide care se termină cu o literă ȘI(adică o afirmație adevărată - adevărată D), ar trebui împărțit la numărul total al tuturor combinațiilor valide, care va da răspunsul.

Ar trebui clarificată formularea problemei despre un călător și doi nativi. Călătorul și-a dat seama că cuvântul „tarabara” în limba maternă însemna fie „da”, fie „nu”, dar nu a putut ghici ce anume. Acest lucru ar împiedica mai multe scrisori, dintre care una o prezint mai jos.

Nativul înalt aparent nu a înțeles niciun cuvânt din ceea ce i-a spus călătorul (în engleză) și nu a putut răspunde „da” sau „nu” în engleză. Așa că „farful” lui înseamnă ceva de genul: „Nu înțeleg” sau „Bine ați venit la Bongo Bongo”. În consecință, micuțul nativ a mințit când a spus că prietenul său i-a răspuns „da” și, întrucât micuțul era mincinos, a mințit și când l-a numit mincinos pe nativul înalt. Prin urmare, nativul înalt ar trebui să fie considerat sincer.

Astfel, logica feminină a dat o lovitură vanității mele masculine. Nu rănește puțin mândria autorului tău?

Răspunsuri

Prima problemă logică se rezolvă cel mai bine folosind trei tabele: unul pentru combinațiile de nume și prenume ale soțiilor, al doilea pentru numele și prenumele soților și al treilea pentru legăturile de familie.

Întrucât numele doamnei White este Margaret (condiția 5), ​​ne rămân doar două posibilități pentru numele celorlalte două soții: a) Helen Blake și Beatrice Brown, sau b) Helen Brown și Beatrice Blake.

Să presupunem că are loc a doua dintre posibilități. Sora lui White trebuie să fie Helen sau Beatrice. Dar Beatrice nu poate fi sora lui Wayne, pentru că atunci fratele lui Helen ar fi Blake, iar cei doi cumnați ai lui Blake ar fi White (fratele soției sale) și Brown (soțul surorii sale); Beatrice Blake nu este căsătorită cu niciunul dintre ei, ceea ce contrazice condiția 4. Prin urmare, sora lui White trebuie să fie Helen. De aici, la rândul nostru, tragem concluzia că sora lui Brown se numește Beatrice, iar sora lui Blake este Margaret.

Din condiția 6 rezultă că numele domnului White este Arthur (Brown nu poate fi Arthur, întrucât o astfel de combinație ar însemna că Beatrice este mai frumoasă decât ea însăși, iar Blake nu poate fi Arthur, deoarece din condiția 5 îi cunoaștem numele: William). Deci domnul Brown nu poate fi decât John. Din păcate, din condiția 7 vedem că Ioan s-a născut în 1868 (cu 50 de ani înainte de semnarea tratatului de pace). Dar 1868 este un an bisect, așa că Helen trebuie să fie mai în vârstă decât soțul ei cu o zi mai mult decât cele 26 de săptămâni menționate în condiția 3. (Din condiția 4 știm că s-a născut în ianuarie, iar din condiția 3 că s-a născut soțul ei. în august.Ea ar putea fi cu exact 26 de săptămâni mai mare decât soțul ei dacă ziua ei ar fi pe 31 ianuarie și a lui pe 1 august și dacă nu ar fi 29 februarie între aceste date!) Deci, a doua dintre posibilități, cu care am început ar trebui să fie aruncată, ceea ce ne permite să numim soțiile: Margaret White, Helen Blake și Beatrice Brown. Nu există nicio contradicție aici, deoarece nu știm anul nașterii lui Blake. Din condițiile problemei putem concluziona că Margaret este sora lui Brown, Beatrice este sora lui Blake, iar Helen este sora lui White, dar întrebarea numelor lui White și Brown rămâne nerezolvată.

În problema cu timbrele ÎN Există trei posibilități. Ștampilele sale pot fi: 1) ambele roșii; 2) ambele verzi; 3) unul este verde și celălalt roșu. Să presupunem că ambele ștampile sunt roșii.

După ce toți trei au răspuns o dată, A poate argumenta astfel: „Semnele de pe fruntea mea nu pot fi ambele roșii (pentru că atunci CU ar vedea patru semne roșii și ar recunoaște imediat că are două semne verzi pe frunte și dacă el CU ambele timbre erau verzi, atunci ÎN Dacă ar vedea patru timbre verzi, și-ar da seama că are două timbre roșii pe frunte). De aceea am o ștampilă verde și una roșie pe frunte.”

Dar cand Aîntrebat a doua oară, nu știa ce culoare are ștampila lui. A permis ÎN respinge posibilitatea ca ambele mărci proprii să fie roșii. Raționând exact în același mod ca A, B a exclus cazul în care ambele ștampile sale sunt verzi. Prin urmare, îi mai rămâne o singură opțiune: o ștampilă este verde, cealaltă este roșie.

Mai mulți cititori au remarcat rapid că problema poate fi rezolvată foarte rapid fără a analiza întrebările și răspunsurile. Iată ce a scris unul dintre cititori despre asta: „Condițiile problemei sunt complet simetrice față de semnele roșii și verzi.

Prin urmare, după ce au distribuit timbrele între A, BȘi CU sub rezerva tuturor condițiilor problemei și înlocuind semnele roșii cu cele verzi și, invers, semnele verzi cu cele roșii, vom ajunge la o distribuție diferită pentru care se vor îndeplini și toate condițiile. Rezultă că dacă soluția este unică, atunci trebuie să fie invariantă (nu ar trebui să se schimbe) atunci când se înlocuiesc ștampile verzi cu cele roșii, iar ștampilele roșii cu cele verzi. O astfel de soluție poate fi doar o astfel de distribuție a notelor în care B ajunge cu un semn verde și unul roșu.”

După cum a spus decanul departamentului de matematică de la Brooklyn College, W. Manheimer, această soluție elegantă vine din faptul că oamenii care nu sunt perfecti în logică A, BȘi CU(după cum se precizează în declarația problemei) și Raymond Smullyan!

În problema lui Eddington, probabilitatea ca D spune adevărul, este 13/41. Toate combinațiile de adevăr și minciuni care conțin un număr impar de ori false (sau adevărate) ar trebui eliminate ca contrazice condițiilor problemei. Ca urmare, numărul de combinații posibile scade de la 81 la 41, dintre care doar 13 se termină într-o afirmație veridică. D. Deoarece A, BȘi CU spuneți adevărul în cazurile care corespund exact aceluiași număr de combinații permise, toate cele patru au aceeași probabilitate de a spune adevărul.

Folosind simbolul echivalenței

ceea ce înseamnă că afirmațiile legate de acesta sunt fie adevărate, fie ambele false (atunci afirmația falsă este adevărată, altfel este falsă), iar simbolul negației ~, problema Eddington în limbajul calculului propozițional poate fi scrisă după cum urmează:

sau după niște simplificări de genul acesta:

Tabelul de adevăr al acestei expresii confirmă răspunsul deja obținut.

Note:

Apoi frustrează- a supăra, a face ceva zadarnic, fără speranță, a condamna la eșec (engleză).

Vezi capitolul despre Raymond Smullyan din carte M. Gardner„Călătoria în timp” (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Noi căi în știință. - Cambridge: 1935; Michigan: 1959.

1. Notă explicativă
1.1 Relevanță
1.2 Scopul programului
1.3 Obiectivele programului
1.4 Durata programului, vârsta copiilor, formele de curs
1.5 Etapele implementării programului
1.6 Conținutul programului
1.7 Rezultate așteptate

2. Suport metodologic
2.1 Plan perspectivă-tematic pentru cercul „Logica distractivă”.

3. Program de diagnostic pentru gândirea logică a copiilor de vârstă preșcolară superioară.

5. Resurse informaționale

1. Notă explicativă.
De ce un mic preșcolar are nevoie de logică?
Potrivit lui L.A. Wenger, „pentru copiii de cinci ani, proprietățile externe ale lucrurilor nu sunt în mod clar suficiente. Ei sunt destul de gata să se familiarizeze treptat nu numai cu proprietățile externe, ci și cu proprietățile și relațiile interne, ascunse care stau la baza cunoștințelor științifice despre lume... Toate acestea vor aduce beneficii dezvoltării mentale a copilului numai dacă antrenamentul vizează dezvoltarea abilităților mentale, acele abilități în domeniul percepției, gândirii imaginative, imaginației, care se bazează pe asimilarea de mostre de proprietăți externe ale lucrurilor și varietățile lor ... "
Abilitățile și abilitățile dobândite de un copil în perioada preșcolară vor servi drept bază pentru dobândirea de cunoștințe și dezvoltarea abilităților la o vârstă mai înaintată - la școală. Și cea mai importantă dintre aceste abilități este abilitatea de a gândi logic, abilitatea de a „acționa în minte”. Un copil care nu a stăpânit tehnicile gândirii logice va găsi mai greu să rezolve problemele; finalizarea exercițiilor va necesita mult timp și efort. Ca urmare, sănătatea copilului poate avea de suferit, iar interesul pentru învățare poate slăbi sau dispărea cu totul.
După ce stăpânește operațiile logice, copilul va fi mai atent, va învăța să gândească clar și clar și se va putea concentra asupra esenței problemei la momentul potrivit. Va deveni mai ușor de studiat, ceea ce înseamnă că atât procesul de învățare, cât și viața școlară în sine vor aduce bucurie și satisfacție.
Acest program arată cum, prin jocuri și exerciții speciale, puteți dezvolta capacitatea copiilor de a stabili independent relații logice în realitatea înconjurătoare.
Lucrând cu preșcolari la dezvoltarea proceselor cognitive, ajungeți la concluzia că una dintre condițiile necesare pentru dezvoltarea și învățarea lor cu succes este consistența, adică. un sistem de jocuri și exerciții speciale cu conținut în dezvoltare constant și din ce în ce mai complex, cu sarcini didactice, acțiuni de joc și reguli. Jocurile și exercițiile individuale pot fi foarte interesante, dar utilizarea lor în afara sistemului nu poate obține rezultatul educațional și de dezvoltare dorit.
1.1 Relevanță
Pentru a stăpâni cu succes programa școlară, un copil trebuie nu numai să știe multe, ci și să gândească în mod consecvent și convingător, să ghicească, să arate efort mental și să gândească logic.
Predarea dezvoltării gândirii logice este de o importanță nu mică pentru viitorul student și este foarte relevantă astăzi.
Stăpânind orice metodă de memorare, copilul învață să identifice un scop și să efectueze anumite lucrări cu materialul pentru a-l realiza. El începe să înțeleagă necesitatea de a repeta, compara, generaliza și grupa materialul în scopul memorării.
Predarea clasificării copiilor contribuie la stăpânirea cu succes a unei metode mai complexe de memorare - gruparea semantică, pe care copiii o întâlnesc la școală.
Folosind oportunitățile de dezvoltare a gândirii logice și a memoriei la preșcolari, putem pregăti cu mai mult succes copiii pentru a rezolva problemele pe care ni le pune școlarizarea.
Dezvoltarea gândirii logice include utilizarea jocurilor didactice, ingeniozitatea, puzzle-urile, rezolvarea diverselor jocuri de logică și labirinturi și prezintă un mare interes pentru copii. În această activitate, copiii dezvoltă trăsături importante de personalitate: independență, inventivitate, inteligență, perseverență și abilități constructive. Copiii învață să-și planifice acțiunile, să se gândească la ele, să ghicească în căutarea unui rezultat, dând dovadă de creativitate.
Lucrând cu copiii, puteți observa că mulți copii nu pot face față unor probleme logice aparent simple. De exemplu, majoritatea copiilor de vârstă preșcolară senior nu pot răspunde corect la întrebarea ce este mai mult: fructe sau mere, chiar dacă au în mâini o imagine cu fructe - o mulțime de mere și câteva pere. Copiii vor răspunde că sunt mai multe pere. În astfel de cazuri, își bazează răspunsurile pe ceea ce văd cu ochii lor. Sunt „dezamăgiți” de gândirea imaginativă, iar copiii până la vârsta de 5 ani nu stăpânesc încă raționamentul logic. La vârsta preșcolară mai înaintată, aceștia încep să prezinte elemente de gândire logică, caracteristice școlarilor și adulților, care trebuie dezvoltate în identificarea celor mai optime metode de dezvoltare a gândirii logice.
Jocurile cu conținut logic ajută la cultivarea interesului cognitiv la copii, promovează cercetarea și căutarea creativă, dorința și capacitatea de a învăța. Jocurile didactice sunt una dintre cele mai naturale activități pentru copii și contribuie la formarea și dezvoltarea manifestărilor intelectuale și creative, a autoexprimarii și a independenței. Dezvoltarea gândirii logice la copii prin jocuri didactice este importantă pentru succesul școlarizării ulterioare, pentru formarea corectă a personalității elevului și în educația ulterioară va ajuta la stăpânirea cu succes a elementelor de bază ale matematicii și informaticii.
1.2 Scopul programului: crearea condițiilor pentru dezvoltarea maximă a gândirii logice a preșcolarilor în pregătirea pentru școlarizarea de succes.
1.3 Obiectivele programului:

• învață copiii operații logice de bază: analiză, sinteză, comparație, negație, clasificare, sistematizare, limitare, generalizare, inferență
• învață copiii să navigheze în spațiu
• dezvoltă la copii funcții mentale superioare, capacitatea de a raționa, dovedi
• cultivați dorința de a depăși dificultățile, încrederea în sine și dorința de a veni în ajutorul unui egal

1.4 Durata programului, vârsta copiilor, formele de curs
Perioada de implementare a programului: 1-2 ani
Programul este conceput pentru copiii de 5-7 ani
Programul prevede desfășurarea cursurilor în cerc în diferite forme:

• Munca individuală independentă a copiilor.
• Lucrați în perechi.
• Forme de lucru în grup.
• Diferențiat.
• Inspecție și control frontal.
• Autoevaluarea lucrărilor finalizate.
• Joc didactic.
• Competiție.
• Concursuri.

1.5 Etapele implementării programului
Tehnologia de activitate este construită în etape:

1. Diagnosticarea nivelului inițial de dezvoltare a proceselor cognitive și monitorizarea dezvoltării acestora.
2. Planificarea mijloacelor prin care se poate dezvolta una sau alta calitate (atenție, memorie, imaginație, gândire), ținând cont de individualitatea fiecărui copil și de cunoștințele existente
3. Construirea unei baze interdisciplinare (integrale) pentru formarea într-un curs de dezvoltare.
4. Complicarea treptată a materialului, creșterea treptată a volumului de muncă, creșterea nivelului de independență al copiilor.
5. Familiarizarea cu elementele de teorie, pregătirea în metode de raționament, autoargumentarea alegerii.
6. Integrarea cunoștințelor și metodelor de activitate cognitivă, stăpânirea tehnicilor sale generalizate.
7. Evaluarea rezultatelor cursului de dezvoltare după criterii elaborate, care să includă copilul (stima de sine, autocontrol, control reciproc).

1. 6 Conținutul programului
Scurtă descriere a secțiunilor și subiectelor claselor (secțiunile corespund unei operații logice specifice pe care copiii o vor învăța la clasă):

1. Analiză – sinteză.
Scopul este de a-i învăța pe copii să împartă întregul în părți, să stabilească legături între ele; Învață să conectezi mental părți ale unui obiect într-un singur întreg.
Jocuri și exerciții: găsirea unei perechi logice (pisică - pisoi, câine - ? (cățeluș)). Adăugarea imaginii ( ridicați un plasture, adăugați un buzunar la rochie). Căutați contrarii (ușor - greu, rece - fierbinte). Lucrul cu puzzle-uri de complexitate diferită. Așezarea imaginilor din bastoane de numărare și forme geometrice.

2. Comparație.
Scopul este de a învăța să stabilească mental asemănările și diferențele dintre obiecte în funcție de caracteristicile esențiale; dezvolta atentia si perceptia copiilor. Îmbunătățiți orientarea în spațiu.
Jocuri și exerciții: consolidarea conceptelor: mare - mic, lung - scurt, jos - înalt, îngust - larg, sus - jos, mai departe - mai aproape etc. Funcționează cu conceptele „la fel”, „cel mai”. Căutați asemănări și diferențe în 2 imagini similare.

3. Limitare.
Scopul este de a învăța să identifice unul sau mai multe obiecte dintr-un grup în funcție de anumite caracteristici. Dezvoltați abilitățile de observație ale copiilor.
Jocuri și exerciții: „încercuiește doar steagurile roșii cu o linie”, „găsește toate obiectele nerotunde”, etc. Eliminarea a patra roată.

4. Generalizare.
Scopul este de a învăța cum să combinați mental obiectele într-un grup în funcție de proprietățile lor. Ajută la îmbogățirea vocabularului și extinde cunoștințele de zi cu zi ale copiilor.
Jocuri si exercitii de operare cu concepte generale: mobilier, vase, transport, legume, fructe etc.

5. Sistematizare.
Scopul este de a învăța să identifice tipare; extinde vocabularul copiilor; învață să spui dintr-o imagine, repovesti.
Jocuri și exerciții: pătrate magice (ridicați partea lipsă, imagine). Compilarea unei povești bazată pe o serie de imagini, aranjarea imaginilor într-o secvență logică.

6. Clasificare.
Scopul este de a învăța cum să distribuiți obiectele în grupuri în funcție de caracteristicile lor esențiale. Consolidarea conceptelor generale, manipularea liberă a acestora.

7. Concluzii.
Scopul este de a preda folosind judecățile pentru a trage concluzii. Ajutați la extinderea cunoștințelor de zi cu zi ale copiilor. Dezvoltați imaginația.
Jocuri și exerciții: căutarea lucrurilor pozitive și negative în fenomene (de exemplu, când plouă, hrănește plantele - acest lucru este bine, dar lucrul rău este că în ploaie o persoană se poate uda, răci și se îmbolnăvește ). Aprecierea corectitudinii anumitor judecăți („vântul bate pentru că copacii se leagănă.” Nu?). Rezolvarea problemelor logice.

1.7 Rezultate așteptate
Rezultate planificate:
Copiii ar trebui să știe:

• principii de construire a modelelor, proprietăți ale numerelor, obiectelor, fenomenelor, cuvintelor;
• principiile structurii puzzle-urilor, cuvintelor încrucișate, cuvintelor în lanț, labirinturi;
• antonime și sinonime;
• numele figurilor geometrice și proprietățile acestora;
• principiul programării și alcătuirii unui algoritm de acțiuni.

Copiii ar trebui să fie capabili să:

• identifică tipare și execută sarcini în funcție de acest tipar, clasifică și grupează obiecte, compară, găsește proprietăți generale și specifice, generalizează și abstractizează, analizează și evaluează activitățile acestora;
• prin raționament, rezolva probleme logice, nestandardizate, efectuează căutări creative, sarcini verbale, didactice, numerice, găsește răspunsuri la ghicitori matematice;
• răspunde rapid și corect la întrebări în timpul încălzirii;
• îndeplini sarcini de antrenare a atenției, percepției, memoriei
• să efectueze dictări grafice, să poată naviga prin reprezentarea schematică a sarcinilor grafice;
• să poată stabili un obiectiv, să planifice etapele de lucru și să obțină rezultate prin propriile eforturi.

Metoda de verificare a rezultatelor muncii : clase de generalizare după fiecare secţiune şi 2 diagnostice (iniţială (septembrie) şi finală (mai)) ale nivelului de stăpânire a operaţiilor gândirii logice.