Cum se calculează aria unui trapez pe patru laturi. Zona trapezului

Există multe modalități de a găsi aria unui trapez. De obicei, un profesor de matematică cunoaște mai multe metode de calcul, să ne oprim asupra lor mai detaliat:
1) , unde AD și BC sunt bazele, iar BH este înălțimea trapezului. Demonstrație: trageți o diagonală BD și exprimați ariile triunghiurilor ABD și CDB în funcție de jumătatea produsului dintre bazele și înălțimea lor:

, unde DP este înălțimea exterioară în

Adăugăm aceste egalități termen cu termen și, având în vedere că înălțimile lui BH și DP sunt egale, obținem:

Să-l scoatem din paranteză

Q.E.D.

Consecința din formula pentru aria unui trapez:
Deoarece jumătatea sumei bazelor este egală cu MN - linia mediană a trapezului, atunci

2) Aplicarea formulei generale pentru aria unui patrulater.
Aria unui patrulater este jumătate din produsul diagonalelor înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele
Pentru a dovedi, este suficient să împărțiți trapezul în 4 triunghiuri, să exprimați aria fiecăruia în termeni de „jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele” (este luat ca unghi , adăugați expresiile rezultate, scoateți-o din paranteză și descompuneți această paranteză în factori folosind metoda de grupare pentru a obține egalitatea cu expresia.

3) Metoda deplasării în diagonală
Acesta este titlul meu. În manualele școlare, un profesor de matematică nu va găsi un astfel de titlu. O descriere a tehnicii poate fi găsită doar în tutoriale suplimentare ca exemplu de rezolvare a unei probleme. Observ că tutorii de matematică dezvăluie cele mai multe dintre faptele interesante și utile ale planimetriei studenților în procesul de realizare a lucrărilor practice. Acest lucru este extrem de suboptim, deoarece elevul trebuie să le separe în teoreme separate și să le numească „nume mari”. Una dintre acestea este „deplasarea în diagonală”. Despre ce este vorba? Să trasăm o dreaptă paralelă cu AC prin vârful B până când se intersectează cu baza inferioară în punctul E. În acest caz, patrulaterul EBCA va fi un paralelogram (prin definiție) și deci BC=EA și EB=AC. Acum suntem preocupați de prima egalitate. Noi avem:

Rețineți că triunghiul BED, a cărui zonă este egală cu aria unui trapez, are câteva alte proprietăți remarcabile:
1) Aria sa este egală cu aria unui trapez
2) Isoscelul său apare simultan cu isoscelul trapezului însuși
3) Unghiul său superior la vârful B este egal cu unghiul dintre diagonalele trapezului (care este foarte des folosit în probleme)
4) Mediana sa BK este egală cu distanța QS dintre punctele medii ale bazelor trapezului. Am întâlnit recent utilizarea acestei proprietăți când pregăteam un student pentru Mekhmat a Universității de Stat din Moscova folosind manualul lui Tkachuk, versiunea din 1973 (sarcina este dată în partea de jos a paginii).

Speciale tutore de matematică.

Uneori propun sarcini într-un mod foarte complicat de a găsi pătratul unui trapez. O atribui mutărilor speciale, pentru că în practică profesorul le folosește rar. Dacă trebuie să vă pregătiți pentru examenul de matematică doar în partea B, nu puteți citi despre ele. Pentru alții, vă spun mai multe. Se pare că aria trapezului este de două ori mai mare decât aria triunghiului cu vârfuri la capetele unei laturi și la mijlocul celeilalte, adică triunghiul ABS din figură:
Dovada: trageți înălțimile SM și SN în triunghiuri BCS și ADS și exprimați suma ariilor acestor triunghiuri:

Deoarece punctul S este mijlocul lui CD, atunci (demonstrați-o singur). Să găsim suma ariilor triunghiurilor:

Deoarece această sumă s-a dovedit a fi egală cu jumătate din suprafața trapezului, atunci - a doua jumătate a acestuia. Ch.t.d.

Aș include forma de calcul a ariei unui trapez isoscel de-a lungul laturilor sale în trezoreria mișcărilor speciale ale unui tutore: unde p este jumătatea perimetrului trapezului. nu voi da dovada. În caz contrar, profesorul tău de matematică va fi fără muncă :). Vino la ore!

Sarcini pentru zona trapezului:

Nota profesorului de matematică: Lista de mai jos nu este un suport metodologic al subiectului, este doar o mică selecție de sarcini interesante pentru metodele de mai sus.

1) Baza inferioară a unui trapez isoscel este 13, iar cea superioară este 5. Aflați aria trapezului dacă diagonala sa este perpendiculară pe latură.
2) Aflați aria unui trapez dacă bazele lui au 2 cm și 5 cm și laturile lui au 2 cm și 3 cm.
3) Într-un trapez isoscel, baza mai mare este 11, latura este 5, iar diagonala este Aflați aria trapezului.
4) Diagonala unui trapez isoscel este 5, iar linia mediană este 4. Aflați aria.
5) Într-un trapez isoscel, bazele sunt 12 și 20, iar diagonalele sunt reciproc perpendiculare. Calculați aria unui trapez
6) Diagonala unui trapez isoscel formează un unghi cu baza sa inferioară. Aflați aria unui trapez dacă înălțimea lui este de 6 cm.
7) Aria trapezului este de 20, iar una dintre laturile sale este de 4 cm. Găsiți distanța până la acesta de la mijlocul părții opuse.
8) Diagonala unui trapez isoscel îl împarte în triunghiuri cu ariile 6 și 14. Aflați înălțimea dacă latura este 4.
9) Într-un trapez, diagonalele sunt 3 și 5, iar segmentul care leagă punctele medii ale bazelor este 2. Aflați aria trapezului (Mekhmat de la Universitatea de Stat din Moscova, 1970).

Nu am ales sarcinile cele mai dificile (nu vă fie frică de mekhmat!) cu așteptarea posibilității soluției lor independente. Decideți asupra sănătății! Dacă trebuie să vă pregătiți pentru examenul de matematică, atunci fără participarea formulei zonei trapezoidale la acest proces, pot apărea probleme serioase chiar și cu sarcina B6 și cu atât mai mult cu C4. Nu începe subiectul și în caz de dificultăți, cere ajutor. Un profesor de matematică este întotdeauna bucuros să vă ajute.

Kolpakov A.N.
Profesor de matematică la Moscova, pregătirea pentru examen la Strogino.

Trapez se numeste patrulater doar doi laturile sunt paralele între ele.

Ele sunt numite bazele figurii, restul - părțile laterale. Un paralelogram este considerat un caz special al unei figuri. Există, de asemenea, un trapez curbiliniu, care include un grafic al funcției. Formulele pentru aria unui trapez includ aproape toate elementele sale, iar cea mai bună soluție este selectată în funcție de valorile date.
Rolurile principale în trapez sunt atribuite înălțimii și liniei mediane. linia de mijloc- aceasta este o linie care leagă punctele medii ale laturilor. Înălţime trapezul este desenat în unghi drept din colțul de sus până la bază.
Aria unui trapez prin înălțime este egală cu produsul dintre jumătate din suma lungimilor bazelor, înmulțit cu înălțimea:

Dacă linia mediană este cunoscută în funcție de condiții, atunci această formulă este mult simplificată, deoarece este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor:

Dacă, în funcție de condiții, sunt date lungimile tuturor laturilor, atunci putem lua în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez prin aceste date:

Să presupunem că un trapez este dat cu bazele a = 3 cm, b = 7 cm și laturile c = 5 cm, d = 4 cm. Aflați aria figurii:

Aria unui trapez isoscel

Un caz separat este un trapez isoscel sau, așa cum se mai numește, un trapez isoscel.
Un caz special este, de asemenea, găsirea ariei unui trapez isoscel (isoscel). Formula este derivată în diferite moduri - prin diagonale, prin unghiuri adiacente bazei și raza cercului înscris.
Dacă lungimea diagonalelor este specificată de condiții și unghiul dintre ele este cunoscut, puteți folosi următoarea formulă:

Amintiți-vă că diagonalele unui trapez isoscel sunt egale între ele!

Adică, cunoscând una dintre bazele, latura și unghiul lor, puteți calcula cu ușurință aria.

Aria unui trapez curbiliniu

Un caz separat este trapez curbiliniu. Este situat pe axa de coordonate și este limitat la un grafic al unei funcții pozitive continue.

Baza sa este situată pe axa X și este limitată la două puncte:
Integrale ajută la calcularea ariei unui trapez curbiliniu.
Formula se scrie astfel:

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez curbiliniu. Formula necesită anumite cunoștințe pentru a lucra cu anumite integrale. Mai întâi, să analizăm valoarea integralei definite:

Aici F(a) este valoarea funcției antiderivate f(x) la punctul a, F(b) este valoarea aceleiași funcții f(x) la punctul b.

Acum să rezolvăm problema. Figura prezintă un trapez curbiliniu mărginit de o funcție. Funcţie
Trebuie să găsim aria figurii selectate, care este un trapez curbiliniu delimitat în partea de sus de un grafic, în dreapta este o linie dreaptă x = (-8), în stânga este o linie dreaptă x = (- 10) iar axa OX este dedesubt.
Vom calcula aria acestei figuri folosind formula:

Ni se oferă o funcție de condițiile problemei. Folosind-o, vom găsi valorile antiderivatei în fiecare dintre punctele noastre:


Acum
Răspuns: aria unui trapez curbiliniu dat este 4.

Nu este nimic dificil în calcularea acestei valori. Doar cea mai mare grijă în calcule este importantă.

ȘI . Acum putem începe să luăm în considerare întrebarea cum să găsim aria unui trapez. Această sarcină în viața de zi cu zi apare foarte rar, dar uneori se dovedește a fi necesar, de exemplu, să găsiți zona unei camere sub formă de trapez, care este din ce în ce mai folosită în construcția de apartamente moderne, sau în proiecte de proiectare de renovare.

Un trapez este o figură geometrică formată din patru segmente care se intersectează, dintre care două sunt paralele între ele și se numesc bazele trapezului. Celelalte două segmente se numesc laturile trapezului. În plus, vom avea nevoie de o altă definiție mai târziu. Aceasta este linia de mijloc a trapezului, care este un segment care leagă punctele medii ale laturilor și înălțimea trapezului, care este egală cu distanța dintre baze.
La fel ca triunghiurile, un trapez are anumite tipuri sub forma unui trapez isoscel (isoscel), în care lungimile laturilor sunt aceleași, și a unui trapez dreptunghiular, în care una dintre laturi formează un unghi drept cu bazele.

Trapezele au câteva proprietăți interesante:

1. Linia mediană a unui trapez este jumătate din suma bazelor și este paralelă cu acestea.
   
2. Trapezele isoscele au laturile și unghiurile egale pe care le formează cu bazele.
   
3. Punctele medii ale diagonalelor unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor sale sunt pe aceeași dreaptă.
   
4. Dacă suma laturilor unui trapez este egală cu suma bazelor, atunci poate fi înscris un cerc în el
   
5. Dacă suma unghiurilor formate de laturile unui trapez la oricare dintre bazele sale este 90, atunci lungimea segmentului care leagă punctele medii ale bazelor este egală cu jumătatea diferenței acestora.
   
6. Un trapez isoscel poate fi descris printr-un cerc. Si invers. Dacă un trapez este înscris într-un cerc, atunci este isoscel.
   
7. Segmentul care trece prin punctele medii ale bazelor unui trapez isoscel va fi perpendicular pe bazele acestuia și reprezintă axa de simetrie.
   

Cum să găsiți aria unui trapez.

Aria unui trapez va fi jumătate din suma bazelor sale înmulțită cu înălțimea sa. Sub forma unei formule, aceasta este scrisă ca o expresie:

unde S este aria trapezului, a,b este lungimea fiecărei baze ale trapezului, h este înălțimea trapezului.

Puteți înțelege și aminti această formulă după cum urmează. După cum rezultă din figura de mai jos, un trapez folosind linia mediană poate fi transformat într-un dreptunghi, a cărui lungime va fi egală cu jumătate din suma bazelor.

De asemenea, puteți descompune orice trapez în forme mai simple: un dreptunghi și unul sau două triunghiuri, iar dacă vă este mai ușor, atunci găsiți aria trapezului ca suma ariilor figurilor sale constitutive.

Există o altă formulă simplă pentru calcularea ariei sale. Potrivit acestuia, aria trapezului este egală cu produsul liniei sale mediane și înălțimea trapezului și se scrie astfel: S \u003d m * h, unde S este aria, m este lungimea lui linia mediană, h este înălțimea trapezului. Această formulă este mai potrivită pentru problemele de matematică decât pentru problemele de zi cu zi, deoarece în condiții reale nu vei cunoaște lungimea liniei de mijloc fără calcule preliminare. Și veți ști doar lungimile bazelor și laturilor.

În acest caz, aria trapezului poate fi găsită folosind formula:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

unde S este aria, a,b sunt bazele, c,d sunt laturile trapezului.

Există mai multe moduri de a găsi aria unui trapez. Dar, sunt la fel de incomod ca ultima formulă, ceea ce înseamnă că nu are sens să ne oprim asupra lor. Prin urmare, vă recomandăm să utilizați prima formulă din articol și să vă dorim să obțineți întotdeauna rezultate exacte.

Un trapez este un tip special de patrulater în care două laturi opuse sunt paralele între ele, iar celelalte două nu. Diverse obiecte reale au o formă trapezoidală, așa că poate fi necesar să calculați perimetrul unei astfel de figuri geometrice pentru rezolvarea problemelor cotidiene sau școlare.

Geometrie trapezoidală

Un trapez (din grecescul „trapez” - un tabel) este o figură pe un plan, limitată de patru segmente, dintre care două sunt paralele și două nu. Segmentele paralele se numesc bazele trapezului, iar neparalele - laturile figurii. Laturile și unghiurile lor de înclinare determină tipul de trapez, care poate fi versatil, isoscel sau dreptunghiular. Pe lângă baze și laturi, trapezul mai are două elemente:

• înălțime - distanța dintre bazele paralele ale figurii;
• linia de mijloc - un segment care leagă punctele medii ale laturilor.

Această figură geometrică este larg răspândită în viața reală.

Trapez în realitate

În viața de zi cu zi, multe obiecte reale iau o formă trapezoidală. Puteți găsi cu ușurință trapezi în următoarele domenii ale activității umane:

• design interior si decor - canapele, blaturi, pereti, covoare, tavane suspendate;
• amenajarea peisajului - margini de gazon și rezervoare artificiale, forme de elemente decorative;
• modă - forma de îmbrăcăminte, pantofi și accesorii;
• arhitectura - ferestre, pereti, fundatii cladiri;
• producție - diverse produse și detalii.

Cu o utilizare atât de largă a trapezelor, specialiștii trebuie adesea să calculeze perimetrul unei figuri geometrice.

Perimetrul unui trapez

Perimetrul unei figuri este o caracteristică numerică, care este calculată ca suma lungimilor tuturor laturilor n-gonului. Un trapez este un patrulater și, în general, toate laturile sale au lungimi diferite, deci perimetrul se calculează cu formula:

P = a + b + c + d,

unde a și c sunt bazele figurii, b și d sunt laturile acesteia.

Chiar dacă nu trebuie să cunoaștem înălțimea atunci când calculăm perimetrul unui trapez, codul calculatorului necesită introducerea acestei variabile. Deoarece înălțimea nu afectează în niciun fel calculul, atunci când utilizați calculatorul nostru online, puteți introduce orice valoare a înălțimii care este mai mare decât zero. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple din viața reală

Batistă

Să presupunem că aveți o eșarfă în linie A și doriți să o tăiați cu franjuri. Va trebui să cunoașteți perimetrul eșarfei, astfel încât să nu cumpărați material suplimentar sau să mergeți de două ori la magazin. Lasă eșarfa ta isoscelă să aibă următorii parametri: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm. Introducem aceste date în formularul online și obținem răspunsul sub forma:

Astfel, perimetrul esarfei este de 340 cm, iar aceasta este exact lungimea impletiturii franjuri pentru decorarea acesteia.

pante

De exemplu, decideți să faceți pante pentru ferestre metal-plastic nestandard care au formă trapezoidală. Astfel de ferestre sunt utilizate pe scară largă în proiectarea clădirilor, creând o compoziție din mai multe obloane. Cel mai adesea, astfel de ferestre sunt realizate sub forma unui trapez dreptunghiular. Să aflăm cât material este necesar pentru a finaliza pantele unei astfel de ferestre. Fereastra standard are următorii parametri a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Folosim aceste date și obținem rezultatul sub forma

Prin urmare, perimetrul unei ferestre trapezoidale este de 390 cm și de atât va trebui să cumpărați panouri de plastic pentru a forma pante.

Concluzie

Trapezul este o figură populară în viața de zi cu zi, a cărei definiție a parametrilor poate fi necesară în cele mai neașteptate situații. Calculul perimetrelor de către un trapez este necesar pentru mulți profesioniști: de la ingineri și arhitecți la designeri și mecanici. Catalogul nostru de calculatoare online vă va permite să efectuați calcule pentru orice forme geometrice și solide.

Acest calculator a calculat 2192 de probleme pe tema „Zona unui trapez”

PIATA TRAPEZULUI

Alegeți formula pentru calcularea ariei unui trapez pe care intenționați să o aplicați pentru a vă rezolva problema:

Teoria generală pentru calcularea ariei unui trapez.

trapez - aceasta este o figură plată formată din patru puncte, dintre care trei nu se află pe o singură linie dreaptă și patru segmente (laturi) care leagă aceste patru puncte în perechi, în care două laturi opuse sunt paralele (se află pe linii paralele) și celelalte două nu sunt paralele.

Punctele sunt numite vârfurile unui trapez și sunt notate cu majuscule latine.

Segmentele sunt numite laturile unui trapez și sunt notate cu o pereche de litere latine majuscule corespunzătoare vârfurilor pe care segmentele le leagă.

Cele două laturi paralele ale unui trapez se numesc bazele unui trapez .

Se numesc două laturi neparalele ale unui trapez laturile unui trapez .

Figura #1: Trapez ABCD

Figura 1 prezintă un trapez ABCD cu vârfurile A, B, C, D și laturile AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - bazele trapezului ABCD.

AD, BC sunt laturile trapezului ABCD.

Unghiul format de razele AB și AD se numește unghi la vârful A. Se notează ÐA sau ÐBAD sau ÐDAB.

Unghiul format de razele BA și BC se numește unghi la vârful B. Este desemnat ÐB sau ÐABC, sau ÐCBA.

Unghiul format de razele CB și CD se numește unghi de vârf C. Se notează ÐC sau ÐDCB sau ÐBCD.

Unghiul format de razele AD și CD se numește unghi de vârf D. Se notează ÐD sau ÐADC sau ÐCDA.

Figura #2: Trapez ABCD

În figura 2, se numește segmentul MN care leagă punctele medii ale laturilor linia mediană a trapezului.

Linia mediană a trapezului paralele cu bazele și egale cu jumătatea sumei acestora. adica .

Figura #3: Trapezul isoscel ABCD

În figura #3, AD=BC.

Trapezul se numește isoscel (isoscel) dacă laturile sale sunt egale.

Figura #4: Trapez dreptunghiular ABCD

În figura nr. 4, unghiul D este drept (egal cu 90 °).

Trapezul se numește dreptunghiular, dacă unghiul din partea laterală este drept.

S plat pătrat figurile, cărora le aparține și trapezul, se numește spațiu închis mărginit pe un plan. Zona unei figuri plate arată dimensiunea acestei figuri.

Zona are mai multe proprietăți:

1. Nu poate fi negativ.

2. Dacă este dată o zonă închisă pe un plan, care este compusă din mai multe figuri care nu se intersectează între ele (adică figurile nu au puncte interne comune, dar se pot atinge între ele), atunci aria de ​​o astfel de zonă este egală cu suma ariilor figurilor sale constitutive.

3. Dacă două cifre sunt egale, atunci ariile lor sunt egale.

4. Aria unui pătrat construit pe un segment unitar este egală cu unu.

In spate unitate măsurători zonă luați aria unui pătrat a cărui latură este egală cu unitate măsurători segmente.

La rezolvarea problemelor, se folosesc adesea următoarele formule pentru calcularea ariei unui trapez:

1. Aria unui trapez este jumătate din suma bazelor sale înmulțită cu înălțimea sa:

2. Aria unui trapez este egală cu produsul dintre linia mediană și înălțimea:

3. Cu lungimi cunoscute ale bazelor și laturilor trapezului, aria acestuia poate fi calculată prin formula:

4. Este posibil să se calculeze aria unui trapez isoscel cu o lungime cunoscută a razei cercului înscris în trapez și o valoare cunoscută a unghiului de la bază folosind următoarea formulă:

Exemplul 1: Calculați aria unui trapez cu bazele a=7, b=3 și înălțimea h=15.

Decizie:

Răspuns:

Exemplul 2: Aflați latura bazei unui trapez cu aria S=35 cm 2 , înălțimea h=7 cm și baza a doua b = 2 cm.

Decizie:

Pentru a găsi latura bazei trapezului, folosim formula pentru calcularea ariei:

Exprimăm din această formulă latura bazei trapezului:

Astfel, avem următoarele:

Răspuns:

Exemplul 3: Aflați înălțimea unui trapez cu aria S=17 cm2 și bazele a=30 cm, b=4 cm.

Decizie:

Pentru a afla înălțimea trapezului, folosim formula pentru calcularea ariei:

Astfel, avem următoarele:

Răspuns:

Exemplul 4: Calculați aria unui trapez cu înălțimea h=24 și linia mediană m=5.

Decizie:

Pentru a găsi aria unui trapez, utilizați următoarea formulă pentru a calcula aria:

Astfel, avem următoarele:

Răspuns:

Exemplul 5: Aflați înălțimea unui trapez cu aria S = 48 cm 2 și linia mediană m = 6 cm.

Decizie:

Pentru a găsi înălțimea unui trapez, folosim formula pentru calcularea aria unui trapez:

Exprimăm înălțimea trapezului din această formulă:

Astfel, avem următoarele:

Răspuns:

Exemplul 6: Aflați linia mediană a unui trapez cu aria S = 56 și înălțimea h=4.

Decizie:

Pentru a găsi linia mediană a unui trapez, folosim formula pentru calcularea aria unui trapez:

Exprimăm din această formulă linia mediană a trapezului:

Astfel, avem următoarele.