Volumul unei piramide cu bază dreptunghiulară. Volumul unei piramide obișnuite

Acasă

Canalizare pluvială

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Se numește un poliedru a cărui bază este un triunghi regulat și celelalte fețe sunt triunghiuri isoscele piramidă triunghiulară.O altă astfel de piramidă se numește tetraedru.

O piramidă obișnuită are multe proprietăți care sunt derivate din figurile sale constitutive:

Toate laturile bazei sunt egale între ele, deoarece este reprezentată printr-un triunghi regulat;
Toate marginile piramidei sunt, de asemenea, egale între ele;
pentru că fiecare față formează un triunghi isoscel în care marginile sunt egale și bazele sunt egale, atunci putem spune că aria feței de pe plajă este aceeași;
Toate unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Se calculează ca suma suprafețelor bazei și scanării laterale. Poate fi găsit și prin calcularea ariei uneia dintre fețele laterale și a bazei. Formula pentru volumul unei piramide triunghiulare este, de asemenea, derivată din proprietățile triunghiurilor din care constă:

Aria de bază se calculează din formula:

Luați în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide triunghiulare.

Să fie dată o piramidă triunghiulară. Latura bazei este a = 2 cm, iar înălțimea este h = 2√3. Aflați volumul poliedrului dat.
Mai întâi, să găsim zona bazei. Pentru a face acest lucru, înlocuim datele cunoscute în formula de mai sus:

Acum folosim valoarea găsită pentru a calcula volumul unei piramide triunghiulare:

O formulă prescurtată poate fi, de asemenea, utilizată pentru a calcula aria unei piramide triunghiulare. Combină aria de bază și înălțimea și citește o astfel de formulă ca o treime din produsul ariei de bază și înălțimea piramidei:

Folosind această formulă, este important să urmați cu strictețe calculele și reducerile. O mică greșeală poate duce la un rezultat incorect. În general, găsirea volumului unei piramide triunghiulare obișnuite este foarte simplă.

Definiția piramidei

Piramidă este un poliedru a cărui bază este un poligon și ale cărui fețe sunt triunghiuri.

Calculator online

Piramida are coaste. Putem spune că sunt atrași de un punct numit vârf această piramidă. A ei bază poate fi un poligon arbitrar. margine- aceasta este figura care se formează ca urmare a unirii celor mai apropiate două margini cu laterala bazei. Fața piramidei este un triunghi. Se numește distanța de la vârful piramidei până la mijlocul laturii bazei apotemă. Înălţime O piramidă se numește lungimea perpendicularei de la vârf la centrul bazei sale.

Tipuri de piramide

Există următoarele tipuri de piramide.

Dreptunghiular- marginea sa formeaza un unghi de 90 de grade cu baza.
corect- baza sa este un poligon regulat, iar vârful este proiectat în centrul acestei baze.
Tetraedru O piramidă cu un triunghi la bază.

Formule de volum piramidal

Volumul piramidei se găsește în mai multe moduri.

După aria bazei și înălțimea piramidei

Simpla multiplicare a unei treimi din aria bazei cu înălțimea piramidei este volumul acesteia.

Volumul piramidei după suprafața bazei și înălțimea

V = 1 3 ⋅ S principal ⋅ h V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot hV =3 1 ⋅ S principal ⋅ h

S principal S_(\text(principal)) S principal - aria bazei piramidei;
h h h este înălțimea piramidei.

Sarcina 1

Aria bazei piramidei este 100 cm 2 100\text( cm)^2 1 0 0 cm2 , iar înălțimea sa este 30 cm 30\text( cm) 3 0 cm. Găsiți volumul corpului.

Soluţie

S principal = 100 S_(\text(main))=100S principal = 1 0 0
h=30 h=30 h =3 0

Cunoaștem toate cantitățile, înlocuim valorile lor numerice în formulă și găsim:

V = 1 3 ⋅ S principal ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot h=\frac(1)( 3)\cdot 100\cdot 30=1000\text(cm)^3V =3 1 ⋅ S principal ⋅ h =3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 cm3

Răspuns

1000 cm3. 1000\text(cm)^3.1 0 0 0 cm3 .

Formula pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate

Această metodă este potrivită dacă piramida este regulată și triunghiulară.

Volumul unei piramide triunghiulare regulate

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac(h\cdot a^2)(4\sqrt(3))V =4 3 h ⋅ A 2

h h h- inaltimea piramidei;
a a A

Sarcina 2

Calculați volumul unei piramide triunghiulare regulate dacă baza ei este un triunghi echilateral în care latura este egală cu 5 cm 5\text( cm) 5 cm, iar înălțimea piramidei este 19 cm 19\text( cm) 1 9 cm.

Soluţie

A=5 a=5 a =5
h=19 h=19 h =1 9

Doar înlocuiți aceste valori în formula pentru volum:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68,6 cm 3 (4\sqrt(3))\approx68.6\text( cm)^3V =4 3 h ⋅ A 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 cm3

Răspuns

68,6 cm3. 68,6\text(cm)^3.6 8 . 6 cm3 .

Formula pentru volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Volumul unei piramide patruunghiulare regulate

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2V =3 1 ⋅ h ⋅A 2

h h h- inaltimea piramidei;
a a A partea bazei piramidei.

Sarcina 3

Dată o piramidă patruunghiulară regulată. Calculați-i volumul dacă înălțimea lui este 7cm 7\text(cm) 7 cm, iar partea laterală a bazei este - 2 cm 2\text( cm) 2 cm.

Soluţie

A=2 a=2 a =2
h=7 h=7 h =7

Calculați după formula:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9,3 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2=\frac(1)(3)\cdot 7\cdot 2^2\approx9.3\text(cm)^3V =3 1 ⋅ h ⋅A 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 cm3

Răspuns

9,3 cm3. 9,3\text(cm)^3.9 . 3 cm3 .

Formula de volum pentru un tetraedru

Volumul unui tetraedru

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)V =1 2 2 ⋅ A 3

A a A este lungimea muchiei tetraedrului.

Sarcina 4

Lungimea muchiei tetraedrului este 13 cm 13\text( cm) 1 3 cm. Găsiți-i volumul.

Soluţie

A=13 a=13 a =1 3

Substitui a a Aîn formula pentru volumul unui tetraedru:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 cm 3 3)(12)\approx259\text(cm)^3V =1 2 2 ⋅ A 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 cm3

Răspuns

$259\text(cm)^3.$

Formula de volum piramidală ca determinant

Probabil cel mai exotic mod de a calcula volumul unui corp dat.

Fie dați vectorii pe care este construită piramida ca pe laturi. Atunci volumul său va fi egal cu o șesime din produsul mixt al vectorilor. Acesta din urmă, la rândul său, este egal cu determinantul compus din coordonatele acestor vectori. Deci, dacă piramida este construită pe trei vectori:

$\vec(a)=(a_x, a_y, a_z)$

atunci volumul piramidei corespunzătoare este un astfel de determinant:

Volumul piramidei prin determinant

$V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_x & c_vmatrix \\&c_vmatrix )$

Sarcina 5

Aflați volumul piramidei prin produsul mixt al vectorilor ale căror coordonate sunt: $A = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), c = (3, 5, 7) .$

Soluţie

$\vec(a)=(2,3,5)$

Conform formulei:

$V=\frac(1)(6)\ cdot\begin(vmatrix) 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac(1)(6)\cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac(1)(6)\cdot(-4)=-\frac(2)(3)\aprox-0,7$

Trebuie să luăm modulul acestui număr, deoarece volumul este o valoare nenegativă:

$V=0,7\text( cm)^3$

Răspuns

$0,7\text(cm)^3.$

piramida patruunghiulara Un poliedru se numește poliedru a cărui bază este un pătrat, iar toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele identice.

Acest poliedru are multe proprietăți diferite:

Nerbele sale laterale și unghiurile diedrice adiacente sunt egale între ele;
Zonele fețelor laterale sunt aceleași;
La baza unei piramide patruunghiulare regulate se află un pătrat;
Înălțimea scăzută din vârful piramidei se intersectează cu punctul de intersecție al diagonalelor bazei.

Toate aceste proprietăți îl fac ușor de găsit. Cu toate acestea, destul de des, în plus față de acesta, este necesar să se calculeze volumul poliedrului. Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru volumul unei piramide patruunghiulare:

Adică, volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Deoarece este egal cu produsul laturilor sale egale, introducem imediat formula ariei pătrate în expresia volumului.
Luați în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide patruunghiulare.

Să se dea o piramidă patruunghiulară, la baza căreia se află un pătrat cu latura a = 6 cm.Fața laterală a piramidei este b = 8 cm.Aflați volumul piramidei.

Pentru a găsi volumul unui poliedru dat, avem nevoie de lungimea înălțimii acestuia. Prin urmare, îl vom găsi prin aplicarea teoremei lui Pitagora. Mai întâi, să calculăm lungimea diagonalei. În triunghiul albastru, va fi ipotenuza. De asemenea, merită să ne amintim că diagonalele pătratului sunt egale între ele și sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție:

Acum din triunghiul roșu găsim înălțimea de care avem nevoie h. Acesta va fi egal cu:

Înlocuiți valorile necesare și găsiți înălțimea piramidei:

Acum, cunoscând înălțimea, putem înlocui toate valorile din formula pentru volumul piramidei și calculam valoarea necesară:

Așa am putut, cunoscând câteva formule simple, să calculăm volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Nu uitați că această valoare se măsoară în unități cubice.

Definiție. Fața laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar partea opusă a acestuia coincide cu latura bazei (poligon).

Definiție. Coaste laterale sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are atâtea muchii câte colțuri există într-un poligon.

Definiție. înălțimea piramidei este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.

Definiție. Apotema- aceasta este perpendiculara feței laterale a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.

Definiție. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a piramidei printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.

Definiție. Piramida corectă- Aceasta este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formulă. volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:

proprietățile piramidei

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, perpendiculara căzută de sus trece prin centrul bazei (cercului).

Dacă toate nervurile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul de bază la aceleași unghiuri.

Nervele laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la un unghi, atunci un cerc poate fi înscris la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile unei piramide obișnuite

1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.

2. Toate marginile laterale sunt egale.

3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la aceleași unghiuri față de bază.

4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.

6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).

7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei descrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.

8. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plate de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π / n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Legătura piramidei cu sfera

O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei când la baza piramidei se află un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele medii ale marginilor laterale ale piramidei.

O sferă poate fi întotdeauna descrisă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.

O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Legătura piramidei cu conul

Un con se numește înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale.

Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.

Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.

Legătura unei piramide cu un cilindru

Se spune că o piramidă este înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.

Un cilindru poate fi circumscris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei.

Definiție. Piramida trunchiată (prismă piramidală)- Acesta este un poliedru care este situat între baza piramidei și un plan de secțiune paralel cu baza. Astfel, piramida are o bază mare și o bază mai mică care este similară cu cea mai mare. Fețele laterale sunt trapeze.

Definiție. Piramida triunghiulara (tetraedru)- aceasta este o piramidă în care trei fețe și baza sunt triunghiuri arbitrare.

Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.

Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triedric.

Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).

Bimedian se numește segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).

Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele într-un raport de 3: 1 începând de sus.

Definiție. piramidă înclinată este o piramidă în care una dintre margini formează un unghi obtuz (β) cu baza.

Definiție. Piramida dreptunghiulara este o piramidă în care una dintre fețele laterale este perpendiculară pe bază.

Definiție. Piramidă unghiulară acută este o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. piramidă obtuză este o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. tetraedru regulat Un tetraedru ale cărui patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la un vârf) sunt egale.

Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește un tetraedru care are un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triedric dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.

Definiție. Tetraedru izoedric Se numește tetraedru în care fețele laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Fețele unui astfel de tetraedru sunt triunghiuri isoscele.

Definiție. tetraedru ortocentric se numește un tetraedru în care toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de la vârf la fața opusă se intersectează într-un punct.

Definiție. piramida stelare Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.

Definiție. Bipiramida- un poliedru format din două piramide diferite (piramidele pot fi și tăiate), având o bază comună, iar vârfurile se află pe laturile opuse ale planului bazei.

Secțiuni