Pentru a înțelege cum să calculați LCM, ar trebui mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.

Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, 15, 20, 25 și așa mai departe pot fi considerați multipli ai lui 5.

Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.

Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.

Pentru a găsi NOC, puteți utiliza mai multe metode.

Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți într-o linie toți multiplii acestor numere până când se găsește unul comun printre ei. Multiplii sunt notați în înregistrare cu litera K majusculă.

De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Deci, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:

LCM(4, 6) = 24

Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă modalitate de a calcula LCM.

Pentru a finaliza sarcina, este necesar să descompuneți numerele propuse în factori primi.

Mai întâi trebuie să scrieți extinderea celui mai mare dintre numere dintr-o linie, iar sub ea - restul.

În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.

De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.

În extinderea numărului mai mic, trebuie subliniați factorii care lipsesc în extinderea primului număr cel mai mare și apoi adăugați-i la acesta. În exemplul prezentat, un deuce lipsește.

Acum putem calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii numărului al doilea, care nu sunt incluși în descompunerea numărului mai mare, va fi cel mai mic multiplu comun.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.

De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Astfel, doar doi doi din descompunerea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în descompunerea lui douăzeci și patru).

Astfel, ele trebuie adăugate la descompunerea unui număr mai mare.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.

De exemplu, NOC de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.

Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.

De exemplu, LCM(10, 11) = 110.

Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

de exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte numărul dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit .

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere Ași b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b.

multiplu comun mai multe numere se numește numărul care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. de exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni, există întotdeauna cel mai mic, în acest caz este 90. Acest număr se numește cel mai puţinmultiplu comun (LCM).

LCM este întotdeauna un număr natural, care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mși n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mși n. Mai mult, setul multiplilor comuni m,n coincide cu setul de multipli pentru LCM( m,n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Asa de, Funcția Cebyshev. Precum și:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți folosi relația acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k sunt diverse numere prime și d 1 ,...,d kși e 1 ,...,ek sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi LCM ( A,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, expansiunea LCM conține toți factorii primi care sunt incluși în cel puțin una dintre expansiunile numerice a, b, iar cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui factor este luat.

Exemplu:

Calculul celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redus la mai multe calcule succesive ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferați cea mai mare expansiune la factorii produsului dorit (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați), apoi adăugați factori din expansiunea altor numere care nu apar în primul număr sau sunt în el un număr mai mic de ori;

- produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) au fost completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr care este divizibil cu 21 și 28.

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 au fost completați cu un factor de 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) al cărui multipli sunt toate numerele date.

Numerele 2,3,11,37 sunt prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

regulă. Pentru a calcula LCM a numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

Altă opțiune:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) notează puterile tuturor factorilor primi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Găsiți LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Decizie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Scriem cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun (mcd) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 vor fi numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 vor fi numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc coprime.

Definiție. Se numesc numerele naturale coprime dacă cel mai mare divizor comun al lor (mcd) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică, doi doi).
Rămân factorii 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al lui 15, 45, 75 și 180 este 15, deoarece împarte toate celelalte numere: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori simpli: 75 \u003d 3 * 5 * 5 și 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Scriem factorii incluși în expansiunea primului dintre aceste numere și adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Găsiți, de asemenea, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsiți cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) descompuneți-le în factori primi;
2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al lui 12, 15, 20 și 60 ar fi 60, deoarece este divizibil cu toate numerele date.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine), ei au numit număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreicii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33 550 336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar până acum, oamenii de știință nu știu dacă există numere perfecte impare, dacă există cel mai mare număr perfect.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Se pune întrebarea: există ultimul (cel mai mare) număr prim? Vechiul matematician grec Euclid (sec. III î.Hr.), în cartea sa „Începuturi”, care timp de două mii de ani a fost principalul manual de matematică, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un par număr prim mai mare.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratostene, a venit cu o astfel de metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici un număr prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele de după 2 (numerele care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele de după 3 au fost tăiate (numerele care sunt multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.). în cele din urmă, doar numerele prime au rămas nebarite.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun?

Este necesar să găsim fiecare factor al fiecăruia dintre cele două numere pentru care găsim cel mai mic multiplu comun și apoi să înmulțim între ei factorii care au coincis cu primul și al doilea număr. Rezultatul produsului va fi multiplu dorit.

De exemplu, avem numerele 3 și 5 și trebuie să găsim LCM (cel mai mic multiplu comun). Ne trebuie înmulțitși trei și cinci pentru toate numerele incepand de la 1 2 3...și așa mai departe până când vedem același număr atât acolo cât și acolo.

Înmulțim cele trei și obținem: 3, 6, 9, 12, 15

Înmulțiți cinci și obțineți: 5, 10, 15

Metoda de descompunere în factori primi este cea mai clasică pentru găsirea celui mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor multiple. Această metodă este demonstrată clar și simplu în următorul videoclip:

Adunarea, înmulțirea, împărțirea, reducerea la un numitor comun și alte operații aritmetice este o activitate foarte incitantă, exemplele care ocupă o foaie întreagă sunt deosebit de admirate.

Deci, găsiți multiplu comun pentru două numere, care va fi cel mai mic număr cu care două numere sunt divizibile. Vreau să observ că nu este necesar să recurgeți la formule în viitor pentru a găsi ceea ce căutați, dacă puteți număra în minte (și acest lucru poate fi antrenat), atunci numerele în sine apar în cap și apoi fracțiile clic ca nucile.

Pentru început, învățăm că putem înmulți două numere unul față de celălalt, apoi reducem această cifră și o împărțim alternativ la aceste două numere, așa că vom găsi cel mai mic multiplu.

De exemplu, două numere 15 și 6. Înmulțim și obținem 90. Acesta este în mod clar un număr mai mare. Mai mult, 15 este divizibil cu 3 și 6 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că împărțim și 90 la 3. Obținem 30. Încercăm să împărțim 30 la 15 este 2. Și 30 împarte 6 este 5. Deoarece 2 este limita, se dovedește că cel mai mic multiplu pentru numerele 15 și 6 va fi 30.

Cu mai multe numere va fi puțin mai dificil. dar dacă știi ce numere dau rest zero la împărțire sau înmulțire, atunci, în principiu, nu există mari dificultăți.

• Cum să găsiți NOC

  Iată un videoclip care vă va arăta două moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM). Exersând folosind prima dintre metodele propuse, puteți înțelege mai bine care este cel mai mic multiplu comun.

Iată o altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun. Să aruncăm o privire la un exemplu ilustrativ.

Este necesar să găsiți LCM a trei numere simultan: 16, 20 și 28.

• Reprezentăm fiecare număr ca produs al factorilor primi:
• Scriem puterile tuturor factorilor primi:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Selectăm toți divizorii primi (multiplicatorii) cu cele mai mari grade, îi înmulțim și găsim LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Astfel, în urma calculului, s-a obținut numărul 560. Este cel mai mic multiplu comun, adică este divizibil cu fiecare dintre cele trei numere fără rest.

Cel mai mic multiplu comun este numărul care poate fi împărțit la mai multe numere date fără rest. Pentru a calcula o astfel de cifră, trebuie să luați fiecare număr și să îl descompuneți în factori simpli. Acele numere care se potrivesc sunt eliminate. Lasă pe toți pe rând, înmulțiți-i între ei pe rând și obțineți cel dorit - cel mai mic multiplu comun.

NOC, sau cel mai mic multiplu comun, este cel mai mic număr natural de două sau mai multe numere care este divizibil cu fiecare dintre numerele date fără rest.

Iată un exemplu despre cum să găsești cel mai mic multiplu comun al lui 30 și 42.

• Primul pas este descompunerea acestor numere în factori primi.

Pentru 30, este 2 x 3 x 5.

Pentru 42, acesta este 2 x 3 x 7. Deoarece 2 și 3 sunt în expansiunea numărului 30, le tăiem.

• Scriem factorii care sunt incluși în extinderea numărului 30. Acesta este 2 x 3 x 5.
• Acum trebuie să le înmulțiți cu factorul lipsă, pe care îl avem când descompunem 42, iar acesta este 7. Obținem 2 x 3 x 5 x 7.
• Găsim ceea ce este egal cu 2 x 3 x 5 x 7 și obținem 210.

Ca rezultat, obținem că LCM al numerelor 30 și 42 este 210.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să urmați câțiva pași simpli în succesiune. Luați în considerare acest lucru folosind exemplul a două numere: 8 și 12

1. Descompunem ambele numere în factori primi: 8=2*2*2 și 12=3*2*2
2. Reducem aceiași multiplicatori pentru unul dintre numere. În cazul nostru, se potrivește 2 * 2, le reducem pentru numărul 12, apoi 12 va avea un factor: 3.
3. Aflați produsul tuturor factorilor rămași: 2*2*2*3=24

Verificând, ne asigurăm că 24 este divizibil cu 8 și 12, iar acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. Iată-ne găsiți cel mai mic multiplu comun.

Voi încerca să explic folosind exemplul numerelor 6 și 8. Cel mai mic multiplu comun este numărul care poate fi împărțit la aceste numere (în cazul nostru, 6 și 8) și nu va mai rămâne niciun rest.

Deci, începem să înmulțim mai întâi 6 cu 1, 2, 3 etc. și 8 cu 1, 2, 3 etc.

Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic dintre toate numerele întregi care este egal și fără rest divizibil cu ambele numere date.

Metoda 1. Puteți găsi LCM, pe rând, pentru fiecare dintre numerele date, notând în ordine crescătoare toate numerele care se obțin prin înmulțirea lor cu 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Exemplu pentru numerele 6 și 9.
Înmulțim numărul 6, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 6, 12, 18 , 24, 30
Înmulțim numărul 9, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 9, 18 , 27, 36, 45
După cum puteți vedea, LCM pentru numerele 6 și 9 va fi 18.

Această metodă este convenabilă atunci când ambele numere sunt mici și este ușor să le înmulțiți cu o succesiune de numere întregi. Cu toate acestea, există cazuri în care trebuie să găsiți LCM pentru numere cu două sau trei cifre și, de asemenea, când există trei sau chiar mai multe numere inițiale.

Metoda 2. Puteți găsi LCM prin descompunerea numerelor originale în factori primi.
După descompunere, este necesar să tăiați aceleași numere din seria rezultată de factori primi. Numerele rămase ale primului număr vor fi factorul pentru al doilea, iar numerele rămase ale celui de-al doilea număr vor fi factorul pentru primul.

Exemplu pentru numărul 75 și 60.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori primi:
75 = 3 * 5 * 5 și
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
După cum puteți vedea, factorii 3 și 5 apar în ambele rânduri. Din punct de vedere psihic îi „tașăm”.
Să notăm factorii rămași incluși în extinderea fiecăruia dintre aceste numere. La descompunerea numărului 75, am lăsat numărul 5, iar la descompunerea numărului 60, am lăsat 2 * 2
Deci, pentru a determina LCM pentru numerele 75 și 60, trebuie să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 75 (acesta este 5) cu 60 și numerele rămase din extinderea numărului 60 (acesta este 2 * 2). ) înmulțim cu 75. Adică, pentru ușurință de înțelegere, spunem că înmulțim „în cruce”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Așa am găsit LCM pentru numerele 60 și 75. Acesta este numărul 300.

Exemplu. Determinați LCM pentru numerele 12, 16, 24
În acest caz, acțiunile noastre vor fi ceva mai complicate. Dar, mai întâi, ca întotdeauna, descompunem toate numerele în factori primi
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pentru a determina corect LCM, selectăm cel mai mic dintre toate numerele (acesta este numărul 12) și parcurgem secvențial factorii săi, tăindu-i dacă cel puțin unul dintre celelalte rânduri de numere are același factor care nu a fost încă încrucișat. afară.

Pasul 1 . Vedem că 2 * 2 apare în toate seriile de numere. Le tăiem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Pasul 2. În factorii primi ai numărului 12 rămâne doar numărul 3. Dar este prezent în factorii primi ai numărului 24. Tăiem numărul 3 de pe ambele rânduri, în timp ce nu se așteaptă nicio acțiune pentru numărul 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

După cum puteți vedea, la descompunerea numărului 12, am „barat” toate numerele. Deci constatarea NOC este finalizată. Rămâne doar să-i calculăm valoarea.
Pentru numărul 12, luăm factorii rămași din numărul 16 (cel mai apropiat în ordine crescătoare)
12 * 2 * 2 = 48
Acesta este NOC

După cum puteți vedea, în acest caz, găsirea LCM-ului a fost oarecum mai dificilă, dar atunci când trebuie să-l găsiți pentru trei sau mai multe numere, această metodă vă permite să o faceți mai rapid. Cu toate acestea, ambele moduri de a găsi LCM sunt corecte.