Cel mai mic multiplu comun de trei cifre. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun?

Este necesar să găsim fiecare factor al fiecăruia dintre cele două numere pentru care găsim cel mai mic multiplu comun și apoi să înmulțim între ei factorii care au coincis cu primul și al doilea număr. Rezultatul produsului va fi multiplu dorit.

De exemplu, avem numerele 3 și 5 și trebuie să găsim LCM (cel mai mic multiplu comun). Ne trebuie înmulțitși trei și cinci pentru toate numerele incepand de la 1 2 3...și așa mai departe până când vedem același număr atât acolo cât și acolo.

Înmulțim cele trei și obținem: 3, 6, 9, 12, 15

Înmulțiți cinci și obțineți: 5, 10, 15

Metoda de descompunere în factori primi este cea mai clasică pentru găsirea celui mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor multiple. Această metodă este demonstrată clar și simplu în următorul videoclip:

Adunarea, înmulțirea, împărțirea, reducerea la un numitor comun și alte operații aritmetice este o activitate foarte incitantă, exemplele care ocupă o foaie întreagă sunt admirate în special.

Deci, găsiți multiplu comun pentru două numere, care va fi cel mai mic număr cu care două numere sunt divizibile. Vreau să observ că nu este necesar să recurgeți la formule în viitor pentru a găsi ceea ce căutați, dacă puteți număra în minte (și acest lucru poate fi antrenat), atunci numerele în sine apar în cap și apoi fracțiile clic ca nucile.

Pentru început, vom învăța că putem înmulți două numere unul față de celălalt, apoi reducem această cifră și împărțim alternativ la aceste două numere, așa că vom găsi cel mai mic multiplu.

De exemplu, două numere 15 și 6. Înmulțim și obținem 90. Acesta este în mod clar un număr mai mare. Mai mult, 15 este divizibil cu 3 și 6 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că împărțim și 90 la 3. Obținem 30. Încercăm să împărțim 30 la 15 este 2. Și 30 împarte 6 este 5. Deoarece 2 este limita, se dovedește că cel mai mic multiplu pentru numerele 15 și 6 va fi 30.

Cu mai multe numere va fi puțin mai dificil. dar dacă știi care numere dau rest zero la împărțire sau înmulțire, atunci, în principiu, nu există mari dificultăți.

• Cum să găsiți NOC

  Iată un videoclip care vă va arăta două moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM). Exersând folosind prima dintre metodele propuse, puteți înțelege mai bine care este cel mai mic multiplu comun.

Iată o altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun. Să aruncăm o privire la un exemplu ilustrativ.

Este necesar să găsiți LCM a trei numere simultan: 16, 20 și 28.

• Reprezentăm fiecare număr ca produs al factorilor primi:
• Scriem puterile tuturor factorilor primi:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Selectăm toți divizorii primi (multiplicatorii) cu cele mai mari grade, îi înmulțim și găsim LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Astfel, în urma calculului, s-a obținut numărul 560. Este cel mai mic multiplu comun, adică este divizibil cu fiecare dintre cele trei numere fără rest.

Cel mai mic multiplu comun este numărul care poate fi împărțit la mai multe numere date fără rest. Pentru a calcula o astfel de cifră, trebuie să luați fiecare număr și să îl descompuneți în factori simpli. Acele numere care se potrivesc sunt eliminate. Lasă pe toți unul câte unul, înmulțiți-i pe rând și obțineți cel dorit - cel mai mic multiplu comun.

NOC, sau cel mai mic multiplu comun, este cel mai mic număr natural de două sau mai multe numere care este divizibil cu fiecare dintre numerele date fără rest.

Iată un exemplu despre cum să găsești cel mai mic multiplu comun al lui 30 și 42.

• Primul pas este descompunerea acestor numere în factori primi.

Pentru 30, este 2 x 3 x 5.

Pentru 42, acesta este 2 x 3 x 7. Deoarece 2 și 3 sunt în expansiunea numărului 30, le tăiem.

• Scriem factorii care sunt incluși în extinderea numărului 30. Acesta este 2 x 3 x 5.
• Acum trebuie să le înmulțiți cu factorul lipsă, pe care îl avem când descompunem 42, iar acesta este 7. Obținem 2 x 3 x 5 x 7.
• Găsim ceea ce este egal cu 2 x 3 x 5 x 7 și obținem 210.

Ca rezultat, obținem că LCM al numerelor 30 și 42 este 210.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să urmați câțiva pași simpli în succesiune. Luați în considerare acest lucru folosind exemplul a două numere: 8 și 12

1. Descompunem ambele numere în factori primi: 8=2*2*2 și 12=3*2*2
2. Reducem aceiași multiplicatori pentru unul dintre numere. În cazul nostru, se potrivește 2 * 2, le reducem pentru numărul 12, apoi 12 va avea un factor: 3.
3. Aflați produsul tuturor factorilor rămași: 2*2*2*3=24

Verificând, ne asigurăm că 24 este divizibil atât cu 8, cât și cu 12, iar acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. Iată-ne găsiți cel mai mic multiplu comun.

Voi încerca să explic folosind exemplul numerelor 6 și 8. Cel mai mic multiplu comun este numărul care poate fi împărțit la aceste numere (în cazul nostru, 6 și 8) și nu va mai rămâne niciun rest.

Deci, începem să înmulțim mai întâi 6 cu 1, 2, 3 etc. și 8 cu 1, 2, 3 etc.

Tema „Numere multiple” este studiată în clasa a V-a a unei școli generale. Scopul său este de a îmbunătăți abilitățile scrise și orale ale calculelor matematice. În această lecție, sunt introduse concepte noi - „numere multiple” și „divizori”, se elaborează tehnica de a găsi divizori și multipli ai unui număr natural, se elaborează capacitatea de a găsi LCM în diferite moduri.

Acest subiect este foarte important. Cunoștințele despre aceasta pot fi aplicate atunci când rezolvați exemple cu fracții. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numitorul comun calculând cel mai mic multiplu comun (LCM).

Un multiplu al lui A este un întreg care este divizibil cu A fără rest.

Fiecare număr natural are un număr infinit de multipli ai acestuia. Este considerat a fi cel mai puțin. Un multiplu nu poate fi mai mic decât numărul în sine.

Este necesar să demonstrați că numărul 125 este un multiplu al numărului 5. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea. Dacă 125 este divizibil cu 5 fără rest, atunci răspunsul este da.

Această metodă este aplicabilă pentru numere mici.

La calcularea LCM, există cazuri speciale.

1. Dacă trebuie să găsiți un multiplu comun pentru 2 numere (de exemplu, 80 și 20), unde unul dintre ele (80) este divizibil fără rest cu celălalt (20), atunci acest număr (80) este cel mai mic multiplu dintre aceste două numere.

LCM (80, 20) = 80.

2. Dacă doi nu au un divizor comun, atunci putem spune că LCM lor este produsul acestor două numere.

LCM (6, 7) = 42.

Luați în considerare ultimul exemplu. 6 și 7 în raport cu 42 sunt divizori. Ei împart un multiplu fără rest.

În acest exemplu, 6 și 7 sunt divizori de perechi. Produsul lor este egal cu cel mai multiplu număr (42).

Un număr se numește prim dacă este divizibil numai cu el însuși sau cu 1 (3:1=3; 3:3=1). Restul se numesc compozit.

Într-un alt exemplu, trebuie să determinați dacă 9 este un divizor față de 42.

42:9=4 (restul 6)

Răspuns: 9 nu este un divizor al lui 42 deoarece răspunsul are un rest.

Un divizor diferă de un multiplu prin aceea că divizorul este numărul cu care sunt împărțite numerele naturale, iar multiplul este el însuși divizibil cu acel număr.

Cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b, înmulțit cu cel mai mic multiplu al lor, va da produsul numerelor în sine Ași b.

Și anume: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Multiplii comuni pentru numere mai complexe se găsesc în felul următor.

De exemplu, găsiți LCM pentru 168, 180, 3024.

Descompunem aceste numere în factori primi, le scriem ca produs de puteri:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun (mcd) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 vor fi numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 vor fi numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc coprime.

Definiție. Se numesc numerele naturale coprime dacă cel mai mare divizor comun al lor (mcd) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi ștergem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică, doi doi).
Rămân factorii 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al lui 15, 45, 75 și 180 este 15, deoarece împarte toate celelalte numere: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, descompunem 75 și 60 în factori simpli: 75 \u003d 3 * 5 * 5 și 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Scriem factorii incluși în expansiunea primului dintre aceste numere și adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

Găsiți, de asemenea, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsiți cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) descompuneți-le în factori primi;
2) scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al lui 12, 15, 20 și 60 ar fi 60, deoarece este divizibil cu toate numerele date.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine), ei au numit numărul perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33 550 336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar până acum, oamenii de știință nu știu dacă există numere perfecte impare, dacă există cel mai mare număr perfect.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai rare. Se pune întrebarea: există ultimul (cel mai mare) număr prim? Vechiul matematician grec Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Începuturi”, care timp de două mii de ani a fost principalul manual de matematică, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un par număr prim mai mare.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu o astfel de metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unitatea, care nu este nici un număr prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele de după 2 (numerele care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele de după 3 au fost tăiate (numerele care sunt multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.). în cele din urmă, doar numerele prime au rămas nebarite.

Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.

De exemplu:

Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;

Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.

Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte numărul dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit .

Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12. Divizorul comun al acestor două numere Ași b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b.

multiplu comun mai multe numere se numește numărul care este divizibil cu fiecare dintre aceste numere. De exemplu, numerele 9, 18 și 45 au un multiplu comun al lui 180. Dar 90 și 360 sunt și multiplii lor comuni. Dintre toți multiplii comuni, există întotdeauna cel mai mic, în acest caz este 90. Acest număr se numește cel mai puţinmultiplu comun (LCM).

LCM este întotdeauna un număr natural, care trebuie să fie mai mare decât cel mai mare dintre numerele pentru care este definit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM). Proprietăți.

Comutativitate:

Asociativitate:

În special, dacă și sunt numere coprime, atunci:

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi mși n este un divizor al tuturor celorlalți multipli comuni mși n. Mai mult, setul multiplilor comuni m,n coincide cu setul de multipli pentru LCM( m,n).

Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor.

Asa de, Funcția Cebyshev. Precum și:

Aceasta rezultă din definiția și proprietățile funcției Landau g(n).

Ce rezultă din legea distribuției numerelor prime.

Găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM).

NOC( a, b) poate fi calculată în mai multe moduri:

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun, puteți folosi relația acestuia cu LCM:

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi:

Unde p 1,...,p k sunt diverse numere prime și d 1 ,...,dkși e 1 ,...,ek sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune).

Apoi LCM ( A,b) se calculează prin formula:

Cu alte cuvinte, descompunerea LCM conține toți factorii primi care apar în cel puțin una dintre descompunerea numerelor. a, b, iar cel mai mare dintre cei doi exponenți ai acestui factor este luat.

Exemplu:

Calculul celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi redus la mai multe calcule succesive ale LCM a două numere:

Regulă. Pentru a găsi LCM a unei serii de numere, aveți nevoie de:

- descompune numerele în factori primi;

- transferați cea mai mare expansiune la factorii produsului dorit (produsul factorilor celui mai mare număr dintre cei dați), apoi adăugați factori din expansiunea altor numere care nu apar în primul număr sau sunt în el un număr mai mic de ori;

- produsul rezultat al factorilor primi va fi LCM al numerelor date.

Orice două sau mai multe numere naturale au propriul lor LCM. Dacă numerele nu sunt multipli unul celuilalt sau nu au aceiași factori în expansiune, atunci LCM lor este egal cu produsul acestor numere.

Factorii primi ai numărului 28 (2, 2, 7) au fost completați cu un factor de 3 (numărul 21), produsul rezultat (84) va fi cel mai mic număr care este divizibil cu 21 și 28.

Factorii primi ai celui mai mare număr 30 au fost completați cu un factor de 5 al numărului 25, produsul rezultat 150 este mai mare decât cel mai mare număr 30 și este divizibil cu toate numerele date fără rest. Acesta este cel mai mic produs posibil (150, 250, 300...) al cărui multipli sunt toate numerele date.

Numerele 2,3,11,37 sunt prime, deci LCM lor este egal cu produsul numerelor date.

regulă. Pentru a calcula LCM al numerelor prime, trebuie să înmulțiți toate aceste numere împreună.

Altă opțiune:

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (LCM) al mai multor numere aveți nevoie de:

1) reprezentați fiecare număr ca produs al factorilor primi, de exemplu:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) notează puterile tuturor factorilor primi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) notează toți divizorii primi (multiplicatorii) fiecăruia dintre aceste numere;

4) alege cel mai mare grad al fiecăreia dintre ele, găsit în toate expansiunile acestor numere;

5) înmulțiți aceste puteri.

Exemplu. Aflați LCM al numerelor: 168, 180 și 3024.

Soluţie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Scriem cele mai mari puteri ale tuturor divizorilor primi și le înmulțim:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Cel mai mic multiplu comun a două numere este direct legat de cel mai mare divizor comun al acestor numere. Acest legătura dintre GCD și NOC este definită de următoarea teoremă.

Teorema.

Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică: LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Dovada.

Lăsa M este un multiplu al numerelor a și b. Adică, M este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k astfel încât egalitatea M=ak·k este adevărată. Dar M este și divizibil cu b, atunci a k ​​este divizibil cu b.

Notați mcd(a, b) ca d . Apoi putem nota egalitățile a=a 1 ·d și b=b 1 ·d, iar a 1 =a:d și b 1 =b:d vor fi numere coprime. Prin urmare, condiția obținută în paragraful anterior că a k este divizibil cu b poate fi reformulată astfel: a 1 d k este divizibil cu b 1 d , iar aceasta, datorită proprietăților divizibilității, este echivalentă cu condiția ca a 1 k este divizibil cu b unu .

De asemenea, trebuie să notăm două corolare importante din teorema considerată.

Multiplii comuni ai două numere sunt la fel cu multiplii celui mai mic multiplu comun al acestora.

Acest lucru este adevărat, deoarece orice multiplu comun al M numere a și b este definit de egalitatea M=LCM(a, b) t pentru o valoare întreagă t .

Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime pozitive a și b este egal cu produsul lor.

Motivul pentru acest fapt este destul de evident. Deoarece a și b sunt între prime, atunci mcd(a, b)=1, prin urmare, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Găsirea celui mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea succesivă a LCM a două numere. Cum se face acest lucru este indicat în următoarea teoremă: a 1 , a 2 , …, a k coincid cu multipli comuni ai numerelor m k-1 și a k ​​, prin urmare, coincid cu multiplii lui m k . Și deoarece cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul m k însuși, atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , …, a k este m k .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii de fiz.-mat. specialităţile institutelor pedagogice.