Mișcarea unui corp aruncat orizontal și în unghi față de orizont. Mișcarea corpurilor aruncate orizontal

Luați în considerare mișcarea unui corp aruncat orizontal și care se deplasează numai sub acțiunea gravitației (neglijând rezistența aerului). De exemplu, imaginați-vă că o minge aflată pe o masă primește o împingere și se rostogolește până la marginea mesei și începe să cadă liber, având o viteză inițială îndreptată orizontal (Fig. 174).

Să proiectăm mișcarea mingii pe axa verticală și pe axa orizontală. Mișcarea proiecției mingii pe axă este o mișcare fără accelerație cu o viteză de ; mișcarea proiecției bilei pe axă este o cădere liberă cu accelerație dincolo de viteza inițială sub acțiunea gravitației. Cunoaștem legile ambelor mișcări. Componenta vitezei rămâne constantă și egală cu . Componenta crește proporțional cu timpul: . Viteza rezultată poate fi găsită cu ușurință folosind regula paralelogramului, așa cum se arată în Fig. 175. Se va înclina în jos și panta îi va crește cu timpul.

Orez. 174. Mișcarea unei mingi care se rostogolește de pe o masă

Orez. 175. O minge aruncată orizontal cu o viteză are o viteză în acest moment

Găsiți traiectoria unui corp aruncat orizontal. Coordonatele corpului în momentul de timp contează

Pentru a găsi ecuația traiectoriei, exprimăm din (112.1) timpul și substituim această expresie în (112.2). Drept urmare, obținem

Graficul acestei funcții este prezentat în Fig. 176. Ordonatele punctelor de traiectorie se dovedesc a fi proporţionale cu pătratele absciselor. Știm că astfel de curbe se numesc parabole. O parabolă a descris un grafic al traseului mișcării uniform accelerate (§ 22). Astfel, un corp în cădere liberă a cărui viteză inițială este orizontală se deplasează de-a lungul unei parabole.

Calea parcursă în direcția verticală nu depinde de viteza inițială. Dar calea parcursă pe direcția orizontală este proporțională cu viteza inițială. Prin urmare, cu o viteză inițială orizontală mare, parabola de-a lungul căreia cade corpul este mai alungită în direcția orizontală. Dacă un jet de apă este tras dintr-un tub situat orizontal (Fig. 177), atunci particulele individuale de apă se vor mișca, ca și mingea, de-a lungul unei parabole. Cu cât robinetul prin care intră apa în tub este mai deschis, cu atât viteza inițială a apei este mai mare și cu atât jetul ajunge mai departe de robinet în fundul cuvei. Prin plasarea unui ecran cu parabole desenate în prealabil în spatele jetului, se poate verifica dacă jetul de apă are într-adevăr forma unei parabole.

112.1. Care va fi viteza unui corp aruncat orizontal cu viteza de 15 m/s după 2 secunde de zbor? În ce moment va fi direcționată viteza la un unghi de 45° față de orizontală? Ignorați rezistența aerului.

112.2. O minge rostogolită de pe o masă de 1 m înălțime a căzut la o distanță de 2 m de marginea mesei. Care a fost viteza orizontală a mingii? Ignorați rezistența aerului.

Teorie

Dacă un corp este aruncat într-un unghi față de orizont, atunci în zbor este afectat de gravitație și rezistența aerului. Dacă forța de rezistență este neglijată, atunci singura forță rămasă este forța gravitației. Prin urmare, datorită legii a 2-a a lui Newton, corpul se mișcă cu o accelerație egală cu accelerația de cădere liberă; proiecţiile acceleraţiei pe axele de coordonate sunt un x = 0, iar la= -g.

Orice mișcare complexă a unui punct material poate fi reprezentată ca o impunere de mișcări independente de-a lungul axelor de coordonate, iar în direcția diferitelor axe, tipul de mișcare poate diferi. În cazul nostru, mișcarea unui corp zburător poate fi reprezentată ca o suprapunere a două mișcări independente: mișcare uniformă de-a lungul axei orizontale (axa X) și mișcare uniform accelerată de-a lungul axei verticale (axa Y) (Fig. 1) .

Prin urmare, proiecțiile de viteză ale corpului se modifică în timp, după cum urmează:

,

unde este viteza inițială, α este unghiul de aruncare.

Prin urmare, coordonatele corpului se modifică astfel:

Cu alegerea noastră a originii coordonatelor, coordonatele inițiale (Fig. 1) Apoi

A doua valoare a timpului la care înălțimea este egală cu zero este egală cu zero, ceea ce corespunde momentului aruncării, adică. această valoare are şi un sens fizic.

Distanța de zbor se obține din prima formulă (1). Raza de zbor este valoarea coordonatei X la sfârșitul zborului, adică la un moment de timp egal cu t0. Înlocuind valoarea (2) în prima formulă (1), obținem:

.

(3)

Din această formulă se poate observa că cea mai mare rază de zbor este atinsă la un unghi de aruncare de 45 de grade.

Cea mai mare înălțime de ridicare a corpului aruncat poate fi obținută din a doua formulă (1). Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți în această formulă valoarea timpului egală cu jumătate din timpul de zbor (2), deoarece la mijlocul traiectoriei altitudinea de zbor este maximă. Efectuând calcule, obținem

Actualizat:

Folosind mai multe exemple (pe care le-am rezolvat inițial, ca de obicei, pe otvet.mail.ru), vom lua în considerare o clasă de probleme de balistică elementară: zborul unui corp lansat în unghi față de orizont cu o anumită viteză inițială, fără luând în considerare rezistența aerului și curbura suprafeței pământului (adică vectorul accelerației de cădere liberă a direcției g se presupune a fi neschimbat).

Sarcina 1. Raza de zbor a corpului este egală cu înălțimea zborului său deasupra suprafeței Pământului. În ce unghi este aruncat corpul? (în unele surse, din anumite motive, se dă răspunsul greșit - 63 de grade).

Să notăm timpul de zbor ca 2*t (apoi în timpul t corpul se ridică, iar în intervalul următor t coboară). Fie componenta orizontală a vitezei V1 și componenta verticală V2. Apoi intervalul de zbor S = V1*2*t. Altitudinea de zbor H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Echivala
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Raportul vitezelor verticale și orizontale este tangenta unghiului necesar α, de unde α = arctan(4) = 76 de grade.

Sarcina 2. Un corp este aruncat de pe suprafața Pământului cu o viteză V0 la un unghi α față de orizont. Aflaţi raza de curbură a traiectoriei corpului: a) la începutul mişcării; b) în vârful traiectoriei.

În ambele cazuri, sursa mișcării curbilinie este gravitația, adică accelerația de cădere liberă g, îndreptată vertical în jos. Tot ceea ce este necesar aici este să găsiți proiecția g, perpendiculară pe viteza curentă V și să o echivalați cu accelerația centripetă V^2/R, unde R este raza de curbură dorită.

După cum se vede din figură, pentru a începe mișcarea, putem scrie
gn = g*cos(a) = V0^2/R
de unde raza dorită R = V0^2/(g*cos(a))

Pentru punctul superior al traiectoriei (vezi figura) avem
g = (V0*cos(a))^2/R
de unde R = (V0*cos(a))^2/g

Sarcina 3. (variație pe o temă) Proiectilul s-a deplasat orizontal la o înălțime h și a explodat în două fragmente identice, dintre care unul a căzut la pământ în timpul t1 după explozie. Cât timp după ce cade prima bucată va cădea a doua?

Indiferent de viteza verticală V pe care o dobândește primul fragment, al doilea va dobândi aceeași viteză verticală în valoare absolută, dar îndreptată în sens opus (aceasta rezultă din masa identică a fragmentelor și conservarea impulsului). În plus, V este îndreptat în jos, pentru că altfel al doilea fragment va ajunge la sol ÎNAINTE de primul.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Al doilea va zbura în sus, va pierde viteza verticală după timpul V/g și apoi, după același timp, va zbura în jos până la înălțimea inițială h și timpul t2 al întârzierii sale în raport cu primul fragment (nu timpul de zbor de la momentul exploziei) va fi
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

actualizat la 2018-06-03

Citat:
O piatră este aruncată cu o viteză de 10 m/s la un unghi de 60° față de orizontală. Determinați accelerația tangențială și normală a corpului la 1,0 s după începerea mișcării, raza de curbură a traiectoriei în acest moment de timp, durata și raza de acțiune a zborului. Ce unghi formează vectorul accelerație totală cu vectorul viteză la t = 1,0 s

Viteza orizontală inițială Vg = V*cos(60°) = 10*0,5 = 5 m/s și nu se modifică pe parcursul întregului zbor. Viteza verticală inițială Vв = V*sin(60°) = 8,66 m/s. Timpul de zbor până la punctul cel mai înalt este t1 = Vv/g = 8,66/9,8 = 0,884 sec, ceea ce înseamnă că durata întregului zbor este de 2*t1 = 1,767 sec. În acest timp, corpul va zbura orizontal Vg * 2 * t1 = 8,84 m (raza de zbor).

După 1 secundă, viteza verticală va fi 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (în jos). Aceasta înseamnă că unghiul vitezei față de orizont va fi arctan(1,14/5) = 12,8° (jos). Deoarece accelerația totală aici este unică și neschimbată (aceasta este accelerația căderii libere gîndreptată vertical în jos), apoi unghiul dintre viteza corpului și gîn acest moment va fi 90-12,8 = 77,2°.

Accelerația tangențială este o proiecție g pe direcția vectorului viteză, ceea ce înseamnă că este g*sin(12,8) = 2,2 m/s2. Accelerația normală este o proiecție perpendiculară pe vectorul viteză g, este egal cu g*cos(12,8) = 9,56 m/s2. Și întrucât aceasta din urmă este legată de viteza și raza de curbură prin expresia V^2/R, avem 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, de unde raza necesară R = 2,75 m.

Dacă rezistența aerului poate fi neglijată, atunci un corp aruncat se mișcă în mod arbitrar cu accelerație în cădere liberă.

Luați în considerare mai întâi mișcarea unui corp aruncat orizontal cu o viteză v_vec0 de la o înălțime h deasupra suprafeței pământului (Fig. 11.1).

Sub formă vectorială, dependența vitezei corpului de timpul t este exprimată prin formula

În proiecțiile pe axele de coordonate:

v x = v 0 , (2)
vy = -gt. (3)

1. Explicați cum se obțin formulele din (2) și (3)

x = v 0 t, (4)
y \u003d h - gt 2 / 2. (5)

Vedem că corpul, așa cum spune, efectuează două tipuri de mișcări simultan: se mișcă uniform de-a lungul axei x și uniform accelerat de-a lungul axei y fără viteza inițială.

Figura 11.2 prezintă poziția corpului la intervale regulate. Poziția în aceleași momente de timp a unui corp care se mișcă uniform în linie dreaptă cu aceeași viteză inițială este prezentată mai jos, iar poziția unui corp în cădere liberă este afișată în stânga.

Vedem că un corp aruncat orizontal se află întotdeauna pe aceeași verticală cu un corp care se mișcă uniform și pe aceeași orizontală cu un corp în cădere liberă.

2. Explicați cum se utilizează formulele (4) și (5) pentru a obține expresii pentru timpul tpol și intervalul de zbor al corpului l:

Cheie. Profită de faptul că la momentul căderii y = 0.

3. Un corp este aruncat orizontal de la o anumita inaltime. În ce caz raza de zbor a corpului va fi mai mare: cu o creștere de 4 ori a vitezei inițiale sau cu o creștere a înălțimii inițiale cu același factor? De câte ori mai mult?

Traiectorii

În Figura 11.2, traiectoria unui corp aruncat orizontal este prezentată cu o linie punctată roșie. Seamănă cu o ramură a unei parabole. Să verificăm această presupunere.

4. Demonstrați că pentru un corp aruncat orizontal, ecuația traiectoriei de mișcare, adică dependența y(x), se exprimă prin formula

Cheie. Folosind formula (4), exprimați t în termeni de x și înlocuiți expresia găsită în formula (5).

Formula (8) este într-adevăr o ecuație de parabolă. Vârful acestuia coincide cu poziția inițială a corpului, adică are coordonatele x = 0; y \u003d h, iar ramura parabolei este îndreptată în jos (acest lucru este indicat de un coeficient negativ în fața x 2).

5. Dependența y(x) se exprimă în unități SI prin formula y = 45 - 0,05x 2 .
a) Care este înălțimea inițială și viteza inițială a corpului?
b) Care este timpul și distanța de zbor?

6. Un corp este aruncat orizontal de la o înălțime de 20 m cu o viteză inițială de 5 m/s.
a) Cât va dura zborul corpului?
b) Care este distanța de zbor?
c) Care este viteza corpului chiar înainte de a lovi solul?
d) În ce unghi față de orizont va fi direcționată viteza corpului imediat înainte de a lovi solul?
e) Ce formulă în unități SI exprimă dependența de timp a modulului vitezei corpului?

2. Mișcarea unui corp aruncat în unghi față de orizont

Figura 11.3 prezintă schematic poziția inițială a corpului, viteza sa inițială 0 (la t = 0) și accelerația (accelerația în cădere liberă).

Proiecțiile inițiale ale vitezei

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (zece)

Pentru a scurta intrările ulterioare și a clarifica semnificația lor fizică, este convenabil să păstrați denumirile v 0x și v 0y până la obținerea formulelor finale.

Viteza corpului în formă vectorială la momentul t și în acest caz este exprimată prin formula

Totuși, acum în proiecții pe axele de coordonate

vx = v0x , (11)
vy = v 0y - gt. (12)

7. Explicați cum se obțin următoarele ecuații:

x = v 0x t, (13)
y \u003d v 0y t - gt 2 /2. (paisprezece)

Vedem că și în acest caz corpul aruncat, așa cum spune, participă simultan la două tipuri de mișcare: se mișcă uniform de-a lungul axei x și uniform accelerat de-a lungul axei y cu viteza inițială, ca un corp aruncat vertical. în sus.

Traiectorie

Figura 11.4 prezintă schematic poziția unui corp aruncat în unghi față de orizont la intervale regulate. Liniile verticale subliniază faptul că corpul se mișcă uniform de-a lungul axei x: liniile învecinate sunt la distanțe egale unele de altele.

8. Explicați cum să obțineți următoarea ecuație pentru traiectoria unui corp aruncat în unghi față de orizont:

Formula (15) este ecuația unei parabole ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos.

Ecuația traiectoriei ne poate spune multe despre mișcarea unui corp aruncat!

9. Dependența y(x) se exprimă în unități SI prin formula y = √3 * x - 1,25x 2 .
a) Care este proiecția orizontală a vitezei inițiale?
b) Care este proiecția verticală a vitezei inițiale?
c) În ce unghi față de orizontală este aruncat corpul?
d) Care este viteza inițială a corpului?

Forma parabolică a traiectoriei unui corp aruncat în unghi față de orizont este demonstrată clar de un jet de apă (Fig. 11.5).

Timpul de ridicare și timpul total de zbor

10. Folosind formulele (12) și (14), arătați că timpul de ridicare a corpului t sub și timpul întregului zbor t podeaua sunt exprimate prin formule

Cheie. În punctul de vârf al traiectoriei, v y = 0, iar în momentul în care corpul cade, coordona sa y = 0.

Vedem că în acest caz (la fel ca și pentru un corp aruncat vertical în sus) întreg timpul de zbor t podea este de 2 ori mai mare decât timpul de ridicare t de mai jos. Și în acest caz, când vizionați videoclipul în sens invers, ridicarea corpului va arăta exact ca și coborârea sa, iar coborârea va arăta ca o ascensiune.

Altitudinea si raza de actiune

11. Demonstrați că înălțimea de susținere h și intervalul de zbor l sunt exprimate prin formule

Cheie. Pentru a deriva formula (18), utilizați formulele (14) și (16) sau formula (10) de la § 6. Deplasarea în timpul mișcării rectilinie uniform accelerate; pentru a deriva formula (19), utilizați formulele (13) și (17).

Vă rugăm să rețineți: tunderul timpului de ridicare a corpului, întregul timp de zbor tfloor și înălțimea de ridicare h depind doar de proiecția verticală a vitezei inițiale.

12. La ce înălțime s-a ridicat mingea de fotbal după impact dacă a căzut la pământ la 4 s după impact?

13. Demonstrează că

Cheie. Folosiți formulele (9), (10), (18), (19).

14. Explicați de ce, cu aceeași viteză inițială v 0, intervalul de zbor l va fi același la două unghiuri α 1 și α 2 legate prin relația α 1 + α 2 = 90º (Fig. 11.6).

Cheie. Folosiți prima egalitate din formula (21) și faptul că sin α = cos(90º - α).

15. Două corpuri aruncate în același timp și cu același ochi modulo inițial un punct. Unghiul dintre vitezele inițiale este de 20º. În ce unghiuri față de orizont au fost aruncate cadavrele?

Raza maximă și altitudinea de zbor

Cu aceeași viteză inițială modulo, intervalul de zbor și altitudinea sunt determinate doar de unghiul α. Cum să alegi acest unghi astfel încât intervalul sau altitudinea de zbor să fie maximă?

16. Explicați de ce intervalul maxim de zbor este atins la α = 45º și este exprimat prin formula

l max \u003d v 0 2 /g. (22)

17. Demonstrați că altitudinea maximă de zbor este exprimată prin formula

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18. Un corp aruncat cu un unghi de 15º față de orizont a căzut la o distanță de 5 m de punctul de plecare.
a) Care este viteza inițială a corpului?
b) La ce înălțime s-a ridicat corpul?
c) Care este raza maximă de zbor pentru aceeași viteză inițială modulo?
d) Până la ce înălțime maximă s-ar putea ridica acest corp cu aceeași viteză inițială în valoare absolută?

Viteza versus timp

La urcare, viteza unui corp aruncat în unghi față de orizont scade în valoare absolută, iar la coborâre crește.

19. Un corp este aruncat la un unghi de 30º față de orizont cu o viteză inițială de 10 m/s.
a) Cum se exprimă dependența vy(t) în unități SI?
b) Cum se exprimă v(t) în unități SI?
c) Care este viteza minimă a corpului în timpul zborului?
Cheie. Folosiți formulele (13) și (14), precum și teorema lui Pitagora.

Întrebări și sarcini suplimentare

20. Aruncând pietricele în diferite unghiuri, Sasha a descoperit că nu poate arunca o pietricică mai departe de 40 m. La ce înălțime maximă ar putea Sasha să arunce o pietricică?

21. Între anvelopele duble ale roții din spate a camionului este înfiptă o pietricică. La ce distanță de camion trebuie să meargă mașina care îl urmărește pentru ca această pietricică, căzută, să nu-i facă rău? Ambele mașini circulă cu o viteză de 90 km/h.
Cheie. Accesați cadrul de referință asociat cu oricare dintre mașini.

22. În ce unghi față de orizont ar trebui să fie aruncat corpul pentru a:
a) a fost altitudinea de zbor egală cu intervalul?
b) altitudinea de zbor a fost de 3 ori intervalul?
c) raza de zbor a fost de 4 ori mai mare decât înălțimea?

23. Un corp este aruncat cu o viteză inițială de 20 m/s la un unghi de 60º față de orizont. La ce intervale de timp după aruncare va fi direcționată viteza corpului la un unghi de 45° față de orizontală?

Aici este viteza inițială a corpului, este viteza corpului în momentul de timp t, s- distanta orizontala de zbor, h este înălțimea deasupra solului de pe care un corp este aruncat orizontal cu o viteză .

1.1.33. Ecuații cinematice ale proiecției vitezei:

1.1.34. Ecuații de coordonate cinematice:

1.1.35. viteza corpului la momentul t:

Pe moment căzând la pământ y=h, x = s(Fig. 1.9).

1.1.36. Raza maximă de zbor orizontală:

1.1.37. Înălțimea deasupra solului din care este aruncat cadavrul

orizontal:

Mișcarea unui corp aruncat cu un unghi α față de orizont
cu viteza initiala

1.1.38. Traiectoria este o parabolă(Fig. 1.10). Mișcarea curbilinie de-a lungul unei parabole se datorează rezultatului adunării a două mișcări rectilinie: mișcare uniformă de-a lungul axei orizontale și mișcare la fel de variabilă de-a lungul axei verticale.

Orez. 1.10

( este viteza inițială a corpului, sunt proiecțiile vitezei pe axele de coordonate în momentul de timp t, este timpul de zbor al corpului, hmax- înălțimea maximă a corpului, smax este distanța maximă de zbor orizontală a corpului).

1.1.39. Ecuații de proiecție cinematică:

;

1.1.40. Ecuații de coordonate cinematice:

;

1.1.41. Înălțimea ridicării corpului până la punctul de sus al traiectoriei:

În momentul , (Figura 1.11).

1.1.42. Înălțimea maximă a corpului:

1.1.43. Timp de zbor al corpului:

La un moment dat , (Fig. 1.11).

1.1.44. Raza de zbor orizontală maximă a corpului:

1.2. Ecuații de bază ale dinamicii clasice

Dinamica(din greaca. dinamic- forța) - ramură a mecanicii dedicată studiului mișcării corpurilor materiale sub acțiunea forțelor aplicate acestora. Dinamica clasică se bazează pe legile lui Newton . Din ele se obțin toate ecuațiile și teoremele necesare pentru rezolvarea problemelor de dinamică.

1.2.1. Sistem de raportare inerțială – este un cadru de referință în care corpul se află în repaus sau se mișcă uniform și în linie dreaptă.

1.2.2. Forta este rezultatul interacțiunii organismului cu mediul. Una dintre cele mai simple definiții ale forței: influența unui singur corp (sau câmp) care provoacă accelerația. În prezent, se disting patru tipuri de forțe sau interacțiuni:

· gravitațională(manifestată sub formă de forțe de gravitație universală);

· electromagnetic(existența atomilor, moleculelor și macrocorpilor);

· puternic(responsabil pentru conectarea particulelor în nuclee);

· slab(responsabil pentru degradarea particulelor).

1.2.3. Principiul suprapunerii fortelor: dacă mai multe forțe acționează asupra unui punct material, atunci forța rezultată poate fi găsită prin regula adunării vectoriale:

.

Masa unui corp este o măsură a inerției unui corp. Orice corp rezistă atunci când încearcă să-l pună în mișcare sau să schimbe modulul sau direcția vitezei sale. Această proprietate se numește inerție.

1.2.5. Puls(momentul) este produsul masei t corpul prin viteza sa v:

1.2.6. Prima lege a lui Newton: Orice punct material (corp) menține o stare de repaus sau o mișcare rectilinie uniformă până când impactul altor corpuri îl face (el) să schimbe această stare.

1.2.7. A doua lege a lui Newton(ecuația de bază a dinamicii unui punct material): viteza de modificare a impulsului corpului este egală cu forța care acționează asupra acestuia (fig. 1.11):

Orez. 1.11	Orez. 1.12

Aceeași ecuație în proiecțiile pe tangenta și normala la traiectoria punctului:

și .

1.2.8. a treia lege a lui Newton: forțele cu care două corpuri acționează unul asupra celuilalt sunt egale ca mărime și opuse ca direcție (Fig. 1.12):

1.2.9. Legea conservării impulsului pentru un sistem închis: impulsul unui sistem închis nu se modifică în timp (Fig. 1.13):

,

Unde P este numărul de puncte (sau corpuri) materiale incluse în sistem.

Orez. 1.13

Legea conservării impulsului nu este o consecință a legilor lui Newton, dar este legea fundamentală a naturii, care nu cunoaște excepții și este o consecință a omogenității spațiului.

1.2.10. Ecuația de bază a dinamicii mișcării de translație a unui sistem de corpuri:

unde este accelerația centrului de inerție al sistemului; este masa totală a sistemului din P puncte materiale.

1.2.11. Centrul de masă al sistemului puncte materiale (Fig. 1.14, 1.15):

.

Legea mișcării centrului de masă: centrul de masă al sistemului se mișcă ca un punct material, a cărui masă este egală cu masa întregului sistem și care este afectat de o forță egală cu suma vectorială a tuturor forțe care acționează asupra sistemului.

1.2.12. Impulsul sistemului corpului:

unde este viteza centrului de inerție al sistemului.

Orez. 1.14	Orez. 1.15

1.2.13. Teorema asupra mișcării centrului de masă: dacă sistemul se află într-un câmp de forță uniform staționar extern, atunci nicio acțiune în interiorul sistemului nu poate modifica mișcarea centrului de masă al sistemului:

.

1.3. Forțele în mecanică

1.3.1. Relația cu greutatea corporală cu reacție gravitațională și suport:

Accelerația în cădere liberă (Fig. 1.16).

Orez. 1.16

Imponderabilitate este o stare în care greutatea unui corp este zero. Într-un câmp gravitațional, imponderabilitate apare atunci când un corp se mișcă numai sub acțiunea gravitației. În cazul în care un a = g, apoi p=0.

1.3.2. Relația dintre greutate, gravitație și accelerație:

1.3.3. forța de frecare de alunecare(Fig. 1.17):

unde este coeficientul de frecare de alunecare; N este forța presiunii normale.

1.3.5. Raporturi de bază pentru un corp pe un plan înclinat(Fig. 1.19). :

· forța de frecare: ;

· forță rezultantă: ;

· forta de rulare: ;

· accelerare:

Orez. 1.19

1.3.6. Legea lui Hooke pentru un izvor: extensie cu arc X proporțional cu forța elastică sau forța externă:

Unde k- rigiditatea arcului.

1.3.7. Energia potențială a unui arc elastic:

1.3.8. Munca făcută de primăvară:

1.3.9. Voltaj- o măsură a forțelor interne care apar într-un corp deformabil sub influența influențelor externe (Fig. 1.20):

unde este aria secțiunii transversale a tijei, d este diametrul său, este lungimea inițială a tijei, este creșterea lungimii tijei.

Orez. 1.20	Orez. 1.21

1.3.10. Diagrama deformarii - diagrama tensiunii normale σ = F/S pe alungirea relativă ε = Δ l/l la întinderea corpului (Fig. 1.21).

1.3.11. Modulul Young este valoarea care caracterizează proprietățile elastice ale materialului tijei:

1.3.12. Creșterea lungimii barei proporțional cu tensiunea:

1.3.13. Tensiune longitudinală relativă (compresie):

1.3.14. Tensiune transversală relativă (compresie):

unde este dimensiunea transversală inițială a tijei.

1.3.15. coeficientul lui Poisson- raportul dintre tensiunea transversală relativă a tijei și tensiunea longitudinală relativă:

1.3.16. Legea lui Hooke pentru o lansetă: creșterea relativă a lungimii tijei este direct proporțională cu solicitarea și invers proporțională cu modulul lui Young:

1.3.17. Densitatea de energie potențială în vrac:

1.3.18. Deplasare relativă ( pic1.22, 1.23 ):

unde este deplasarea absolută.

Orez. 1.22	Fig.1.23

1.3.19. Modulul de forfecareG- o valoare care depinde de proprietatile materialului si este egala cu o astfel de solicitare tangentiala la care (daca ar fi posibile astfel de forte elastice uriase).

1.3.20. Tensiunea elastică tangenţială:

1.3.21. Legea lui Hooke pentru forfecare:

1.3.22. Energia potențială specifică corpuri în forfecare:

1.4. Cadre de referință non-inerțiale

Cadrul de referință non-inerțial este un cadru de referință arbitrar care nu este inerțial. Exemple de sisteme non-inerțiale: un sistem care se mișcă în linie dreaptă cu accelerație constantă, precum și un sistem rotativ.

Forțele de inerție se datorează nu interacțiunii corpurilor, ci proprietăților cadrelor de referință neinerțiale înseși. Legile lui Newton nu se aplică forțelor inerțiale. Forțele de inerție nu sunt invariante în raport cu trecerea de la un cadru de referință la altul.

Într-un sistem non-inerțial, puteți folosi și legile lui Newton dacă introduceți forțe inerțiale. Sunt fictive. Ele sunt introduse special pentru a utiliza ecuațiile lui Newton.

1.4.1. ecuația lui Newton pentru cadru de referință non-inerțial

unde este accelerația unui corp de masă t raportat la sistemul non-inerțial; – forța de inerție este o forță fictivă datorită proprietăților cadrului de referință.

1.4.2. Forta centripeta- forța de inerție de al doilea fel, aplicată unui corp în rotație și îndreptată de-a lungul razei către centrul de rotație (Fig. 1.24):

,

unde este accelerația centripetă.

1.4.3. Forța centrifugă- forța de inerție de primul fel, aplicată îmbinării și îndreptată de-a lungul razei de la centrul de rotație (Fig. 1.24, 1.25):

,

unde este accelerația centrifugă.

Orez. 1.24	Orez. 1.25

1.4.4. Dependența de accelerația gravitațională g de la latitudinea zonei este prezentată în fig. 1.25.

Gravitația este rezultatul adunării a două forțe: și; prin urmare, g(și, prin urmare mg) depinde de latitudine:

,

unde ω este viteza unghiulară de rotație a Pământului.

1.4.5. Forța Coriolis- una dintre forțele de inerție care există într-un cadru de referință neinerțial datorită rotației și legilor inerției, care se manifestă la deplasarea într-o direcție în unghi față de axa de rotație (Fig. 1.26, 1.27).

unde este viteza unghiulara de rotatie.

Orez. 1.26	Orez. 1.27

1.4.6. ecuația lui Newton pentru cadrele de referință neinerțiale, luând în considerare toate forțele, ia forma

unde este forța de inerție datorată mișcării de translație a unui cadru de referință neinerțial; și – două forțe inerțiale datorate mișcării de rotație a cadrului de referință; este accelerația corpului față de cadrul de referință non-inerțial.

1.5. Energie. Loc de munca. Putere.
Legile de conservare

1.5.1. Energie- o măsură universală a diferitelor forme de mișcare și interacțiune a tuturor tipurilor de materie.

1.5.2. Energie kinetică este funcția stării sistemului, determinată numai de viteza de mișcare a acestuia:

Energia cinetică a unui corp este o mărime fizică scalară egală cu jumătate din produsul masei m corp pe pătrat al vitezei sale.

1.5.3. Teorema privind modificarea energiei cinetice. Munca forțelor rezultante aplicate corpului este egală cu modificarea energiei cinetice a corpului sau, cu alte cuvinte, modificarea energiei cinetice a corpului este egală cu munca A a tuturor forțelor care acționează asupra corpului.

1.5.4. Relația dintre energia cinetică și impuls:

1.5.5. Munca de forță este o caracteristică cantitativă a procesului de schimb de energie între corpurile care interacționează. Lucru în mecanică .

1.5.6. Munca unei forțe constante:

Dacă un corp se mișcă în linie dreaptă și asupra lui acționează o forță constantă F, care face un anumit unghi α cu direcția de mișcare (Fig. 1.28), atunci lucrul acestei forțe este determinat de formula:

,

Unde F este modulul de forță, ∆r este modulul de deplasare al punctului de aplicare a forței, este unghiul dintre direcția forței și deplasare.

În cazul în care un< /2, то работа силы положительна. Если >/2, atunci munca efectuată de forță este negativă. La = /2 (forța este direcționată perpendicular pe deplasare), atunci munca forței este zero.

Orez. 1.28	Orez. 1.29

Muncă de forță constantă F la deplasarea de-a lungul axei X de la distanță (Fig. 1.29) este egală cu proiecția forței pe această axă înmulțită cu deplasarea:

.

Pe fig. 1.27 arată cazul când A < 0, т.к. >/2 - unghi obtuz.

1.5.7. munca elementara d A putere F asupra deplasării elementare d r se numește mărime fizică scalară egală cu produsul scalar al forței și deplasării:

1.5.8. Munca cu forta variabila pe secțiunea de traiectorie 1 - 2 (Fig. 1.30):

Orez. 1.30

1.5.9. Putere instantanee este egală cu munca efectuată pe unitatea de timp:

.

1.5.10. Putere medie pentru o perioada de timp:

1.5.11. Energie potențială corpul într-un punct dat este o mărime fizică scalară, egală cu munca efectuată de forța potențială la deplasarea corpului din acest punct în altul luat ca zero al referinței de energie potențială.

Energia potențială este determinată până la o constantă arbitrară. Acest lucru nu se reflectă în legile fizice, deoarece acestea includ fie diferența de energii potențiale în două poziții ale corpului, fie derivata energiei potențiale în raport cu coordonatele.

Prin urmare, energia potențială într-o anumită poziție este considerată egală cu zero, iar energia corpului este măsurată în raport cu această poziție (nivel de referință zero).

1.5.12. Principiul energiei potenţiale minime. Orice sistem închis tinde să se deplaseze într-o stare în care energia sa potențială este minimă.

1.5.13. Lucrarea forțelor conservatoare este egală cu modificarea energiei potențiale

.

1.5.14. Teorema circulației vectoriale: dacă circulația oricărui vector de forță este zero, atunci această forță este conservativă.

Lucrarea forțelor conservatoare de-a lungul unei bucle închise L este zero(Fig. 1.31):

Orez. 1.31

1.5.15. Energia potențială a interacțiunii gravitaționaleîntre mase mși M(Fig. 1.32):

1.5.16. Energia potențială a unui arc comprimat(Fig. 1.33):

Orez. 1.32	Orez. 1.33

1.5.17. Energia mecanică totală a sistemului este egală cu suma energiilor cinetice și potențiale:

E = E la + E P.

1.5.18. Energia potențială a corpului la inaltime h Sub pămant

E n = mgh.

1.5.19. Relația dintre energia potențială și forță:

Sau sau

1.5.20. Legea conservării energiei mecanice(pentru un sistem închis): energia mecanică totală a unui sistem conservator de puncte materiale rămâne constantă:

1.5.21. Legea conservării impulsului pentru un sistem închis de corpuri:

1.5.22. Legea conservării energiei mecanice și a impulsului cu impact central absolut elastic (Fig. 1.34):

Unde m 1 și m 2 - mase de corpuri; și sunt vitezele corpurilor înainte de impact.

Orez. 1.34	Orez. 1.35

1.5.23. Vitezele corpului după un impact perfect elastic (Fig. 1.35):

.

1.5.24. Viteza corpului după un impact central complet inelastic (Fig. 1.36):

1.5.25. Legea conservării impulsului când racheta se mișcă (Fig. 1.37):

unde și sunt masa și viteza rachetei; și masa și viteza gazelor ejectate.

Orez. 1.36	Orez. 1,37

1.5.26. Ecuația Meshchersky pentru rachetă.