Cubul este suprafața totală. Cum să găsiți aria și volumul unui cub

Concentrați-vă pe cubul în sine. Arată că oricare dintre fețele cubului reprezintă un pătrat. Astfel, sarcina de a găsi aria unei fețe de cub este redusă la sarcina de a găsi aria oricăruia dintre pătrate (fețe de cub). Puteți utiliza oricare dintre fețele cubului, deoarece lungimile tuturor marginilor sale sunt interconectate.

Exemplu: lungimea unei margini a unui cub este de 11 cm; trebuie să-i găsiți aria.

Soluție: cunoscând lungimea feței, puteți găsi zona acesteia:

S = 11² = 121 cm²

Răspuns: aria feței unui cub cu o muchie de 11 cm este de 121 cm²

Notă

Orice cub are 8 vârfuri, 12 muchii, 6 fețe și 3 fețe de vârf.
Un cub este o figură care se găsește incredibil de des în viața de zi cu zi. Este suficient să amintim cuburi de joc, zaruri, cuburi din diverse seturi de construcție pentru copii și adolescenți.
Multe elemente arhitecturale au formă cubică.
Metri cubi sunt utilizați pentru a măsura volumele diferitelor substanțe din diverse sfere ale societății.
Din punct de vedere științific, un metru cub este o măsură a volumului unei substanțe care poate intra într-un cub cu o lungime a muchiei de 1 m.
Astfel, puteți introduce și alte unități de măsură de volum: milimetri cubi, centimetri, decimetri etc.
Pe lângă diverse unități cubice de măsurare a volumului, în industria petrolului și gazelor este posibilă utilizarea unei alte unități - barilul (1m³ = 6,29 barili)

Sfaturi utile

Dacă lungimea marginii sale este cunoscută pentru un cub, atunci, pe lângă zona feței, puteți găsi și alți parametri ai acestui cub, de exemplu:
Aria suprafeței cubului: S = 6*a²;
Volumul: V = 6*a³;
Raza sferei înscrise: r = a/2;
Raza unei sfere circumscrise în jurul unui cub: R = ((√3)*a))/2;
Diagonala unui cub (un segment care leagă două vârfuri opuse ale unui cub care trece prin centrul său): d = a*√3

Surse:

• aria unui cub dacă marginile sunt de 11 cm

Un cub este un poliedru regulat, fiecare față fiind un pătrat. Aria unui cub este aria suprafeței sale, care constă din suma suprafețelor fețelor sale, adică suma ariilor pătratelor care formează cubul.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Cubul este o figură uimitoare. Este la fel din toate părțile. Oricare dintre fețele sale poate deveni instantaneu o bază sau o parte. Și nimic nu se va schimba din asta. Și formulele pentru aceasta sunt întotdeauna ușor de reținut. Și nu contează ce trebuie să găsiți - volumul sau suprafața cubului. În acest din urmă caz, nici măcar nu trebuie să înveți ceva nou. Este suficient să vă amintiți doar formula pentru aria unui pătrat.

Ce este zona?

Această valoare este de obicei indicată de litera latină S. Mai mult, acest lucru este valabil pentru disciplinele școlare precum fizica și matematica. Se măsoară în unități pătrate de lungime. Totul depinde de cantitățile date în problemă. Acestea pot fi mm, cm, m sau km pătrați. Mai mult, pot exista cazuri cand unitatile nici macar nu sunt indicate. Pur și simplu vorbim despre expresia numerică a zonei fără nume.

Deci, ce este zona? Aceasta este o cantitate care este o caracteristică numerică a figurii sau corpului volumetric în cauză. Acesta arată dimensiunea suprafeței sale, care este limitată de părțile laterale ale figurii.

Ce formă se numește cub?

Această figură este un poliedru. Și nu ușor. Este corect, adică toate elementele sale sunt egale între ele. Fie că este vorba de laturi sau margini. Fiecare suprafață a cubului este un pătrat.

Un alt nume pentru un cub este un hexaedru obișnuit sau, în rusă, un hexagon. Poate fi format dintr-o prismă pătrangulară sau paralelipiped. Cu condiția ca toate marginile să fie egale și unghiurile să formeze 90 de grade.

Această figură este atât de armonioasă încât este adesea folosită în viața de zi cu zi. De exemplu, primele jucării ale unui copil sunt blocuri. Iar distracția pentru cei mai mari este Cubul Rubik.

Cum este legat cubul de alte forme și corpuri?

Dacă desenați o secțiune a unui cub care trece prin cele trei fețe ale sale, acesta va arăta ca un triunghi. Pe măsură ce vă îndepărtați de partea de sus, secțiunea transversală va deveni mai mare. Va veni momentul în care 4 fețe se vor intersecta, iar figura în secțiune transversală va deveni patrulater. Dacă desenați o secțiune prin centrul cubului astfel încât să fie perpendicular pe diagonalele sale principale, veți obține un hexagon obișnuit.

În interiorul cubului puteți desena un tetraedru (piramidă triunghiulară). Unul dintre colțurile sale este considerat vârful tetraedrului. Cele trei rămase vor coincide cu vârfurile care se află la capetele opuse ale marginilor colțului selectat al cubului.

Puteți încadra un octaedru în el (un poliedru regulat convex care arată ca două piramide conectate). Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți centrele tuturor fețelor cubului. Ele vor fi vârfurile octaedrului.

Este posibilă și operația inversă, adică este de fapt posibil să se potrivească un cub în interiorul octaedrului. Abia acum centrele fețelor primei vor deveni vârfurile celei de-a doua.

Metoda 1: Calcularea ariei unui cub pe baza muchiei acestuia

Pentru a calcula întreaga suprafață a unui cub, va trebui să cunoașteți unul dintre elementele acestuia. Cel mai simplu mod de a o rezolva este atunci când îi cunoști marginea sau, cu alte cuvinte, latura pătratului din care constă. De obicei, această valoare este indicată de litera latină „a”.

Acum trebuie să vă amintiți formula care calculează aria unui pătrat. Pentru a evita confuzia, denumirea sa este introdusă prin litera S 1.

Pentru comoditate, este mai bine să atribuiți numere tuturor formulelor. Acesta va fi primul.

Dar aceasta este aria unui singur pătrat. Sunt șase în total: 4 pe laterale și 2 pe partea de jos și de sus. Apoi aria suprafeței cubului este calculată folosind următoarea formulă: S = 6 * a 2. Numărul ei este 2.

Metoda 2: cum se calculează suprafața dacă se cunoaște volumul corpului

Din expresia matematică pentru volumul unui hexaedru, se poate folosi pentru a calcula lungimea muchiei. Iat-o:

Numerotarea continuă, iar aici există deja numărul 3.

Acum poate fi calculat și înlocuit în a doua formulă. Dacă urmați regulile matematicii, trebuie să obțineți următoarea expresie:

Aceasta este o formulă pentru suprafața întregii suprafețe a unui cub, care poate fi utilizată dacă volumul este cunoscut. Acest număr de intrare este 4.

Metoda 3: Calculați aria diagonală a unui cub

Aceasta este formula nr. 5.

Din aceasta este ușor să derivați o expresie pentru marginea unui cub:

Aceasta este a șasea formulă. După ce l-ați calculat, puteți utiliza din nou formula de sub al doilea număr. Dar este mai bine să scrii asta:

Se dovedește a fi numerotat 7. Dacă te uiți cu atenție, vei observa că ultima formulă este mai convenabilă decât un calcul pas cu pas.

Metoda 4: Cum să utilizați raza unui cerc înscris sau circumscris pentru a calcula aria unui cub

Dacă notăm cu litera R raza cercului circumscris în jurul hexaedrului, atunci aria suprafeței cubului va fi ușor de calculat folosind următoarea formulă:

Numărul său de serie este 8. Se obține ușor datorită faptului că diametrul cercului coincide complet cu diagonala principală.

Notând raza cercului înscris cu litera latină r, putem obține următoarea formulă pentru aria întregii suprafețe a hexaedrului:

Aceasta este formula nr. 9.

Câteva cuvinte despre suprafața laterală a hexaedrului

Dacă problema necesită găsirea zonei suprafeței laterale a unui cub, atunci trebuie să utilizați tehnica deja descrisă mai sus. Când marginea corpului a fost deja dată, atunci pur și simplu aria pătratului trebuie înmulțită cu 4. Această cifră a apărut datorită faptului că cubul are doar 4 fețe laterale. Notația matematică a acestei expresii este după cum urmează:

Numărul său este 10. Dacă sunt date alte cantități, procedați în mod similar cu metodele descrise mai sus.

Exemple de probleme

Starea primului. Aria suprafeței cubului este cunoscută. Este egal cu 200 cm². Este necesar să se calculeze diagonala principală a cubului.

1 cale. Trebuie să utilizați formula, care este indicată de numărul 2. Nu va fi dificil să obțineți „a” din ea. Această notație matematică va arăta ca rădăcina pătrată a coeficientului egal cu S peste 6. După înlocuirea numerelor, obținem:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

A cincea formulă vă permite să calculați imediat diagonala principală a cubului. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți valoarea muchiei cu √3. E simplu. Răspunsul se dovedește că diagonala este de 10 cm.

Metoda 2. În cazul în care ați uitat formula pentru diagonală, dar amintiți-vă teorema lui Pitagora.

La fel ca în prima metodă, găsiți marginea. Apoi trebuie să scrieți teorema pentru ipotenuză de două ori: prima pentru triunghiul de pe față, a doua pentru cel care conține diagonala dorită.

x² = a² + a², unde x este diagonala pătratului.

d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². Din această intrare este ușor de văzut cum se obține formula pentru diagonală. Și apoi toate calculele vor fi la fel ca în prima metodă. Este puțin mai lung, dar vă permite să nu memorați formula, ci să o obțineți singur.

Răspuns: Diagonala unui cub este de 10 cm.

Condiția a doua. Folosind suprafața cunoscută, care este de 54 cm2, calculați volumul cubului.

Folosind formula de sub al doilea număr, trebuie să aflați valoarea marginii cubului. Cum se face acest lucru este descris în detaliu în prima metodă de rezolvare a problemei anterioare. După ce am efectuat toate calculele, constatăm că a = 3 cm.

Acum trebuie să utilizați formula pentru volumul unui cub, în ​​care lungimea marginii este ridicată la a treia putere. Aceasta înseamnă că volumul va fi calculat după cum urmează: V = 3 3 = 27 cm 3.

Răspuns: volumul cubului este de 27 cm3.

Condiția trei. Trebuie să găsiți o margine a cubului pentru care este îndeplinită următoarea condiție. Când o muchie crește cu 9 unități, aria întregii suprafețe crește cu 594.

Deoarece în problemă nu sunt date numere explicite, trebuie introdusă doar diferența dintre ceea ce a fost și ceea ce a devenit, o notație suplimentară. Nu e greu. Fie ca valoarea dorită să fie egală cu „a”. Apoi marginea mărită a cubului va fi egală cu (a + 9).

Știind acest lucru, trebuie să scrieți formula pentru suprafața unui cub de două ori. Prima - pentru valoarea inițială a muchiei - va coincide cu cea numerotată 2. Al doilea va fi ușor diferit. În ea, în loc de „a”, trebuie să scrieți suma (a + 9). Deoarece problema tratează diferența de zone, trebuie să o scădeți pe cea mai mică din zona mai mare:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.

Trebuie făcute transformări. Mai întâi, scoateți 6 din partea stângă a ecuației din paranteze și apoi simplificați ceea ce rămâne între paranteze. Și anume (a + 9) 2 - a 2. Aici se scrie diferența de pătrate, care poate fi transformată astfel: (a + 9 - a)(a + 9 + a). După simplificarea expresiei, obținem 9(2a + 9).

Acum trebuie înmulțit cu 6, adică numărul care a fost înainte de paranteză și echivalat cu 594: 54(2a + 9) = 594. Aceasta este o ecuație liniară cu o necunoscută. Este ușor de rezolvat. Mai întâi trebuie să deschideți parantezele, apoi mutați termenul cu o valoare necunoscută în partea stângă a egalității și numerele la dreapta. Ecuația rezultată este: 2a = 2. Din aceasta reiese clar că valoarea dorită este egală cu 1.

Aceasta este suprafața totală a tuturor suprafețelor figurii. Aria suprafeței unui cub este egală cu suma ariilor tuturor celor șase fețe ale sale. Suprafața este o caracteristică numerică a unei suprafețe. Pentru a calcula suprafața unui cub, trebuie să cunoașteți o anumită formulă și lungimea uneia dintre laturile cubului. Pentru a calcula rapid suprafața unui cub, trebuie să vă amintiți formula și procedura în sine. Mai jos vom discuta în detaliu procedura de calcul. suprafața totală a cubuluiși dați exemple concrete.

Efectuat conform formulei SA = 6a 2. Un cub (hexaedru regulat) este unul dintre cele 5 tipuri de poliedre regulate, care este un paralelipiped dreptunghiular regulat, cubul are 6 fețe, fiecare dintre aceste fețe este un pătrat.

Pentru calcularea suprafeței unui cub Trebuie să scrieți formula SA = 6a 2. Acum să vedem de ce această formulă arată așa. După cum am spus mai devreme, un cub are șase fețe pătrate egale. Pe baza faptului că laturile pătratului sunt egale, aria pătratului este - a 2, unde a este latura cubului. Deoarece un cub are 6 fețe pătrate egale, atunci pentru a determina suprafața sa, trebuie să înmulțiți aria unei fețe (pătrat) cu șase. Ca rezultat, obținem o formulă de calcul a suprafeței (SA) a unui cub: SA = 6a 2, unde a este muchia cubului (latura pătratului).

Care este aria suprafeței unui cub?

Se măsoară în unități pătrate, de exemplu, mm 2, cm 2, m 2 și așa mai departe. Pentru calcule suplimentare, va trebui să măsurați marginea cubului. După cum știm, muchiile unui cub sunt egale, așa că va fi suficient pentru a măsura doar o (orice) muchie a cubului. Puteți efectua această măsurătoare folosind o riglă (sau o bandă de măsurare). Acordați atenție unităților de măsură de pe riglă sau bandă de măsurare și notați valoarea, notând-o cu a.

Exemplu: a = 2 cm.

Patratul valorii rezultate. Astfel, pătrați lungimea muchiei cubului. Pentru a pătra un număr, înmulțiți-l cu el însuși. Formula noastră va arăta astfel: SA = 6*a 2

Ați calculat aria uneia dintre fețele unui cub.

Exemplu: a = 2 cm

a 2 = 2 x 2 = 4 cm 2

Înmulțiți valoarea rezultată cu șase. Nu uitați că un cub are 6 laturi egale. După ce ați determinat aria uneia dintre fețe, înmulțiți valoarea rezultată cu 6, astfel încât toate fețele cubului să fie incluse în calcul.

Aici ajungem la acțiunea finală calcularea suprafeței unui cub.

Exemplu: a 2 = 4 cm 2

SA = 6 x a 2 = 6 x 4 = 24 cm 2