Înmulțirea numerelor negative: regulă, exemple. Împărțirea numerelor cu semne diferite: regulă și exemple Înmulțirea și împărțirea cu semne diferite

Numerele pozitive și negative sunt studiate chiar de la începutul cursului de matematică, în clasa a VI-a. Deși învățarea ulterioară necesită lucrul constant cu aceste numere, nu este surprinzător că, odată cu trecerea timpului, unele lucruri mărunte sunt uitate - iar oamenii încep să facă gafe.

Înmulțirea și împărțirea sunt unele dintre cele mai frecvente operații cu numere care au semne diferite. Să ne dăm seama și să ne amintim cum să înmulțim și să împărțim astfel de numere între ele, punând semnul corect în răspuns.

Înmulțirea numerelor cu semne diferite

Această regulă este una dintre cele mai simple din aritmetică.

• Dacă avem un anumit număr pozitiv „a” în fața noastră și trebuie înmulțit cu un număr negativ „z”, atunci pur și simplu înmulțim numerele - și apoi punem un semn minus în fața rezultatului.
• De asemenea, puteți spune acest lucru - pentru a înmulți numere cu semne diferite unul pe celălalt, trebuie să înmulțiți modulele de factori între ele și apoi să returnați semnul minus ca răspuns.

Următoarea notație numerică este valabilă pentru enunțul: -а*z = - (|а|*|z|). De asemenea, reamintim că pentru zero se aplică reguli speciale - dacă orice număr, pozitiv sau negativ, este înmulțit cu acesta, răspunsul va fi în orice caz egal cu zero.

Să luăm câteva exemple simple.

• Dacă expresia arată ca – 5*6, atunci trebuie să o rezolvi după cum urmează: -5*6 = - (|5|*|6|) = - 30.
• Dacă o expresie de următorul tip este - 7*0, atunci se scrie imediat 0 în răspuns.

Împărțirea numerelor cu semne diferite

Pentru astfel de cazuri, se aplică și o regulă foarte simplă. Este similar cu cel precedent - dacă sarcina necesită împărțirea „-a” la „b” sau „a” la „-b”, atunci luăm mai întâi modulele numerelor, valorile lor absolute și efectuăm procesul de împărțire. fără nicio permutare a dividendului și a divizorului .

Astfel, se găsește coeficientul - și apoi i se adaugă un semn minus. Nu contează dacă un număr negativ acționează ca un dividend sau invers, împărțim un număr cu semnul plus la unul negativ - răspunsul va fi întotdeauna cu semnul minus. Cu alte cuvinte, folosind metoda numerică, o scriem astfel: -a: b = - (|a| : |b|).

De exemplu, - 10: 2 = - (10:2) = - 5, sau 21: (-3) = - (21:3) = - 7. În final, împărțirea nu este deloc complicată și scade la acțiunile noastre obișnuite asupra numerelor de module.

Și la fel ca în cazul precedent, zero este într-o poziție specială. Prezența lui în expresie dă automat zero în răspuns. Și nu contează dacă este 0:a sau a:0 - atât o încercare de împărțire la zero, cât și o împărțire la zero dau același rezultat.

§ 1 Înmulțirea numerelor pozitive și negative

În această lecție, ne vom familiariza cu regulile de înmulțire și împărțire a numerelor pozitive și negative.

Se știe că orice produs poate fi reprezentat ca o sumă de termeni identici.

Termenul -1 trebuie adăugat de 6 ori:

(-1)+(-1)+(-1) +(-1) +(-1) + (-1) =-6

Deci produsul dintre -1 și 6 este -6.

Numerele 6 și -6 sunt numere opuse.

Astfel, putem concluziona:

Când înmulțiți -1 cu un număr natural, obțineți numărul său opus.

Pentru numerele negative, precum și pentru cele pozitive, legea comutativă a înmulțirii este îndeplinită:

Dacă un număr natural este înmulțit cu -1, atunci se va obține și numărul opus.

Înmulțirea oricărui număr nenegativ cu 1 are ca rezultat același număr.

De exemplu:

Pentru numerele negative este adevărată și această afirmație: -5 ∙1 = -5; -2 ∙ 1 = -2.

Înmulțirea oricărui număr cu 1 are ca rezultat același număr.

Am văzut deja că atunci când minus 1 este înmulțit cu un număr natural, se va obține numărul opus. Atunci când înmulțim un număr negativ, această afirmație este de asemenea adevărată.

De exemplu: (-1) ∙ (-4) = 4.

De asemenea, -1 ∙ 0 = 0, numărul 0 este opusul său.

Când înmulțiți orice număr cu minus 1, obțineți numărul său opus.

Să trecem la alte cazuri de înmulțire. Să găsim produsul numerelor -3 și 7.

Factorul negativ -3 poate fi înlocuit cu produsul dintre -1 și 3. Apoi se poate aplica legea înmulțirii asociative:

1 ∙ 21 = -21, adică. produsul dintre minus 3 și 7 este minus 21.

La înmulțirea a două numere cu semne diferite, se obține un număr negativ, al cărui modul este egal cu produsul modulelor factorilor.

Care este produsul numerelor cu același semn?

Știm că atunci când înmulți două numere pozitive, obții un număr pozitiv. Aflați produsul a două numere negative.

Să înlocuim unul dintre factori cu un produs cu un factor minus 1.

Aplicăm regula pe care am derivat-o, la înmulțirea a două numere cu semne diferite, se obține un număr negativ, al cărui modul este egal cu produsul modulelor factorilor,

obține -80.

Să formulăm regula:

La înmulțirea a două numere cu aceleași semne, se obține un număr pozitiv, al cărui modul este egal cu produsul modulelor factorilor.

§ 2 Împărțirea numerelor pozitive și negative

Să trecem la împărțire.

Prin selecție găsim rădăcinile următoarelor ecuații:

y ∙ (-2) = 10. 5 ∙ 2 = 10, deci x = 5; 5 ∙ (-2) = -10, deci a = 5; -5 ∙ (-2) = 10, deci y = -5.

Să notăm soluțiile ecuațiilor. În fiecare ecuație, factorul este necunoscut. Găsim factorul necunoscut împărțind produsul la factorul cunoscut, am selectat deja valorile factorilor necunoscuti.

Să analizăm.

La împărțirea numerelor cu aceleași semne (și acestea sunt prima și a doua ecuație), se obține un număr pozitiv, al cărui modul este egal cu câtul dintre modulele dividendului și divizorului.

La împărțirea numerelor cu semne diferite (aceasta este a treia ecuație), se obține un număr negativ, al cărui modul este egal cu câtul dintre modulele dividendului și divizorului. Acestea. la împărțirea numerelor pozitive și negative, semnul coeficientului este determinat de aceleași reguli ca și semnul produsului. Și modulul coeficientului este egal cu coeficientul modulului dividendului și divizorului.

Astfel, am formulat regulile de înmulțire și împărțire a numerelor pozitive și negative.

Lista literaturii folosite:

1. Matematica. Clasa a VI-a: planuri de lecții pentru manualul de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilator L.A. Topilin. – Mnemosyne, 2009.
2. Matematica. Clasa a VI-a: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru elevii instituțiilor de învățământ./N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhohov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwarzburd. - M.: Mnemosyne, 2013.
4. Manual de matematică - http://lyudmilanik.com.ua
5. Manual pentru elevii din școala secundară http://shkolo.ru

Acum să ne ocupăm de înmulțirea și împărțirea.

Să presupunem că trebuie să înmulțim +3 cu -4. Cum să o facă?

Să luăm în considerare un astfel de caz. Trei oameni s-au îndatorat și fiecare are 4 dolari în datorii. Care este datoria totală? Pentru a-l găsi, trebuie să adunați toate cele trei datorii: 4 USD + 4 USD + 4 USD = 12 USD. Am decis că adăugarea a trei numere 4 se notează ca 3 × 4. Întrucât în ​​acest caz vorbim de datorii, în fața lui 4 există un semn „-”. Știm că datoria totală este de 12 USD, așa că acum problema noastră este 3x(-4)=-12.

Același rezultat îl vom obține dacă, după starea problemei, fiecare dintre cele patru persoane are o datorie de 3 dolari. Cu alte cuvinte, (+4)x(-3)=-12. Și din moment ce ordinea factorilor nu contează, obținem (-4)x(+3)=-12 și (+4)x(-3)=-12.

Să rezumam rezultatele. Când înmulțiți un număr pozitiv și unul negativ, rezultatul va fi întotdeauna un număr negativ. Valoarea numerică a răspunsului va fi aceeași ca și în cazul numerelor pozitive. Produs (+4)x(+3)=+12. Prezența semnului „-” afectează doar semnul, dar nu afectează valoarea numerică.

Cum se înmulțesc două numere negative?

Din păcate, este foarte dificil să vină cu un exemplu potrivit din viață pe această temă. Este ușor să-ți imaginezi 3 sau 4 dolari cu datorii, dar este complet imposibil să-ți imaginezi -4 sau -3 persoane care se îndatorează.

Poate că vom merge pe altă cale. În înmulțire, schimbarea semnului unuia dintre factori modifică semnul produsului. Dacă schimbăm semnele ambilor factori, trebuie să schimbăm semnele de două ori semnul produsului, mai întâi de la pozitiv la negativ, iar apoi invers, de la negativ la pozitiv, adică produsul va avea semnul inițial.

Prin urmare, este destul de logic, deși puțin ciudat, că (-3)x(-4)=+12.

Poziția semnului atunci când este înmulțit, se schimbă astfel:

• număr pozitiv x număr pozitiv = număr pozitiv;
• număr negativ x număr pozitiv = număr negativ;
• număr pozitiv x număr negativ = număr negativ;
• număr negativ x număr negativ = număr pozitiv.

Cu alte cuvinte, înmulțind două numere cu același semn, obținem un număr pozitiv. Înmulțind două numere cu semne diferite, obținem un număr negativ.

Aceeași regulă este valabilă pentru acțiunea opusă înmulțirii - pentru.

Puteți verifica cu ușurință acest lucru rulând operații de înmulțire inversă. Dacă în fiecare dintre exemplele de mai sus înmulțiți câtul cu divizorul, obțineți dividendul și asigurați-vă că are același semn, cum ar fi (-3)x(-4)=(+12).

De când vine iarna, este timpul să te gândești la ce să-ți schimbi calul de fier, pentru a nu aluneca pe gheață și a te simți încrezător pe drumurile de iarnă. Puteți, de exemplu, să luați anvelope Yokohama pe site-ul: mvo.ru sau altele, principalul lucru este că ar fi de înaltă calitate, puteți găsi mai multe informații și prețuri pe site-ul Mvo.ru.

Sarcina 1. Un punct se deplasează în linie dreaptă de la stânga la dreapta cu o viteză de 4 dm. pe secundă și în prezent trece prin punctul A. Unde va fi punctul de mișcare după 5 secunde?

Este ușor de înțeles că punctul va fi la 20 dm. în dreapta lui A. Să scriem rezolvarea acestei probleme în numere relative. Pentru a face acest lucru, suntem de acord cu următoarele semne:

1) viteza spre dreapta va fi notată cu semnul +, iar spre stânga cu semnul -, 2) distanța punctului de mișcare de la A la dreapta va fi notată cu semnul + și la stânga cu semnul -, 3) intervalul de timp după momentul prezent prin semnul + și până la momentul prezent prin semnul -. În problema noastră, sunt date următoarele numere: viteza = + 4 dm. pe secundă, timp \u003d + 5 secunde și s-a dovedit, așa cum au dat seama aritmetic, numărul + 20 dm., Exprimând distanța punctului de mișcare de la A după 5 secunde. După înțelesul problemei, vedem că se referă la înmulțire. Prin urmare, este convenabil să scrieți soluția problemei:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Sarcina 2. Un punct se deplasează în linie dreaptă de la stânga la dreapta cu o viteză de 4 dm. pe secundă și în prezent trece prin punctul A. Unde era acest punct acum 5 secunde?

Răspunsul este clar: punctul era în stânga lui A la o distanță de 20 dm.

Soluția este convenabilă, conform condițiilor referitoare la semne și, ținând cont de faptul că sensul problemei nu s-a schimbat, notați-o după cum urmează:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Sarcina 3. Un punct se deplasează în linie dreaptă de la dreapta la stânga cu o viteză de 4 dm. pe secundă și în prezent trece prin punctul A. Unde va fi punctul de mișcare după 5 secunde?

Răspunsul este clar: 20 dm. la stânga lui A. Prin urmare, în aceleași condiții de semn, putem scrie soluția acestei probleme după cum urmează:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Sarcina 4. Un punct se deplasează în linie dreaptă de la dreapta la stânga cu o viteză de 4 dm. pe secundă și trece în prezent prin punctul A. Unde era punctul în mișcare acum 5 secunde?

Raspunsul este clar: la o distanta de 20 dm. în dreapta lui A. Prin urmare, soluția acestei probleme ar trebui scrisă după cum urmează:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Problemele luate în considerare indică modul de extindere a acțiunii înmulțirii la numere relative. Avem în probleme 4 cazuri de înmulțire a numerelor cu toate combinațiile posibile de semne:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

În toate cele patru cazuri, valorile absolute ale acestor numere trebuie înmulțite, produsul trebuie să pună semnul + când factorii au aceleași semne (cazul 1 și 4) și semn -, când factorii au semne diferite(cazurile 2 și 3).

De aici vedem că produsul nu se modifică din permutarea multiplicandului și a multiplicatorului.

Exerciții.

Să facem un exemplu de calcul, care include atât adunarea, cât și scăderea și înmulțirea.

Pentru a nu confunda ordinea acțiunilor, acordați atenție formulei

Aici se scrie suma produselor a două perechi de numere: prin urmare, mai întâi se înmulțește numărul a cu numărul b, apoi se înmulțește numărul c cu numărul d și apoi se adună produsele rezultate. Tot in formula

trebuie mai întâi să înmulțiți numărul b cu c și apoi să scădeți produsul rezultat din a.

Dacă doriți să adăugați produsul numerelor a și b la c și să înmulțiți suma rezultată cu d, atunci ar trebui să scrieți: (ab + c)d (comparați cu formula ab + cd).

Dacă ar fi necesar să înmulțim diferența numerelor a și b cu c, atunci am scrie (a - b)c (comparați cu formula a - bc).

Prin urmare, stabilim în general că dacă ordinea acțiunilor nu este indicată prin paranteze, atunci trebuie să facem mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea sau scăderea.

Procedăm la calculul expresiei noastre: să efectuăm mai întâi adăugările scrise în toate parantezele mici, obținem:

Acum trebuie să facem înmulțirea dintre paranteze pătrate și apoi să scădem produsul rezultat din:

Acum să efectuăm acțiunile din parantezele răsucite: mai întâi înmulțirea și apoi scăderea:

Acum rămâne de efectuat înmulțirea și scăderea:

16. Produsul mai multor factori. Să fie necesar să se găsească

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Aici este necesar să se înmulțească primul număr cu al doilea, produsul rezultat cu al 3-lea și așa mai departe. Nu este dificil să se stabilească pe baza celui precedent că valorile absolute ale tuturor numerelor trebuie să fie multiplicate între ei.

Dacă toți factorii au fost pozitivi, atunci pe baza celui precedent constatăm că produsul trebuie să aibă și semnul +. Dacă vreun factor ar fi negativ

de ex., (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

atunci produsul tuturor factorilor care îi preced ar da semnul + (în exemplul nostru, (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, din înmulțirea produsului rezultat cu un număr negativ (în exemplul nostru , +24 ori -1) ar obține semnul noului produs -; înmulțindu-l cu următorul factor pozitiv (în exemplul nostru -24 cu +5), obținem din nou un număr negativ; deoarece se presupune că toți ceilalți factori sunt pozitiv, semnul produsului nu se mai poate schimba.

Dacă ar exista doi factori negativi, atunci, argumentând ca mai sus, ar constata că la început, până la atingerea primului factor negativ, produsul ar fi pozitiv, de la înmulțirea lui cu primul factor negativ, noul produs s-ar dovedi fi negativ și așa ar fi și a rămas până ajungem la al doilea factor negativ; apoi, din înmulțirea unui număr negativ cu unul negativ, noul produs s-ar dovedi pozitiv, ceea ce va rămâne așa și în viitor, dacă ceilalți factori sunt pozitivi.

Dacă ar exista și un al treilea factor negativ, atunci produsul pozitiv obținut prin înmulțirea lui cu acest al treilea factor negativ ar deveni negativ; ar rămâne așa dacă ceilalți factori ar fi toți pozitivi. Dar dacă există și un al patrulea factor negativ, atunci înmulțirea cu acesta va face ca produsul să fie pozitiv. Argumentând în același mod, constatăm că, în general:

Pentru a afla semnul produsului mai multor factori, trebuie să vă uitați la câți dintre acești factori sunt negativi: dacă nu există deloc sau dacă există un număr par, atunci produsul este pozitiv: dacă există un număr impar de factori negativi, atunci produsul este negativ.

Deci acum putem afla cu ușurință asta

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Acum este ușor de observat că semnul produsului, precum și valoarea lui absolută, nu depind de ordinea factorilor.

Este convenabil, atunci când avem de-a face cu numere fracționale, să găsim produsul imediat:

Acest lucru este convenabil deoarece nu trebuie să faceți înmulțiri inutile, deoarece expresia fracțională obținută anterior este redusă cât mai mult posibil.

Acest articol oferă o prezentare detaliată împărțirea numerelor cu semne diferite. În primul rând, este dată regula de împărțire a numerelor cu semne diferite. Mai jos sunt exemple de împărțire a numerelor pozitive la negative și a numerelor negative la pozitive.

Navigare în pagină.

Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite

La articolul împărțirea numerelor întregi s-a obținut regula împărțirii numerelor întregi cu semne diferite. Poate fi extins atât la numere raționale, cât și la numere reale prin repetarea tuturor argumentelor din articolul specificat.

Asa de, regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite are următoarea formulă: pentru a împărți un număr pozitiv la un negativ sau un număr negativ la unul pozitiv, este necesar să se împartă dividendul la modulul divizorului și să se pună semnul minus în fața numărului rezultat.

Scriem această regulă de împărțire folosind litere. Dacă numerele a și b au semne diferite, atunci formula este valabilă a:b=−|a|:|b| .

Din regula exprimată, este clar că rezultatul împărțirii numerelor cu semne diferite este un număr negativ. Într-adevăr, deoarece modulul dividendului și modulul divizorului sunt mai pozitive decât numărul, atunci câtul lor este un număr pozitiv, iar semnul minus face ca acest număr să fie negativ.

Rețineți că regula luată în considerare reduce împărțirea numerelor cu semne diferite la împărțirea numerelor pozitive.

Puteți da o altă formulare a regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite: pentru a împărți numărul a la numărul b, trebuie să înmulțiți numărul a cu numărul b −1, reciproca numărului b. Acesta este, a:b=a b −1 .

Această regulă poate fi folosită atunci când este posibil să se depășească mulțimea de numere întregi (din moment ce nu fiecare număr întreg are un invers). Cu alte cuvinte, este aplicabil atât pe mulțimea numerelor raționale cât și pe mulțimea numerelor reale.

Este clar că această regulă de împărțire a numerelor cu semne diferite vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire.

Aceeași regulă este folosită la împărțirea numerelor negative.

Rămâne de luat în considerare modul în care se aplică această regulă de împărțire a numerelor cu semne diferite în rezolvarea exemplelor.

Exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite

Să luăm în considerare soluții cu mai multe caracteristici exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite să înțeleagă principiul aplicării regulilor din paragraful precedent.

Exemplu.

Împărțiți numărul negativ −35 la numărul pozitiv 7 .

Soluţie.

Regula de împărțire a numerelor cu semne diferite prescrie mai întâi găsirea modulelor dividendului și divizorului. Modulul lui -35 este 35 și modulul lui 7 este 7. Acum trebuie să împărțim modulul dividendului la modulul divizorului, adică trebuie să împărțim 35 la 7. Amintindu-ne cum se face împărțirea numerelor naturale, obținem 35:7=5. Ultimul pas al regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite rămâne - pune un minus în fața numărului rezultat, avem -5.

Iata intreaga solutie: .

Se poate proceda dintr-o formulare diferită a regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite. În acest caz, găsim mai întâi numărul care este reciproca divizorului 7. Acest număr este fracția comună 1/7. În acest fel, . Rămâne de efectuat înmulțirea numerelor cu semne diferite: . Evident, am ajuns la același rezultat.

Răspuns:

(−35):7=−5 .

Exemplu.

Calculați câtul 8:(−60) .

Soluţie.

După regula împărțirii numerelor cu semne diferite, avem 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Expresia rezultată corespunde unei fracții obișnuite negative (vedeți semnul diviziunii ca o bară de fracție), puteți reduce fracția cu 4, obținem .

Notăm pe scurt întreaga soluție: .

Răspuns:

.

La împărțirea numerelor raționale fracționale cu semne diferite, dividendul și divizorul lor sunt de obicei reprezentate ca fracții obișnuite. Acest lucru se datorează faptului că nu este întotdeauna convenabil să efectuați împărțirea cu numere într-o notație diferită (de exemplu, în zecimală).

Exemplu.

Soluţie.

Modulul dividendului este , iar modulul divizorului este 0,(23) . Pentru a împărți modulul dividendului la modulul divizorului, să trecem la fracțiile obișnuite.

Să traducem un număr mixt într-o fracție obișnuită: , precum și