Despre aplicarea teoremei lui Vieta în rezolvarea ecuațiilor pătratice. teorema lui Vieta

Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) ne permite să reducem timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații patratice folosind teorema lui Vieta? Este ușor dacă te gândești puțin.

Acum vom vorbi doar despre soluția ecuației pătratice reduse folosind teorema Vieta.Ecuația pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul în fața lui x², este egal cu unu. Ecuațiile pătratice care nu sunt date pot fi rezolvate și folosind teorema Vieta, dar deja cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.

Teorema inversă la teorema lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât

atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice

Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți cursul raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.

I. Dacă q este un număr pozitiv,

asta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (pentru că numai la înmulțirea numerelor cu aceleași semne se obține un număr pozitiv).

In absenta. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (au adăugat numere de același semn, au primit un număr negativ).

II. Dacă q este un număr negativ,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1 + x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, atunci când adunăm numere cu semne diferite, le scădem pe cel mai mic din modul mai mare). Prin urmare, x1 + x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mult decât cealaltă (modulo).

II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.

Luați în considerare soluția ecuațiilor pătratice conform teoremei lui Vieta folosind exemple.

Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:

Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Prin urmare, 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.

În acest exemplu, q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Orice ecuație pătratică completă ax2 + bx + c = 0 poate fi adus în minte x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, dacă mai întâi împărțim fiecare termen la coeficientul a înainte x2. Și dacă introducem o nouă notație (b/a) = pși (c/a) = q, atunci vom avea ecuația x 2 + px + q = 0, care în matematică se numește ecuație pătratică redusă.

Rădăcinile ecuației pătratice reduse și coeficienții pși q interconectate. Este confirmat teorema lui Vieta, numit după matematicianul francez Francois Vieta, care a trăit la sfârșitul secolului al XVI-lea.

Teorema. Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0 egal cu al doilea coeficient p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor - la termenul liber q.

Scriem aceste rapoarte în următoarea formă:

Lăsa x 1și x2 diverse rădăcini ale ecuației reduse x 2 + px + q = 0. Conform teoremei lui Vieta x1 + x2 = -pși x 1 x 2 = q.

Pentru a demonstra acest lucru, să substituim fiecare dintre rădăcinile x 1 și x 2 în ecuație. Obținem două egalități adevărate:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Scădeți a doua din prima egalitate. Primim:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Extindem primii doi termeni conform formulei diferenței pătratelor:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

După condiție, rădăcinile x 1 și x 2 sunt diferite. Prin urmare, putem reduce egalitatea cu (x 1 - x 2) ≠ 0 și exprimăm p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Prima egalitate este dovedită.

Pentru a demonstra a doua egalitate, înlocuim în prima ecuație

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 în loc de coeficientul p, numărul său egal este (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Transformând partea stângă a ecuației, obținem:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, care urma să fie demonstrat.

Teorema lui Vieta este bună pentru că, chiar și fără a cunoaște rădăcinile ecuației pătratice, putem calcula suma și produsul acestora .

Teorema lui Vieta ajută la determinarea rădăcinilor întregi ale ecuației pătratice date. Dar pentru mulți elevi, acest lucru provoacă dificultăți din cauza faptului că nu cunosc un algoritm clar de acțiune, mai ales dacă rădăcinile ecuației au semne diferite.

Deci, ecuația pătratică dată are forma x 2 + px + q \u003d 0, unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile sale. Conform teoremei Vieta x 1 + x 2 = -p și x 1 x 2 = q.

Putem trage următoarea concluzie.

Dacă în ecuație ultimul termen este precedat de semnul minus, atunci rădăcinile x 1 și x 2 au semne diferite. În plus, semnul rădăcinii mai mici este același cu semnul celui de-al doilea coeficient din ecuație.

Pe baza faptului că atunci când adăugați numere cu semne diferite, modulele acestora sunt scăzute și semnul numărului mai mare din modul este plasat în fața rezultatului, ar trebui să procedați după cum urmează:

1. determinați astfel de factori ai numărului q astfel încât diferența lor să fie egală cu numărul p;
2. pune semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației în fața celui mai mic dintre numerele obținute; a doua rădăcină va avea semnul opus.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația x 2 - 2x - 15 = 0.

Soluţie.

Să încercăm să rezolvăm această ecuație folosind regulile propuse mai sus. Atunci putem spune cu siguranță că această ecuație va avea două rădăcini diferite, deoarece D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. Acestea vor fi numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața numărului mai mic. , adică semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației. Astfel, obținem rădăcinile ecuației x 1 \u003d -3 și x 2 \u003d 5.

Răspuns. x 1 = -3 și x 2 = 5.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația x 2 + 5x - 6 = 0.

Soluţie.

Să verificăm dacă această ecuație are rădăcini. Pentru a face acest lucru, găsim discriminantul:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ecuația are două rădăcini diferite.

Factorii posibili ai numărului 6 sunt 2 și 3, 6 și 1. Diferența este 5 pentru o pereche de 6 și 1. În acest exemplu, coeficientul celui de-al doilea termen are semnul plus, deci numărul mai mic va avea acelasi semn. Dar înainte de al doilea număr va apărea un semn minus.

Răspuns: x 1 = -6 și x 2 = 1.

Teorema lui Vieta poate fi scrisă și pentru o ecuație pătratică completă. Deci dacă ecuația pătratică ax2 + bx + c = 0 are rădăcini x 1 și x 2 , atunci ele satisfac egalitățile

x 1 + x 2 = -(b/a)și x 1 x 2 = (c/a). Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme în ecuația pătratică completă este destul de problematică, deoarece dacă există rădăcini, cel puțin una dintre ele este un număr fracționar. Și lucrul cu selecția fracțiilor este destul de dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Se consideră ecuația pătratică completă ax 2 + bx + c = 0. Înmulțiți laturile sale stânga și dreapta cu coeficientul a. Ecuația va lua forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Acum să introducem o nouă variabilă, de exemplu t = ax.

În acest caz, ecuația rezultată se va transforma într-o ecuație pătratică redusă de forma t 2 + bt + ac = 0, ale cărei rădăcini t 1 și t 2 (dacă există) pot fi determinate de teorema Vieta.

În acest caz, rădăcinile ecuației pătratice originale vor fi

x 1 = (t 1 / a) și x 2 = (t 2 / a).

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Soluţie.

Facem o ecuație auxiliară. Să înmulțim fiecare termen al ecuației cu 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Facem schimbarea t = 15x. Avem:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Conform teoremei Vieta, rădăcinile acestei ecuații vor fi t 1 = 5 și t 2 = 6.

Revenim la înlocuirea t = 15x:

5 = 15x sau 6 = 15x. Astfel x 1 = 5/15 și x 2 = 6/15. Reducem și obținem răspunsul final: x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Răspuns. x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Pentru a stăpâni soluția ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta, elevii trebuie să exerseze cât mai mult posibil. Acesta este tocmai secretul succesului.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

2.5 Formula Vieta pentru polinoame (ecuații) de grade superioare

Formulele derivate de Vieta pentru ecuațiile pătratice sunt valabile și pentru polinoamele de grade superioare.

Fie polinomul

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Are n rădăcini distincte x 1 , x 2 …, x n .

În acest caz, are o factorizare de forma:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu a 0 ≠ 0 și să extindem parantezele din prima parte. Obținem egalitatea:

x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Dar două polinoame sunt identic egale dacă și numai dacă coeficienții la aceleași puteri sunt egali. De aici rezultă că egalitatea

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

De exemplu, pentru polinoamele de gradul trei

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Avem identități

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

În ceea ce privește ecuațiile pătratice, această formulă se numește formulele Vieta. Părțile din stânga acestor formule sunt polinoame simetrice din rădăcinile x 1 , x 2 ..., x n ale ecuației date, iar părțile din dreapta sunt exprimate în termeni de coeficientul polinomului.

2.6 Ecuații reductibile la pătrate (biquadratice)

Ecuațiile de gradul al patrulea sunt reduse la ecuații pătratice:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

numită biquadratic, în plus, a ≠ 0.

Este suficient să puneți x 2 \u003d y în această ecuație, prin urmare,

ay² + prin + c = 0

găsiți rădăcinile ecuației pătratice rezultate

y 1,2 =

Pentru a găsi imediat rădăcinile x 1, x 2, x 3, x 4, înlocuiți y cu x și obțineți

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Dacă ecuația de gradul al patrulea are x 1, atunci are și o rădăcină x 2 \u003d -x 1,

Dacă are x 3, atunci x 4 \u003d - x 3. Suma rădăcinilor unei astfel de ecuații este zero.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Înlocuim ecuația în formula pentru rădăcinile ecuațiilor biquadratice:

x 1,2,3,4 = ,

știind că x 1 \u003d -x 2 și x 3 \u003d -x 4, atunci:

x 3,4 =

Răspuns: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =

2.7 Studiul ecuațiilor biquadratice

Să luăm ecuația biquadratică

ax 4 + bx 2 + c = 0,

unde a, b, c sunt numere reale și a > 0. Prin introducerea unei necunoscute auxiliare y = x², examinăm rădăcinile acestei ecuații și introducem rezultatele într-un tabel (vezi Anexa nr. 1)

2.8 Formula Cardano

Dacă folosim simbolismul modern, atunci derivarea formulei Cardano poate arăta astfel:

x =

Această formulă determină rădăcinile ecuației generale de gradul al treilea:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Această formulă este foarte greoaie și complexă (conține mai mulți radicali complecși). Nu se aplică întotdeauna, pentru că. foarte greu de completat.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Enumerați sau alegeți dintre 2-3 texte cele mai interesante locuri. Astfel, am avut în vedere prevederile generale pentru crearea și desfășurarea cursurilor opționale, care vor fi luate în considerare la elaborarea unui curs opțional de algebră pentru clasa a 9-a „Ecuații cuadriculare și inegalități cu parametru”. Capitolul II. Metodologia de desfășurare a unui curs opțional „Ecuații și inegalități cuadratice cu un parametru” 1.1. General...

Rezolvari din metode de calcul numeric. Pentru a determina rădăcinile ecuației, nu este necesară cunoașterea teoriilor lui Abel, Galois, grupele Lie etc. și utilizarea unei terminologii matematice speciale: inele, câmpuri, idealuri, izomorfisme etc. Pentru a rezolva o ecuație algebrică de gradul al n-lea, aveți nevoie doar de capacitatea de a rezolva ecuații pătratice și de a extrage rădăcini dintr-un număr complex. Rădăcinile pot fi determinate cu...

Cu unități de măsură ale mărimilor fizice în sistemul MathCAD? 11. Descrieți în detaliu blocurile text, grafice și matematice. Cursul numărul 2. Probleme de algebră liniară și rezolvarea ecuațiilor diferențiale în mediul MathCAD În problemele de algebră liniară, aproape întotdeauna devine necesară efectuarea diferitelor operații cu matrice. Panoul operator matrice este situat pe panoul Math. ...

Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta pentru ecuații patratice. Teorema inversă Vieta. Teorema lui Vieta pentru ecuații cubice și ecuații de ordin arbitrar.

Vezi si: Rădăcinile unei ecuații pătratice

Ecuații cuadratice

teorema lui Vieta

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1) .
Atunci suma rădăcinilor este egală cu coeficientul la luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.

O notă despre mai multe rădăcini

Dacă discriminantul ecuației (1) este zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.

Dovada unu

Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
;
;
.

Aflarea sumei rădăcinilor:
.

Pentru a găsi produsul, aplicăm formula:
.
Apoi

.

Teorema a fost demonstrată.

Dovada a doua

Dacă numerele și sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschidem parantezele.

.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema inversă Vieta

Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2) ;
(3) .

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Luați în considerare ecuația pătratică
(1) .
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).

Înlocuiți (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4) .

Înlocuitor în (4):
;
.

Înlocuitor în (4):
;
.
Ecuația este îndeplinită. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).

Teorema a fost demonstrată.

Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică completă

Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5) ,
unde , și sunt câteva numere. Și .

Împărțim ecuația (5) la:
.
Adică am obținut ecuația de mai sus
,
Unde ; .

Atunci teorema Vieta pentru ecuația pătratică completă are următoarea formă.

Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație cubică

În mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6) ,
unde , , , sunt unele numere. Și .
Să împărțim această ecuație la:
(7) ,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi

.

Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea

În același mod, puteți găsi legături între rădăcinile , , ... , , pentru ecuația de gradul al n-lea
.

Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea are următoarea formă:
;
;
;

.

Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația sub următoarea formă:
.
Apoi echivalăm coeficienții la , , , ... , și comparăm termenul liber.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: un manual pentru clasa a VIII-a a instituțiilor de învățământ, Moscova, Educație, 2006.

În această prelegere, ne vom familiariza cu relațiile curioase dintre rădăcinile unei ecuații pătratice și coeficienții ei. Aceste relații au fost descoperite pentru prima dată de matematicianul francez Francois Viet (1540-1603).

De exemplu, pentru ecuația Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, fără a-i găsi rădăcinile, puteți, folosind teorema Vieta, să spuneți imediat că suma rădăcinilor este , iar produsul rădăcinilor este
adică - 2. Și pentru ecuația x 2 - 6x + 8 \u003d 0 concluzionăm: suma rădăcinilor este 6, produsul rădăcinilor este 8; apropo, nu este greu de ghicit cu ce sunt egale rădăcinile: 4 și 2.
Dovada teoremei lui Vieta. Rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice ax 2 + bx + c \u003d 0 se găsesc prin formule

Unde D \u003d b 2 - 4ac este discriminantul ecuației. Așezând aceste rădăcini
primim

Acum calculăm produsul rădăcinilor x 1 și x 2 Avem

Se demonstrează a doua relație:
Cometariu. Teorema lui Vieta este valabilă și în cazul în care ecuația pătratică are o rădăcină (adică când D \u003d 0), doar că în acest caz se consideră că ecuația are două rădăcini identice, cărora li se aplică relațiile de mai sus.
Relațiile dovedite pentru ecuația pătratică redusă x 2 + px + q \u003d 0 iau o formă deosebit de simplă. În acest caz, obținem:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
acestea. suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.
Folosind teorema lui Vieta, se pot obține și alte relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Fie, de exemplu, x 1 și x 2 rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0. Atunci

Totuși, scopul principal al teoremei lui Vieta nu este că ea exprimă anumite relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Mult mai important este faptul că cu ajutorul teoremei lui Vieta se derivă o formulă de factorizare a unui trinom pătrat, fără de care nu ne vom descurca în viitor.

Dovada. Avem

Exemplul 1. Factorizează trinomul pătrat 3x 2 - 10x + 3.
Soluţie. După ce am rezolvat ecuația Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, găsim rădăcinile trinomului pătrat Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Folosind teorema 2, obținem

În schimb, are sens să scriem Zx - 1. Apoi obținem în sfârșit Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Rețineți că trinomul pătrat dat poate fi factorizat fără a utiliza teorema 2, folosind metoda de grupare:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Dar, după cum puteți vedea, cu această metodă succesul depinde dacă putem găsi o grupare reușită sau nu, în timp ce cu prima metodă succesul este garantat.
Exemplul 1. Reduceți fracția

Soluţie. Din ecuația 2x 2 + 5x + 2 = 0 găsim x 1 = - 2,

Din ecuația x2 - 4x - 12 = 0 găsim x 1 = 6, x 2 = -2. De aceea
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Acum să reducem fracția dată:

Exemplul 3. Factorizați expresiile:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rezolvare.a) Introducem o noua variabila y = x 2 . Acest lucru ne va permite să rescriem expresia dată sub forma unui trinom pătrat în raport cu variabila y, și anume, sub forma y 2 + by + 6.
După ce am rezolvat ecuația y 2 + bу + 6 \u003d 0, găsim rădăcinile trinomului pătrat y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Acum folosim teorema 2; primim

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Rămâne să ne amintim că y \u003d x 2, adică reveniți la expresia dată. Asa de,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Să introducem o nouă variabilă y = . Acest lucru vă va permite să rescrieți expresia dată sub forma unui trinom pătrat față de variabila y, și anume, în forma 2y 2 + y - 3. După ce am rezolvat ecuația
2y 2 + y - 3 \u003d 0, găsim rădăcinile trinomului pătrat 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . În plus, folosind teorema 2, obținem:

Rămâne să ne amintim că y \u003d, adică reveniți la expresia dată. Asa de,

Secțiunea se încheie cu câteva considerații, din nou legate de teorema Vieta, sau mai degrabă, de afirmația inversă:
dacă numerele x 1, x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației
Folosind această afirmație, puteți rezolva multe ecuații pătratice pe cale orală, fără a utiliza formule greoaie ale rădăcinilor și, de asemenea, puteți compune ecuații pătratice cu rădăcini date. Să dăm exemple.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Aici x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Este ușor de ghicit că x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Aici x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Este ușor de ghicit că x 1 = -5, x 2 = -6.
Vă rugăm să rețineți: dacă termenul liber al ecuației este un număr pozitiv, atunci ambele rădăcini sunt fie pozitive, fie negative; acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.

3) x 2 + x - 12 = 0. Aici x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Este ușor de ghicit că x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Vă rugăm să rețineți: dacă termenul liber al ecuației este un număr negativ, atunci rădăcinile sunt diferite ca semn; acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Este ușor de observat că x = 1 satisface ecuația, adică. x 1 \u003d 1 - rădăcina ecuației. Deoarece x 1 x 2 \u003d - și x 1 \u003d 1, obținem acel x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Aici x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Dacă acordați atenție faptului că 2830 = 283. 10 și 293 \u003d 283 + 10, atunci devine clar că x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (acum imaginați-vă ce calcule ar trebui efectuate pentru a rezolva această ecuație pătratică folosind formule standard).

6) Să compunem o ecuație pătratică, astfel încât numerele x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 să servească drept rădăcini. De obicei, în astfel de cazuri, ele alcătuiesc ecuația pătratică redusă x 2 + px + q \u003d 0.
Avem x 1 + x 2 \u003d -p, prin urmare 8 - 4 \u003d -p, adică p \u003d -4. În plus, x 1 x 2 = q, adică. 8"(-4) = q, de unde obținem q = -32. Deci, p \u003d -4, q \u003d -32, ceea ce înseamnă că ecuația pătratică dorită are forma x 2 -4x-32 \u003d 0.