Împărțirea fracțiilor improprie. Înmulțirea fracțiilor simple și mixte cu numitori diferiți

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cel mai dificil moment în acele acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai ușoare decât adunarea și scăderea. Pentru început, luați în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă distinsă.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată”.

Desemnare:

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a inversa o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, întreaga lecție o vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, o fracție redusă poate apărea (și adesea apare) - desigur, trebuie redusă. Dacă, după toate reducerile, fracția sa dovedit a fi incorectă, întreaga parte ar trebui să fie distinsă în ea. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, factori maximi și mai puțini multipli comuni.

Prin definiție avem:

Înmulțirea fracțiilor cu o parte întreagă și fracții negative

Dacă există o parte întreagă în fracții, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi înmulțite conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din limitele înmulțirii sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:

1. Plus ori minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru un produs, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe minusuri simultan:

1. Trimitem minusurile în perechi până dispar complet. Într-un caz extrem, poate supraviețui un minus - cel care nu a găsit o potrivire;
2. Dacă nu au mai rămas minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat, deoarece nu a găsit o pereche, îl scoatem din limitele înmulțirii. Obțineți o fracție negativă.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Traducem toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din afara limitelor înmulțirii. Ceea ce rămâne se înmulțește după regulile obișnuite. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care vine înaintea unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la partea sa întreagă (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când sunt înmulțite, acestea sunt cuprinse între paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operație foarte laborioasă. Numerele de aici sunt destul de mari și, pentru a simplifica sarcina, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Prin definiție avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ce a mai rămas din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. Unitățile au rămas la locul lor, ceea ce, în general, poate fi omis. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, în niciun caz nu utilizați această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Uite, uite:

Nu poți face asta!

Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună o fracție, suma apare la numărătorul unei fracții, și nu produsul numerelor. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea principală a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alt motiv pentru a reduce fracțiile, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:

Solutia corecta:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

) și numitorul după numitor (se obține numitorul produsului).

Formula de multiplicare a fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a continua cu înmulțirea numărătorilor și numitorilor, este necesar să se verifice posibilitatea reducerii fracțiilor. Dacă reușiți să reduceți fracția, atunci vă va fi mai ușor să continuați să faceți calcule.

Împărțirea unei fracții ordinare cu o fracție.

Împărțirea fracțiilor care implică un număr natural.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, transformăm un număr întreg într-o fracție cu o unitate la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• converti fracțiile mixte în improprii;
• înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor;
• reducem fracția;
• dacă obținem o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-una mixtă.

Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le aduceți sub formă de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Este mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, este necesar să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții pe mai multe niveluri.

În liceu, se găsesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, se utilizează împărțirea prin 2 puncte:

Notă! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.

Notă, De exemplu:

Când împărțiți unul cu orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționale este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să notezi câteva rânduri în plus într-o ciornă decât să te încurci în calculele din cap.

2. În sarcinile cu diferite tipuri de fracții - mergeți la tipul de fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.

4. Aducem expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțim unitatea într-o fracție în mintea noastră, pur și simplu răsturnând fracția.

Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu în întregime, ci în bucăți separate. Începutul studiului acestui subiect - share. Acțiunile sunt părți egaleîn care se împarte un obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unui produs ca un număr întreg; ar trebui să se țină seama de părți sau acțiuni ale oricărei măsuri. Format din verbul „a zdrobi” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, în secolul al VIII-lea cuvântul „fracție” însuși a apărut în rusă.

Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă secțiune a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de afișat în înțelegerea oamenilor.

Forma modernă a reziduurilor simple fracționate, dintre care părți sunt separate precis printr-o linie orizontală, a fost promovată pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Scrierile sale sunt datate 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum are loc înmulțirea fracțiilor mixte cu diferiți numitori.

Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Inițial, este necesar să se determine varietăți de fracții:

• corect;
• gresit;
• amestecat.

În continuare, trebuie să vă amintiți cum sunt înmulțite numerele fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces este ușor de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu aceiași numitori este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. . Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cei existente inițial.

La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori, regula nu se schimbă:

A/b * c/d = a*c/ b*d.

Singura diferență este că numărul format sub bara fracțională va fi produsul unor numere diferite și, desigur, nu poate fi numit pătratul unei expresii numerice.

Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplele folosesc modalități de reducere a expresiilor fracționale. Puteți reduce numai numerele numărătorului cu numerele numitorului; factorii adiacenți deasupra sau sub bara fracțională nu pot fi reduceți.

Alături de numerele fracționale simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Cum funcționează înmulțirea?

Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracționară obișnuită, puteți nota regula pentru această acțiune prin formula:

A* b/c = a*b/c.

De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Există o altă opțiune pentru a rezolva înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:

d* e/f = e/f:d.

Este util să folosiți această tehnică atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, complet.

Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă ca o fracție improprie, poate fi reprezentată și ca o formulă generală:

A bc = a*b+ c / c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea părții întregi cu numitorul și adăugarea acesteia la numărătorul restului fracțional inițial, iar numitorul rămâne același.

Acest proces funcționează și invers. Pentru a selecta partea întreagă și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul unei fracții improprie la numitorul acesteia cu un „colț”.

Înmulțirea fracțiilor improprie produsă în mod obișnuit. Când intrarea trece sub o singură linie fracțională, după cum este necesar, trebuie să reduceți fracțiile pentru a reduce numerele folosind această metodă și este mai ușor să calculați rezultatul.

Există mulți asistenți pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe în diferite variante de program. Un număr suficient de astfel de servicii își oferă ajutorul în calcularea înmulțirii fracțiilor cu numere diferite în numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrezi cu el, câmpurile corespunzătoare sunt completate pe pagina site-ului, semnul acțiunii matematice este selectat și butonul „calcula” este apăsat. Programul contează automat.

Tema operațiilor aritmetice cu numere fracționale este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de mijloc și de liceu. În liceu nu se mai iau în considerare cele mai simple specii, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule, obținută anterior, se aplică în forma sa inițială. Cunoștințele de bază bine învățate oferă încredere deplină în soluționarea cu succes a celor mai complexe sarcini.

În concluzie, are sens să cităm cuvintele lui Lev Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea omului să-și mărească numărătorul - propriile merite, dar oricine își poate micșora numitorul - opinia sa despre sine și prin această scădere se apropie de perfecțiunea lui.

Cu fracții, puteți efectua toate acțiunile, inclusiv împărțirea. Acest articol arată împărțirea fracțiilor obișnuite. Se vor da definiții, se vor lua în considerare exemple. Să ne oprim asupra împărțirii fracțiilor după numere naturale și invers. Se va lua în considerare împărțirea unei fracții obișnuite la un număr mixt.

Împărțirea fracțiilor ordinare

Împărțirea este inversul înmulțirii. La împărțire, factorul necunoscut este la produsul cunoscut și un alt factor, unde sensul său dat este păstrat cu fracții obișnuite.

Dacă este necesar să împărțiți fracția obișnuită a b la c d, atunci pentru a determina un astfel de număr, trebuie să înmulțiți cu divizorul c d, acest lucru va da în cele din urmă dividendul a b. Să obținem un număr și să-l scriem a b · d c , unde d c este reciproca lui c d număr. Egalitățile se pot scrie folosind proprietățile înmulțirii și anume: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , unde expresia a b d c este câtul împărțirii a b la c d .

De aici obținem și formulăm regula de împărțire a fracțiilor ordinare:

Definiția 1

Pentru a împărți o fracție obișnuită a b la c d, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.

Să scriem regula sub formă de expresie: a b: c d = a b d c

Regulile de împărțire se reduc la înmulțire. Pentru a rămâne la el, trebuie să fii bine versat în efectuarea înmulțirii fracțiilor obișnuite.

Să trecem la împărțirea fracțiilor obișnuite.

Exemplul 1

Efectuați împărțirea 9 7 cu 5 3 . Scrieți rezultatul ca fracție.

Decizie

Numărul 5 3 este reciproca lui 3 5 . Trebuie să utilizați regula pentru împărțirea fracțiilor obișnuite. Scriem această expresie după cum urmează: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Răspuns: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Când reduceți fracțiile, ar trebui să evidențiați întreaga parte dacă numărătorul este mai mare decât numitorul.

Exemplul 2

Împărțiți 8 15: 24 65 . Scrieți răspunsul sub formă de fracție.

Decizie

Soluția este trecerea de la împărțire la înmulțire. O scriem sub această formă: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Este necesar să faceți o reducere, iar aceasta se face după cum urmează: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Selectăm partea întreagă și obținem 13 9 = 1 4 9 .

Răspuns: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Împărțirea unei fracții extraordinare cu un număr natural

Folosim regula împărțirii unei fracții la un număr natural: pentru a împărți a b la un număr natural n, trebuie să înmulțiți doar numitorul cu n. De aici obținem expresia: a b: n = a b · n .

Regula împărțirii este o consecință a regulii înmulțirii. Prin urmare, reprezentarea unui număr natural sub formă de fracție va da o egalitate de acest tip: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Luați în considerare această împărțire a unei fracții la un număr.

Exemplul 3

Împărțiți fracția 1645 la numărul 12.

Decizie

Aplicați regula împărțirii unei fracții la un număr. Obținem o expresie ca 16 45: 12 = 16 45 12 .

Să reducem fracția. Se obține 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Răspuns: 16 45: 12 = 4 135 .

Împărțirea unui număr natural cu o fracție comună

Regula împărțirii este similară despre regula împărțirii unui număr natural la o fracție obișnuită: pentru a împărți un număr natural n la un a b obișnuit, este necesar să se înmulțească numărul n cu reciproca fracției a b .

Pe baza regulii, avem n: a b \u003d n b a, iar datorită regulii de înmulțire a unui număr natural cu o fracție obișnuită, obținem expresia noastră sub forma n: a b \u003d n b a. Este necesar să luăm în considerare această împărțire cu un exemplu.

Exemplul 4

Împărțiți 25 la 15 28 .

Decizie

Trebuie să trecem de la împărțire la înmulțire. Scriem sub forma unei expresii 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Să reducem fracția și să obținem rezultatul sub forma unei fracții 46 2 3 .

Răspuns: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Împărțirea unei fracții comune cu un număr mixt

Când împărțiți o fracție obișnuită la un număr mixt, puteți străluci cu ușurință la împărțirea fracțiilor obișnuite. Trebuie să convertiți un număr mixt într-o fracție improprie.

Exemplul 5

Împărțiți fracția 35 16 la 3 1 8 .

Decizie

Deoarece 3 1 8 este un număr mixt, să-l reprezentăm ca o fracție improprie. Atunci obținem 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Acum să împărțim fracțiile. Se obține 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Răspuns: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Împărțirea unui număr mixt se face în același mod ca și numerele obișnuite.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter