Energia cinetică a unui corp rigid rotativ. Energia cinetică a unui corp în rotație

Să începem prin a considera rotația corpului în jurul unei axe fixe, pe care o vom numi axa z (Fig. 41.1). Viteza liniară a masei elementare este unde este distanța masei față de axă. Prin urmare, pentru energia cinetică a unei mase elementare se obține expresia

Energia cinetică a unui corp este compusă din energiile cinetice ale părților sale:

Suma din partea dreaptă a acestui raport este momentul de inerție al corpului 1 în jurul axei de rotație. Astfel, energia cinetică a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este

Fie că o forță internă și o forță externă acționează asupra masei (vezi Fig. 41.1). Conform (20.5), aceste forțe vor lucra în timp

Efectuând o permutare ciclică a factorilor în produse mixte ale vectorilor (vezi (2.34)), obținem:

unde N este momentul forței interne relativ la punctul O, N este momentul analog al forței externe.

Însumând expresia (41.2) asupra tuturor maselor elementare, obținem munca elementară efectuată asupra corpului în timpul dt:

Suma momentelor forțelor interne este egală cu zero (vezi (29.12)). Prin urmare, notând momentul total al forțelor externe prin N, ajungem la expresia

(am folosit formula (2.21)).

În cele din urmă, ținând cont că există un unghi prin care corpul se rotește în timp, obținem:

Semnul lucrării depinde de semn, adică de semnul proiecției vectorului N pe direcția vectorului

Deci, atunci când corpul se rotește, forțele interne nu efectuează lucru, în timp ce munca forțelor externe este determinată de formula (41.4).

La formula (41.4) se poate ajunge folosind faptul că munca efectuată de toate forțele aplicate corpului duce la creșterea energiei cinetice a acestuia (vezi (19.11)). Luând diferența ambelor părți ale egalității (41.1), ajungem la relația

Conform ecuației (38.8) deci, înlocuind prin vom ajunge la formula (41.4).

Tabelul 41.1

În tabel. 41.1, formulele mecanicii mișcărilor de rotație sunt comparate cu formule similare ale mecanicii mișcării de translație (mecanica unui punct). Din această comparație este ușor de concluzionat că în toate cazurile rolul masei îl joacă momentul de inerție, rolul forței este momentul forței, rolul momentului este jucat de momentul impulsului etc.

Formulă. (41.1) am obținut pentru cazul când corpul se rotește în jurul unei axe fixe fixate în corp. Acum să presupunem că corpul se rotește în mod arbitrar în jurul unui punct fix care coincide cu centrul său de masă.

Să conectăm rigid sistemul de coordonate carteziene cu corpul, a cărui origine va fi plasată în centrul de masă al corpului. Viteza masei i-a elementare este Prin urmare, pentru energia cinetică a corpului, putem scrie expresia

unde este unghiul dintre vectori Înlocuind un prin și ținând cont de ceea ce obținem:

Scriem produsele scalare în termenii proiecțiilor vectorilor pe axele sistemului de coordonate asociat corpului:

În final, combinând termenii cu aceleași produse ale componentelor vitezei unghiulare și scotând acești produse din semnele sumelor, obținem: astfel încât formula (41.7) ia forma (comparați cu (41.1)). Când un corp arbitrar se rotește în jurul uneia dintre axele principale de inerție, să spunem că axele și formula (41.7) intră în (41.10.

Prin urmare. energia cinetică a unui corp în rotație este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție și pătratul vitezei unghiulare în trei cazuri: 1) pentru un corp care se rotește în jurul unei axe fixe; 2) pentru un corp care se rotește în jurul uneia dintre axele principale de inerție; 3) pentru un blat. În alte cazuri, energia cinetică este determinată de formulele mai complexe (41.5) sau (41.7).

Mecanica.

Intrebarea 1

Sistem de referință. Sisteme de referință inerțiale. Principiul relativității lui Galileo-Einstein.

sistem de referință- acesta este un set de corpuri în raport cu care sunt descrise mișcarea unui corp dat și sistemul de coordonate asociat acestuia.

Sistem de referință inerțial (ISO)- un sistem în care un corp care se mișcă liber este în repaus sau mișcare rectilinie uniformă.

Principiul relativității lui Galileo-Einstein- Toate fenomenele naturii din orice cadru inerțial de referință apar în același mod și au aceeași formă matematică. Cu alte cuvinte, toate ISO-urile sunt egale.

Intrebarea 2

Ecuația mișcării. Tipuri de mișcare ale unui corp rigid. Sarcina principală a cinematicii.

Ecuațiile mișcării unui punct material:

- ecuația cinematică a mișcării

Tipuri de mișcare ale unui corp rigid:

1) Mișcare de translație - orice linie dreaptă trasată în corp se mișcă paralel cu ea însăși.

2) Mișcare de rotație - orice punct al corpului se mișcă într-un cerc.

φ = φ(t)

Sarcina principală a cinematicii- se obține dependențele de timp ale vitezei V= V(t) și coordonatele (sau vectorul rază) r = r(t) ale unui punct material din dependența de timp cunoscută a accelerației sale a = a(t) și condiţiile iniţiale cunoscute V 0 şi r 0 .

Întrebarea #7

Puls (Numărul de mișcări) este o mărime fizică vectorială care caracterizează măsura mișcării mecanice a corpului. În mecanica clasică, impulsul unui corp este egal cu produsul masei m acest punct la viteza sa v, direcția impulsului coincide cu direcția vectorului viteză:

În mecanică teoretică impuls generalizat este derivata parțială a Lagrangianului sistemului în raport cu viteza generalizată

Dacă Lagrangianul sistemului nu depinde de unii coordonate generalizate, apoi din cauza Ecuații Lagrange .

Pentru o particulă liberă, funcția Lagrange are forma: , prin urmare:

Independența Lagrangianului unui sistem închis față de poziția sa în spațiu rezultă din proprietate omogenitatea spațiului: pentru un sistem bine izolat, comportamentul lui nu depinde de locul în care îl plasăm în spațiu. De teorema lui Noether această omogenitate presupune conservarea unei mărimi fizice. Această cantitate se numește impuls (obișnuit, nu generalizat).

În mecanica clasică, complet impuls sistemul de puncte materiale se numește mărime vectorială egală cu suma produselor maselor punctelor materiale la viteza lor:

în consecință, mărimea se numește impulsul unui punct material. Este o mărime vectorială direcționată în aceeași direcție cu viteza particulei. Unitatea de măsură a impulsului în Sistemul Internațional de Unități (SI) este kilogram metru pe secundă(kg m/s)

Dacă avem de-a face cu un corp de dimensiuni finite, pentru a-i determina impulsul, este necesar să spargem corpul în părți mici, care pot fi considerate puncte materiale și să însumăm peste ele, ca rezultat obținem:

Momentul unui sistem care nu este afectat de nicio forță externă (sau sunt compensate), conservat la timp:

Conservarea impulsului în acest caz decurge din a doua și a treia lege a lui Newton: scris a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale care alcătuiesc sistemul și însumând-o peste toate punctele materiale care alcătuiesc sistemul, în virtutea celei de-a treia legi a lui Newton. lege obținem egalitatea (*).

În mecanica relativistă, impulsul tridimensional al unui sistem de puncte materiale care nu interacționează este cantitatea

,

Unde m i- greutate i-al-lea punct material.

Pentru un sistem închis de puncte materiale care nu interacționează, această valoare este păstrată. Cu toate acestea, impulsul tridimensional nu este o mărime relativistic invariantă, deoarece depinde de cadrul de referință. O valoare mai semnificativă va fi un impuls cu patru dimensiuni, care pentru un punct material este definit ca

În practică, sunt adesea folosite următoarele relații între masa, impulsul și energia unei particule:

În principiu, pentru un sistem de puncte materiale care nu interacționează, se însumează cele 4 momente ale acestora. Cu toate acestea, pentru particulele care interacționează în mecanica relativistă, ar trebui să se ia în considerare momentele nu numai ale particulelor care alcătuiesc sistemul, ci și impulsul câmpului de interacțiune dintre ele. Prin urmare, o cantitate mult mai semnificativă în mecanica relativistă este tensorul energie-impuls, care satisface pe deplin legile conservării.

Întrebarea #8

Moment de inerție- o mărime fizică scalară, o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație. Se caracterizează prin distribuția maselor în corp: momentul de inerție este egal cu suma produselor maselor elementare și pătratul distanțelor acestora față de mulțimea de bază.

Momentul axial de inerție

Momentele axiale de inerție ale unor corpuri.

Momentul de inerție al unui sistem mecanic relativ la o axă fixă ​​(„momentul axial de inerție”) se numește valoare J a egală cu suma produselor maselor tuturor n punctele materiale ale sistemului în pătratele distanțelor lor față de axă:

,

• m i- greutate i- al-lea punct,
• r i- distanta de la i-al-lea punct către axă.

Axial moment de inerție corp J a este o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație.

,

• dm = ρ dV- masa unui element de volum mic al corpului dV,
• ρ - densitate,
• r- distanta fata de element dV la axa a.

Dacă corpul este omogen, adică densitatea lui este aceeași peste tot, atunci

Derivarea formulei

dmși momente de inerție DJ i. Apoi

Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)

Derivarea formulei

Momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive. Împărțirea unui cilindru cu pereți subțiri în elemente cu o masă dmși momente de inerție DJ i. Apoi

Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) este convertită în forma

teorema lui Steiner

Moment de inerție a unui corp rigid față de orice axă depinde nu numai de masa, forma și dimensiunile corpului, ci și de poziția corpului față de această axă. Conform teoremei Steiner (teorema Huygens-Steiner), moment de inerție corp J relativ la o axă arbitrară este egală cu suma moment de inerție acest corp Jc raportat la axa care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu axa considerată și produsul masei corporale m pe distanță pătrată d intre axe:

Dacă este momentul de inerție al corpului față de o axă care trece prin centrul de masă al corpului, atunci momentul de inerție față de o axă paralelă situată la o distanță de aceasta este egal cu

,

unde este masa totală a corpului.

De exemplu, momentul de inerție al unei tije în jurul unei axe care trece prin capătul acesteia este:

Energia de rotație

Energia cinetică a mișcării de rotație- energia corpului asociată cu rotația acestuia.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării de rotație a unui corp sunt viteza sa unghiulară (ω) și accelerația unghiulară. Principalele caracteristici dinamice ale mișcării de rotație sunt momentul unghiular în jurul axei de rotație z:

Kz = Izω

și energie cinetică

unde I z este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație.

Un exemplu similar poate fi găsit atunci când se consideră o moleculă rotativă cu axe principale de inerție eu 1, eu 2și eu 3. Energia de rotație a unei astfel de molecule este dată de expresie

Unde ω 1, ω 2, și ω 3 sunt componentele principale ale vitezei unghiulare.

În cazul general, energia în timpul rotației cu viteza unghiulară se găsește prin formula:

, Unde eu este tensorul de inerție.

Întrebarea #9

moment de impuls (moment unghiular, moment unghiular, moment orbital, moment unghiular) caracterizează cantitatea de mișcare de rotație. O cantitate care depinde de cât de multă masă se rotește, de modul în care este distribuită pe axa de rotație și de cât de repede are loc rotația.

Trebuie remarcat faptul că rotația aici este înțeleasă într-un sens larg, nu doar ca o rotație regulată în jurul unei axe. De exemplu, chiar și cu o mișcare rectilinie a unui corp peste un punct imaginar arbitrar care nu se află pe linia de mișcare, acesta are și un moment unghiular. Poate cel mai mare rol îl joacă momentul unghiular în descrierea mișcării de rotație actuale. Cu toate acestea, este extrem de important pentru o clasă mult mai largă de probleme (mai ales dacă problema are simetrie centrală sau axială, dar nu numai în aceste cazuri).

Legea conservării impulsului(legea conservării momentului unghiular) - suma vectorială a tuturor momentelor unghiulare în jurul oricărei axe pentru un sistem închis rămâne constantă în cazul echilibrului sistemului. În conformitate cu aceasta, momentul unghiular al unui sistem închis în raport cu orice derivată non-timp a momentului unghiular este momentul forței:

Astfel, cerința de închidere a sistemului poate fi slăbită la cerința ca momentul principal (total) al forțelor externe să fie egal cu zero:

unde este momentul uneia dintre forțele aplicate sistemului de particule. (Dar desigur, dacă nu există deloc forțe externe, această cerință este îndeplinită și).

Din punct de vedere matematic, legea conservării momentului unghiular decurge din izotropia spațiului, adică din invarianța spațiului față de rotația printr-un unghi arbitrar. Când se rotește printr-un unghi infinitezimal arbitrar, vectorul rază al particulei cu numărul se va schimba cu , iar vitezele - . Funcția Lagrange a sistemului nu se va modifica în timpul unei astfel de rotații, din cauza izotropiei spațiului. Asa de

Sarcini

1. Determinați de câte ori masa efectivă este mai mare decât masa gravitațională a unui tren cu masa de 4000 de tone, dacă masa roților este de 15% din masa trenului. Considerați roțile ca niște discuri cu un diametru de 1,02 m. Cum se va schimba răspunsul dacă diametrul roților este jumătate din acesta?

2. Determinați accelerația cu care o pereche de roți cu masa de 1200 kg se rostogolește pe un deal cu o pantă de 0,08. Considerați roțile ca niște discuri. Coeficient de rezistență la rulare 0,004. Determinați forța de aderență a roților la șine.

3. Determinați accelerația cu care o pereche de roți cu o masă de 1400 kg se rostogolește pe un deal cu o pantă de 0,05. Coeficient de rezistență 0,002. Care ar trebui să fie coeficientul de aderență pentru ca roțile să nu alunece. Considerați roțile ca niște discuri.

4. Să se determine accelerația cu care un vagon de 40 de tone se rostogolește pe un deal cu panta de 0,020 dacă are opt roți cu o greutate de 1200 kg și un diametru de 1,02 m. Să se determine forța de aderență a roților la șine. Coeficient de rezistență 0,003.

5. Determinați forța de presiune a saboților de frână pe bandaje, dacă un tren cu o greutate de 4000 tone încetinește cu o accelerație de 0,3 m/s 2 . Momentul de inerție al unui set de roți este de 600 kg m 2 , numărul de osii este de 400, coeficientul de frecare de alunecare al blocului este 0,18, coeficientul de rezistență la rulare este 0,004.

6. Determinați forța de frânare care acționează asupra unui vagon cu patru axe cu masa de 60 de tone pe plăcuța de frână a unui șantier de triaj dacă viteza pe o cale de 30 m a scăzut de la 2 m/s la 1,5 m/s. Momentul de inerție al unui set de roți este de 500 kg m 2 .

7. Vitezometrul locomotivei a arătat o creștere a vitezei trenului în decurs de un minut de la 10 m/s la 60 m/s. Probabil, a avut loc o alunecare a setului de roți de conducere. Determinați momentul forțelor care acționează asupra armăturii motorului electric. Momentul de inerție al setului de roți 600 kg m 2 , ancore 120 kg m 2 . Raportul de transmisie 4.2. Forța de presiune pe șine este de 200 kN, coeficientul de frecare de alunecare al roților de-a lungul șinei este de 0,10.

11. ENERGIA CINETICĂ A ROTATORULUI

MIȘCĂRI

Obținem formula pentru energia cinetică a mișcării de rotație. Lăsați corpul să se rotească cu viteză unghiulară ω despre axa fixă. Orice particulă mică a corpului realizează mișcare de translație într-un cerc cu o viteză , unde r i - distanța față de axa de rotație, raza orbitei. Energia cinetică a unei particule mase m i este egal cu . Energia cinetică totală a unui sistem de particule este egală cu suma energiilor lor cinetice. Să însumăm formulele pentru energia cinetică a particulelor corpului și să scoatem semnul sumei jumătate din pătratul vitezei unghiulare, care este același pentru toate particulele, . Suma produselor maselor particulelor și a pătratelor distanțelor acestora față de axa de rotație este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație . Asa de, energia cinetică a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție al corpului în jurul axei și pătratul vitezei unghiulare de rotație:

Corpurile care se rotesc pot stoca energie mecanică. Astfel de corpuri se numesc volante. De obicei, acestea sunt corpuri de revoluție. Folosirea volantelor în roata olarului este cunoscută încă din antichitate. La motoarele cu ardere internă, în timpul cursei, pistonul imprimă energie mecanică volantului, care apoi efectuează lucrări la rotația arborelui motorului pentru următoarele trei cicluri. În ștampile și prese, volantul este antrenat de un motor electric de putere relativ redusă, acumulează energie mecanică aproape o tură completă, iar într-un scurt moment de impact o dă lucrării de ștanțare.

Există numeroase încercări de a folosi volante rotative pentru a conduce vehicule: mașini, autobuze. Se numesc mahomomobile, gyro carriers. Au fost create multe astfel de mașini experimentale. Ar fi promițător să folosim volante pentru stocarea energiei în timpul frânării trenurilor electrice pentru a utiliza energia acumulată în timpul accelerației ulterioare. Se știe că stocarea energiei volantă este folosită pe trenurile de metrou din New York.