Ideea generală a numerelor întregi. Cel mai mare multiplu comun și cel mai mic divizor comun

Ce înseamnă întreg

Deci, luați în considerare ce numere sunt numite numere întregi.

Astfel, numerele întregi vor desemna astfel de numere: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ etc.

Mulțimea numerelor naturale este o submulțime a mulțimii numerelor întregi, adică. orice natural va fi un întreg, dar nu orice întreg este un număr natural.

Numere întregi pozitive și numere întregi negative

Definiția 2

la care se adauga.

Numerele $3, 78, 569, 10450$ sunt numere întregi pozitive.

Definiția 3

sunt numere întregi cu semn minus.

Numerele $−3, −78, −569, -10450$ sunt numere întregi negative.

Observație 1

Numărul zero nu se referă nici la numere întregi pozitive, nici la numere întregi negative.

Numerele întregi pozitive sunt numere întregi mai mari decât zero.

Numerele negative întregi sunt numere întregi mai mici decât zero.

Mulțimea numerelor întregi naturale este mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive, iar mulțimea tuturor opuselor numerelor naturale este mulțimea tuturor numerelor întregi negative.

Numere întregi nepozitive și numere întregi nenegative

Toate numerele întregi pozitive și numărul zero sunt numite numere întregi nenegative.

Numere întregi nepozitive sunt toate numere întregi negative și numărul $0$.

Observația 2

Prin urmare, număr întreg nenegativ sunt numere întregi mai mari decât zero sau egale cu zero și întreg nepozitiv sunt numere întregi mai mici decât zero sau egale cu zero.

De exemplu, numere întregi nepozitive: $−32, −123, 0, −5$ și numere întregi nenegative: $54, 123, 0,856 342.$

Descrierea modificării valorilor folosind numere întregi

Numerele întregi sunt folosite pentru a descrie modificări ale numărului de elemente.

Luați în considerare exemple.

Exemplul 1

Să presupunem că un magazin vinde un anumit număr de articole. Când magazinul primește articole de 520 USD, numărul de articole din magazin va crește, iar numărul de 520 USD arată o schimbare pozitivă a numărului. Când magazinul vinde articole de 50 USD, numărul de articole din magazin va scădea, iar numărul de 50 USD va exprima o modificare negativă a numărului. Dacă magazinul nu va aduce și nici nu va vinde mărfurile, atunci numărul de mărfuri va rămâne neschimbat (adică, putem vorbi despre o modificare zero a numărului).

În exemplul de mai sus, modificarea numărului de bunuri este descrisă folosind numerele întregi $520$, $−50$ și, respectiv, $0$. O valoare pozitivă a întregului $520$ indică o modificare pozitivă a numărului. O valoare negativă a întregului $−50$ indică o modificare negativă a numărului. Numărul întreg $0$ indică imuabilitatea numărului.

Numerele întregi sunt convenabile de utilizat, deoarece nu este necesară nicio indicație explicită a creșterii sau scăderii numărului - semnul întregului indică direcția schimbării, iar valoarea indică o modificare cantitativă.

Folosind numere întregi, puteți exprima nu numai o modificare a cantității, ci și o modificare a oricărei valori.

Luați în considerare un exemplu de modificare a costului unui produs.

Exemplul 2

O creștere a costului, de exemplu, cu $20$ ruble este exprimată folosind un întreg pozitiv $20$. Scăderea costului, de exemplu, cu $5$ ruble este descrisă folosind un număr întreg negativ $−5$. Dacă nu există modificări ale costurilor, atunci o astfel de modificare este determinată folosind întregul $0$.

Separat, luați în considerare valoarea numerelor întregi negative ca mărime a datoriei.

Exemplul 3

De exemplu, o persoană are 5.000 USD de ruble. Apoi, folosind un întreg pozitiv $5.000$, puteți arăta numărul de ruble pe care le are. O persoană trebuie să plătească o chirie în valoare de 7.000 de ruble, dar nu are astfel de bani; în acest caz, o astfel de situație este descrisă de un număr întreg negativ de -7.000 de dolari. În acest caz, persoana are $−7.000$ ruble, unde „-” indică datoria, iar numărul $7.000$ arată suma datoriei.

Informațiile din acest articol formează o idee generală despre numere întregi. În primul rând, este dată definiția numerelor întregi și sunt date exemple. În continuare, sunt luate în considerare numerele întregi de pe dreapta numerică, din care devine clar care numere sunt numite numere întregi pozitive și care sunt numere întregi negative. După aceea, se arată cum sunt descrise modificările cantităților folosind numere întregi, iar numerele întregi negative sunt considerate în sensul datoriei.

Navigare în pagină.

Numerele întregi - definiție și exemple

Definiție.

Numere întregi sunt numere naturale, numărul zero, precum și numere opuse celor naturale.

Definiția numerelor întregi afirmă că oricare dintre numerele 1, 2, 3, …, numărul 0 și, de asemenea, oricare dintre numerele −1, −2, −3, … este un întreg. Acum putem aduce cu ușurință exemple întregi. De exemplu, numărul 38 este un număr întreg, numărul 70 040 este, de asemenea, un număr întreg, zero este un număr întreg (amintim că zero NU este un număr natural, zero este un număr întreg), numerele −999 , −1 , −8 934 832 sunt, de asemenea, exemple de numere întregi.

Este convenabil să se reprezinte toate numerele întregi ca o secvență de numere întregi, care are următoarea formă: 0, ±1, ±2, ±3, … Secvența de numere întregi poate fi scrisă și după cum urmează: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Din definiția numerelor întregi rezultă că mulțimea numerelor naturale este o submulțime a mulțimii numerelor întregi. Prin urmare, fiecare număr natural este un număr întreg, dar nu orice număr întreg este un număr natural.

Numerele întregi pe linia de coordonate

Definiție.

Numerele întregi pozitive sunt numere întregi mai mari decât zero.

Definiție.

Numerele întregi negative sunt numere întregi mai mici decât zero.

Numerele întregi pozitive și negative pot fi determinate și de poziția lor pe linia de coordonate. Pe o linie de coordonate orizontală, punctele ale căror coordonate sunt numere întregi pozitive se află la dreapta originii. La rândul lor, punctele cu coordonate întregi negative sunt situate la stânga punctului O .

Este clar că mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive este mulțimea numerelor naturale. La rândul său, mulțimea tuturor numerelor întregi negative este mulțimea tuturor numerelor opuse numerelor naturale.

Separat, vă atragem atenția asupra faptului că putem numi în siguranță orice număr natural număr întreg și NU putem numi niciun număr întreg număr natural. Putem numi natural numai orice număr întreg pozitiv, deoarece numerele întregi negative și zero nu sunt naturale.

Numere întregi nepozitive și numere întregi nenegative

Să dăm definiții ale numerelor întregi nepozitive și ale numerelor întregi nenegative.

Definiție.

Toate numerele întregi pozitive împreună cu zero sunt numite numere întregi nenegative.

Definiție.

Numere întregi nepozitive sunt toate numere întregi negative împreună cu numărul 0 .

Cu alte cuvinte, un număr întreg nenegativ este un număr întreg care este mai mare sau egal cu zero, iar un număr întreg nepozitiv este un număr întreg mai mic sau egal cu zero.

Exemple de numere întregi nepozitive sunt numerele -511, -10 030, 0, -2 și, ca exemple de numere întregi nenegative, să dăm numerele 45, 506, 0, 900 321.

Cel mai adesea, termenii „numere întregi nepozitive” și „numere întregi nenegative” sunt folosiți pentru concizie. De exemplu, în loc de expresia „numărul a este un număr întreg, iar a este mai mare decât zero sau egal cu zero”, puteți spune „a este un număr întreg nenegativ”.

Descrierea modificării valorilor folosind numere întregi

Este timpul să vorbim despre ce sunt numerele întregi.

Scopul principal al numerelor întregi este că, cu ajutorul lor, este convenabil să descrieți schimbarea numărului oricăror elemente. Să ne ocupăm de asta cu exemple.

Să presupunem că există o anumită cantitate de piese în stoc. Dacă, de exemplu, în depozit sunt aduse încă 400 de piese, atunci numărul de piese din depozit va crește, iar numărul 400 exprimă această modificare a cantității în sens pozitiv (în sensul creșterii). Dacă, de exemplu, se iau 100 de piese din depozit, atunci numărul de piese din depozit va scădea, iar numărul 100 va exprima modificarea cantității în sens negativ (în sensul scăderii). Nicio piesă nu va fi adusă în depozit și nicio piesă nu va fi luată din depozit, atunci putem vorbi despre invarianța numărului de piese (adică putem vorbi despre o modificare zero a cantității).

În exemplele date, modificarea numărului de părți poate fi descrisă folosind numerele întregi 400, -100 și, respectiv, 0. Un număr întreg pozitiv 400 indică o modificare pozitivă a cantității (creștere). Numărul întreg negativ −100 exprimă o modificare negativă a cantității (scădere). Numărul întreg 0 indică faptul că cantitatea nu s-a modificat.

Comoditatea utilizării numerelor întregi în comparație cu utilizarea numerelor naturale este că nu este necesar să se indice în mod explicit dacă cantitatea este în creștere sau descreștere - întregul specifică modificarea cantitativ, iar semnul întregului indică direcția schimbării.

De asemenea, numerele întregi pot exprima nu numai o modificare a cantității, ci și o modificare a unei anumite valori. Să ne ocupăm de asta folosind exemplul schimbării temperaturii.

O creștere a temperaturii cu, să zicem, 4 grade este exprimată ca un întreg pozitiv 4 . O scădere a temperaturii, de exemplu, cu 12 grade poate fi descrisă printr-un număr întreg negativ -12. Și invarianța temperaturii este modificarea acesteia, determinată de întregul 0.

Separat, trebuie spus despre interpretarea numerelor întregi negative ca valoare a datoriei. De exemplu, dacă avem 3 mere, atunci numărul întreg pozitiv 3 reprezintă numărul de mere pe care le deținem. Pe de altă parte, dacă trebuie să dăm cuiva 5 mere și nu le avem disponibile, atunci această situație poate fi descrisă folosind un întreg negativ −5 . În acest caz, „deținem” −5 mere, semnul minus indică datoria, iar numărul 5 cuantifică datoria.

Înțelegerea unui număr întreg negativ ca o datorie permite, de exemplu, să justifice regula pentru adăugarea numerelor întregi negative. Să luăm un exemplu. Dacă cineva datorează 2 mere unei persoane și un măr altuia, atunci datoria totală este 2+1=3 mere, deci −2+(−1)=−3 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.

La numere întregi includ numere naturale, zero și numere opuse numerelor naturale.

numere întregi sunt numere întregi pozitive.

De exemplu: 1, 3, 7, 19, 23 etc. Folosim astfel de numere pentru numărare (pe masă sunt 5 mere, mașina are 4 roți etc.)

Litera latină \mathbb(N) - notată set de numere naturale.

Numerele naturale nu pot include numere negative (un scaun nu poate avea un număr negativ de picioare) și numere fracționale (Ivan nu a putut vinde 3,5 biciclete).

Numerele opuse numerelor naturale sunt numere întregi negative: -8, -148, -981, ....

Operații aritmetice cu numere întregi

Ce poți face cu numerele întregi? Ele pot fi înmulțite, adunate și scăzute unul de celălalt. Să analizăm fiecare operație pe un exemplu specific.

Adunarea întregului

Două numere întregi cu aceleași semne se adună după cum urmează: se adună modulele acestor numere și suma rezultată este precedată de semnul final:

(+11) + (+9) = +20

Scăderea numerelor întregi

Două numere întregi cu semne diferite se adaugă după cum urmează: modulul numărului mai mic este scăzut din modulul numărului mai mare, iar semnul numărului mai mare modulo este pus în fața răspunsului:

(-7) + (+8) = +1

Înmulțirea întregului

Pentru a înmulți un număr întreg cu altul, trebuie să înmulți modulele acestor numere și să puneți semnul „+” în fața răspunsului primit dacă numerele originale erau cu aceleași semne și semnul „-” dacă numerele originale erau cu semne diferite:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Ar trebui să vă amintiți următoarele regula înmulțirii numerelor întregi:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Există o regulă pentru înmulțirea mai multor numere întregi. Să ne amintim:

Semnul produsului va fi „+” dacă numărul de factori cu semn negativ este par și „-” dacă numărul de factori cu semn negativ este impar.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Împărțirea numerelor întregi

Împărțirea a două numere întregi se efectuează după cum urmează: modulul unui număr este împărțit la modulul celuilalt, iar dacă semnele numerelor sunt aceleași, atunci semnul „+” este plasat în fața coeficientului rezultat. , iar dacă semnele numerelor originale sunt diferite, atunci se pune semnul „-”.

(-25) : (+5) = -5

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor întregi

Să analizăm proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii pentru orice numere întregi a, b și c:

1. a + b = b + a - proprietatea comutativă a adunării;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - proprietatea asociativă a adunării;
3. a \cdot b = b \cdot a - proprietatea comutativă a înmulțirii;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- proprietăţile asociative ale înmulţirii;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c este proprietatea distributivă a înmulțirii.

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, broasca țestoasă se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina deplasarea mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (desigur, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.

miercuri, 4 iulie 2018

Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.

După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie și plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când demonstrează că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum operează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu un număr mare de 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în diferite sisteme de numere, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ați obține rezultate complet diferite atunci când determinați aria unui dreptunghi în metri și centimetri.

Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Semnează pe uşă Deschide usa si spune:

Ai! Asta nu este toaleta femeilor?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.

Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort pe mine însumi să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu o consider pe fata asta o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vezi abracadabra, șterge-ți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru

Pentru a-ți simplifica MULT viața când ai nevoie să calculezi ceva, să câștigi timp prețios la OGE sau la USE, să faci mai puține greșeli stupide - citește această secțiune!

Iată ce vei învăța:

• cum să calculezi mai rapid, mai ușor și mai precis folosindgruparea numerelorla adunare si scadere,
• cum să înmulțiți și să împărțiți rapid fără erori folosind regulile de multiplicare și criteriile de divizibilitate,
• cum să accelerezi semnificativ calculele folosind cel mai mic multiplu comun(NOC) și cel mai mare divizor comun(GCD).

Posesia tehnicilor acestei secțiuni poate înclina balanța într-o direcție sau alta... indiferent dacă intri la universitatea visurilor tale sau nu, tu sau părinții tăi vei trebui să plătești mulți bani pentru educație sau vei intra în buget. .

Să ne scufundăm chiar în... (Hai să mergem!)

P.S. ULTIMUL SFAT PREȚIOS...

O multime de numere întregi constă din 3 părți:

1. numere întregi(le vom analiza mai detaliat mai jos);
2. numere opuse numerelor naturale(totul se va pune la punct de îndată ce vei ști ce sunt numerele naturale);
3. zero - " " (unde fara el?)

litera Z.

numere întregi

„Dumnezeu a creat numerele naturale, orice altceva este opera mâinilor omului” (c) matematicianul german Kronecker.

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim pentru a număra obiectele și pe aceasta se bazează istoricul apariției lor - necesitatea numărării săgeților, skin-urilor etc.

1, 2, 3, 4...n

litera N.

În consecință, această definiție nu include (nu poți număra ceea ce nu există?) și cu atât mai mult nu include valori negative (există un măr?).

În plus, nu sunt incluse toate numerele fracționale (nu putem spune nici „am un laptop” sau „am vândut mașini”)

Orice numar natural poate fi scris folosind 10 cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Deci 14 nu este un număr. Acesta este un număr. Din ce numere constă? Așa e, din cifre și.

Plus. Gruparea la adăugare pentru o numărare mai rapidă și mai puține greșeli

Ce lucruri interesante poți spune despre această procedură? Desigur, acum vei răspunde „valoarea sumei nu se schimbă din rearanjarea termenilor”. S-ar părea că o regulă primitivă familiară din prima clasă, totuși, atunci când rezolvăm exemple mari, aceasta uitat instantaneu!

Nu uita de elutilizați gruparea, pentru a facilita procesul de numărare și a reduce probabilitatea erorilor, deoarece nu veți avea un calculator pentru examen.

Vedeți singur ce expresie este mai ușor de adăugat?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Bineînțeles că al doilea! Deși rezultatul este același. Dar! Avand in vedere a doua cale, este mai putin probabil sa gresesti si vei face totul mai repede!

Deci, în mintea ta, gândești așa:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Scădere. Gruparea la scădere pentru o numărare mai rapidă și mai puține erori

Când scădem, putem grupa și numerele scăzute, de exemplu:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Ce se întâmplă dacă scăderea este intercalată cu adunarea în exemplu? Poți și grupa, vei răspunde și pe bună dreptate. Doar vă rog, nu uitați de semnele din fața numerelor, de exemplu: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Amintiți-vă: semnele aplicate incorect vor duce la un rezultat eronat.

Multiplicare. Cum să te înmulți în mintea ta

Este evident că nici valoarea produsului nu se va schimba de la schimbarea locurilor factorilor:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nu îți voi spune să „folosești asta atunci când rezolvi probleme” (ai înțeles tu însuți ideea, nu?), ci mai degrabă să-ți spun cum să înmulți rapid unele numere din cap. Deci, uitați-vă cu atenție la tabel:

Și mai multe despre înmulțire. Desigur, îți amintești două ocazii speciale... Ghici ce vreau să spun? Iată despre asta:

Da, hai să aruncăm o privire semne de divizibilitate. În total, sunt 7 reguli pentru semnele de divizibilitate, dintre care primele 3 le știi deja cu siguranță!

Dar restul nu este deloc greu de reținut.

7 semne de divizibilitate a numerelor care te vor ajuta să numeri rapid în capul tău!

• Cunoașteți, desigur, primele trei reguli.
• Al patrulea și al cincilea sunt ușor de reținut - atunci când împărțim cu și ne uităm să vedem dacă suma cifrelor care alcătuiesc numărul este divizibilă cu aceasta.
• Când împărțim cu, acordăm atenție ultimelor două cifre ale numărului - numărul pe care îl alcătuiesc este divizibil cu?
• Când se împarte la un număr, acesta trebuie să fie divizibil cu și cu în același timp. Asta e toată înțelepciunea.

Acum te gândești – „de ce am nevoie de toate astea”?

În primul rând, examenul este fara calculator iar aceste reguli vă vor ajuta să navigați printre exemple.

Și în al doilea rând, ați auzit despre sarcini GCDși NOC? Abreviere cunoscută? Să începem să ne amintim și să înțelegem.

Cel mai mare divizor comun (mcd) - necesar pentru reducerea fracțiilor și calcule rapide

Să presupunem că aveți două numere: și. Care este cel mai mare număr divizibil cu ambele numere? Vei răspunde fără ezitare, pentru că știi că:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Ce numere din expansiune sunt comune? Așa este, 2 * 2 = 4. Acesta a fost răspunsul tău. Ținând cont de acest exemplu simplu, nu veți uita algoritmul de găsire GCD. Încearcă să-l „construiești” în capul tău. S-a întâmplat?

Pentru a găsi NOD-ul aveți nevoie de:

1. Descompuneți numerele în factori primi (în numere care nu pot fi împărțite cu nimic altceva decât el însuși sau cu, de exemplu, 3, 7, 11, 13 etc.).
2. Înmulțiți-le.

Înțelegi de ce aveam nevoie de semne de divizibilitate? Astfel încât să vă uitați la număr și să puteți începe să împărțiți fără rest.

De exemplu, să găsim GCD-ul numerelor 290 și 485

Primul număr -.

Privind-o, puteți spune imediat prin ce este divizibil, să scriem:

nu o poți împărți în altceva, dar poți - și obținem:

290 = 29 * 5 * 2

Să luăm un alt număr - 485.

Conform semnelor de divizibilitate, trebuie să fie divizibil cu fără rest, deoarece se termină cu. Noi impartim:

Să analizăm numărul inițial.

• Nu poate fi împărțit la (ultima cifră este impară),
• - nu este divizibil cu, deci și numărul nu este divizibil cu,
• de asemenea, nu este divizibil cu și (suma cifrelor din număr nu este divizibil cu și cu)
• de asemenea, nu este divizibil, deoarece nu este divizibil cu și,
• de asemenea, nu este divizibil cu și, deoarece nu este divizibil cu și.
• nu poate fi divizat complet

Deci numărul poate fi descompus doar în și.

Și acum să găsim GCD aceste numere (și). Ce este acest numar? Corect, .

Să exersăm?

Sarcina numărul 1. Găsiți GCD al numerelor 6240 și 6800

1) Împărțim imediat la, deoarece ambele numere sunt divizibile 100% cu:

Sarcina numărul 2. Găsiți GCD al numerelor 345 și 324

Nu pot găsi rapid cel puțin un divizor comun aici, așa că doar descompun în factori primi (cât mai puțini posibil):

Cel mai mic multiplu comun (LCM) - economisește timp, ajută la rezolvarea problemelor în afara casetei

Să presupunem că aveți două numere - și. Care este cel mai mic număr care este divizibil cu fără urmă(adică complet)? E greu de imaginat? Iată un indiciu vizual pentru tine:

Îți amintești ce înseamnă scrisoarea? Așa este, doar numere întregi. Deci, care este cel mai mic număr care se potrivește cu x? :

În acest caz.

Din acest exemplu simplu decurg mai multe reguli.

Reguli pentru găsirea rapidă a NOC

Regula 1. Dacă unul dintre cele două numere naturale este divizibil cu un alt număr, atunci cel mai mare dintre aceste două numere este cel mai mic multiplu comun al lor.

Găsiți următoarele numere:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Desigur, ai făcut față cu ușurință acestei sarcini și ai primit răspunsurile - și.

Rețineți că în regulă vorbim despre DOUĂ numere, dacă sunt mai multe numere, atunci regula nu funcționează.

De exemplu, LCM (7;14;21) nu este egal cu 21, deoarece nu poate fi împărțit fără un rest la.

Regula 2. Dacă două (sau mai multe) numere sunt între prime, atunci cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul lor.

găsi NOC pentru următoarele numere:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

ai numarat? Iată răspunsurile - , ; .

După cum înțelegeți, nu este întotdeauna atât de ușor să luați și să luați același x, așa că pentru numere puțin mai complexe există următorul algoritm:

Să exersăm?

Găsește cel mai mic multiplu comun - LCM (345; 234)

Găsiți singur cel mai mic multiplu comun (LCM).

Ce răspunsuri ai primit?

Iată ce mi s-a întâmplat:

Cât timp ți-a luat să găsești NOC? Timpul meu este de 2 minute, chiar știu un truc, pe care vă sugerez să-l deschideți chiar acum!

Dacă sunteți foarte atent, atunci probabil ați observat că pentru numerele date am căutat deja GCDși ai putea lua factorizarea acestor numere din acel exemplu, simplificându-ți astfel sarcina, dar acest lucru este departe de tot.

Uită-te la poză, poate îți vor veni și alte gânduri:

Bine? Vă dau un indiciu: încercați să vă înmulțiți NOCși GCDîntre ele și notează toți factorii care vor fi la înmulțire. Ai reușit? Ar trebui să ajungi cu un lanț ca acesta:

Aruncați o privire mai atentă: comparați factorii cu modul în care sunt descompuse.

Ce concluzie poți trage din asta? Corect! Dacă înmulțim valorile NOCși GCDîntre ele, atunci obținem produsul acestor numere.

În consecință, având numere și semnificație GCD(sau NOC), noi putem gasi NOC(sau GCD) în felul următor:

1. Găsiți produsul numerelor:

2. Împărțim produsul rezultat la nostru GCD (6240; 6800) = 80:

Asta e tot.

Să scriem regula în formă generală:

Încerca să găsească GCD daca se stie ca:

Ai reușit? .

Numerele negative - „numere false” și recunoașterea lor de către omenire.

După cum ați înțeles deja, acestea sunt numere opuse celor naturale, adică:

Numerele negative pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite - la fel ca numerele naturale. S-ar părea că sunt atât de speciali? Dar adevărul este că numerele negative și-au „câștigat” locul de drept în matematică până în secolul al XIX-lea (până în acel moment a existat o mare controversă dacă există sau nu).

Numărul negativ însuși a apărut din cauza unei astfel de operații cu numere naturale ca „scădere”. Într-adevăr, scădeți din - acesta este un număr negativ. De aceea, mulțimea numerelor negative este adesea numită „o extensie a mulțimii numere naturale».

Numerele negative nu au fost recunoscute de oameni pentru o lungă perioadă de timp. Deci, Egiptul Antic, Babilonul și Grecia Antică - luminile vremii lor, nu au recunoscut numerele negative, iar în cazul obținerii rădăcinilor negative în ecuație (de exemplu, așa cum avem noi), rădăcinile au fost respinse ca imposibile.

Pentru prima dată numerele negative au primit dreptul de a exista în China, iar apoi în secolul al VII-lea în India. Ce părere ai despre această mărturisire? Așa este, numerele negative au început să desemneze datorii (altfel - lipsuri). Se credea că numerele negative sunt o valoare temporară, care, ca urmare, se va schimba în pozitivă (adică banii vor fi în continuare returnați creditorului). Cu toate acestea, matematicianul indian Brahmagupta considera deja atunci numerele negative pe picior de egalitate cu cele pozitive.

În Europa, utilitatea numerelor negative, precum și faptul că pot denota datorii, a venit mult mai târziu, adică un mileniu. Prima mențiune a fost văzută în 1202 în „Cartea Abacului” a lui Leonard de Pisa (spun imediat că autorul cărții nu are nicio legătură cu Turnul din Pisa, dar numerele Fibonacci sunt opera lui ( porecla lui Leonardo din Pisa este Fibonacci). În plus, europenii au ajuns la concluzia că numerele negative pot însemna nu numai datorii, ci și lipsa a ceva, cu toate acestea, nu toată lumea a recunoscut acest lucru.

Deci, în secolul al XVII-lea, Pascal a crezut că. Cum crezi că a justificat-o? Așa e, „nimic nu poate fi mai puțin decât NIMIC”. Un ecou al acelor timpuri rămâne faptul că un număr negativ și operația de scădere sunt indicate prin același simbol - minus „-”. Și adevărat: . Numărul „ ” este pozitiv, din care se scade, sau negativ, căruia i se adaugă?... Ceva din seria „ce vine mai întâi: găina sau oul?” Iată un asemenea fel de filozofie matematică.

Numerele negative și-au asigurat dreptul de a exista odată cu apariția geometriei analitice, cu alte cuvinte, când matematicienii au introdus așa ceva ca o axă reală.

Din acest moment a venit egalitatea. Cu toate acestea, au existat încă mai multe întrebări decât răspunsuri, de exemplu:

proporţie

Această proporție se numește paradoxul Arno. Gândește-te la asta, ce este îndoielnic la asta?

Să vorbim împreună " " mai mult decât " " nu? Astfel, conform logicii, partea stângă a proporției ar trebui să fie mai mare decât partea dreaptă, dar sunt egale... Aici este paradoxul.

Drept urmare, matematicienii au fost de acord că Karl Gauss (da, da, acesta este cel care a considerat că suma (sau) numerelor) în 1831 a pus capăt acesteia - a spus că numerele negative au aceleași drepturi ca și cele pozitive și faptul că nu se aplică tuturor lucrurilor nu înseamnă nimic, întrucât fracțiile nu se aplică nici la multe lucruri (nu se întâmplă ca un săpător să sape o groapă, nu poți cumpăra un bilet de film etc.).

Matematicienii s-au calmat abia în secolul al XIX-lea, când teoria numerelor negative a fost creată de William Hamilton și Hermann Grassmann.

Atât de controversate sunt, aceste numere negative.

Apariția „golului” sau biografia lui zero.

La matematică, un număr special. La prima vedere, acest lucru nu este nimic: adăugați, scădeți - nimic nu se va schimba, dar trebuie doar să-l atribuiți dreptului „”, iar numărul rezultat va fi de multe ori mai mare decât cel inițial. Înmulțind cu zero, transformăm totul în nimic, dar nu putem împărți cu „nimic”. Într-un cuvânt, numărul magic)

Istoria lui zero este lungă și complicată. O urmă de zero se găsește în scrierile chinezilor din 2000 d.Hr. și chiar mai devreme cu Maya. Prima utilizare a simbolului zero, așa cum este astăzi, a fost văzută printre astronomii greci.

Există multe versiuni ale motivului pentru care a fost aleasă o astfel de denumire „nimic”. Unii istorici sunt înclinați să creadă că acesta este un omicron, adică. Prima literă a cuvântului grecesc pentru nimic este ouden. Potrivit unei alte versiuni, cuvântul „obol” (o monedă aproape deloc valoare) a dat viață simbolului zero.

Zero (sau zero) ca simbol matematic apare pentru prima dată printre indieni (rețineți că numerele negative au început să se „dezvolte” acolo). Prima dovadă sigură a scrierii zero datează din 876, iar în ele „” este o componentă a numărului.

Zero a venit și în Europa cu întârziere - abia în 1600 și, la fel ca numerele negative, a înfruntat rezistență (ce poți face, sunt europeni).

„Zero a fost adesea urât, temut sau chiar interzis din timpuri imemoriale”, scrie matematicianul american Charles Seif. Deci, sultanul turc Abdul-Hamid al II-lea la sfârșitul secolului al XIX-lea. le-a ordonat cenzorilor săi să șteargă formula de apă H2O din toate manualele de chimie, luând litera „O” drept zero și nu dorind ca inițialele lui să fie defăimate de apropierea de josnicul zero.

Pe Internet puteți găsi fraza: „Zero este cea mai puternică forță din Univers, poate face orice! Zero creează ordine în matematică și, de asemenea, aduce haos în ea. Punct absolut corect :)

Rezumatul secțiunii și formulele de bază

Setul de numere întregi este format din 3 părți:

• numere naturale (le vom analiza mai detaliat mai jos);
• numere opuse celor naturale;
• zero - " "

Se notează mulțimea numerelor întregi litera Z.

1. Numerele naturale

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim pentru a număra obiectele.

Se notează mulțimea numerelor naturale litera N.

În operațiunile cu numere întregi, veți avea nevoie de capacitatea de a găsi GCD și LCM.

Cel mai mare divizor comun (GCD)

Pentru a găsi NOD-ul aveți nevoie de:

1. Descompuneți numerele în factori primi (în numere care nu pot fi împărțite cu nimic altceva decât el însuși sau prin, de exemplu, etc.).
2. Notați factorii care fac parte din ambele numere.
3. Înmulțiți-le.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Pentru a găsi NOC aveți nevoie de:

1. Factorizează numerele în factori primi (știi deja să faci asta foarte bine).
2. Scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere (este mai bine să luați cel mai lung lanț).
3. Adaugă la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase.
4. Aflați produsul factorilor rezultați.

2. Numerele negative

Acestea sunt numere care sunt opuse numerelor naturale, adică:

Acum vreau să aud de la tine...

Sper că ați apreciat „trucurile” super-utile ale acestei secțiuni și ați înțeles cum vă vor ajuta la examen.

Și mai important, în viață. Nu vorbesc despre asta, dar crede-mă, asta este. Abilitatea de a număra rapid și fără erori salvează în multe situații de viață.

Acum e rândul tău!

Scrieți, veți folosi metode de grupare, criterii de divizibilitate, GCD și LCM în calcule?

Poate le-ai mai folosit? Unde si cum?

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii cum vă place articolul.

Și mult succes la examene!

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!