Ecuația generală a avionului online. Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

În cadrul acestui material, vom analiza cum să găsim ecuația unui plan dacă cunoaștem coordonatele celor trei puncte diferite ale sale care nu se află pe o singură dreaptă. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim ce este un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional. În primul rând, introducem principiul de bază al acestei ecuații și arătăm cum să o folosim în rezolvarea unor probleme specifice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru început, trebuie să ne amintim o axiomă, care sună astfel:

Definiția 1

Dacă trei puncte nu coincid între ele și nu se află pe o singură linie dreaptă, atunci în spațiul tridimensional trece un singur plan prin ele.

Cu alte cuvinte, dacă avem trei puncte diferite ale căror coordonate nu coincid și care nu pot fi conectate printr-o dreaptă, atunci putem determina planul care trece prin el.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular. Să o notăm O x y z . Conține trei puncte M cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) care nu pot fi conectate drept linia. Pe baza acestor condiții, putem scrie ecuația planului de care avem nevoie. Există două abordări pentru a rezolva această problemă.

1. Prima abordare folosește ecuația generală a planului. În formă literală, se scrie ca A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Cu acesta, puteți seta într-un sistem de coordonate dreptunghiular un anumit plan alfa, care trece prin primul punct dat M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Rezultă că vectorul plan normal α va avea coordonatele A , B , C .

Definiția lui N

Cunoscând coordonatele vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece planul, putem scrie ecuația generală a acestui plan.

De aici vom merge mai departe.

Astfel, după condițiile problemei, avem coordonatele punctului dorit (chiar trei), prin care trece avionul. Pentru a găsi ecuația, trebuie să calculați coordonatele vectorului său normal. Notează-l n → .

Amintiți-vă regula: orice vector diferit de zero al unui plan dat este perpendicular pe vectorul normal al aceluiași plan. Atunci avem că n → va fi perpendicular pe vectorii alcătuiți din punctele inițiale M 1 M 2 → și M 1 M 3 → . Atunci putem nota n → ca produs vectorial de forma M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Deoarece M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) și M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (demonstrațiile acestor egalități sunt date în articolul dedicat calculării coordonatelor unui vector din coordonatele punctelor), atunci rezultă că:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z unu

Dacă calculăm determinantul, vom obține coordonatele vectorului normal n → de care avem nevoie. Acum putem scrie ecuația de care avem nevoie pentru un plan care trece prin trei puncte date.

2. A doua abordare pentru găsirea unei ecuații care trece prin M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) este bazat pe un astfel de concept precum complanaritatea vectorilor.

Dacă avem o mulțime de puncte M (x, y, z), atunci într-un sistem de coordonate dreptunghiular ele definesc un plan pentru punctele date M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y) 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) numai dacă vectorii M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) și M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) vor fi coplanare.

Pe diagramă va arăta astfel:

Aceasta va însemna că produsul mixt al vectorilor M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → va fi egal cu zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , deoarece aceasta este condiția principală pentru comparație: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 ) , z 2 - z 1 ) și M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Scriem ecuația rezultată sub formă de coordonate:

După ce calculăm determinantul, putem obține ecuația planului de care avem nevoie pentru trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z ) 2) , M3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Din ecuația rezultată, puteți merge la ecuația planului în segmente sau la ecuația normală a planului, dacă este necesar de condițiile problemei.

În paragraful următor, vom da exemple despre modul în care abordările pe care le-am indicat sunt implementate în practică.

Exemple de sarcini pentru alcătuirea unei ecuații a unui plan care trece prin 3 puncte

Anterior, am identificat două abordări care pot fi utilizate pentru a găsi ecuația dorită. Să vedem cum sunt folosite în rezolvarea problemelor și când să le alegem pe fiecare.

Exemplul 1

Există trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă, cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin ele.

Soluţie

Folosim ambele metode pe rând.

1. Aflați coordonatele celor doi vectori de care avem nevoie M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Acum calculăm produsul lor vectorial. În acest caz, nu vom descrie calculele determinantului:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Avem un vector normal al planului care trece prin cele trei puncte cerute: n → = (- 5 , 30 , 2) . În continuare, trebuie să luăm unul dintre puncte, de exemplu, M 1 (- 3 , 2 , - 1) și să scriem ecuația pentru planul cu vectorul n → = (- 5 , 30 , 2) . Obținem că: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Aceasta este ecuația planului de care avem nevoie, care trece prin trei puncte.

2. Folosim o abordare diferită. Scriem ecuația pentru un plan cu trei puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) în urmatoarea forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Aici puteți înlocui datele din starea problemei. Deoarece x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, ca rezultat vom obține:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Avem ecuația de care avem nevoie.

Răspuns:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Dar dacă punctele date se află încă pe aceeași linie dreaptă și trebuie să compunem o ecuație plană pentru ele? Aici trebuie spus imediat că această condiție nu va fi pe deplin corectă. Prin astfel de puncte pot trece infinit de multe avioane, deci este imposibil să se calculeze un singur răspuns. Să luăm în considerare o astfel de problemă pentru a demonstra incorectitudinea unei astfel de formulări a întrebării.

Exemplul 2

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu 3D care conține trei puncte cu coordonatele M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Este necesar să scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin ea.

Soluţie

Folosim prima metodă și începem prin a calcula coordonatele a doi vectori M 1 M 2 → și M 1 M 3 → . Să le calculăm coordonatele: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Produsul vectorial va fi egal cu:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Deoarece M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , atunci vectorii noștri vor fi coliniari (recitiți articolul despre ei dacă ați uitat definiția acestui concept). Astfel, punctele inițiale M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sunt pe aceeași dreaptă, iar problema noastră are infinit multe opțiuni de răspuns.

Dacă folosim a doua metodă, obținem:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Din egalitatea rezultată mai rezultă că punctele date M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sunt pe aceeași linie.

Dacă doriți să găsiți cel puțin un răspuns la această problemă dintr-un număr infinit de opțiuni, atunci trebuie să urmați acești pași:

1. Scrieți ecuația dreptei M 1 M 2, M 1 M 3 sau M 2 M 3 (dacă este necesar, consultați materialul despre această acțiune).

2. Luați un punct M 4 (x 4 , y 4 , z 4) care nu se află pe dreapta M 1 M 2 .

3. Scrieți ecuația unui plan care trece prin trei puncte diferite M 1 , M 2 și M 4 care nu se află pe o singură dreaptă.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Să fie necesar să găsim ecuația unui plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe o singură dreaptă. Notând vectorii lor de rază și vectorul de rază curent cu , putem obține cu ușurință ecuația dorită în formă vectorială. Într-adevăr, vectorii trebuie să fie coplanari (toți se află în planul dorit). Prin urmare, produsul vector-scalar al acestor vectori trebuie să fie egal cu zero:

Aceasta este ecuația unui plan care trece prin trei puncte date, sub formă vectorială.

Revenind la coordonate, obținem ecuația în coordonate:

Dacă cele trei puncte date se află pe aceeași linie dreaptă, atunci vectorii ar fi coliniari. Prin urmare, elementele corespunzătoare din ultimele două rânduri ale determinantului din ecuația (18) ar fi proporționale, iar determinantul ar fi identic egal cu zero. Prin urmare, ecuația (18) ar deveni o identitate pentru orice valori ale lui x, y și z. Geometric, aceasta înseamnă că un plan trece prin fiecare punct al spațiului, în care se află și trei puncte date.

Observație 1. Aceeași problemă poate fi rezolvată fără a folosi vectori.

Notând coordonatele celor trei puncte date, respectiv, prin scriem ecuația oricărui plan care trece prin primul punct:

Pentru a obține ecuația planului dorit, trebuie să ceri ca ecuația (17) să fie satisfăcută de coordonatele celorlalte două puncte:

Din ecuațiile (19), este necesar să se determine rapoartele a doi coeficienți la al treilea și să se introducă valorile găsite în ecuația (17).

Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin puncte.

Ecuația unui plan care trece prin primul dintre aceste puncte va fi:

Condițiile pentru ca planul (17) să treacă prin alte două puncte și primul punct sunt:

Adăugând a doua ecuație la prima, obținem:

Înlocuind în a doua ecuație, obținem:

Substituind în ecuația (17) în loc de A, B, C, respectiv, 1, 5, -4 (numere proporționale cu acestea), obținem:

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ecuația oricărui plan care trece prin punctul (0, 0, 0) va fi]

Condițiile pentru trecerea acestui plan prin punctele (1, 1, 1) și (2, 2, 2) sunt:

Reducând a doua ecuație cu 2, vedem că pentru a determina cele două necunoscute, relația are o ecuație cu

De aici obținem. Înlocuind acum în ecuația plană în loc de valoarea acesteia, găsim:

Aceasta este ecuația planului necesar; depinde de arbitrar

mărimile B, C (și anume, din raport, adică există un număr infinit de plane care trec prin trei puncte date (trei puncte date se află pe o singură dreaptă).

Observația 2. Problema trasării unui plan prin trei puncte date care nu se află pe aceeași dreaptă se rezolvă ușor într-o formă generală dacă folosim determinanți. Într-adevăr, întrucât în ​​ecuațiile (17) și (19) coeficienții A, B, C nu pot fi egali simultan cu zero, atunci, considerând aceste ecuații ca un sistem omogen cu trei necunoscute A, B, C, scriem un necesar și suficient. condiție pentru existența unei soluții a acestui sistem, alta decât zero (partea 1, cap. VI, § 6):

Extinzând acest determinant cu elementele primului rând, obținem o ecuație de gradul I față de coordonatele curente, care va fi satisfăcută, în special, de coordonatele celor trei puncte date.

Acest din urmă poate fi verificat și direct dacă înlocuim coordonatele oricăruia dintre aceste puncte în loc de ecuația scrisă folosind determinantul. În partea stângă se obține un determinant, în care fie elementele primului rând sunt zero, fie sunt două rânduri identice. Astfel, ecuația formulată reprezintă un plan care trece prin trei puncte date.

În această lecție, ne vom uita la cum să folosim determinantul pentru a compune ecuația plană. Dacă nu știi ce este un determinant, mergi la prima parte a lecției - „Matrici și determinanți”. Altfel, riști să nu înțelegi nimic din materialul de astăzi.

Ecuația unui plan cu trei puncte

De ce avem nevoie de ecuația planului? Este simplu: știind asta, putem calcula cu ușurință unghiuri, distanțe și alte prostii în problema C2. În general, această ecuație este indispensabilă. Prin urmare, formulăm problema:

O sarcină. Există trei puncte în spațiu care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Coordonatele lor:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Este necesar să scrieți ecuația planului care trece prin aceste trei puncte. Și ecuația ar trebui să arate așa:

Ax + By + Cz + D = 0

unde numerele A , B , C și D sunt coeficienții pe care, de fapt, doriți să îi găsiți.

Ei bine, cum să obțineți ecuația planului, dacă sunt cunoscute doar coordonatele punctelor? Cel mai simplu mod este să înlocuiți coordonatele în ecuația Ax + By + Cz + D = 0. Obțineți un sistem de trei ecuații care este ușor de rezolvat.

Mulți studenți consideră că această soluție este extrem de plictisitoare și nesigură. Examenul de matematică de anul trecut a arătat că probabilitatea de a face o eroare de calcul este foarte mare.

Prin urmare, cei mai avansați profesori au început să caute soluții mai simple și mai elegante. Și au găsit-o! Adevărat, tehnica obținută este mai probabil să fie legată de matematica superioară. Personal, a trebuit să răsfoiesc întreaga listă federală de manuale pentru a mă asigura că avem dreptul de a folosi această tehnică fără nicio justificare și dovezi.

Ecuația planului prin determinant

Destul de dezgustări, să trecem la treabă. Pentru început, o teoremă despre modul în care determinantul matricei și ecuația planului sunt legate.

Teorema. Fie date coordonatele a trei puncte prin care trebuie trasat planul: M = (x 1 , y 1 , z 1 ); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Atunci ecuația acestui plan poate fi scrisă în termeni de determinant:

De exemplu, să încercăm să găsim o pereche de avioane care apar de fapt în problemele C2. Uită-te la cât de repede contează totul:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Compunem determinantul și îl echivalăm cu zero:

Deschiderea determinantului:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

După cum puteți vedea, când am calculat numărul d, am ajustat puțin ecuația, astfel încât variabilele x, y și z să fie în ordinea corectă. Asta e tot! Ecuația avionului este gata!

O sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Înlocuiți imediat coordonatele punctelor din determinant:

Extinderea din nou a determinantului:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Deci, ecuația plană se obține din nou! Din nou, la ultimul pas, a trebuit să schimb semnele din el pentru a obține o formulă mai „frumoasă”. Nu este necesar să faceți acest lucru în această soluție, dar este totuși recomandat - pentru a simplifica soluția ulterioară a problemei.

După cum puteți vedea, acum este mult mai ușor să scrieți ecuația planului. Substituim punctele în matrice, calculăm determinantul - și gata, ecuația este gata.

Acesta ar putea fi sfârșitul lecției. Cu toate acestea, mulți studenți uită constant ce este în interiorul determinantului. De exemplu, care linie conține x 2 sau x 3 și care linie doar x. Pentru a rezolva în sfârșit acest lucru, să urmărim de unde provine fiecare număr.

De unde vine formula cu determinantul?

Deci, să ne dăm seama de unde vine o ecuație atât de dură cu un determinant. Acest lucru vă va ajuta să vă amintiți și să îl aplicați cu succes.

Toate planurile care apar în problema C2 sunt definite de trei puncte. Aceste puncte sunt întotdeauna marcate pe desen sau chiar indicate direct în textul problemei. În orice caz, pentru a compila ecuația, trebuie să le scriem coordonatele:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Luați în considerare încă un punct din planul nostru cu coordonate arbitrare:

T = (x, y, z)

Luăm orice punct din primele trei (de exemplu, punctul M ) și desenăm vectori din acesta către fiecare dintre cele trei puncte rămase. Obținem trei vectori:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x3-x1, y3-y1,z3-z1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Acum să facem o matrice pătrată din acești vectori și să echivalăm determinantul acesteia cu zero. Coordonatele vectorilor vor deveni rândurile matricei - și vom obține același determinant care este indicat în teoremă:

Această formulă înseamnă că volumul cutiei construite pe vectorii MN , MK și MT este egal cu zero. Prin urmare, toți cei trei vectori se află în același plan. În special, un punct arbitrar T = (x, y, z) este exact ceea ce căutam.

Înlocuirea punctelor și rândurilor determinantului

Determinanții au niște proprietăți minunate care fac și mai ușor de făcut rezolvarea problemei C2. De exemplu, nu contează pentru noi din ce punct să desenăm vectori. Prin urmare, următorii determinanți dau aceeași ecuație plană ca cea de mai sus:

De asemenea, puteți schimba liniile determinantului. Ecuația va rămâne neschimbată. De exemplu, multor oameni le place să scrie o linie cu coordonatele punctului T = (x; y; z) în partea de sus. Vă rog, dacă vă convine:

Pe unii îi încurcă faptul că una dintre linii conține variabile x , y și z , care nu dispar la înlocuirea punctelor. Dar nu ar trebui să dispară! Înlocuind numerele în determinant, ar trebui să obțineți următoarea construcție:

Apoi determinantul este extins conform schemei date la începutul lecției și se obține ecuația standard a planului:

Ax + By + Cz + D = 0

Aruncă o privire la un exemplu. El este ultimul din lecția de astăzi. Voi schimba în mod deliberat liniile pentru a mă asigura că răspunsul va fi aceeași ecuație a planului.

O sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Deci, luăm în considerare 4 puncte:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Mai întâi, să facem un determinant standard și să-l echivalăm cu zero:

Deschiderea determinantului:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Asta e, avem răspunsul: x + y + z − 2 = 0 .

Acum să rearanjam câteva rânduri în determinant și să vedem ce se întâmplă. De exemplu, să scriem o linie cu variabilele x, y, z nu în partea de jos, ci în partea de sus:

Să extindem din nou determinantul rezultat:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Avem exact aceeași ecuație plană: x + y + z − 2 = 0. Deci, chiar nu depinde de ordinea rândurilor. Rămâne să scrieți răspunsul.

Deci, am văzut că ecuația planului nu depinde de succesiunea de drepte. Este posibil să se efectueze calcule similare și să se demonstreze că ecuația planului nu depinde de punctul ale cărui coordonate le scădem din celelalte puncte.

În problema considerată mai sus, am folosit punctul B 1 = (1, 0, 1), dar a fost foarte posibil să luăm C = (1, 1, 0) sau D 1 = (0, 1, 1). În general, orice punct cu coordonate cunoscute se află pe planul dorit.

Pentru ca un singur plan să fie trasat prin oricare trei puncte din spațiu, este necesar ca aceste puncte să nu se afle pe o singură dreaptă.

Se consideră punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) într-un sistem de coordonate carteziene comun.

Pentru ca un punct arbitrar M(x, y, z) să se afle în același plan cu punctele M 1 , M 2 , M 3 , vectorii trebuie să fie coplanari.

(
) = 0

În acest fel,

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte:

Ecuația unui plan în raport cu două puncte și a unui vector coliniar cu planul.

Fie punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) și vectorul
.

Să compunem ecuația planului care trece prin punctele date M 1 și M 2 și un punct arbitrar M (x, y, z) paralel cu vectorul .

Vectori
și vector
trebuie să fie coplanare, adică

(
) = 0

Ecuația plană:

Ecuația unui plan în raport cu un punct și doi vectori,

plan coliniar.

Să fie dați doi vectori
și
, planuri coliniare. Atunci pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, vectorii
trebuie să fie coplanare.

Ecuația plană:

Ecuație plană după punct și vector normal .

Teorema. Dacă un punct M este dat în spațiu 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul normal (A, B, C) se pare ca:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dovada. Pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, compunem un vector . pentru că vector - vectorul normal, atunci este perpendicular pe plan și, prin urmare, perpendicular pe vector
. Apoi produsul scalar

= 0

Astfel, obținem ecuația planului

Teorema a fost demonstrată.

Ecuația unui plan în segmente.

Dacă în ecuația generală Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, împărțiți ambele părți la (-D)

,

înlocuind
, obținem ecuația planului în segmente:

Numerele a, b, c sunt punctele de intersecție ale planului, respectiv, cu axele x, y, z.

Ecuație plană în formă vectorială.

Unde

- raza-vector al punctului curent M(x, y, z),

Un vector unitar care are direcția perpendicularei coborâtă față de planul de la origine.

,  și  sunt unghiurile formate de acest vector cu axele x, y, z.

p este lungimea acestei perpendiculare.

În coordonate, această ecuație are forma:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distanța de la un punct la un plan.

Distanța de la un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) la planul Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 este:

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P (4; -3; 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Deci A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, utilizați formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unui plan care trece prin două puncte P(2; 0; -1) și

Q(1; -1; 3) este perpendicular pe planul 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vector normal în plan 3x + 2y - z + 5 = 0
paralel cu planul dorit.

Primim:

Exemplu. Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și

В(3, 2, -1) perpendicular pe plan X + la + 2z – 3 = 0.

Ecuația plană dorită are forma: A X+ B y+ C z+ D = 0, vectorul normal la acest plan (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal (1, 1, 2). pentru că punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci

Deci vectorul normal (11, -7, -2). pentru că punctul A apartine planului dorit, atunci coordonatele lui trebuie sa satisfaca ecuatia acestui plan, i.e. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.

În total, obținem ecuația planului: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4, -3, 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Aflarea coordonatelor vectorului normal
= (4, -3, 12). Ecuația dorită a planului are forma: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Pentru a găsi coeficientul D, înlocuim coordonatele punctului Р în ecuație:

16 + 9 + 144 + D = 0

În total, obținem ecuația dorită: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplu. Având în vedere coordonatele vârfurilor piramidei A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Aflați lungimea muchiei A 1 A 2 .

Aflați unghiul dintre muchiile A 1 A 2 și A 1 A 4.

Aflați unghiul dintre muchia A 1 A 4 și fața A 1 A 2 A 3 .

Mai întâi, găsiți vectorul normal al feței A 1 A 2 A 3 ca produs încrucișat al vectorilor
și
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Aflați unghiul dintre vectorul normal și vector
.

-4 – 4 = -8.

Unghiul dorit  între vector și plan va fi egal cu  = 90 0 - .

Aflați aria feței A 1 A 2 A 3 .

Aflați volumul piramidei.

Aflați ecuația planului А 1 А 2 А 3 .

Folosim formula pentru ecuația unui plan care trece prin trei puncte.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Când utilizați versiunea pentru PC a „ Curs de matematică superioară” puteți rula un program care va rezolva exemplul de mai sus pentru orice coordonate ale vârfurilor piramidei.

Faceți dublu clic pe pictogramă pentru a lansa programul:

În fereastra programului care se deschide, introduceți coordonatele vârfurilor piramidei și apăsați Enter. Astfel, toate punctele de decizie pot fi obținute unul câte unul.

Notă: Pentru a rula programul, trebuie să aveți Maple ( Waterloo Maple Inc.) instalat pe computer, orice versiune începând cu MapleV Release 4.