Piramidă. Piramida trunchiată

Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (Fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .

Coastă laterală piramida se numeste latura fetei laterale care nu apartine bazei Înălţime piramida este distanța de la vârful ei până la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf se numește apotemă . secțiune diagonală O secțiune a unei piramide se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Suprafața laterală piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga este suma ariilor tuturor fețelor laterale și ale bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

2. Dacă în piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris lângă bază.

3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, formula este corectă:

Unde V- volum;

S principal- suprafata de baza;

H este înălțimea piramidei.

Pentru o piramidă obișnuită, următoarele formule sunt adevărate:

Unde p- perimetrul bazei;

h a- apotema;

H- inaltime;

S plin

partea S

S principal- suprafata de baza;

V este volumul unei piramide regulate.

trunchi de piramidă numită porțiunea piramidei cuprinsă între bază și planul de tăiere paralelă cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de tăiere paralel cu baza piramidei.

Fundații trunchi de piramidă - poligoane asemănătoare. Fețe laterale - trapez. Înălţime piramida trunchiată se numește distanța dintre bazele sale. Diagonală O piramidă trunchiată este un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. secțiune diagonală O secțiune a unei piramide trunchiate se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe.

Pentru o piramidă trunchiată, formulele sunt valabile:

(4)

Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin este suprafața totală;

partea S este aria suprafeței laterale;

H- inaltime;

V este volumul piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, următoarea formulă este adevărată:

Unde p 1 , p 2 - perimetre de bază;

h a- apotema unei piramide trunchiate regulate.

Exemplul 1Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedrul de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 18).

Piramida este regulată, ceea ce înseamnă că baza este un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedrul de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar va fi unghiul Aîntre două perpendiculare: i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) este unghiul dintre muchia însăși și proiecția acesteia pe planul de bază. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD. Pentru a găsi tangenta trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEși OB. Fie lungimea segmentului BD este 3 A. punct O segment de linie BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2 Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm și înălțimea este de 4 cm.

Decizie. Pentru a afla volumul unei piramide trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi zonele bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm, respectiv 8 cm. Aceasta înseamnă ariile bazelor și Înlocuind toate datele în formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cmc.

Exemplul 3 Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare regulate ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți bazele și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. Găsiți-l de unde DAR 1 E perpendicular de la un punct DAR 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la DAR 1 pe AC. DAR 1 E\u003d 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. Pentru găsire DE vom realiza un desen suplimentar, în care vom reprezenta o vedere de sus (Fig. 20). Punct O- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi Fig. 20) şi Pe de altă parte Bine este raza cercului înscris și OM este raza cercului înscris:

MK=DE.

Conform teoremei lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4 La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze Ași b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi egal cu planul bazei piramidei j. Aflați suprafața totală a piramidei.

Decizie. Să facem un desen (Fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD este egală cu suma ariilor și aria trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct O- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD la planul de bază. Conform teoremei privind aria proiecției ortogonale a unei figuri plate, obținem:

În mod similar, înseamnă Astfel, problema s-a redus la găsirea zonei trapezului ABCD. Desenați un trapez ABCD separat (Fig. 22). Punct O este centrul unui cerc înscris într-un trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci sau Prin teorema lui Pitagora avem

În această lecție, vom lua în considerare o piramidă trunchiată, ne vom familiariza cu piramida trunchiată corectă și vom studia proprietățile acestora.

Să ne amintim conceptul de piramidă n-gonală folosind exemplul unei piramide triunghiulare. Triunghiul ABC este dat. În afara planului triunghiului se ia un punct P, legat de vârfurile triunghiului. Suprafața poliedrică rezultată se numește piramidă (Fig. 1).

Orez. 1. Piramida triunghiulara

Să tăiem piramida cu un plan paralel cu planul bazei piramidei. Figura obţinută între aceste planuri se numeşte trunchi de piramidă (Fig. 2).

Orez. 2. Piramida trunchiată

Elemente principale:

Baza de sus;

Baza inferioară ABC;

Fața laterală;

Dacă PH este înălțimea piramidei originale, atunci este înălțimea piramidei trunchiate.

Proprietățile unei piramide trunchiate decurg din metoda de construcție a acesteia, și anume din paralelismul planurilor bazelor:

Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze. Luați în considerare, de exemplu, o față. Are proprietatea planurilor paralele (deoarece planurile sunt paralele, ele taie fața laterală a piramidei originale ABP de-a lungul unor linii paralele), în același timp nu sunt paralele. Evident, patrulaterul este un trapez, ca toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate.

Raportul bazelor este același pentru toate trapezele:

Avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu același coeficient de similitudine. De exemplu, triunghiurile și RAB sunt similare datorită paralelismului planelor și , coeficientului de similitudine:

În același timp, triunghiurile și RCS sunt similare cu coeficientul de similitudine:

Evident, coeficienții de similaritate pentru toate cele trei perechi de triunghiuri similare sunt egali, deci raportul bazelor este același pentru toate trapezele.

O trunchiă de piramidă obișnuită este o trunchiă de piramidă obținută prin tăierea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza (Fig. 3).

Orez. 3. Corectează piramida trunchiată

Definiție.

O piramidă obișnuită se numește piramidă, la baza căreia se află un n-gon regulat, iar vârful este proiectat în centrul acestui n-gon (centrul cercului înscris și circumscris).

În acest caz, un pătrat se află la baza piramidei, iar vârful este proiectat până la punctul de intersecție al diagonalelor sale. Piramida trunchiată patruunghiulară regulată rezultată are ABCD - baza inferioară, - baza superioară. Înălțimea piramidei originale - RO, piramidă trunchiată - (Fig. 4).

Orez. 4. Piramidă trunchiată patruunghiulară regulată

Definiție.

Înălțimea unei trunchi de piramidă este o perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul celei de-a doua baze.

Apotema piramidei originale este RM (M este mijlocul lui AB), apotema piramidei trunchiate este (Fig. 4).

Definiție.

Apotema unei piramide trunchiate este înălțimea oricărei fețe laterale.

Este clar că toate marginile laterale ale piramidei trunchiate sunt egale între ele, adică fețele laterale sunt trapeze isoscele egale.

Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema.

Dovada (pentru o piramidă trunchiată patruunghiulară obișnuită - Fig. 4):

Deci, trebuie să demonstrăm:

Suprafața laterală aici va consta din suma suprafețelor fețelor laterale - trapeze. Deoarece trapezele sunt aceleași, avem:

Aria unui trapez isoscel este produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea, apotema este înălțimea trapezului. Noi avem:

Q.E.D.

Pentru o piramidă n-gonală:

Unde n este numărul de fețe laterale ale piramidei, a și b sunt bazele trapezului, este apotema.

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare trunchiate regulate sunt egale cu 3 cm și 9 cm, înălțimea - 4 cm Aflați aria suprafeței laterale.

Orez. 5. Ilustrație pentru problema 1

Decizie. Să ilustrăm condiția:

Dat: , ,

Desenați o linie dreaptă MN prin punctul O paralelă cu cele două laturi ale bazei inferioare, în mod similar, trageți o linie dreaptă prin punct (Fig. 6). Deoarece pătratele și construcțiile sunt paralele la bazele piramidei trunchiate, obținem un trapez egal cu fețele laterale. Mai mult, partea sa laterală va trece prin mijlocul marginilor superioare și inferioare ale fețelor laterale și va fi simbolul unei piramide trunchiate.

Orez. 6. Construcții suplimentare

Luați în considerare trapezul rezultat (Fig. 6). În acest trapez se cunosc baza superioară, baza inferioară și înălțimea. Este necesar să se găsească latura laterală, care este apotema piramidei trunchiate date. Desenați perpendicular pe MN. Să aruncăm perpendiculara NQ din punct. Obținem că baza mai mare este împărțită în segmente de trei centimetri (). Luați în considerare un triunghi dreptunghic, catetele din el sunt cunoscute, acesta este un triunghi egiptean, prin teorema lui Pitagora determinăm lungimea ipotenuzei: 5 cm.

Acum există toate elementele pentru determinarea ariei suprafeței laterale a piramidei:

Piramida este străbătută de un plan paralel cu baza. Folosind exemplul unei piramide triunghiulare, demonstrați că marginile laterale și înălțimea piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale.

Dovada. Să ilustrăm:

Orez. 7. Ilustrație pentru problema 2

Este dată piramida RABC. RO este înălțimea piramidei. Piramida este disecata printr-un plan, se obtine, de altfel, si o trunchiata de piramida. Punct - punctul de intersecție al înălțimii RO cu planul bazei piramidei trunchiate. Este necesar să se dovedească:

Cheia soluției este proprietatea planurilor paralele. Două plane paralele trec prin orice al treilea plan, astfel încât liniile de intersecție să fie paralele. De aici: . Paralelismul dreptelor corespunzătoare implică prezența a patru perechi de triunghiuri similare:

Din asemănarea triunghiurilor rezultă proporționalitatea laturilor corespunzătoare. O caracteristică importantă este că coeficienții de similaritate pentru aceste triunghiuri sunt aceiași:

Q.E.D.

O piramidă triunghiulară regulată RABC cu o înălțime și o latură a bazei este disecată de un plan care trece prin punctul de mijloc al înălțimii PH paralel cu baza ABC. Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate rezultate.

Decizie. Să ilustrăm:

Orez. 8. Ilustrație pentru problema 3

DIA este un triunghi regulat, H este centrul acestui triunghi (centrul cercurilor înscrise și circumscrise). RM este apotema piramidei date. - apotema piramidei trunchiate. Conform proprietății planelor paralele (două plane paralele decupează orice al treilea plan, astfel încât liniile de intersecție să fie paralele), avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu un coeficient de similaritate egal. În special, ne interesează relația:

Să găsim NM. Aceasta este raza unui cerc înscris în bază, știm formula corespunzătoare:

Acum, din triunghiul dreptunghic РНМ, după teorema lui Pitagora, găsim РМ - apotema piramidei originale:

Din raportul initial:

Acum cunoaștem toate elementele pentru găsirea suprafeței laterale a unei piramide trunchiate:

Așadar, ne-am familiarizat cu conceptele de trunchi de piramidă și de trunchi de piramidă obișnuită, am dat definiții de bază, am considerat proprietăți și am demonstrat teorema pe suprafața laterală. Următoarea lecție se va concentra pe rezolvarea problemelor.

Bibliografie

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometrie. Clasele 10-11: Un manual pentru instituţiile de învăţământ general / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituții de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butarda, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Teme pentru acasă

Această lecție vă va ajuta să vă faceți o idee despre subiectul „Piramida. Piramida regulata si trunchiata. În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă obișnuită, vom oferi o definiție. Apoi demonstrăm teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate și teorema pe suprafața laterală a unei piramide trunchiate regulate.

Tema: Piramida

Lecția: Piramide regulate și trunchiate

Definiție: o piramidă n-gonală regulată este o piramidă a cărei bază este un n-gon regulat, iar înălțimea este proiectată în centrul acestui n-gon (Fig. 1).

Orez. unu

Piramidă triunghiulară regulată

Pentru început, luăm în considerare ∆ABC (Fig. 2), în care AB=BC=CA (adică un triunghi regulat se află la baza piramidei). Într-un triunghi obișnuit, centrul cercurilor înscrise și circumscrise coincid și sunt centrul triunghiului însuși. În acest caz, centrul se găsește astfel: găsim mijlocul lui AB - C 1, se trasează segmentul SS 1, care este mediana, bisectoarea și înălțimea; în mod similar găsim punctul mijlociu AC - B 1 şi desenăm segmentul BB 1 . Intersecția dintre BB 1 și CC 1 va fi punctul O, care este centrul lui ∆ABC.

Dacă conectăm centrul triunghiului O cu vârful piramidei S, atunci obținem înălțimea piramidei SO ⊥ ABC, SO = h.

Conectând punctul S cu punctele A, B și C, obținem marginile laterale ale piramidei.

Am obținut o piramidă triunghiulară regulată SABC (Fig. 2).

- Acesta este un poliedru, care este format din baza piramidei și o secțiune paralelă cu aceasta. Putem spune că o piramidă trunchiată este o piramidă cu vârful tăiat. Această cifră are multe proprietăți unice:

• Fețele laterale ale piramidei sunt trapeze;
• Nervurile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt de aceeași lungime și înclinate față de bază la același unghi;
• Bazele sunt poligoane asemănătoare;
• Într-o piramidă trunchiată obișnuită, fețele sunt trapeze isoscele identice, a căror zonă este egală. Ele sunt, de asemenea, înclinate către bază la un unghi.

Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate este suma ariilor laturilor sale:

Deoarece laturile trunchiului piramidei sunt trapeze, va trebui să utilizați formula pentru a calcula parametrii zona trapezoidală. Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, se poate aplica o altă formulă pentru calcularea suprafeței. Deoarece toate laturile, fețele și unghiurile sale de la bază sunt egale, este posibil să se aplice perimetrele bazei și ale apotemului și, de asemenea, să se obțină aria prin unghiul de la bază.

Dacă, conform condițiilor dintr-o piramidă trunchiată obișnuită, sunt date apotema (înălțimea laturii) și lungimile laturilor bazei, atunci aria poate fi calculată prin semiprodusul sumei perimetrelor de bazele și apotema:

Să ne uităm la un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate.
Dată o piramidă pentagonală regulată. Apotema l\u003d 5 cm, lungimea feței în baza mare este A\u003d 6 cm, iar fața este la baza mai mică b\u003d 4 cm. Calculați aria piramidei trunchiate.

Mai întâi, să găsim perimetrele bazelor. Deoarece ni se oferă o piramidă pentagonală, înțelegem că bazele sunt pentagoane. Aceasta înseamnă că bazele sunt o figură cu cinci laturi identice. Găsiți perimetrul bazei mai mari:

În același mod, găsim perimetrul bazei mai mici:

Acum putem calcula aria unei piramide trunchiate obișnuite. Inlocuim datele din formula:

Astfel, am calculat aria unei piramide trunchiate obișnuite prin perimetre și apotema.

O altă modalitate de a calcula suprafața laterală a unei piramide obișnuite este formula prin colțurile de la bază și zona acestor baze.

Să ne uităm la un exemplu de calcul. Amintiți-vă că această formulă se aplică numai unei piramide trunchiate obișnuite.

Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Fața bazei inferioare este a = 6 cm, iar fața bazei superioare b = 4 cm.Unghiul diedric la bază este β = 60°. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite.

Mai întâi, să calculăm aria bazelor. Deoarece piramida este regulată, toate fețele bazelor sunt egale între ele. Având în vedere că baza este un patrulater, înțelegem că va fi necesar să se calculeze suprafata patrata. Este produsul lățimii și lungimii, dar la pătrat, aceste valori sunt aceleași. Găsiți aria bazei mai mari:


Acum folosim valorile găsite pentru a calcula suprafața laterală.

Cunoscând câteva formule simple, am calculat cu ușurință aria trapezului lateral al unei piramide trunchiate prin diferite valori.

În această lecție, vom lua în considerare o piramidă trunchiată, ne vom familiariza cu piramida trunchiată corectă și vom studia proprietățile acestora.

Să ne amintim conceptul de piramidă n-gonală folosind exemplul unei piramide triunghiulare. Triunghiul ABC este dat. În afara planului triunghiului se ia un punct P, legat de vârfurile triunghiului. Suprafața poliedrică rezultată se numește piramidă (Fig. 1).

Orez. 1. Piramida triunghiulara

Să tăiem piramida cu un plan paralel cu planul bazei piramidei. Figura obţinută între aceste planuri se numeşte trunchi de piramidă (Fig. 2).

Orez. 2. Piramida trunchiată

Elemente principale:

Baza de sus;

Baza inferioară ABC;

Fața laterală;

Dacă PH este înălțimea piramidei originale, atunci este înălțimea piramidei trunchiate.

Proprietățile unei piramide trunchiate decurg din metoda de construcție a acesteia, și anume din paralelismul planurilor bazelor:

Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze. Luați în considerare, de exemplu, o față. Are proprietatea planurilor paralele (deoarece planurile sunt paralele, ele taie fața laterală a piramidei originale ABP de-a lungul unor linii paralele), în același timp nu sunt paralele. Evident, patrulaterul este un trapez, ca toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate.

Raportul bazelor este același pentru toate trapezele:

Avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu același coeficient de similitudine. De exemplu, triunghiurile și RAB sunt similare datorită paralelismului planelor și , coeficientului de similitudine:

În același timp, triunghiurile și RCS sunt similare cu coeficientul de similitudine:

Evident, coeficienții de similaritate pentru toate cele trei perechi de triunghiuri similare sunt egali, deci raportul bazelor este același pentru toate trapezele.

O trunchiă de piramidă obișnuită este o trunchiă de piramidă obținută prin tăierea unei piramide regulate cu un plan paralel cu baza (Fig. 3).

Orez. 3. Corectează piramida trunchiată

Definiție.

O piramidă obișnuită se numește piramidă, la baza căreia se află un n-gon regulat, iar vârful este proiectat în centrul acestui n-gon (centrul cercului înscris și circumscris).

În acest caz, un pătrat se află la baza piramidei, iar vârful este proiectat până la punctul de intersecție al diagonalelor sale. Piramida trunchiată patruunghiulară regulată rezultată are ABCD - baza inferioară, - baza superioară. Înălțimea piramidei originale - RO, piramidă trunchiată - (Fig. 4).

Orez. 4. Piramidă trunchiată patruunghiulară regulată

Definiție.

Înălțimea unei trunchi de piramidă este o perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul celei de-a doua baze.

Apotema piramidei originale este RM (M este mijlocul lui AB), apotema piramidei trunchiate este (Fig. 4).

Definiție.

Apotema unei piramide trunchiate este înălțimea oricărei fețe laterale.

Este clar că toate marginile laterale ale piramidei trunchiate sunt egale între ele, adică fețele laterale sunt trapeze isoscele egale.

Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema.

Dovada (pentru o piramidă trunchiată patruunghiulară obișnuită - Fig. 4):

Deci, trebuie să demonstrăm:

Suprafața laterală aici va consta din suma suprafețelor fețelor laterale - trapeze. Deoarece trapezele sunt aceleași, avem:

Aria unui trapez isoscel este produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea, apotema este înălțimea trapezului. Noi avem:

Q.E.D.

Pentru o piramidă n-gonală:

Unde n este numărul de fețe laterale ale piramidei, a și b sunt bazele trapezului, este apotema.

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare trunchiate regulate sunt egale cu 3 cm și 9 cm, înălțimea - 4 cm Aflați aria suprafeței laterale.

Orez. 5. Ilustrație pentru problema 1

Decizie. Să ilustrăm condiția:

Dat: , ,

Desenați o linie dreaptă MN prin punctul O paralelă cu cele două laturi ale bazei inferioare, în mod similar, trageți o linie dreaptă prin punct (Fig. 6). Deoarece pătratele și construcțiile sunt paralele la bazele piramidei trunchiate, obținem un trapez egal cu fețele laterale. Mai mult, partea sa laterală va trece prin mijlocul marginilor superioare și inferioare ale fețelor laterale și va fi simbolul unei piramide trunchiate.

Orez. 6. Construcții suplimentare

Luați în considerare trapezul rezultat (Fig. 6). În acest trapez se cunosc baza superioară, baza inferioară și înălțimea. Este necesar să se găsească latura laterală, care este apotema piramidei trunchiate date. Desenați perpendicular pe MN. Să aruncăm perpendiculara NQ din punct. Obținem că baza mai mare este împărțită în segmente de trei centimetri (). Luați în considerare un triunghi dreptunghic, catetele din el sunt cunoscute, acesta este un triunghi egiptean, prin teorema lui Pitagora determinăm lungimea ipotenuzei: 5 cm.

Acum există toate elementele pentru determinarea ariei suprafeței laterale a piramidei:

Piramida este străbătută de un plan paralel cu baza. Folosind exemplul unei piramide triunghiulare, demonstrați că marginile laterale și înălțimea piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale.

Dovada. Să ilustrăm:

Orez. 7. Ilustrație pentru problema 2

Este dată piramida RABC. RO este înălțimea piramidei. Piramida este disecata printr-un plan, se obtine, de altfel, si o trunchiata de piramida. Punct - punctul de intersecție al înălțimii RO cu planul bazei piramidei trunchiate. Este necesar să se dovedească:

Cheia soluției este proprietatea planurilor paralele. Două plane paralele trec prin orice al treilea plan, astfel încât liniile de intersecție să fie paralele. De aici: . Paralelismul dreptelor corespunzătoare implică prezența a patru perechi de triunghiuri similare:

Din asemănarea triunghiurilor rezultă proporționalitatea laturilor corespunzătoare. O caracteristică importantă este că coeficienții de similaritate pentru aceste triunghiuri sunt aceiași:

Q.E.D.

O piramidă triunghiulară regulată RABC cu o înălțime și o latură a bazei este disecată de un plan care trece prin punctul de mijloc al înălțimii PH paralel cu baza ABC. Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate rezultate.

Decizie. Să ilustrăm:

Orez. 8. Ilustrație pentru problema 3

DIA este un triunghi regulat, H este centrul acestui triunghi (centrul cercurilor înscrise și circumscrise). RM este apotema piramidei date. - apotema piramidei trunchiate. Conform proprietății planelor paralele (două plane paralele decupează orice al treilea plan, astfel încât liniile de intersecție să fie paralele), avem mai multe perechi de triunghiuri similare cu un coeficient de similaritate egal. În special, ne interesează relația:

Să găsim NM. Aceasta este raza unui cerc înscris în bază, știm formula corespunzătoare:

Acum, din triunghiul dreptunghic РНМ, după teorema lui Pitagora, găsim РМ - apotema piramidei originale:

Din raportul initial:

Acum cunoaștem toate elementele pentru găsirea suprafeței laterale a unei piramide trunchiate:

Așadar, ne-am familiarizat cu conceptele de trunchi de piramidă și de trunchi de piramidă obișnuită, am dat definiții de bază, am considerat proprietăți și am demonstrat teorema pe suprafața laterală. Următoarea lecție se va concentra pe rezolvarea problemelor.

Bibliografie

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometrie. Clasele 10-11: Un manual pentru instituţiile de învăţământ general / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituții de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butarda, 2008. - 233 p.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Teme pentru acasă