Graficul unei funcții a unui cerc cu centru. Grafice online

Scopul lecției: introduceți ecuația unui cerc, învățați elevii să întocmească o ecuație a unui cerc după un desen terminat, construiți un cerc după o ecuație dată.

Echipamente: tablă interactivă.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric - 3 min.
2. Repetiţie. Organizarea activității mentale - 7 min.
3. Explicația noului material. Derivarea ecuației cercului - 10 min.
4. Consolidarea materialului studiat - 20 min.
5. Rezumatul lecției - 5 min.

În timpul orelor

2. Repetiție:

− (Anexa 1 slide 2) notează formula de găsire a coordonatelor mijlocului segmentului;

− (Diapozitivul 3) Z scrieți formula distanței dintre puncte (lungimea segmentului).

3. Explicarea materialului nou.

(Diapozitive 4 - 6) Definiți ecuația unui cerc. Deduceți ecuațiile unui cerc centrat într-un punct ( A;b) și centrat la origine.

(X – A ) 2 + (la – b ) 2 = R 2 − ecuația cercului cu centru Cu (A;b) , rază R , X și la – coordonatele unui punct arbitrar de pe cerc .

X 2 + y 2 = R 2 este ecuația unui cerc centrat la origine.

(Diapozitivul 7)

Pentru a scrie ecuația unui cerc, aveți nevoie de:

• cunoașteți coordonatele centrului;
• cunoașteți lungimea razei;
• înlocuiți coordonatele centrului și lungimea razei în ecuația cercului.

4. Rezolvarea problemelor.

În sarcinile nr. 1 - nr. 6, întocmește ecuațiile cercului conform desenelor finalizate.

(Diapozitivul 14)

№ 7. Completați tabelul.

(Diapozitivul 15)

№ 8. Construiți cercuri în caiet date de ecuațiile:

A) ( X – 5) 2 + (la + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (la– 7) 2 = 7 2 .

(Diapozitivul 16)

№ 9. Aflați coordonatele centrului și lungimea razei dacă AB este diametrul cercului.

(Diapozitivul 17)

№ 10. Scrieți ecuația unui cerc centrat la originea care trece prin punctul La(-12;5).

Decizie.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Ecuația cercului: x 2 + y 2 = 169 .

(Diapozitivul 18)

№ 11. Scrieți o ecuație pentru un cerc care trece prin origine și este centrat în punct Cu(3; - 1).

Decizie.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Ecuația cercului: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Diapozitivul 19)

№ 12. Scrieți ecuația unui cerc cu centru DAR(3;2) trecând prin LA(7;5).

Decizie.

1. Centrul cercului - DAR(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Ecuația cercului ( X – 3) 2 + (la − 2) 2 = 25.

(Diapozitivul 20)

№ 13. Verificați dacă există puncte DAR(1; -1), LA(0;8), Cu(-3; -1) pe cercul dat de ecuația ( X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

Decizie.

eu. Înlocuiți coordonatele punctului DAR(1; -1) în ecuația cercului:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - egalitatea este incorectă, ceea ce înseamnă DAR(1; -1) nu minte pe cercul dat de ecuația ( X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

II. Înlocuiți coordonatele punctului LA(0;8) în ecuația cercului:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
LA(0;8)minciuni X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

III.Înlocuiți coordonatele punctului Cu(-3; -1) în ecuația cercului:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - egalitatea este adevărată, deci Cu(-3; -1) minciuni pe cercul dat de ecuația ( X + 3) 2 + (la − 4) 2 = 25.

Rezumatul lecției.

1. Repetați: ecuația unui cerc, ecuația unui cerc centrat la origine.
2. (Diapozitivul 21) Teme pentru acasă.

circumferinţă este mulțimea de puncte din plan echidistante de un punct dat, numit centru.

Dacă punctul C este centrul cercului, R este raza acestuia și M este un punct arbitrar pe cerc, atunci prin definiția unui cerc

Egalitatea (1) este ecuația cercului raza R centrată în punctul C.

Fie un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare (Fig. 104) și un punct C ( A; b) este centrul unui cerc cu raza R. Fie М( X; la) este un punct arbitrar al acestui cerc.

Din moment ce |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), atunci ecuația (1) poate fi scrisă după cum urmează:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Ecuația (2) se numește ecuația generală a unui cerc sau ecuația unui cerc cu raza R centrat în punctul ( A; b). De exemplu, ecuația

(X - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

este ecuația unui cerc cu raza R = 5 centrat în punctul (1; -3).

Dacă centrul cercului coincide cu originea, atunci ecuația (2) ia forma

X 2 + la 2 = R2. (3)

Ecuația (3) se numește ecuația canonică a cercului .

Sarcina 1. Scrieți ecuația pentru un cerc cu raza R = 7 centrat la origine.

Prin înlocuirea directă a valorii razei în ecuația (3), obținem

X 2 + la 2 = 49.

Sarcina 2. Scrieți ecuația pentru un cerc cu raza R = 9 centrat în punctul C(3; -6).

Înlocuind valoarea coordonatelor punctului C și valoarea razei în formula (2), obținem

(X - 3) 2 + (la- (-6)) 2 = 81 sau ( X - 3) 2 + (la + 6) 2 = 81.

Sarcina 3. Aflați centrul și raza unui cerc

(X + 3) 2 + (la-5) 2 =100.

Comparând această ecuație cu ecuația generală a cercului (2), vedem că A = -3, b= 5, R = 10. Prin urmare, С(-3; 5), R = 10.

Sarcina 4. Demonstrați că ecuația

X 2 + la 2 + 4X - 2y - 4 = 0

este ecuația cercului. Găsiți centrul și raza acestuia.

Să transformăm partea stângă a acestei ecuații:

X 2 + 4X + 4- 4 + la 2 - 2la +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (la - 1) 2 = 9.

Această ecuație este ecuația unui cerc centrat pe (-2; 1); raza cercului este 3.

Sarcina 5. Scrieți ecuația unui cerc centrat în punctul C(-1; -1) care atinge dreapta AB dacă A (2; -1), B(-1; 3).

Să scriem ecuația dreptei AB:

sau 4 X + 3y-5 = 0.

Deoarece cercul este tangent la linia dată, raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe această dreaptă. Pentru a găsi raza, trebuie să găsiți distanța de la punctul C (-1; -1) - centrul cercului la linia dreaptă 4 X + 3y-5 = 0:

Să scriem ecuația cercului dorit

(X +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Fie dat un cerc într-un sistem de coordonate dreptunghiular X 2 + la 2 = R2. Luați în considerare punctul său arbitrar M( X; la) (Fig. 105).

Fie vectorul rază OM> punctul M formează un unghi de mărime t cu direcția pozitivă a axei O X, atunci abscisa și ordonata punctului M se modifică în funcție de t

(0 t x și y prin t, găsim

X= Rcos t ; y= R sin t , 0 t

Ecuațiile (4) se numesc ecuații parametrice ale unui cerc centrat la origine.

Sarcina 6. Cercul este dat de ecuații

X= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Scrieți ecuația canonică pentru acest cerc.

Din condiție rezultă X 2 = 3 cos 2 t, la 2 = 3 sin 2 t. Adăugând aceste egalități termen cu termen, obținem

X 2 + la 2 = 3(cos 2 t+ păcatul 2 t)

sau X 2 + la 2 = 3

Fie ca cercul să aibă o rază , iar centrul său este în punct
. Punct
se află pe cerc dacă și numai dacă modulul vectorului
egală , adică Ultima egalitate este valabilă dacă și numai dacă

Ecuația (1) este ecuația cercului dorită.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe un vector dat

perpendicular pe vector
.

Punct

și
sunt perpendiculare. Vectori
și
sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul lor punctual este zero, adică
. Folosind formula de calcul a produsului scalar al vectorilor dat de coordonatele lor, scriem ecuația dreptei dorite sub forma

Luați în considerare un exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin

mijlocul segmentului AB este perpendicular pe acest segment dacă coordonatele punctelor sunt, respectiv, egale cu A (1; 6), B (5; 4).

Vom argumenta după cum urmează. Pentru a găsi ecuația unei drepte, trebuie să cunoaștem punctul prin care trece această dreaptă și vectorul perpendicular pe această dreaptă. Vectorul perpendicular pe această dreaptă va fi vectorul, deoarece, după condiția problemei, dreapta este perpendiculară pe segmentul AB. Punct
determinăm din condiția ca dreapta să treacă prin mijlocul lui AB. Noi avem . Prin urmare
iar ecuația va lua forma.

Să clarificăm întrebarea dacă această dreaptă trece prin punctul M(7;3).

Avem , ceea ce înseamnă că această linie nu trece prin punctul specificat.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat, paralelă cu un vector dat

Lasă linia să treacă prin punct
paralel cu vectorul
.

Punct
se află pe o linie dacă și numai dacă vectorii
și
coliniare. Vectori
și
sunt coliniare dacă și numai dacă coordonatele lor sunt proporționale, adică

(3)

Ecuația rezultată este ecuația dreptei dorite.

Ecuația (3) poate fi reprezentată ca

, Unde ia orice valoare
.

Prin urmare, putem scrie

, Unde
(4)

Sistemul de ecuații (4) se numește ecuații parametrice ale dreptei.

Luați în considerare un exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin puncte. Putem construi ecuația unei drepte dacă cunoaștem un punct și un vector paralel sau perpendicular pe acesta. Sunt două puncte disponibile. Dar dacă două puncte se află pe o dreaptă, atunci vectorul care le conectează va fi paralel cu această dreaptă. Prin urmare, folosim ecuația (3), luând ca vector
vector
. Primim

(5)

Ecuația (5) se numește ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Ecuația generală a unei drepte

Definiție. Ecuația generală a unei drepte de ordinul întâi pe un plan este o ecuație de formă
, Unde
.

Teorema. Orice linie dreaptă din plan poate fi dată ca o ecuație de linie de ordinul întâi, iar orice ecuație de linie de ordinul întâi este o ecuație a unei linii drepte din plan.

Prima parte a acestei teoreme este ușor de demonstrat. Pe orice linie, puteți specifica un punct
vector perpendicular pe acesta
. Atunci, conform (2), ecuația unei astfel de drepte are forma Denota
. Apoi ecuația va lua forma
.

Acum să trecem la a doua parte a teoremei. Să existe o ecuație
, Unde
. Pentru certitudine, vom presupune
.

Să rescriem ecuația sub forma:

;

Luați în considerare un punct din avion
, Unde
. Atunci ecuația rezultată are forma și este ecuația unei drepte care trece prin punctul
perpendicular pe vector
. Teorema a fost demonstrată.

În procesul de demonstrare a teoremei, am demonstrat pe parcurs

Afirmație. Dacă există o ecuație în linie dreaptă
, apoi vectorul
perpendicular pe această dreaptă.

Tip ecuație
se numește ecuația generală a unei drepte într-un plan.

Să fie o linie
și punct
. Este necesar să se determine distanța de la punctul specificat la linie.

Luați în considerare un punct arbitrar
pe o linie dreaptă. Noi avem
. Distanţă din punct de vedere
la linia dreaptă este egală cu modulul proiecției vectorului
pe vector
perpendicular pe această dreaptă. Noi avem

,

transformare, obținem formula:

Fie două drepte date de ecuațiile generale

,
. Apoi vectorii

perpendicular pe prima și, respectiv, pe a doua linie. Injecţie
dintre linii este egal cu unghiul dintre vectori
,
.

Atunci formula pentru determinarea unghiului dintre linii este:

.

Condiția de perpendicularitate a dreptelor are forma:

.

Liniile sunt paralele sau coincid dacă și numai dacă vectorii

coliniare. în care condiţia coincidenţei liniilor are forma:
,

iar condiția fără intersecție este scrisă astfel:
. Demonstrați singur ultimele două condiții.

Să investigăm comportamentul dreptei conform ecuației sale generale.

Să fie dată ecuația generală a unei drepte
. În cazul în care un
, apoi linia trece prin origine.

Luați în considerare cazul în care niciunul dintre coeficienți nu este egal cu zero
. Rescriem ecuația sub forma:

,

,

Unde
. Aflați semnificația parametrilor
. Aflați punctele de intersecție ale dreptei cu axele de coordonate. La
noi avem
, și atunci când
noi avem
. i.e
- acestea sunt segmentele care sunt tăiate printr-o linie dreaptă pe axele de coordonate. Prin urmare, ecuația
se numește ecuația unei drepte în segmente.

Când
noi avem

. Când
noi avem
. Adică, linia va fi paralelă cu axa .

Amintește-ți asta panta unei drepte se numește tangenta unghiului de înclinare a acestei linii la axă
. Lăsați linia dreaptă tăiată pe axă segment de linie și are o pantă . Lasă punctul
minciuna pe asta

Apoi
==. Și ecuația unei linii drepte va fi scrisă sub formă

.

Lasă linia să treacă prin punct
și are o pantă . Lasă punctul
se află pe această linie.

Apoi =
.

Ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat cu o pantă dată.

Să fie date două linii
,
. Denota
este unghiul dintre ele. Lasa ,unghiuri de înclinare față de axa X a liniilor corespunzătoare

Apoi
=
,
.

Atunci condiția dreptelor paralele are forma
, și condiția de perpendicularitate

În concluzie, luăm în considerare două probleme.

Sarcină . Vârfurile triunghiului ABC au coordonatele: A(4;2), B(10;10), C(20;14).

Aflați: a) ecuația și lungimea medianei trase din vârful A;

b) ecuația și lungimea înălțimii trase din vârful A;

c) ecuaţia bisectoarei trasă din vârful A;

Să definim ecuația mediei AM.

Punctul M () este mijlocul segmentului BC.

Apoi , . Prin urmare, punctul M are coordonatele M(15;17). Ecuația mediană în limbajul geometriei analitice este ecuația unei drepte care trece prin punctul A (4; 2) paralel cu vectorul = (11; 15). Atunci ecuația mediană este Lungimea mediană AM= .

Ecuația înălțimii AS este ecuația unei drepte care trece prin punctul A(4;2) perpendicular pe vectorul =(10;4). Atunci ecuația înălțimii este 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.

Lungimea înălțimii este distanța de la punctul A (4; 2) la dreapta BC. Această dreaptă trece prin punctul B(10;10) paralel cu vectorul =(10;4). Ecuația sa este , 2x-5y+30=0. Distanța AS de la punctul A(4;2) la dreapta BC este, prin urmare, egală cu AS= .

Pentru a determina ecuația bisectoarei, găsim un vector paralel cu această dreaptă. Pentru a face acest lucru, folosim proprietatea diagonalei unui romb. Dacă vectorii unitari sunt puși deoparte de punctul A și sunt direcționați în mod egal cu vectorii, atunci un vector egal cu suma lor va fi paralel cu bisectoarea. Atunci avem =+.

={6;8}, , ={16,12}, .

Apoi = Vectorul = (1; 1), coliniar cu cel dat, poate servi ca vector de direcție al dreptei dorite. Atunci ecuația dreptei dorite a văzut x-y-2=0.

Sarcină. Râul curge în linie dreaptă trecând prin punctele A(4;3) și B(20;11). Scufița Roșie locuiește în punctul C(4;8), iar bunica ei locuiește în punctul D(13;20). În fiecare dimineață, Scufița Roșie ia o găleată goală din casă, merge la râu, trage apă și i-o duce bunicii. Găsiți calea cea mai scurtă pentru Scufița Roșie.

Să găsim punctul E, simetric față de bunica, relativ la râu.

Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi ecuația dreptei de-a lungul căreia curge râul. Această ecuație poate fi considerată drept ecuația unei drepte care trece prin punctul A(4;3) paralel cu vectorul. Atunci ecuația dreptei AB are forma.

În continuare, găsim ecuația dreptei DE care trece prin punctul D perpendicular pe AB. Poate fi considerată ca ecuația unei drepte care trece prin punctul D, perpendicular pe vector
. Noi avem

Acum să găsim punctul S - proiecția punctului D pe dreapta AB, ca intersecția dreptelor AB și DE. Avem un sistem de ecuații

.

Prin urmare, punctul S are coordonatele S(18;10).

Deoarece S este punctul de mijloc al segmentului DE, atunci .

De asemenea.

Prin urmare, punctul E are coordonatele E(23;0).

Să găsim ecuația dreptei CE, cunoscând coordonatele a două puncte ale acestei drepte

Găsim punctul M ca intersecția dreptelor AB și CE.

Avem un sistem de ecuații

.

Prin urmare, punctul M are coordonate
.

Subiectul 2 Conceptul de ecuație de suprafață în spațiu. Ecuația sferei. Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe un vector dat. Ecuația generală a planului și studiul lui Condiția de paralelism a două plane. Distanța de la un punct la un plan. Conceptul de ecuație a dreptei. Linie dreaptă în spațiu. Ecuații canonice și parametrice ale unei linii drepte în spațiu. Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date. Condiții de paralelism și perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Mai întâi, să definim conceptul de ecuație de suprafață în spațiu.

Lasă în spațiu
se da o anumita suprafata . Ecuația
se numește ecuația suprafeței daca sunt indeplinite doua conditii:

1.pentru orice punct
cu coordonate
intins la suprafata,
, adică coordonatele sale satisfac ecuația suprafeței;

2. orice punct
, ale cărui coordonate satisfac ecuația
, se află pe linie.

Construiește o funcție

Vă aducem la cunoștință un serviciu de trasare online a graficelor de funcții, toate drepturile asupra cărora aparțin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra diagramei, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Trasarea graficelor definite implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a obține un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scării, culoarea liniei
• Abilitatea de a reprezenta grafice după puncte, utilizarea constantelor
• Construirea mai multor grafice de funcții în același timp
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiești grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru afișarea graficelor pentru a le transfera ulterior într-un document Word ca ilustrații pentru rezolvarea problemelor, pentru analizarea caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Cel mai bun browser pentru lucrul cu diagrame de pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Când utilizați alte browsere, funcționarea corectă nu este garantată.

Dacă plasați un cerc cu număr de unitate pe planul de coordonate, atunci puteți găsi coordonatele punctelor sale. Cercul numeric este poziționat astfel încât centrul său să coincidă cu originea planului, adică punctul O (0; 0).

De obicei, pe un cerc cu număr de unitate, punctele sunt marcate corespunzătoare originii pe cerc

• sferturi - 0 sau 2π, π/2, π, (2π)/3,
• sferturi din mijloc - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• al treilea trimestru - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Pe planul de coordonate, cu aranjamentul de mai sus al cercului unitar pe acesta, se pot găsi coordonatele corespunzătoare acestor puncte ale cercului.

Este foarte ușor să găsești coordonatele capetelor de sferturi. În punctul 0 al cercului, coordonata x este 1, iar y este 0. Putem scrie A (0) = A (1; 0).

Sfârșitul primului trimestru va fi situat pe axa Y pozitivă. Prin urmare, B (π/2) = B (0; 1).

Sfârșitul celui de-al doilea trimestru este pe abscisa negativă: C (π) = C (-1; 0).

Sfârșitul celui de-al treilea trimestru: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Dar cum să găsiți coordonatele punctelor medii ale sferturii? Pentru a face acest lucru, construiți un triunghi dreptunghic. Ipotenuza sa este un segment de la centrul cercului (sau originea) până la mijlocul sfertului de cerc. Aceasta este raza cercului. Deoarece cercul este unitar, ipotenuza este egală cu 1. Apoi, se trasează o perpendiculară dintr-un punct de pe cerc pe orice axă. Lasă-l pe axa x. Rezultă un triunghi dreptunghic, ale cărui lungimi ale catetelor sunt coordonatele x și y ale punctului cercului.

Un sfert de cerc are 90º. Și jumătate de sfert este 45º. Deoarece ipotenuza este trasă în punctul din mijlocul sfertului, unghiul dintre ipotenuză și catetul care iese din origine este de 45º. Dar suma unghiurilor oricărui triunghi este 180º. Prin urmare, unghiul dintre ipotenuză și celălalt catete rămâne și el 45º. Se dovedește un triunghi dreptunghic isoscel.

Din teorema lui Pitagora obținem ecuația x 2 + y 2 = 1 2 . Deoarece x = y și 1 2 = 1, ecuația se simplifică la x 2 + x 2 = 1. Rezolvând-o, obținem x = √1 = 1/√2 = √2/2.

Astfel, coordonatele punctului M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

În coordonatele punctelor punctelor mijlocii ale altor sferturi, doar semnele se vor schimba, iar modulele de valori vor rămâne aceleași, deoarece triunghiul dreptunghic se va întoarce doar. Primim:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Atunci când se determină coordonatele celor trei părți ale sferturilor de cerc, se construiește și un triunghi dreptunghic. Dacă luăm punctul π/6 și desenăm o perpendiculară pe axa x, atunci unghiul dintre ipotenuză și catetul situat pe axa x va fi de 30º. Se știe că piciorul situat opus unui unghi de 30º este egal cu jumătate din ipotenuză. Deci am găsit coordonata y, este egală cu ½.

Cunoscând lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete, după teorema lui Pitagora găsim celălalt catete:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2

Astfel T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Pentru punctul din a doua treime a primului trimestru (π / 3), este mai bine să desenați o perpendiculară pe axa pe axa y. Atunci unghiul de la origine va fi de asemenea de 30º. Aici, coordonata x va fi deja egală cu ½, respectiv y, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Pentru alte puncte din al treilea trimestru, semnele și ordinea valorilor coordonatelor se vor schimba. Toate punctele care sunt mai aproape de axa x vor avea o valoare modulo a coordonatei x egală cu √3/2. Acele puncte care sunt mai aproape de axa y vor avea o valoare modulo y egală cu √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)