Fracții ordinare și zecimale și operații asupra acestora. Fracții periodice infinite

Acasă

fântâni

Se întâmplă că, pentru comoditatea calculelor, este necesar să convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală și invers. Vom vorbi despre cum să facem acest lucru în acest articol. Vom analiza regulile de conversie a fracțiilor obișnuite în zecimale și invers și vom da, de asemenea, exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vom lua în considerare conversia fracțiilor obișnuite în zecimale, aderând la o anumită secvență. Mai întâi, luați în considerare modul în care fracțiile obișnuite cu un numitor care este un multiplu de 10 sunt convertite în zecimale: 10, 100, 1000 etc. Fracțiile cu astfel de numitori, de fapt, sunt o notație mai greoaie a fracțiilor zecimale.

În continuare, ne vom uita la cum să convertim fracțiile obișnuite în fracții zecimale cu orice numitor, nu doar un multiplu de 10. Rețineți că atunci când convertiți fracții obișnuite în fracții zecimale, se obțin nu numai fracții zecimale finale, ci și fracții zecimale periodice infinite.

Să începem!

Translația fracțiilor ordinare cu numitorii 10, 100, 1000 etc. la zecimale

În primul rând, să spunem că unele fracții au nevoie de o anumită pregătire înainte de a fi convertite în formă zecimală. Ce este? Înainte de numărul din numărător, este necesar să se adauge atât de multe zerouri, astfel încât numărul de cifre din numărător să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, pentru fracția 3100, numărul 0 trebuie adăugat o dată la stânga lui 3 în numărător. Fracția 610, conform regulii de mai sus, nu trebuie îmbunătățită.

Luați în considerare încă un exemplu, după care formulăm o regulă care este deosebit de convenabilă de utilizat la început, în timp ce nu există atât de multă experiență în manipularea fracțiilor. Deci, fracția 1610000 după adăugarea zerourilor în numărător va arăta ca 001510000.

Cum se traduce o fracție obișnuită cu numitorul 10, 100, 1000 etc. la zecimală?

Regula pentru conversia fracțiilor proprii obișnuite în zecimale

Scrieți 0 și puneți o virgulă după el.
Notăm numărul de la numărător, care s-a dovedit după adăugarea zerourilor.

Acum să trecem la exemple.

Exemplul 1. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale

Transformați fracția comună 39100 în zecimală.

În primul rând, ne uităm la fracție și vedem că nu sunt necesare acțiuni pregătitoare - numărul de cifre din numărător se potrivește cu numărul de zerouri din numitor.

Urmând regula, notează 0 , după el pune o zecimală și notează numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0, 39.

Să analizăm soluția unui alt exemplu pe această temă.

Exemplul 2. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale

Să scriem fracția 105 10000000 ca fracție zecimală.

Numărul de zerouri din numitor este 7, iar numărătorul are doar trei cifre. Să mai adăugăm 4 zerouri în fața numărului din numărător:

0000105 10000000

Acum scriem 0, punem un punct zecimal după el și scriem numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0, 0000105.

Fracțiile luate în considerare în toate exemplele sunt fracții proprii obișnuite. Dar cum se transformă o fracție comună improprie într-o zecimală? Să spunem imediat că nu este nevoie de pregătire cu adăugarea de zerouri pentru astfel de fracții. Să formulăm o regulă.

Regula pentru conversia fracțiilor improprie obișnuite în zecimale

Notăm numărul care se află la numărător.
Cu virgulă zecimală, separăm în dreapta atâtea cifre câte zerouri sunt în numitorul fracției ordinare inițiale.

Mai jos este un exemplu de utilizare a acestei reguli.

Exemplul 3. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale

Să transformăm fracția 56888038009 100000 dintr-o neregulată obișnuită la o zecimală.

Mai întâi, scrieți numărul de la numărător:

Acum, în dreapta, separăm cinci cifre cu un punct zecimal (numărul de zerouri din numitor este cinci). Primim:

Următoarea întrebare care apare în mod natural este cum să convertiți un număr mixt într-o fracție zecimală dacă numitorul părții sale fracționale este numărul 10, 100, 1000 etc. Pentru a converti într-o fracție zecimală a unui astfel de număr, puteți folosi următoarea regulă.

Regula pentru conversia numerelor mixte în zecimale

Pregătim partea fracțională a numărului, dacă este necesar.
Notăm partea întreagă a numărului inițial și punem o virgulă după ea.
Scriem numărul de la numărătorul părții fracționale împreună cu zerourile anexate.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 4. Conversia numerelor mixte în zecimale

Convertiți numărul mixt 23 17 10000 în zecimal.

În partea fracționară, avem expresia 17 10000. Să o pregătim și să mai adăugăm două zerouri în stânga numărătorului. Primim: 0017 10000 .

Acum notăm partea întreagă a numărului și punem o virgulă după ea: 23,. .

După virgulă, scriem numărul de la numărător împreună cu zerouri. Obtinem rezultatul:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversia fracțiilor ordinare în fracții periodice finite și infinite

Desigur, puteți converti în fracții zecimale și fracții obișnuite cu un numitor diferit de 10, 100, 1000 etc.

Adesea, o fracție poate fi redusă cu ușurință la un nou numitor și apoi utilizați regula prezentată în primul paragraf al acestui articol. De exemplu, este suficient să înmulțim numărătorul și numitorul fracției 25 cu 2 și obținem fracția 410, care se reduce ușor la forma zecimală 0,4.

Cu toate acestea, această metodă de conversie a unei fracții obișnuite într-o zecimală nu poate fi întotdeauna utilizată. Mai jos vom lua în considerare ce să facem dacă este imposibil să aplicați metoda luată în considerare.

O modalitate fundamental nouă de a converti o fracție obișnuită într-o zecimală este împărțirea numărătorului la numitor cu o coloană. Această operație este foarte asemănătoare cu împărțirea numerelor naturale pe o coloană, dar are propriile sale caracteristici.

La împărțire, numărătorul este reprezentat ca o fracție zecimală - o virgulă este plasată în dreapta ultimei cifre a numărătorului și se adaugă zerouri. În câtul rezultat, punctul zecimal este plasat atunci când se termină împărțirea părții întregi a numărătorului. Cum funcționează exact această metodă va deveni clar după luarea în considerare a exemplelor.

Exemplul 5. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale

Să traducem fracția ordinară 621 4 în formă zecimală.

Să reprezentăm numărul 621 de la numărător ca o fracție zecimală, adăugând câteva zerouri după virgulă. 621 = 621 00

Acum vom împărți coloana 621, 00 la 4. Primii trei pași de împărțire vor fi la fel ca atunci când împărțim numerele naturale și obținem.

Când am ajuns la punctul zecimal din dividend, iar restul este diferit de zero, punem punctul zecimal în coeficient și continuăm să împărțim, fără să mai acordăm atenție virgulei din dividend.

Ca rezultat, obținem fracția zecimală 155 , 25 , care este rezultatul inversării fracției ordinare 621 4

621 4 = 155 , 25

Luați în considerare rezolvarea unui alt exemplu pentru a repara materialul.

Exemplul 6. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale

Să inversăm fracția ordinară 21 800 .

Pentru a face acest lucru, împărțiți fracția 21.000 la 800 într-o coloană. Împărțirea părții întregi se va încheia la primul pas, așa că imediat după aceasta punem o virgulă zecimală în cât și continuăm împărțirea, ignorând virgula din dividend până când obținem restul egal cu zero.

Ca rezultat, am obținut: 21 800 = 0. 02625 .

Dar ce se întâmplă dacă, la împărțire, nu obținem niciodată un rest de 0. În astfel de cazuri, împărțirea poate fi continuată la nesfârșit. Cu toate acestea, începând de la o anumită etapă, reziduurile se vor repeta periodic. În consecință, numerele din coeficient vor fi de asemenea repetate. Aceasta înseamnă că o fracție obișnuită este tradusă într-o fracție periodică infinită zecimală. Să ilustrăm ceea ce s-a spus cu un exemplu.

Exemplul 7. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale

Să transformăm fracția obișnuită 1944 într-o zecimală. Pentru a face acest lucru, efectuăm împărțirea pe o coloană.

Vedem că la împărțire, resturile 8 și 36 se repetă. În același timp, numerele 1 și 8 se repetă în coeficient. Aceasta este perioada în fracție zecimală. Când scrieți, aceste numere sunt luate între paranteze.

Astfel, fracția ordinară originală este tradusă într-o fracție zecimală periodică infinită.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Să avem o fracție ordinară ireductibilă. Ce formă va lua? Care fracții ordinare sunt convertite în zecimale finite și care în zecimale periodice infinite?

În primul rând, să presupunem că, dacă o fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000 .., atunci va arăta ca o fracție zecimală finală. Pentru ca o fracție să fie redusă la unul dintre acești numitori, numitorul ei trebuie să fie un divizor al cel puțin unuia dintre numerele 10, 100, 1000 etc. Din regulile de factorizare a numerelor în factori primi rezultă că divizorul numerelor 10, 100, 1000 etc. atunci când este descompus în factori primi, ar trebui să conțină numai numerele 2 și 5.

Să rezumăm ce s-a spus:

O fracție obișnuită poate fi redusă la forma unei fracții zecimale finale dacă numitorul ei poate fi descompus în factori primi de 2 și 5.
Dacă, pe lângă numerele 2 și 5, există și alte numere prime în expansiunea numitorului, fracția se reduce la forma unei fracții zecimale periodice infinite.

Să luăm un exemplu.

Exemplul 8. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale

Care dintre fracțiile date 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 se transformă într-o fracție zecimală finală și care - doar într-una periodică. Vom da un răspuns la această întrebare fără a converti direct o fracție obișnuită într-o zecimală.

Fracția 47 20 , după cum puteți vedea cu ușurință, prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu 5 se reduce la un nou numitor 100 .

4720 = 235100. De aici concluzionăm că această fracție este tradusă într-o fracție zecimală finală.

Factorizarea numitorului fracției 7 12 dă 12 = 2 2 3 . Deoarece factorul simplu 3 este diferit de 2 și de 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită, ci va avea forma unei fracții periodice infinite.

Fracția 21 56, în primul rând, trebuie să reduceți. După reducerea cu 7 obținem o fracție ireductibilă 3 8 , a cărei extindere a numitorului în factori dă 8 = 2 · 2 · 2 . Prin urmare, este o zecimală finală.

În cazul fracției 31 17, descompunerea în factori a numitorului este însuși numărul prim 17. În consecință, această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală periodică infinită.

O fracție obișnuită nu poate fi convertită într-o fracție zecimală infinită și nerepetabilă

Mai sus, am vorbit doar despre fracții periodice finite și infinite. Dar poate orice fracție obișnuită să fie convertită într-o fracție neperiodică infinită?

Noi răspundem: nu!

Important!

Când convertiți o fracție infinită într-o zecimală, obțineți fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită.

Restul unei diviziuni este întotdeauna mai mic decât divizorul. Cu alte cuvinte, conform teoremei de divizibilitate, dacă împărțim un număr natural la numărul q, atunci restul diviziunii în orice caz nu poate fi mai mare decât q-1. După încheierea împărțirii, este posibilă una dintre următoarele situații:

Obținem un rest de 0 și aici se termină împărțirea.
Obținem un rest, care se repetă în timpul împărțirii ulterioare, ca urmare avem o fracție periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni atunci când convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală. Să mai spunem că lungimea perioadei (numărul de cifre) într-o fracție periodică infinită este întotdeauna mai mică decât numărul de cifre din numitorul fracției ordinare corespunzătoare.

Convertiți zecimale în fracții comune

Acum este timpul să luăm în considerare procesul invers de conversie a unei fracții zecimale într-una obișnuită. Să formulăm o regulă de traducere care să includă trei etape. Cum se transformă o zecimală într-o fracție comună?

Regula pentru conversia fracțiilor zecimale în fracții comune

În numărător scriem numărul din fracția zecimală originală, eliminând virgula și toate zerourile din stânga, dacă există.
La numitor notăm unul și după el atâtea zerouri câte cifre sunt în fracția zecimală inițială după virgulă.
Dacă este necesar, reduceți fracția obișnuită rezultată.

Luați în considerare aplicarea acestei reguli cu exemple.

Exemplul 8. Conversia zecimale în obișnuit

Să reprezentăm numărul 3, 025 ca o fracție obișnuită.

La numărător scriem fracția zecimală însăși, eliminând virgula: 3025.
Scriem unul la numitor, iar după el trei zerouri - adică câte cifre sunt conținute în fracția originală după virgulă: 3025 1000.
Fracția rezultată 3025 1000 poate fi redusă cu 25 , ca rezultat obținem: 3025 1000 = 121 40 .

Exemplul 9. Conversia zecimale în obișnuit

Să convertim fracția 0, 0017 din zecimală în ordinară.

La numărător scriem fracția 0, 0017, eliminând virgula și zerourile din stânga. Obțineți 17.
Scriem unul la numitor, iar după el scriem patru zerouri: 17 10000. Această fracție este ireductibilă.

Dacă există o parte întreagă într-o fracție zecimală, atunci o astfel de fracție poate fi convertită imediat într-un număr mixt. Cum să o facă?

Să mai formulăm o regulă.

Regula pentru conversia fracțiilor zecimale în numere mixte.

Numărul până la virgulă zecimală este scris ca parte întreagă a numărului mixt.
În numărător, scriem numărul care se află în fracția după virgulă zecimală, eliminând zerourile din stânga, dacă există.
La numitorul părții fracționale, adunăm unul și atâtea zerouri câte cifre sunt în partea fracțională după virgulă.

Să ne uităm la un exemplu

Exemplul 10: Convertirea unei zecimale într-un număr mixt

Să reprezentăm fracția 155, 06005 ca număr mixt.

Scriem numărul 155 ca parte întreagă.
La numărător scriem numerele după virgulă zecimală, aruncând zero.
La numitor scriem unu și cinci zerouri

Predarea unui număr mixt: 155 6005 100000

Partea fracționată poate fi redusă cu 5 . Reducem și obținem rezultatul final:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversia infinitelor zecimale recurente în fracții comune

Să ne uităm la exemple despre cum să traducem fracțiile zecimale periodice în fracții obișnuite. Înainte de a începe, să clarificăm: orice fracție zecimală periodică poate fi convertită într-una obișnuită.

Cel mai simplu caz este că perioada fracției este zero. O fracție periodică cu o perioadă de zero este înlocuită cu o fracție zecimală finită, iar procesul de inversare a unei astfel de fracții se reduce la inversarea unei fracții zecimale finale.

Exemplul 11. Conversia unei zecimale periodice într-o fracție comună

Să inversăm fracția periodică 3, 75 (0) .

Lăsând zerourile din dreapta, obținem fracția zecimală finală 3, 75.

Transformând această fracție într-una obișnuită conform algoritmului discutat în paragrafele precedente, obținem:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ce se întâmplă dacă perioada unei fracții este diferită de zero? Partea periodică trebuie considerată ca suma membrilor unei progresii geometrice, care este în scădere. Să explicăm asta cu un exemplu:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Există o formulă pentru suma termenilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite. Dacă primul termen al progresiei este b și numitorul lui q este astfel încât 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Să ne uităm la câteva exemple folosind această formulă.

Exemplul 12. Conversia unei zecimale periodice într-o fracție comună

Să presupunem că avem o fracție periodică 0, (8) și trebuie să o transformăm într-una obișnuită.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Aici avem o progresie geometrică descrescătoare infinită cu primul termen 0 , 8 și numitorul 0 , 1 .

Să aplicăm formula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Aceasta este fracția ordinară dorită.

Pentru a consolida materialul, luați în considerare un alt exemplu.

Exemplul 13. Transformarea unei zecimale periodice într-o zecimală obișnuită

Inversați fracția 0 , 43 (18) .

Mai întâi, scriem fracția ca o sumă infinită:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Luați în considerare termenii dintre paranteze. Această progresie geometrică poate fi reprezentată după cum urmează:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Adăugăm fracția rezultată la fracția finală 0, 43 \u003d 43 100 și obținem rezultatul:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

După adăugarea acestor fracții și reducerea, obținem răspunsul final:

0 , 43 (18) = 19 44

La sfârșitul acestui articol, vom spune că fracțiile zecimale infinite neperiodice nu pot fi convertite în fracții obișnuite.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

§ 114. Transformarea unei fracții obișnuite într-o zecimală.

Conversia unei fracții obișnuite într-o zecimală înseamnă găsirea unei fracții zecimale care ar fi egală cu fracția obișnuită dată. Când convertim fracții obișnuite în zecimale, vom întâlni două cazuri:

1) când fracțiile obișnuite pot fi convertite în zecimale exact;

2) când fracțiile obișnuite pot fi convertite numai în zecimale aproximativ. Să luăm în considerare aceste cazuri secvenţial.

1. Cum se transformă o fracție ireductibilă obișnuită într-o zecimală sau, cu alte cuvinte, cum se înlocuiește o fracție obișnuită cu o zecimală egală cu aceasta?

În cazul în care fracțiile obișnuite pot fi exact convertit în zecimal, există doua feluri un astfel de recurs.

Să ne amintim cum să înlocuim o fracție cu alta egală cu prima sau cum să trecem de la o fracție la alta fără a modifica valoarea primei. Aceasta este ceea ce am făcut când am redus fracțiile la un numitor comun (§86). Când reducem fracțiile la un numitor comun, procedăm astfel: găsim un numitor comun pentru aceste fracții, calculăm un factor suplimentar pentru fiecare fracție și apoi înmulțim numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu acest factor.

După ce am observat acest lucru, să luăm fracția ireductibilă 3/20 și să încercăm să o transformăm într-o zecimală. Numitorul acestei fracții este 20 și trebuie să îl aduceți la un alt numitor, care ar fi reprezentat printr-o unitate cu zerouri. Vom căuta cel mai mic dintre numitorii exprimați cu unu urmat de zerouri.

Prima cale conversia unei fracții obișnuite în zecimală se bazează pe descompunerea numitorului în factori simpli.

Este necesar să aflăm cu ce număr 20 trebuie înmulțit, astfel încât produsul să fie exprimat cu unu cu zerouri. Pentru a afla, trebuie mai întâi să vă amintiți în ce factori primi se descompun numerele reprezentate de unul cu zerouri. Iată defalcările:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Vedem că numărul reprezentat de o unitate cu zerouri este descompus doar în doi și cinci și nu există alți factori în descompunere. În plus, doi și cinci intră în expansiune în același număr. Și, în sfârșit, numărul acelor și alți factori separat este egal cu numărul de zerouri după unu din imaginea unui număr dat.

Acum să vedem cum 20 este descompus în factori primi: 20 \u003d 2 2 5. Aceasta arată că există doi doi în expansiunea numărului 20 și unul cinci. Deci, dacă adăugăm unu cinci acestor factori, vom obține un număr reprezentat de o unitate cu zerouri. Cu alte cuvinte, pentru ca numitorul să obțină un număr reprezentat de unul cu zerouri în loc de numărul 20, trebuie să înmulțiți 20 cu 5 și, pentru ca valoarea fracției să nu se schimbe, trebuie să înmulțiți cu 5. și numărătorul acestuia, adică

Astfel, pentru a transforma o fracție obișnuită într-o zecimală, trebuie să descompuneți numitorul acestei fracții obișnuite în factori simpli și apoi să egalizați numărul de doi și cinci din ea, introducând în ea (și, desigur, în numărător ) factorii lipsă din numărul cerut.

Să aplicăm această derivație unor fracții.

Convertiți în zecimală 3/50. Numitorul acestei fracții se extinde după cum urmează:

Asta înseamnă că îi lipsește un deuce. Să-l adăugăm:

Convertiți în zecimală 7/40.

Numitorul acestei fracții se descompune după cum urmează: 40 \u003d 2 2 2 5, adică două cinci lipsesc în ea. Le introducem în numărător și numitor ca factori:

Din cele spuse, nu este greu de concluzionat care fracții ordinare se transformă exact în zecimale. Este destul de evident că o fracție ordinară ireductibilă, al cărei numitor nu conține alți factori primi, alții decât 2 și 5, se transformă exact într-o zecimală. O fracție zecimală, care se obține din inversarea unei fracții obișnuite, va avea de atâtea zecimale de câte ori numitorul fracției ordinare, după reducerea acesteia include un factor predominant numeric de 2 sau 5.

Dacă luăm o fracție 9/40, atunci, în primul rând, se va transforma într-o zecimală, deoarece numitorul ei include factorii 2 2 2 5, iar în al doilea rând, fracția zecimală rezultată va avea 3 zecimale, deoarece intră factorul 2 predominant numeric. expansiunea de trei ori. Intr-adevar:

A doua cale(prin împărțirea numărătorului la numitor).

Să fie necesar să se transforme într-o fracție zecimală 3 / 4. Știm că 3 / 4 este câtul lui 3 împărțit la 4. Putem găsi acest coeficient împărțind 3 la 4. Să facem asta:

Deci 3 / 4 = 0,75.

Un alt exemplu: convertiți 5 / 8 într-o zecimală.

Deci 5 / 8 = 0,625.

Deci, pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, este suficient să împărțiți numărătorul unei fracții obișnuite la numitorul ei.

2. Să luăm acum în considerare al doilea dintre cazurile indicate la începutul paragrafului, adică cazul în care o fracție obișnuită nu poate fi convertită într-o zecimală exactă.

O fracție ireductibilă obișnuită al cărei numitor conține alți factori primi, alții decât 2 și 5, nu se poate transforma exact într-o zecimală. Într-adevăr, de exemplu, fracția 8/15 nu poate fi zecimală, deoarece numitorul său 15 este descompus în doi factori: 3 și 5.

Nu putem exclude triplul de la numitor și nu putem alege un astfel de număr întreg încât, după înmulțirea numitorului dat cu acesta, produsul să fie exprimat ca unitate cu zerouri.

În astfel de cazuri, se poate vorbi doar despre conversie aproximativă fracții obișnuite până la zecimale.

Cum se face? Acest lucru se face prin împărțirea numărătorului unei fracții obișnuite la numitor, adică, în acest caz, se folosește a doua metodă de conversie a unei fracții obișnuite într-o zecimală. Aceasta înseamnă că această metodă este utilizată atât pentru inversarea exactă, cât și pentru inversarea aproximativă.

Dacă o fracție obișnuită este convertită exact într-o zecimală, atunci fracția zecimală finală se obține din împărțire.

Dacă o fracție obișnuită nu se transformă într-o zecimală exactă, atunci din împărțire se obține o fracție zecimală infinită.

Deoarece nu putem efectua un proces de împărțire infinit, trebuie să oprim diviziunea la o zecimală, adică să facem o împărțire aproximativă. Putem, de exemplu, să oprim împărțirea la prima zecimală, adică să ne limităm la zecimi; dacă este necesar, ne putem opri la a doua zecimală, obținând sutimi etc. În aceste cazuri, spunem că rotunjim o fracție zecimală infinită. Rotunjirea se face cu acuratețea necesară pentru rezolvarea acestei probleme.

§ 115. Conceptul de fracție periodică.

O fracție zecimală infinită în care una sau mai multe cifre se repetă invariabil în aceeași succesiune se numește fracție zecimală periodică. De exemplu:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Se numește o colecție de cifre repetate perioadă această fracție. Perioada primei dintre fracțiile scrise mai sus este 3, perioada celei de-a doua fracții este 12, perioada celei de-a treia fracții este 234. Aceasta înseamnă că perioada poate consta din mai multe cifre - una, două, trei etc. Primul set de numere repetate se numește prima perioadă, al doilea totalitatea - a doua perioadă etc., adică.

Fracțiile periodice sunt pure și amestecate. O fracție periodică se numește pură dacă perioada sa începe imediat după virgulă. Aceasta înseamnă că fracțiile periodice scrise mai sus vor fi pure. Dimpotrivă, o fracție periodică se numește mixtă dacă are una sau mai multe cifre care nu se repetă între virgulă zecimală și prima perioadă, de exemplu:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Pentru a scurta litera, puteți scrie numerele punctului o dată între paranteze și nu puneți puncte suspensive după paranteze, adică în loc de 0,33 ... puteți scrie 0, (3); în loc de 2,515151... se poate scrie 2,(51); în loc de 0,2333... se poate scrie 0,2(3); în loc de 0,8333... poți scrie 0,8(3).

Fracțiile periodice se citesc astfel:

0,(3) - 0 numere întregi, 3 în perioada.

7,2(3) - 7 numere întregi, 2 înaintea punctului, 3 în perioada.

5.00(17) - 5 numere întregi, două zerouri înaintea perioadei, 17 în perioada.

Cum apar fracțiile periodice? Am văzut deja că la conversia fracțiilor obișnuite în zecimale, pot exista două cazuri.

in primul rand, numitorul unei fracții ireductibile obișnuite nu conține alți factori decât 2 și 5; în acest caz, fracția obișnuită se transformă într-o zecimală finală.

În al doilea rând, numitorul unei fracții ireductibile obișnuite conține orice factori simpli, alții decât 2 și 5; în acest caz, fracția ordinară nu se transformă într-o zecimală finală. În acest ultim caz, când încercați să convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală prin împărțirea numărătorului la numitor, obțineți o fracție infinită, care va fi întotdeauna periodică.

Pentru a vedea asta, să ne uităm la un exemplu. Să încercăm să convertim fracția - 18 / 7 la o zecimală.

Desigur, știm dinainte că o fracție cu un astfel de numitor nu se poate transforma într-o zecimală finită și vorbim doar de o conversie aproximativă. Împărțiți numărătorul 18 la numitorul 7.

Avem opt zecimale în coeficient. Nu este nevoie să continuăm împărțirea, pentru că oricum nu se va termina. Dar din aceasta este clar că împărțirea poate fi continuată la nesfârșit și, astfel, se pot obține numere noi în coeficient. Aceste numere noi vor apărea pentru că vom continua să primim resturi tot timpul; dar niciun rest nu poate fi mai mare decât divizorul, care este 7.

Să vedem ce fel de resturi am avut: 4; 5; unu; 3; 2; b, adică acestea erau numere mai mici decât 7. Evident, nu pot fi mai mult de șase, iar cu continuarea împărțirii, vor trebui repetate, iar după ele se vor repeta numerele câtului. Exemplul de mai sus confirmă această idee: zecimale în privat merg în această ordine: 571428, iar după aceea au apărut din nou numerele 57. Deci, am încheiat prima perioadă și începe a doua.

În acest fel, zecimala infinită rezultată din inversarea unei fracții comune va fi întotdeauna periodică.

Dacă apare o fracție periodică la rezolvarea unei probleme, atunci aceasta este luată cu precizia cerută de starea problemei (până la o zecime, până la o sutime, până la o miime etc.).

§ 116. Operaţii de unire cu fracţii ordinare şi zecimale.

Când rezolvăm diverse probleme, ne vom întâlni cu astfel de cazuri când problema include atât fracții ordinare, cât și zecimale.

În aceste cazuri, puteți merge în moduri diferite.

1. Convertiți toate fracțiile în zecimale. Acest lucru este convenabil deoarece calculele cu zecimale sunt mai ușoare decât cu cele obișnuite. De exemplu,

Convertiți fracțiile 3/4 și 1 1/5 în zecimale:

2. Convertiți toate fracțiile în fracții comune. Acest lucru se face cel mai adesea în cazurile în care există fracții obișnuite care nu se transformă în zecimale finale.

De exemplu,

Să convertim fracțiile zecimale în fracții obișnuite:

3. Calculele sunt efectuate fără a converti unele fracții în altele.

Acest lucru este util mai ales atunci când exemplul include doar înmulțirea și împărțirea. De exemplu,

Să rescriem exemplul astfel:

4. În unele cazuri converti toate fracțiile comune în zecimale(chiar și cele care devin periodice) și găsesc un rezultat aproximativ. De exemplu,

Să transformăm 2/3 într-o fracție zecimală, limitată la miimi.

Fracție periodică

o fracție zecimală infinită în care, începând de la un anumit loc, există doar o anumită grupă de cifre care se repetă periodic. De exemplu, 1,3181818...; pe scurt, această fracție se scrie astfel: 1,3 (18), adică pun perioada între paranteze (și spun: „18 în perioada”). Un P.D. se numește pur dacă perioada începe imediat după virgulă, de exemplu 2(71) = 2,7171..., și mixt dacă există cifre după virgulă care precedă perioada, de exemplu 1,3(18). Rolul P. zecimale în aritmetică se datorează faptului că atunci când numerele raționale, adică fracțiile obișnuite (simple), sunt reprezentate prin fracții zecimale, se obțin întotdeauna fie fracții finite, fie periodice. Mai exact: fracția zecimală finală se obține atunci când numitorul unei fracții simple ireductibile nu conține alți factori primi decât 2 și 5; în toate celelalte cazuri, se obține un P.D. și, în plus, pur, dacă numitorul fracției ireductibile date nu conține deloc factorii 2 și 5 și mixt, dacă cel puțin unul dintre acești factori este conținut în numitor. . Orice P. d. poate fi convertit într-o fracție simplă (adică este egal cu un număr rațional). Pur P. d. este egal cu o fracție simplă, al cărei numărător este perioada, iar numitorul este reprezentat de numărul 9, scris de câte ori sunt cifre în perioadă; când este convertit într-o fracție simplă dintr-un P mixt d., numărătorul este diferența dintre numărul reprezentat de numerele care precedă a doua perioadă și numărul reprezentat de numerele care preced prima perioadă; pentru a compila numitorul, trebuie să scrieți numărul 9 de atâtea ori câte cifre există în perioadă și să atribuiți la dreapta atâtea zerouri câte cifre sunt înaintea punctului. Aceste reguli presupun că P. d. dat este corect, adică nu conține unități întregi; în caz contrar, partea întreagă este luată în considerare separat.

Există, de asemenea, reguli cunoscute pentru determinarea lungimii perioadei unui P.D. corespunzătoare unei fracții ordinare date. De exemplu, pentru o fracție a/p, Unde R - număr prim și 1 ≤ A ≤ p- 1, lungimea perioadei este un divizor R - 1. Deci, pentru aproximări cunoscute la un număr (vezi Pi) 22/7 și 355/113 perioada este 6, respectiv 112.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Sinonime:

Vedeți ce este „Fracția periodică” în alte dicționare:

O fracție zecimală infinită în care, începând de la un anumit loc, se repetă periodic, de exemplu, un anumit grup de cifre (perioadă). 0,373737... fracție periodică pură sau 0,253737... fracție periodică mixtă... Dicţionar enciclopedic mare

Fracție, fracție infinită Dicționar de sinonime rusești. fracție periodică n., număr de sinonime: 2 fracție infinită (2) ... Dicţionar de sinonime

O zecimală al cărei număr de cifre se repetă în aceeași ordine. De exemplu, 0,135135135... este un p.p. a cărui perioadă este 135 și care este egală cu fracția simplă 135/999 = 5/37. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

O zecimală este o fracție cu numitorul 10n, unde n este un număr natural. Are o notație specială: partea întreagă în sistemul numeric zecimal, apoi virgula și apoi partea fracțională în sistemul numeric zecimal și numărul de cifre ale părții fracționale ... Wikipedia

O fracție zecimală infinită în care, începând de la un anumit loc, se repetă periodic un anumit grup de cifre (perioadă); de exemplu, 0,373737... o fracție periodică pură sau 0,253737... o fracție periodică mixtă. * * * PERIODIC… … Dicţionar enciclopedic

O fracție zecimală infinită, în care, începând de la un anumit loc, definiția se repetă periodic. grup de numere (punt); de exemplu 0,373737 ... P. d. pur sau 0,253737 ... P. d. amestecat ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Vezi partea... Dicționar de sinonime și expresii rusești similare ca înțeles. sub. ed. N. Abramova, M .: Dicționare rusești, 1999. fracție, lucru mic, parte; praf, minge, făină, buckhot; număr fracționar Dicționar de sinonime ruse ... Dicţionar de sinonime

zecimală periodică- - [L.G. Sumenko. Dicționar englez rus de tehnologii informaționale. M .: GP TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia informației în general EN zecimal circulant zecimal recurent zecimalperiod zecimalperiodic zecimalperiodic zecimal ... Manualul Traducătorului Tehnic

Dacă un număr întreg a este divizibil cu un alt număr întreg b, adică se caută un număr x care să îndeplinească condiția bx = a, atunci pot apărea două cazuri: fie în seria numerelor întregi există un număr x care îndeplinește această condiție, fie acesta se dovedește a fi,…… Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

O fracție al cărei numitor este o putere întreagă de 10. D.d. se scrie fără numitor, separând câte cifre în numărătorul din dreapta sunt virgulă câte zerouri sunt în numitor. De exemplu, într-o astfel de înregistrare, partea din stânga ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Deja în școala elementară, elevii se confruntă cu fracții. Și apoi apar în fiecare subiect. Este imposibil să uiți acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte sunt simple, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viața de zi cu zi îi împinge în mod constant pe oameni să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata constă din mai multe felii. Luați în considerare situația în care țigla sa este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Va fi bine împărțit în trei. Dar cei cinci nu vor putea da un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți ale unuia. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Cel de jos (dreapta) este numitorul.

De fapt, bara fracțională se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Care sunt fracțiile?

În matematică, există doar două tipuri de ele: fracții ordinare și zecimale. Scolarii se familiarizează cu primul din clasele elementare, numindu-i pur și simplu „fracții”. Al doilea învață în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o bară. De exemplu, 4/7. Decimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de întreg prin virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să fie clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scrisă ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată și în sens invers. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca o fracție obișnuită.

Ce subspecii au aceste tipuri de fracții?

Este mai bine să începeți în ordine cronologică, deoarece acestea sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Dintre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul.

Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul.

Reductibil / ireductibil. Poate fi fie corect, fie greșit. Un alt lucru este important, dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci ar trebui să împartă ambele părți ale fracției, adică să o reducă.

Amestecat. Un număr întreg este alocat părții sale fracționale obișnuite corecte (incorecte). Și stă mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite una în cealaltă. Adică are trei caracteristici fracționale simultan.

Fracțiile zecimale au doar două subspecii:

finală, adică una în care partea fracționată este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă zecimal în obișnuit?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere bazată pe regulă - după cum aud, așa că scriu. Adică trebuie să o citiți corect și să o scrieți, dar fără virgulă, dar cu o linie fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, amintiți-vă că este întotdeauna un unu și câteva zerouri. Acestea din urmă trebuie să fie scrise la fel de multe câte cifrele din partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă întreaga lor parte lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Rămâne să notăm doar părțile fracționale. Pentru primul număr, numitorul va fi 10, pentru al doilea - 100. Adică exemplele indicate vor avea numere drept răspunsuri: 9/10, 5/100. Mai mult, acesta din urmă se dovedește a fi posibil să fie redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris 1/20.

Cum se face o fracție obișnuită dintr-o zecimală dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. Ambele exemple citesc partea întreagă și scriu valoarea acesteia. În primul caz, acesta este 5, în al doilea, 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Ei ar trebui să efectueze aceeași operațiune. Primul număr are 23/100, al doilea are 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul este fracții mixte: 5 23/100 și 13 27/25000.

Cum se transformă o zecimală infinită într-o fracție comună?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu poate fi efectuată. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită în finală sau periodică.

Singurul lucru care poate fi făcut cu o astfel de fracție este rotunjirea acesteia. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: conversia în zecimală - nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt traduse în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită sub forma unui ordinar?

În aceste numere, una sau mai multe cifre apar întotdeauna după virgulă zecimală, care se repetă. Se numesc perioade. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” în perioada. Ele sunt clasificate ca fiind raționale, deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracțională începe cu orice numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită sub forma unei fracții obișnuite va fi diferită pentru aceste două tipuri de numere. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finale, acestea trebuie convertite: scrieți perioada la numărător, iar numărul 9 va fi numitorul, repetându-se de câte ori există cifre în perioadă.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să treceți imediat la partea fracțională. Scrieți 5 la numărător, iar la numitor 9. Adică răspunsul va fi fracția 5/9.

O regulă despre cum să scrieți o fracție zecimală comună care este o fracție mixtă.

Uită-te la durata perioadei. Atât de mult 9 va avea un numitor.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența dintre două numere. Toate cifrele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Scădere - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Există o cifră în partea fracțională înaintea punctului. Deci zero va fi unul. Există, de asemenea, o singură cifră în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul de la 58, trebuie să scădeți 5. Rezultă 53. De exemplu, va trebui să scrieți 53/90 ca răspuns.

Cum sunt convertite fracțiile comune în zecimale?

Cea mai simplă opțiune este un număr al cărui numitor este numărul 10, 100 și așa mai departe. Apoi numitorul este pur și simplu eliminat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Numai că este necesar să înmulțim nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă va fi utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri: o fracție zecimală finală sau o fracție zecimală periodică.

Operații cu fracții comune

Adunare si scadere

Elevii îi cunosc mai devreme decât alții. Și la început fracțiile au aceiași numitori, apoi diferiți. Regulile generale pot fi reduse la un astfel de plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii definiți pentru ei.

Adăugați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflați dacă avem un număr mixt sau o fracție adecvată.

În primul caz, partea întreagă trebuie să ia unul. Adăugați un numitor la numărătorul unei fracții. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea - este necesar să se aplice regula scăderii de la un număr mai mic la unul mai mare. Adică, scădeți modulul minuendului din modulul subtraendului și puneți semnul „-” ca răspuns.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci ar trebui să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru implementarea lor, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru face mai ușor să luați măsuri. Dar ei trebuie să respecte regulile.

La înmulțirea fracțiilor obișnuite, este necesar să se ia în considerare numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă obțineți o fracție reductibilă, atunci ar trebui să fie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți diviziunea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu o inversă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca la înmulțire (începând de la punctul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.

Operații cu zecimale

Adunare si scadere

Desigur, puteți transforma întotdeauna o zecimală într-o fracție comună. Și acționați conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adunarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Atribuiți numărul de zerouri lipsă din el.

Scrieți fracții astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adăugați (scădeți) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Se presupune că fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru înmulțire, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, fără să acordați atenție virgulelor.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând de la capătul drept al răspunsului atâtea cifre câte sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să convertiți divizorul: faceți din acesta un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracționară a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți o zecimală la un număr natural.

Puneți o virgulă în răspuns în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.

Ce se întâmplă dacă într-un exemplu există ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. Există două soluții posibile la aceste probleme. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel mai bun.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă, la împărțire sau conversie, se obțin fracții finale. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

A doua modalitate: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică este convenabilă dacă există 1-2 cifre în partea de după virgulă zecimală. Dacă există mai multe, poate apărea o fracție obișnuită foarte mare, iar intrările zecimale vă vor permite să calculați sarcina mai rapid și mai ușor. Prin urmare, este întotdeauna necesar să evaluăm cu seriozitate sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.

În acest articol, vom analiza cum conversia fracțiilor comune în zecimale, și luați în considerare, de asemenea, procesul invers - conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite. Aici vom exprima regulile pentru inversarea fracțiilor și vom oferi soluții detaliate la exemplele tipice.

Navigare în pagină.

Conversia fracțiilor comune în zecimale

Să notăm succesiunea în care ne vom ocupa conversia fracțiilor comune în zecimale.

În primul rând, ne vom uita la modul de reprezentare a fracțiilor obișnuite cu numitorii 10, 100, 1000, ... ca fracții zecimale. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale sunt în esență o formă compactă de fracții obișnuite cu numitori 10, 100, ....

După aceea, vom merge mai departe și vom arăta cum orice fracție obișnuită (nu numai cu numitorii 10, 100, ...) poate fi scrisă ca fracție zecimală. Cu această conversie a fracțiilor ordinare se obțin atât fracții zecimale finite, cât și fracții zecimale periodice infinite.

Acum despre totul în ordine.

Conversia fracțiilor obișnuite cu numitorii 10, 100, ... în fracții zecimale

Unele fracții obișnuite au nevoie de „pregătire preliminară” înainte de a se converti în zecimale. Acest lucru se aplică fracțiilor obișnuite, numărul de cifre al căror numărător este mai mic decât numărul de zerouri din numitor. De exemplu, fracția comună 2/100 trebuie mai întâi pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală, dar fracția 9/10 nu trebuie pregătită.

„Pregătirea preliminară” a fracțiilor ordinare corecte pentru conversia în fracții zecimale constă în adăugarea atâtor zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, o fracție după adăugarea zerourilor va arăta ca .

După ce ați pregătit fracția obișnuită corectă, puteți începe să o convertiți într-o fracție zecimală.

Să dăm regula pentru transformarea unei fracții comune propriu-zise cu un numitor de 10, sau 100, sau 1.000, ... într-o fracție zecimală. Acesta constă din trei etape:

noteaza 0;
pune un punct zecimal după el;
notează numărul de la numărător (împreună cu zerourile adăugate, dacă le-am adăugat).

Luați în considerare aplicarea acestei reguli în rezolvarea exemplelor.

Exemplu.

Transformați fracția proprie 37/100 în zecimală.

Soluţie.

Numitorul conține numărul 100, care are două zerouri în intrare. Numărătorul conține numărul 37, există două cifre în înregistrarea sa, prin urmare, această fracție nu trebuie să fie pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală.

Acum scriem 0, punem virgulă zecimală și scriem numărul 37 de la numărător, în timp ce obținem fracția zecimală 0,37.

Răspuns:

0,37 .

Pentru a consolida abilitățile de a traduce fracțiile ordinare obișnuite cu numărătorii 10, 100, ... în fracții zecimale, vom analiza soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția proprie 107/10.000.000 ca zecimală.

Soluţie.

Numărul de cifre din numărător este 3, iar numărul de zerouri din numitor este 7, așa că această fracție obișnuită trebuie pregătită pentru conversia în zecimală. Trebuie să adăugăm 7-3=4 zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. Primim .

Rămâne să se formeze fracția zecimală dorită. Pentru a face acest lucru, în primul rând, notăm 0, în al doilea rând, punem o virgulă, în al treilea rând, notăm numărul de la numărător împreună cu zerourile 0000107 , ca urmare avem o fracție zecimală 0,0000107 .

Răspuns:

0,0000107 .

Fracțiile comune improprii nu necesită pregătire atunci când se convertesc în fracții zecimale. Ar trebui respectate următoarele reguli pentru conversia fracțiilor comune improprie cu numitorii 10, 100, ... în fracții zecimale:

notează numărul de la numărător;
separăm cu virgulă zecimală atâtea cifre în dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Să analizăm aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm un exemplu.

Exemplu.

Transformați fracția comună improprie 56 888 038 009/100 000 în zecimală.

Soluţie.

În primul rând, notăm numărul de la numărătorul 56888038009, iar în al doilea rând, separăm 5 cifre din dreapta cu un punct zecimal, deoarece există 5 zerouri în numitorul fracției inițiale. Ca rezultat, avem o fracție zecimală 568 880,38009.

Răspuns:

568 880,38009 .

Pentru a converti un număr mixt într-o fracție zecimală, al cărei numitor al părții fracționale este numărul 10, sau 100, sau 1.000, ..., puteți converti numărul mixt într-o fracție ordinară improprie, după care fracția rezultată poate fi convertit într-o fracție zecimală. Dar puteți folosi și următoarele regula pentru conversia numerelor mixte cu un numitor al părții fracționale 10, sau 100, sau 1.000, ... în fracții zecimale:

dacă este necesar, efectuăm „pregătirea preliminară” a părții fracționale a numărului mixt original prin adăugarea numărului necesar de zerouri din stânga în numărător;
notează partea întreagă a numărului mixt original;
pune virgulă zecimală;
scriem numarul de la numarator impreuna cu zerourile adaugate.

Să ne uităm la un exemplu în care vom parcurge toți pașii necesari pentru a reprezenta un număr mixt ca zecimală.

Exemplu.

Convertiți numărul mixt în zecimal.

Soluţie.

Există 4 zerouri în numitorul părții fracționale și numărul 17 în numărător, format din 2 cifre, prin urmare, trebuie să adăugăm două zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul de caractere de acolo să devină egal cu numărul de zerouri la numitor. Procedând astfel, numărătorul va fi 0017 .

Acum notăm partea întreagă a numărului inițial, adică numărul 23, punem o virgulă zecimală, după care scriem numărul de la numărător împreună cu zerourile adăugate, adică 0017, în timp ce obținem zecimala dorită. fracția 23,0017.

Să scriem pe scurt întreaga soluție: .

Fără îndoială, a fost posibil să se reprezinte mai întâi numărul mixt ca o fracție improprie și apoi să-l convertească într-o fracție zecimală. Cu această abordare, soluția arată astfel:

Răspuns:

23,0017 .

Conversia fracțiilor ordinare în fracții zecimale periodice finite și infinite

Nu doar fracțiile obișnuite cu numitorii 10, 100, ... pot fi convertite într-o fracție zecimală, ci și fracțiile obișnuite cu alți numitori. Acum ne vom da seama cum se face acest lucru.

În unele cazuri, fracția obișnuită inițială este ușor redusă la unul dintre numitorii 10, sau 100, sau 1.000, ... (a se vedea reducerea unei fracții obișnuite la un nou numitor), după care nu este dificil să se prezinte fracția rezultată ca fracție zecimală. De exemplu, este evident că fracția 2/5 poate fi redusă la o fracție cu numitorul 10, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 2, ceea ce va da o fracție 4/10, care, conform regulile discutate în paragraful anterior, pot fi ușor convertite într-o fracție zecimală 0, patru.

În alte cazuri, trebuie să utilizați un mod diferit de a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, pe care o vom lua în considerare acum.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, numărătorul fracției este împărțit la numitor, numărătorul este înlocuit anterior cu o fracție zecimală egală cu aceasta cu orice număr de zerouri după virgulă zecimală (am vorbit despre asta în secțiunea fracții zecimale egale și inegale). În acest caz, împărțirea se efectuează în același mod ca și împărțirea printr-o coloană de numere naturale, iar un punct zecimal este plasat în coeficient atunci când se termină împărțirea părții întregi a dividendului. Toate acestea vor deveni clare din soluțiile exemplelor date mai jos.

Exemplu.

Transformați fracția comună 621/4 în zecimală.

Soluţie.

Reprezentăm numărul din numărătorul 621 ca o fracție zecimală adăugând un punct zecimal și câteva zerouri după acesta. Pentru început, vom adăuga 2 cifre 0, mai târziu, dacă este necesar, putem adăuga oricând mai multe zerouri. Deci, avem 621.00 .

Acum să împărțim numărul 621.000 la 4 la o coloană. Primii trei pași nu diferă de împărțirea la o coloană de numere naturale, după care ajungem la următoarea imagine:

Deci am ajuns la punctul zecimal al dividendului, iar restul este diferit de zero. În acest caz, punem un punct zecimal în coeficient și continuăm împărțirea cu o coloană, ignorând virgulele:

Această împărțire este finalizată și, ca rezultat, am obținut fracția zecimală 155,25, care corespunde fracției ordinare inițiale.

Răspuns:

155,25 .

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Transformați fracția comună 21/800 în zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti această fracție comună într-o zecimală, să împărțim fracția zecimală 21.000 ... la 800 la o coloană. După primul pas, va trebui să punem o virgulă zecimală în coeficient și apoi să continuăm împărțirea:

În cele din urmă, am primit restul 0, pe aceasta se completează conversia fracției ordinare 21/400 în fracția zecimală și am ajuns la fracția zecimală 0,02625.

Răspuns:

0,02625 .

Se poate întâmpla ca atunci când împărțim numărătorul la numitorul unei fracții obișnuite, să nu obținem niciodată un rest de 0. În aceste cazuri, împărțirea poate fi continuată atât timp cât se dorește. Totuși, începând de la un anumit pas, resturile încep să se repete periodic, în timp ce cifrele din coeficient se repetă și ele. Aceasta înseamnă că fracția comună inițială se traduce într-o zecimală periodică infinită. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția comună 19/44 ca zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, facem împărțirea pe o coloană:

Este deja clar că la împărțire, resturile 8 și 36 au început să se repete, în timp ce în cât se repetă numerele 1 și 8. Astfel, fracția ordinară inițială 19/44 este tradusă într-o fracție zecimală periodică 0,43181818…=0,43(18) .

Răspuns:

0,43(18) .

În încheierea acestui paragraf, ne vom da seama ce fracții obișnuite pot fi convertite în fracții zecimale finale și care pot fi convertite doar în fracții periodice.

Să avem în fața noastră o fracție obișnuită ireductibilă (dacă fracția este reductibilă, atunci efectuăm mai întâi reducerea fracției) și trebuie să aflăm în ce fracție zecimală poate fi convertită - finită sau periodică.

Este clar că dacă o fracție obișnuită poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000, ..., atunci fracția rezultată poate fi ușor convertită într-o fracție zecimală finală conform regulilor discutate în paragraful anterior. Dar la numitorii 10, 100, 1.000 etc. nu sunt date toate fracțiile obișnuite. Astfel de numitori pot fi reduse doar la fracții ai căror numitori sunt cel puțin unul dintre numerele 10, 100, ... Și ce numere pot fi divizori ai lui 10, 100, ...? Numerele 10, 100, … ne vor permite să răspundem la această întrebare și sunt următoarele: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Rezultă că divizorii lui 10, 100, 1.000 etc. nu pot exista decât numere ale căror descompunere în factori primi conţin doar numerele 2 şi (sau) 5 .

Acum putem face o concluzie generală despre conversia fracțiilor obișnuite în fracții zecimale:

dacă numai numerele 2 și (sau) 5 sunt prezente în descompunerea numitorului în factori primi, atunci această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală finală;
dacă, în plus față de doi și cinci, în expansiunea numitorului sunt prezente și alte numere prime, atunci această fracție se traduce într-o fracție periodică zecimală infinită.

Exemplu.

Fără a converti fracțiile obișnuite în zecimale, spuneți-mi care dintre fracțiile 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 poate fi convertită într-o fracție zecimală finală și care poate fi convertită doar într-una periodică.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a numitorului fracției 47/20 are forma 20=2 2 5 . Există doar doi și cinci în această expansiune, astfel încât această fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000, ... (în acest exemplu, la numitorul 100), prin urmare, poate fi convertită la o zecimală finală. fracțiune.

Descompunerea în factori primi a numitorului fracției 7/12 are forma 12=2 2 3 . Deoarece conține un factor simplu 3 diferit de 2 și 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită, ci poate fi convertită într-o fracție zecimală periodică.

Fracțiune 21/56 - contractibil, după reducere ia forma 3/8. Descompunerea numitorului în factori primi conține trei factori egali cu 2, prin urmare, fracția obișnuită 3/8 și, prin urmare, fracția egală cu aceasta 21/56, poate fi transpusă într-o fracție zecimală finală.

În cele din urmă, expansiunea numitorului fracției 31/17 este ea însăși 17, prin urmare, această fracție nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finită, dar poate fi convertită într-una periodică infinită.

Răspuns:

47/20 și 21/56 pot fi convertite într-o zecimală finală, în timp ce 7/12 și 31/17 pot fi convertite doar într-o zecimală periodică.

Fracțiile comune nu se convertesc în zecimale infinite care nu se repetă

Informațiile din paragraful anterior ridică întrebarea: „Se poate obține o fracție neperiodică infinită la împărțirea numărătorului unei fracții la numitor”?

Raspuns: nu. La traducerea unei fracții obișnuite, se poate obține fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită. Să explicăm de ce este așa.

Din teorema de divizibilitate cu rest este clar că restul este întotdeauna mai mic decât divizorul, adică dacă împărțim un număr întreg la un număr întreg q, atunci doar unul dintre numerele 0, 1, 2, ..., q −1 poate fi restul. Rezultă că, după ce se completează împărțirea părții întregi a numărătorului unei fracții ordinare la numitorul q, după cel mult q pași, va apărea una dintre următoarele două situații:

fie obținem restul 0 , aceasta va încheia împărțirea și vom obține fracția zecimală finală;
sau vom obține un rest care a apărut deja înainte, după care resturile vor începe să se repete ca în exemplul anterior (deoarece la împărțirea numerelor egale la q se obțin resturi egale, ceea ce reiese din teorema deja menționată de divizibilitate), deci se va obţine o fracţie zecimală periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni, prin urmare, atunci când convertiți o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, nu poate fi obținută o fracție zecimală neperiodică infinită.

De asemenea, din raționamentul dat în acest paragraf rezultă că lungimea perioadei unei fracții zecimale este întotdeauna mai mică decât valoarea numitorului fracției ordinare corespunzătoare.

Convertiți zecimale în fracții comune

Acum să ne dăm seama cum să convertim o fracție zecimală într-una obișnuită. Să începem prin a converti zecimalele finale în fracții comune. După aceea, luați în considerare metoda de inversare a fracțiilor zecimale periodice infinite. În concluzie, să spunem despre imposibilitatea transformării fracțiilor zecimale neperiodice infinite în fracții obișnuite.

Conversia zecimalelor finale în fracții comune

Obținerea unei fracții obișnuite, care este scrisă ca o fracție zecimală finală, este destul de simplă. Regula pentru conversia unei fracții zecimale finale într-o fracție obișnuită constă din trei etape:

în primul rând, scrieți fracția zecimală dată în numărător, după ce ați aruncat anterior punctul zecimal și toate zerourile din stânga, dacă există;
în al doilea rând, scrieți unul la numitor și adăugați-i atâtea zerouri câte cifre sunt după punctul zecimal în fracția zecimală originală;
în al treilea rând, dacă este necesar, reduceți fracția rezultată.

Să luăm în considerare soluțiile exemplelor.

Exemplu.

Convertiți zecimala 3,025 într-o fracție comună.

Soluţie.

Dacă eliminăm punctul zecimal din fracția zecimală inițială, atunci obținem numărul 3025. Nu are zerouri în stânga pe care le-am arunca. Deci, în numărătorul fracției necesare scriem 3025.

Scriem numărul 1 la numitor și adăugăm 3 zerouri în dreapta acestuia, deoarece există 3 cifre în fracția zecimală inițială după virgulă.

Deci avem o fracție obișnuită 3 025/1 000. Această fracție poate fi redusă cu 25, obținem .

Răspuns:

Exemplu.

Convertiți zecimalul 0,0017 în fracție comună.

Soluţie.

Fără virgulă zecimală, fracția zecimală inițială arată ca 00017, eliminând zerourile din stânga, obținem numărul 17, care este numărătorul fracției ordinare dorite.

La numitor scriem o unitate cu patru zerouri, deoarece în fracția zecimală inițială sunt 4 cifre după virgulă.

Ca rezultat, avem o fracție obișnuită 17/10.000. Această fracție este ireductibilă, iar conversia unei fracții zecimale în una obișnuită este finalizată.

Răspuns:

Când partea întreagă a fracției zecimale finale originale este diferită de zero, atunci poate fi convertită imediat într-un număr mixt, ocolind fracția obișnuită. Să dăm regula pentru conversia unei zecimale finale într-un număr mixt:

numărul înainte de virgulă zecimală trebuie scris ca parte întreagă a numărului mixt dorit;
în numărătorul părții fracționale, trebuie să scrieți numărul obținut din partea fracțională a fracției zecimale originale după ce ați aruncat toate zerourile din stânga în ea;
în numitorul părții fracționale, trebuie să scrieți numărul 1, la care, în dreapta, adăugați atâtea zerouri câte cifre sunt în intrarea fracției zecimale originale după virgulă;
dacă este necesar, reduceți partea fracțională a numărului mixt rezultat.

Luați în considerare un exemplu de conversie a unei fracții zecimale într-un număr mixt.

Exemplu.

Exprimați zecimalul 152,06005 ca număr mixt

Secțiuni