Suprafețe echipotențiale și linii de câmp electrostatic.

Aș dori să pot vizualiza câmpul electrostatic. Câmpul unui potențial scalar poate fi reprezentat geometric ca o colecție suprafete echipotentiale (în cazul plat - linii), sau suprafețe de nivel, așa cum le numesc matematicienii:

Pentru fiecare astfel de suprafață este valabilă următoarea condiție (prin definiție!):

(*)

Reprezentăm această condiție în notația echivalentă:

Aici aparține suprafeței considerate, vectorul este perpendicular pe elementul suprafeței (produsul scalar al vectorilor nenuli este egal cu zero tocmai în această condiție). Avem posibilitatea de a determina vectorul normal unitar la elementul de suprafață considerat:

Revenind la fizică, tragem concluzia că vectorul intensității câmpului electrostatic este perpendicular pe suprafața echipotențială a acestui câmp!

Conținutul matematic al conceptului „gradient de câmp scalar”:

Direcția vectorului este direcția în care funcția crește cel mai rapid;

Aceasta este creșterea funcției pe unitate de lungime pe direcția creșterii maxime.

Cum se construiește o suprafață echipotențială?

Lasă suprafața echipotențială dată de ecuația (*) să treacă printr-un punct din spațiu cu coordonate ( x,y,z). Să setăm arbitrar deplasări mici a două coordonate, de exemplu x=>x+dxși y=>y+dy. Din ecuația (*) determinăm decalajul necesar dz, astfel încât punctul final să rămână pe suprafața echipotențială considerată. În acest fel, poți „ajunge” în punctul dorit de pe suprafață.

Linia de forță a câmpului vectorial.

Definiție. Tangenta la linia de forță coincide în direcție cu vectorul care determină câmpul vectorial considerat.

Vectorul și vectorul sunt în aceeași direcție (adică paralele între ele) dacă

În notația de coordonate avem:

Este ușor de observat că relațiile sunt valabile:

Puteți ajunge la același rezultat dacă notați condiția de paralelism a doi vectori folosind produsul lor încrucișat:

Deci, avem un câmp vectorial. Luați în considerare vectorul elementar ca element al liniei de câmp a câmpului vectorial.

În conformitate cu definiția liniei de câmp, trebuie îndeplinite următoarele relații:

(**)

Așa arată ecuațiile diferențiale ale unei linii de câmp. Este posibil să se obțină o soluție analitică a acestui sistem de ecuații în cazuri foarte rare (câmpul unei sarcini punctuale, un câmp constant etc.). Dar nu este dificil să trasezi grafic o familie de linii de forță.

Lasă linia de forță să treacă prin punctul cu coordonatele ( x,y,z). Ne sunt cunoscute valorile proiecțiilor vectorului de stres pe direcțiile de coordonate în acest punct. Alegem un amestec arbitrar mic, de exemplu, x=>x+dx. Conform ecuațiilor (**), determinăm deplasările necesare dyși dz. Așa că ne-am mutat în punctul învecinat liniei câmpului.Procesul de construcție poate fi continuat.

NB! (Nota bene!). Linia de forță nu determină complet vectorul de tensiune. Dacă pe linia câmpului este setată o direcție pozitivă, vectorul de tensiune poate fi direcționat fie într-o direcție pozitivă, fie negativă (dar de-a lungul liniei!). Linia câmpului nu determină modulul vectorului (adică valoarea acestuia) câmpului vectorial considerat.

Proprietăți ale obiectelor geometrice introduse:

Suprafata echipotentiala suprafata echipotentiala

o suprafață ale cărei toate punctele au același potențial. Suprafața echipotențială este ortogonală cu liniile de câmp. Suprafața unui conductor în electrostatică este o suprafață echipotențială.

suprafață echipotențială, o suprafață în toate punctele a cărei potențial (cm. POTENȚIAL (în fizică)) câmpul electric are aceeași valoare j= const. Pe un plan, aceste suprafețe sunt linii de câmp echipotențial. Folosit pentru a afișa grafic distribuția potențială.
Suprafețele echipotențiale sunt închise și nu se intersectează. Imaginea suprafețelor echipotențiale este realizată în așa fel încât diferențele de potențial dintre suprafețele echipotențiale adiacente să fie aceleași. În acest caz, în acele zone în care liniile suprafețelor echipotențiale sunt mai dense, intensitatea câmpului este mai mare.
Între oricare două puncte de pe suprafața echipotențială, diferența de potențial este zero. Aceasta înseamnă că vectorul forță în orice punct al traiectoriei sarcinii de-a lungul suprafeței echipotențiale este perpendicular pe vectorul viteză. Prin urmare, liniile de tensiune (cm. REZULTATEA CÂMPULUI ELECTRIC) câmpurile electrostatice sunt perpendiculare pe suprafața echipotențială. Cu alte cuvinte: suprafața echipotențială este ortogonală cu liniile de forță (cm. LINII DE ÎNALTĂ TENSIUNE) câmp, iar vectorul intensității câmpului electric E este întotdeauna perpendicular pe suprafețele echipotențiale și este întotdeauna îndreptat în direcția potențialului descrescător. Lucrul forțelor câmpului electric pentru orice mișcare a sarcinii de-a lungul suprafeței echipotențiale este zero, deoarece?j = 0.
Suprafețele echipotențiale ale câmpului unei sarcini electrice punctuale sunt sfere, în centrul cărora se află sarcina. Suprafețele echipotențiale ale unui câmp electric uniform sunt plane perpendiculare pe liniile de tensiune. Suprafața unui conductor într-un câmp electrostatic este o suprafață echipotențială.

Dicţionar enciclopedic. 2009 .

Vedeți ce este o „suprafață echipotențială” în alte dicționare:

O suprafață ale cărei puncte au același potențial. Suprafața echipotențială este ortogonală cu liniile de câmp. Suprafața unui conductor în electrostatică este o suprafață echipotențială... Dicţionar enciclopedic mare

La suprafață, toate punctele spre roi au același potențial. De exemplu, suprafața unui conductor în electrostatică E. p. Dicționar enciclopedic fizic. Moscova: Enciclopedia Sovietică. Redactor-șef A. M. Prokhorov. 1983... Enciclopedia fizică

suprafata echipotentiala- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Dicționar rus englez de inginerie electrică și inginerie energetică, Moscova, 1999] Subiecte în inginerie electrică, concepte de bază EN suprafață de potențial egal suprafață de energie egală echipotențial ... ... Manualul Traducătorului Tehnic

Suprafețele echipotențiale ale unui dipol electric (reprezentate în întuneric sunt secțiunile lor transversale după planul figurii; culoarea transmite în mod condiționat valoarea potențialului în diferite puncte, cele mai mari valori sunt violet și roșu, n ... Wikipedia

suprafata echipotentiala- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. suprafata echipotentiala vok. Äquipotentialfläche, f rus. suprafata echipotentiala, fpranc. constanta depotențială de suprafață, f; suprafață d'égal potentiel, f; suprafață… … Fizikos terminų žodynas

O suprafață cu potențial egal, o suprafață ale cărei toate punctele au același potențial. De exemplu, suprafața unui conductor în electrostatică E. p. Într-un câmp de forță, liniile de forță sunt normale (perpendiculare) pe E. p ... Marea Enciclopedie Sovietică

- (din lat. aequus egal și potențial) geom. locul punctelor în câmp, ochiului corespunde aceleiași valori a potențialului. E. p. sunt perpendiculare pe liniile de forță. Echipotențial este, de exemplu, suprafața unui conductor într-un electrostatic ...... Marele dicționar politehnic enciclopedic

FUNDAMENTELE TEORETICE ALE LUCRĂRII.

Există o relație integrală și diferențială între puterea fracției electrice și potențialul electric:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Câmpul electric poate fi reprezentat grafic în două moduri, completându-se reciproc: folosind suprafețe echipotențiale și linii de tensiune (linii de forță).

O suprafață ale cărei toate punctele au același potențial se numește suprafață echipotențială. Linia de intersecție cu planul desenului se numește echipotențial. Linii de forță - linii, tangente la care în fiecare punct coincid cu direcția vectorului E . În figura 1, liniile punctate arată echipotențialele, liniile continue arată liniile de forță ale câmpului electric.

Fig.1

Diferența de potențial dintre punctele 1 și 2 este 0, deoarece acestea sunt pe același echipotențial. În acest caz, de la (1):

∫E dl = 0 sau ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

În măsura în care E și dl în expresia (3) nu sunt egale cu 0, atunci cos ( Edl ) = 0 . Prin urmare, unghiul dintre echipotențial și linia câmpului este p/2.

Din relația diferențială (2) rezultă că liniile de forță sunt întotdeauna îndreptate în direcția potențialului descrescător.

Mărimea intensității câmpului electric este determinată de „grosimea” liniilor de forță. Cu cât liniile de forță sunt mai groase, cu atât distanța dintre echipotențiale este mai mică, astfel încât liniile de forță și echipotenţialele formează „pătrate curbilinie”. Pe baza acestor principii, este posibil să se construiască o imagine a liniilor de forță, având o imagine a echipotențialelor și invers.

O imagine suficient de completă a echipotenţialelor câmpului ne permite să calculăm în diferite puncte valoarea proiecţiei vectorului intensitate E spre direcția aleasă X , mediat pe un anumit interval al coordonatei ∆x :

E cf. ∆х = - ∆ j /∆х,

Unde ∆x - increment de coordonate la trecerea de la un echipotenţial la altul,

∆ j - creșterea corespunzătoare a potențialului,

E cf. ∆x - Rău ex între două potenţiale.

DESCRIEREA TEHNICII DE INSTALARE ȘI MĂSURARE.

Pentru a modela câmpul electric, este convenabil să folosim analogia care există între câmpul electric creat de corpurile încărcate și câmpul electric de curent continuu care curge printr-o peliculă conductivă cu conductivitate uniformă. În acest caz, locația liniilor de forță ale câmpului electric se dovedește a fi similară cu locația liniilor de curenți electrici.

Aceeași afirmație este valabilă pentru potențiale. Distribuția potențialelor de câmp într-un film conductor este aceeași ca și într-un câmp electric în vid.

Ca film conductiv, în lucrare se folosește hârtie conductoare electric cu aceeași conductivitate în toate direcțiile.

Electrozii sunt așezați pe hârtie astfel încât să existe un contact bun între fiecare electrod și hârtia conductoare.

Schema de funcționare a instalației este prezentată în Figura 2. Instalația este formată din modulul II, elementul exterior I, indicatorul III, alimentarea IV. Modulul este folosit pentru a conecta toate dispozitivele utilizate. Elementul de la distanță este un panou dielectric 1, pe care este așezată o coală de hârtie albă 2, deasupra ei este așezată o coală de hârtie carbon 3, apoi o coală de hârtie conducătoare 4, pe care sunt atașați electrozii 5. Tensiunea este furnizate electrozilor din modulul II folosind fire de conectare. Indicatorul III și sonda 6 sunt utilizate pentru a determina potențialele punctelor de pe suprafața hârtiei conductoare de electricitate.

Un fir cu un dop la capăt este folosit ca sondă. Potenţial j sonda este egală cu potențialul punctului de pe suprafața hârtiei conductoare electric, pe care îl atinge. Mulțimea punctelor de câmp cu același potențial este imaginea echipotenţialului de câmp. Unitatea de alimentare IV este utilizată ca unitate de alimentare TES - 42, care este conectată la modul folosind un conector de pe peretele din spate al modulului. Un voltmetru V7 - 38 este utilizat ca indicator Ш.

ORDINUL DE EXECUTARE A LUCRĂRII.

1. Așezați o coală de hârtie albă pe panoul 1 2. Așezați hârtie carbon 3 și o coală de hârtie conducătoare 4 (Fig. 2).

2. Instalați electrozii 5 pe hârtie conductoare de electricitate și fixați cu piulițe.

3. Conectați unitatea de alimentare IV (TEC-42) la modul utilizând conectorul de pe peretele din spate al modulului.

4. Folosind două fire, conectați indicatorul III (voltmetru V7-38) la prizele „PV” de pe panoul frontal al modulului. Apăsați butonul corespunzător de pe voltmetru pentru a măsura tensiunea DC (Fig. 2).

5. Folosind doi conductori, conectați electrozii 5 la modulul P.

6. Conectați sonda (fir cu două mufe) la priza de pe panoul frontal al modulului.

7. Conectați suportul la rețeaua de 220 V. Porniți alimentarea generală a standului.

Pentru o reprezentare vizuală a câmpurilor vectoriale, se utilizează un model de linii de forță. Linia de forță este o matematică imaginară curba în spațiu, direcția tangentei la care în fiecare punctul prin care trece coincide cu direcția vectorului câmpuri în același punct(Fig. 1.17).
Orez. 1.17:
Condiția de paralelism a vectorului E → și tangentei poate fi scrisă ca egalitate cu zero a produsului vectorial E → și elementul arc d r → al dreptei câmpului:

Echipotenţialul este suprafaţa care este o valoare constantă a potenţialului electricφ . În câmpul unei sarcini punctiforme, așa cum se arată în Fig. , suprafețele sferice cu centre la locul sarcinii sunt echipotențiale; acest lucru se poate observa din ecuația ϕ = q ∕ r = const .

Analizând geometria liniilor electrice de forță și a suprafețelor echipotențiale, se pot indica o serie de proprietăți generale ale geometriei unui câmp electrostatic.

În primul rând, liniile de forță încep de la încărcături. Ele fie merg la infinit, fie ajung la alte taxe, ca în Fig. .

În al doilea rând, într-un câmp potențial liniile de forță nu pot fi închise. În caz contrar, ar fi posibil să se indice o astfel de buclă închisă încât munca câmpului electric atunci când se deplasează sarcina de-a lungul acestei bucle să nu fie egală cu zero.

În al treilea rând, liniile de forță intersectează orice echipotențial de-a lungul normalei acestuia. Într-adevăr, câmpul electric este îndreptat peste tot în direcția celei mai rapide scăderi a potențialului, iar pe suprafața echipotențială potențialul este constant prin definiție (Fig. ).
Orez. 1.20:
Și în sfârșit, liniile de forță nu se intersectează nicăieri, cu excepția punctelor în care E → = 0 . Intersecția liniilor câmpului înseamnă că câmpul din punctul de intersecție este o funcție ambiguă de coordonate, iar vectorul E → nu are o direcție definită. Singurul vector care are această proprietate este vectorul nul. Structura câmpului electric în apropierea punctului zero va fi analizată în probleme la ?? .

Metoda liniilor de forță, desigur, este aplicabilă reprezentării grafice a oricăror câmpuri vectoriale. Deci, la capitol vom întâlni conceptul de linii magnetice de forță. Cu toate acestea, geometria câmpului magnetic este complet diferită de geometria câmpului electric.

Orez. 1.21:
Conceptul de linii de forță este strâns legat de conceptul de tub de forță. Să luăm orice buclă închisă arbitrară L și să tragem o linie electrică de forță prin fiecare punct al acesteia (Fig. ). Aceste linii formează tubul de forță. Se consideră o secțiune arbitrară a tubului după suprafața S . Desenăm o normală pozitivă în aceeași direcție în care sunt direcționate liniile de forță. Fie N fluxul vectorului E → prin secțiunea S . Este ușor de observat că, dacă nu există sarcini electrice în interiorul tubului, atunci fluxul N rămâne același pe toată lungimea tubului. Pentru a dovedi, trebuie să luăm o altă secțiune transversală S′. Conform teoremei Gauss, fluxul câmpului electric printr-o suprafață închisă limitată de suprafața laterală a tubului și a secțiunilor S , S ′ este egal cu zero, deoarece în interiorul tubului de forță nu există sarcini electrice. Curgerea prin suprafața laterală este zero, deoarece vectorul E → atinge această suprafață. Prin urmare, curgerea prin secțiunea S ′ este numeric egal cu N , dar opus ca semn. Normala exterioară la suprafața închisă pe această secțiune este îndreptată invers n → . Dacă îndreptăm normala în aceeași direcție, atunci fluxurile prin secțiunile S și S′ vor coincide atât ca mărime, cât și ca semn. În special, dacă tubul este infinit de subțire și secțiunile S și S′ sunt normale cu acesta, atunci

E S = E′ S′ .

Se dovedește o analogie completă cu curgerea unui fluid incompresibil. Acolo unde tubul este mai subțire, câmpul E → este mai puternic. În acele locuri unde este mai larg, câmpul E → mai puternic. Prin urmare, puterea câmpului electric poate fi judecată din densitatea liniilor de forță.

Înainte de inventarea computerelor, pentru reproducerea experimentală a liniilor de câmp, se lua un vas de sticlă cu fundul plat și se turna în el un lichid neconductor, precum ulei de ricin sau glicerina. Cristale sub formă de pulbere de gips, azbest sau orice alte particule alungite au fost amestecate uniform în lichid. Electrozii metalici au fost scufundați în lichid. Când sunt conectați la surse de electricitate, electrozii au excitat un câmp electric. În acest domeniu, particulele sunt electrificate și, fiind atrase unele de altele de capete electrizate opuse, sunt dispuse sub formă de lanțuri de-a lungul liniilor de forță. Imaginea liniilor de câmp este distorsionată de fluxurile de fluid cauzate de forțele care acționează asupra acestuia într-un câmp electric neomogen.

De gata încă
Orez. 1.22:
Cele mai bune rezultate se obțin prin metoda folosită de Robert W. Pohl (1884-1976). Electrozii de oțel sunt lipiți pe o placă de sticlă, între care se creează o tensiune electrică. Apoi, particulele alungite, de exemplu, cristalele de gips, sunt turnate pe placă, atingând ușor pe ea. Ele sunt situate de-a lungul liniilor de forță. Pe fig. ?? este reprezentată imaginea liniilor de forță obținute în acest fel între două cercuri de cadru încărcate opus.

▸ Sarcina 9.1

Scrieți ecuația liniilor de câmp în ortogonală arbitrară coordonate.

▸ Sarcina 9.2

Scrieți ecuația liniilor de forță în coordonate sferice.

Suprafețele echipotențiale sunt astfel de suprafețe, fiecare dintre punctele cărora au același potențial. Adică pe suprafața echipotențială, potențialul electric are o valoare constantă. O astfel de suprafață este suprafața conductorilor, deoarece potențialul lor este același.

Imaginați-vă o astfel de suprafață, pentru două puncte din care diferența de potențial va fi egală cu zero. Aceasta va fi suprafața echipotențială. Pentru că are același potențial. Dacă luăm în considerare suprafața echipotențială în spațiul bidimensional, să spunem în desen, atunci aceasta va avea forma unei linii. Lucrul forțelor câmpului electric pentru a deplasa sarcina electrică de-a lungul acestei linii va fi egal cu zero.

Una dintre proprietățile suprafețelor echipotențiale este că acestea sunt întotdeauna perpendiculare pe liniile de câmp. Această proprietate poate fi formulată și invers. Orice suprafață care este perpendiculară în toate punctele pe liniile câmpului electric se numește echipotențială.

De asemenea, astfel de suprafețe nu se intersectează niciodată între ele. Deoarece aceasta ar însemna o diferență de potențial în cadrul aceleiași suprafețe, ceea ce contrazice definiția. De asemenea, sunt întotdeauna închise. Suprafețele cu potențial egal nu pot începe și merg la infinit fără a avea limite clare.

De regulă, desenele nu trebuie să ilustreze întreaga suprafață. Mai des descrieți o secțiune perpendiculară pe suprafețele echipotențiale. Astfel, ele degenerează în linii. Acest lucru se dovedește a fi destul de suficient pentru estimarea distribuției acestui câmp. Când sunt reprezentate grafic, suprafețele sunt plasate la același interval. Adică între două suprafețe adiacente se observă același pas, să zicem un volt. Apoi, în funcție de densitatea liniilor formate de secțiunea suprafețelor echipotențiale, se poate aprecia puterea câmpului electric.

De exemplu, luați în considerare câmpul creat de o sarcină electrică punctiformă. Liniile de forță ale unui astfel de câmp sunt radiale. Adică, încep de la centrul sarcinii și merg la infinit dacă sarcina este pozitivă. Sau îndreptată către sarcină, dacă aceasta este negativă. Suprafețele echipotențiale ale unui astfel de câmp vor avea forma unor sfere centrate în sarcină și divergente de la aceasta. Dacă înfățișăm o secțiune bidimensională, atunci liniile echipotențiale vor fi sub formă de cercuri concentrice, al căror centru este de asemenea situat în sarcină.

Figura 1 - linii echipotenţiale ale unei sarcini punctuale

Pentru un câmp uniform precum, de exemplu, câmpul dintre plăcile unui condensator electric, suprafețele de potențial egal vor avea forma unor plane. Aceste planuri sunt paralele între ele la aceeași distanță. Adevărat, la marginile plăcilor, modelul câmpului va fi distorsionat din cauza efectului de margine. Dar ne imaginăm că plăcile sunt infinit de lungi.

Figura 2 - linii echipotenţiale de câmp uniform

Pentru a descrie liniile echipotențiale pentru un câmp creat de două sarcini egale ca mărime și opuse ca semn, nu este suficient să aplicați principiul suprapunerii. Deoarece în acest caz, atunci când două imagini ale sarcinilor punctiforme sunt suprapuse, vor exista puncte de intersecție a liniilor de câmp. Dar acest lucru nu poate fi, deoarece câmpul nu poate fi îndreptat în două direcții diferite simultan. În acest caz, problema trebuie rezolvată analitic.

Figura 3 - Imaginea câmpului a două sarcini electrice