Energia cinetică a unui corp în rotație. Energia cinetică în timpul mișcării de rotație

Energia cinetică este o mărime aditivă. Prin urmare, energia cinetică a unui corp care se mișcă într-un mod arbitrar este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor n puncte materiale în care acest corp poate fi împărțit mental:

Dacă corpul se rotește în jurul unei axe fixe z cu o viteză unghiulară, atunci viteza liniară a punctului i , Ri este distanța până la axa de rotație. Prin urmare,

Comparând și se poate observa că momentul de inerție al corpului I este o măsură a inerției în timpul mișcării de rotație, la fel cum masa m este o măsură a inerției în timpul mișcării de translație.

În cazul general, mișcarea unui corp rigid poate fi reprezentată ca suma a două mișcări - de translație cu o viteză vc și de rotație cu o viteză unghiulară ω în jurul axei instantanee care trece prin centrul de inerție. Apoi energia cinetică totală a acestui corp

Aici Ic este momentul de inerție în jurul axei instantanee de rotație care trece prin centrul de inerție.

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație.

Dinamica rotațională

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație:

sau M=Je, unde M este momentul forței M=[rF], J- momentul de inerție este momentul de impuls al corpului.

dacă M(extern)=0 - legea conservării momentului unghiular. - energia cinetică a unui corp în rotație.

munca rotativa.

Legea conservării momentului unghiular.

Momentul unghiular (momentul) al unui punct material A în raport cu un punct fix O este o mărime fizică determinată de un produs vectorial:

unde r este vectorul rază trasat din punctul O în punctul A, p=mv este impulsul punctului material (Fig. 1); L este un pseudovector, a cărui direcție coincide cu direcția mișcării de translație a șurubului drept în timpul rotației acestuia de la r la p.

Modulul vectorului de impuls

unde α este unghiul dintre vectorii r și p, l este umărul vectorului p față de punctul O.

Momentul unghiular relativ la axa fixă ​​z este valoarea scalară Lz, care este egală cu proiecția pe această axă a vectorului moment unghiular, definit față de un punct arbitrar O al acestei axe. Momentul unghiular Lz nu depinde de poziția punctului O pe axa z.

Când un corp absolut rigid se rotește în jurul unei axe fixe z, fiecare punct al corpului se mișcă de-a lungul unui cerc de rază constantă ri cu o viteză vi. Viteza vi și impulsul mivi sunt perpendiculare pe această rază, adică raza este brațul vectorului mivi. Deci putem scrie că momentul unghiular al unei particule individuale este

și este îndreptată de-a lungul axei în direcția determinată de regula șurubului drept.

Momentul unui corp rigid în raport cu axa este suma impulsului particulelor individuale:

Folosind formula vi = ωri, obținem

Astfel, momentul unghiular al unui corp rigid în jurul unei axe este egal cu momentul de inerție al corpului în jurul aceleiași axe, înmulțit cu viteza unghiulară. Să diferențiem ecuația (2) în funcție de timp:

Această formulă este o altă formă a ecuației dinamicii mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe: derivata momentului unghiular al unui corp rigid în jurul unei axe este egală cu momentul forțelor în jurul aceleiași axe.

Se poate demonstra că egalitatea vectorială este valabilă

Într-un sistem închis, momentul forțelor externe este M = 0 și de unde

Expresia (4) este legea conservării momentului unghiular: momentul unghiular al unui sistem închis este conservat, adică nu se modifică în timp.

Legea conservării momentului unghiular, precum și legea conservării energiei este o lege fundamentală a naturii. Este asociat cu proprietatea de simetrie a spațiului - izotropia acestuia, adică cu invarianța legilor fizice în ceea ce privește alegerea direcției axelor de coordonate ale sistemului de referință (în ceea ce privește rotația unui sistem închis în spațiu prin orice unghi).

Aici vom demonstra legea conservării momentului unghiular folosind bancul Jukovski. O persoană care stă pe o bancă, se rotește în jurul unei axe verticale și ține ganterele în mâinile întinse (Fig. 2), este rotită de un mecanism extern cu o viteză unghiulară ω1. Dacă o persoană apasă ganterele pe corp, atunci momentul de inerție al sistemului va scădea. Dar momentul forțelor externe este egal cu zero, momentul unghiular al sistemului este păstrat și viteza unghiulară de rotație ω2 crește. În mod similar, gimnastul, în timp ce sare peste cap, își apropie brațele și picioarele de corp pentru a-și reduce momentul de inerție și, prin urmare, a crește viteza unghiulară de rotație.

Presiune în lichid și gaz.

Moleculele de gaz, care fac o mișcare haotică, haotică, nu sunt legate sau mai degrabă slab legate de forțele de interacțiune, motiv pentru care se mișcă aproape liber și, ca urmare a ciocnirilor, se împrăștie în toate direcțiile, în timp ce umplu întregul volum care le este oferit, adică volumul de gaz este determinat de volumul vasului ocupat de gaz.

Iar lichidul, având un anumit volum, ia forma vasului în care este închis. Dar, spre deosebire de gazele din lichide, distanța medie dintre molecule rămâne constantă în medie, astfel încât lichidul are un volum aproape constant.

Proprietățile lichidelor și gazelor sunt foarte diferite în multe privințe, dar în mai multe fenomene mecanice proprietățile lor sunt determinate de aceiași parametri și ecuații identice. Din acest motiv, hidroaeromecanica este o ramură a mecanicii care studiază echilibrul și mișcarea gazelor și lichidelor, interacțiunea dintre acestea și între corpurile solide care curg în jurul lor, adică. se aplică o abordare unificată a studiului lichidelor și gazelor.

În mecanică, lichidele și gazele sunt considerate cu un grad ridicat de precizie drept continue, distribuite continuu în porțiunea de spațiu ocupată de acestea. În gaze, densitatea depinde în mod semnificativ de presiune. Stabilit din experiență. că compresibilitatea unui lichid și a unui gaz poate fi adesea neglijată și este indicat să folosim un singur concept - incompresibilitatea unui lichid - un lichid cu aceeași densitate peste tot, care nu se modifică în timp.

Îl așezăm într-o placă subțire în repaus, ca urmare, părți din lichid situate pe părțile opuse ale plăcii vor acționa asupra fiecăruia dintre elementele sale ΔS cu forțe ΔF, care vor fi egale în valoare absolută și îndreptate perpendicular pe amplasament. ΔS, indiferent de orientarea locului, altfel prezența forțelor tangențiale ar pune în mișcare particulele de lichid (Fig. 1)

Mărimea fizică determinată de forța normală care acționează din partea lichidului (sau gazului) pe unitate de suprafață se numește presiune p / lichid (sau gaz): p=ΔF / ΔS.

Unitatea de măsură a presiunii este pascal (Pa): 1 Pa este egal cu presiunea creată de o forță de 1 N, care este distribuită uniform pe o suprafață de 1 m2 normală acesteia (1 Pa = 1 N/m2).

Presiunea la echilibrul lichidelor (gazelor) respectă legea lui Pascal: presiunea în orice loc a unui fluid în repaus este aceeași în toate direcțiile, iar presiunea este transmisă în mod egal în întregul volum ocupat de fluidul în repaus.

Să investigăm efectul greutății unui fluid asupra distribuției presiunii în interiorul unui fluid incompresibil staționar. Când un lichid este în echilibru, presiunea de-a lungul oricărei linii orizontale este întotdeauna aceeași, altfel nu ar exista echilibru. Aceasta înseamnă că suprafața liberă a unui fluid în repaus este întotdeauna orizontală (nu ținem cont de atracția fluidului de către pereții vasului). Dacă un fluid este incompresibil, atunci densitatea fluidului este independentă de presiune. Apoi, cu secțiunea transversală S a coloanei de lichid, înălțimea sa h și densitatea ρ, greutatea este P=ρgSh, în timp ce presiunea pe baza inferioară este: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

adică presiunea se modifică liniar cu altitudinea. Presiunea ρgh se numește presiune hidrostatică.

Conform formulei (1), forța de presiune asupra straturilor inferioare ale lichidului va fi mai mare decât asupra celor superioare, prin urmare, o forță determinată de legea lui Arhimede acţionează asupra unui corp scufundat într-un lichid (gaz): plutitor în sus. forță egală cu greutatea lichidului (gazului) deplasat de corp: FA = ρgV, unde ρ este densitatea lichidului, V este volumul corpului scufundat în lichid.

« Fizica - clasa a 10-a "

De ce se întinde patinatorul de-a lungul axei de rotație pentru a crește viteza unghiulară de rotație.
Ar trebui un elicopter să se rotească atunci când elicea lui se rotește?

Întrebările adresate sugerează că, dacă forțele externe nu acționează asupra corpului sau acțiunea lor este compensată și o parte a corpului începe să se rotească într-o direcție, atunci cealaltă parte trebuie să se rotească în cealaltă direcție, la fel ca atunci când combustibilul este evacuat din o rachetă, racheta însăși se mișcă în direcția opusă.

moment de impuls.

Dacă luăm în considerare un disc care se rotește, devine evident că impulsul total al discului este zero, deoarece orice particulă a corpului corespunde unei particule care se mișcă cu o viteză egală în valoare absolută, dar în sens opus (Fig. 6.9).

Dar discul se mișcă, viteza unghiulară de rotație a tuturor particulelor este aceeași. Cu toate acestea, este clar că, cu cât particula este mai departe de axa de rotație, cu atât impulsul său este mai mare. Prin urmare, pentru mișcarea de rotație este necesar să se introducă încă o caracteristică, similară unui impuls, - momentul unghiular.

Momentul unghiular al unei particule care se mișcă într-un cerc este produsul dintre impulsul particulei și distanța de la aceasta la axa de rotație (Fig. 6.10):

Vitezele liniare și unghiulare sunt legate prin v = ωr, atunci

Toate punctele unei materii rigide se deplasează în raport cu o axă fixă ​​de rotație cu aceeași viteză unghiulară. Un corp rigid poate fi reprezentat ca o colecție de puncte materiale.

Momentul unghiular al unui corp rigid este egal cu produsul dintre momentul de inerție și viteza unghiulară de rotație:

Momentul unghiular este o mărime vectorială, conform formulei (6.3), momentul unghiular este direcționat în același mod ca și viteza unghiulară.

Ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație în formă impulsivă.

Accelerația unghiulară a unui corp este egală cu modificarea vitezei unghiulare împărțită la intervalul de timp în care a avut loc această modificare: Înlocuiți această expresie în ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație deci I(ω 2 - ω 1) = MΔt, sau IΔω = MΔt.

Prin urmare,

∆L = M∆t. (6,4)

Modificarea momentului unghiular este egală cu produsul dintre momentul total al forțelor care acționează asupra corpului sau sistemului și timpul de acțiune al acestor forțe.

Legea conservării momentului unghiular:

Dacă momentul total al forțelor care acționează asupra unui corp sau a unui sistem de corpuri cu o axă fixă ​​de rotație este egal cu zero, atunci modificarea momentului unghiular este, de asemenea, egală cu zero, adică momentul unghiular al sistemului rămâne constant.

∆L=0, L=const.

Modificarea impulsului sistemului este egală cu impulsul total al forțelor care acționează asupra sistemului.

Patinătorul care se învârte își întinde brațele în lateral, crescând astfel momentul de inerție pentru a reduce viteza unghiulară de rotație.

Legea conservării momentului unghiular poate fi demonstrată folosind următorul experiment, numit „experimentul cu bancul Jukovski”. O persoană stă pe o bancă cu o axă verticală de rotație care trece prin centru. Bărbatul ține gantere în mâini. Dacă banca este făcută să se rotească, atunci o persoană poate schimba viteza de rotație prin apăsarea ganterelor pe piept sau coborând brațele, apoi depărtându-le. Întinzându-și brațele, crește momentul de inerție, iar viteza unghiulară de rotație scade (Fig. 6.11, a), coborând mâinile, reduce momentul de inerție, iar viteza unghiulară de rotație a bancului crește (Fig. 6.11, b).

De asemenea, o persoană poate face o bancă să se rotească mergând de-a lungul marginii acesteia. În acest caz, banca se va roti în direcția opusă, deoarece momentul unghiular total trebuie să rămână egal cu zero.

Principiul de funcționare al dispozitivelor numite giroscoape se bazează pe legea conservării momentului unghiular. Proprietatea principală a giroscopului este păstrarea direcției axei de rotație, dacă forțele externe nu acționează asupra acestei axe. În secolul 19 giroscoapele erau folosite de navigatori pentru a naviga pe mare.

Energia cinetică a unui corp rigid rotativ.

Energia cinetică a unui corp solid în rotație este egală cu suma energiilor cinetice ale particulelor sale individuale. Să împărțim corpul în elemente mici, fiecare dintre acestea putând fi considerat un punct material. Atunci energia cinetică a corpului este egală cu suma energiilor cinetice ale punctelor materiale din care constă:

Viteza unghiulară de rotație a tuturor punctelor corpului este aceeași, prin urmare,

Valoarea dintre paranteze, după cum știm deja, este momentul de inerție al corpului rigid. În cele din urmă, formula pentru energia cinetică a unui corp rigid cu o axă fixă ​​de rotație are forma

În cazul general al mișcării unui corp rigid, când axa de rotație este liberă, energia sa cinetică este egală cu suma energiilor mișcărilor de translație și rotație. Deci, energia cinetică a unei roți, a cărei masă este concentrată în jantă, rulând de-a lungul drumului cu o viteză constantă, este egală cu

Tabelul compară formulele mecanicii mișcării de translație a unui punct material cu formule similare pentru mișcarea de rotație a unui corp rigid.

Sarcini

1. Determinați de câte ori masa efectivă este mai mare decât masa gravitațională a unui tren cu masa de 4000 de tone, dacă masa roților este de 15% din masa trenului. Considerați roțile ca niște discuri cu un diametru de 1,02 m. Cum se va schimba răspunsul dacă diametrul roților este jumătate din acesta?

2. Determinați accelerația cu care o pereche de roți cu masa de 1200 kg se rostogolește pe un deal cu o pantă de 0,08. Considerați roțile ca niște discuri. Coeficient de rezistență la rulare 0,004. Determinați forța de aderență a roților la șine.

3. Determinați accelerația cu care o pereche de roți cu o masă de 1400 kg se rostogolește pe un deal cu o pantă de 0,05. Coeficient de rezistență 0,002. Care ar trebui să fie coeficientul de aderență pentru ca roțile să nu alunece. Considerați roțile ca niște discuri.

4. Să se determine accelerația cu care un vagon cu o greutate de 40 de tone se rostogolește pe un deal cu panta de 0,020 dacă are opt roți cu o greutate de 1200 kg și un diametru de 1,02 m. Să se determine forța de aderență a roților la șine. Coeficient de rezistență 0,003.

5. Determinați forța de presiune a saboților de frână asupra anvelopelor, dacă un tren cu o greutate de 4000 tone încetinește cu o accelerație de 0,3 m/s 2 . Momentul de inerție al unui set de roți este de 600 kg m 2 , numărul de osii este de 400, coeficientul de frecare de alunecare al blocului este 0,18, coeficientul de rezistență la rulare este 0,004.

6. Determinați forța de frânare care acționează asupra unui vagon cu patru axe cu masa de 60 de tone pe plăcuța de frână a unui șantier de triaj dacă viteza pe o cale de 30 m a scăzut de la 2 m/s la 1,5 m/s. Momentul de inerție al unui set de roți este de 500 kg m 2 .

7. Vitezometrul locomotivei a arătat o creștere a vitezei trenului în decurs de un minut de la 10 m/s la 60 m/s. Probabil, a avut loc o alunecare a setului de roți de conducere. Determinați momentul forțelor care acționează asupra armăturii motorului electric. Momentul de inerție al setului de roți 600 kg m 2 , ancore 120 kg m 2 . Raportul de transmisie 4.2. Forța de presiune pe șine este de 200 kN, coeficientul de frecare de alunecare al roților de-a lungul șinei este de 0,10.

11. ENERGIA CINETICĂ A ROTATORULUI

MIȘCĂRI

Obținem formula pentru energia cinetică a mișcării de rotație. Lăsați corpul să se rotească cu viteză unghiulară ω despre axa fixă. Orice particulă mică a corpului realizează mișcare de translație într-un cerc cu o viteză , unde r i - distanța față de axa de rotație, raza orbitei. Energia cinetică a unei particule mase m i este egal cu . Energia cinetică totală a unui sistem de particule este egală cu suma energiilor lor cinetice. Să însumăm formulele pentru energia cinetică a particulelor corpului și să scoatem semnul sumei jumătate din pătratul vitezei unghiulare, care este același pentru toate particulele, . Suma produselor maselor particulelor și a pătratelor distanțelor acestora față de axa de rotație este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație . Asa de, energia cinetică a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție al corpului în jurul axei și pătratul vitezei unghiulare de rotație:

Corpurile care se rotesc pot stoca energie mecanică. Astfel de corpuri se numesc volante. De obicei, acestea sunt corpuri de revoluție. Folosirea volantelor în roata olarului este cunoscută încă din antichitate. La motoarele cu ardere internă, în timpul cursei de lucru, pistonul imprimă energie mecanică volantului, care apoi efectuează lucrări la rotația arborelui motorului pentru următoarele trei cicluri. În ștampile și prese, volantul este antrenat de un motor electric de putere relativ redusă, acumulează energie mecanică aproape o tură completă, iar într-un scurt moment de impact o dă lucrării de ștanțare.

Există numeroase încercări de a folosi volante rotative pentru a conduce vehicule: mașini, autobuze. Se numesc mahomomobile, gyro carriers. Au fost create multe astfel de mașini experimentale. Ar fi promițător să folosim volante pentru stocarea energiei în timpul frânării trenurilor electrice pentru a utiliza energia acumulată în timpul accelerației ulterioare. Se știe că stocarea energiei volantă este folosită pe trenurile de metrou din New York.

Mecanica.

Intrebarea 1

Sistem de referință. Sisteme de referință inerțiale. Principiul relativității lui Galileo-Einstein.

sistem de referință- acesta este un set de corpuri în raport cu care sunt descrise mișcarea unui corp dat și sistemul de coordonate asociat acestuia.

Sistem de referință inerțial (ISO)- un sistem în care un corp care se mișcă liber este în repaus sau mișcare rectilinie uniformă.

Principiul relativității lui Galileo-Einstein- Toate fenomenele naturii din orice cadru inerțial de referință apar în același mod și au aceeași formă matematică. Cu alte cuvinte, toate ISO-urile sunt egale.

Intrebarea 2

Ecuația mișcării. Tipuri de mișcare ale unui corp rigid. Sarcina principală a cinematicii.

Ecuațiile mișcării unui punct material:

- ecuația cinematică a mișcării

Tipuri de mișcare ale unui corp rigid:

1) Mișcare de translație - orice linie dreaptă trasată în corp se mișcă paralel cu ea însăși.

2) Mișcare de rotație - orice punct al corpului se mișcă într-un cerc.

φ = φ(t)

Sarcina principală a cinematicii- se obține dependențele de timp ale vitezei V= V(t) și coordonatele (sau vectorul rază) r = r(t) ale unui punct material din dependența de timp cunoscută a accelerației sale a = a(t) și condiţiile iniţiale cunoscute V 0 şi r 0 .

Întrebarea #7

Puls (Numărul de mișcări) este o mărime fizică vectorială care caracterizează măsura mișcării mecanice a corpului. În mecanica clasică, impulsul unui corp este egal cu produsul masei m acest punct la viteza sa v, direcția impulsului coincide cu direcția vectorului viteză:

În mecanică teoretică impuls generalizat este derivata parțială a Lagrangianului sistemului în raport cu viteza generalizată

Dacă Lagrangianul sistemului nu depinde de unii coordonate generalizate, apoi din cauza Ecuații Lagrange .

Pentru o particulă liberă, funcția Lagrange are forma: , prin urmare:

Independența Lagrangianului unui sistem închis față de poziția sa în spațiu rezultă din proprietate omogenitatea spațiului: pentru un sistem bine izolat, comportamentul lui nu depinde de locul în care îl plasăm în spațiu. De teorema lui Noether această omogenitate presupune conservarea unei mărimi fizice. Această cantitate se numește impuls (obișnuit, nu generalizat).

În mecanica clasică, complet impuls sistemul de puncte materiale se numește mărime vectorială egală cu suma produselor maselor punctelor materiale la viteza lor:

în consecință, mărimea se numește impulsul unui punct material. Este o mărime vectorială direcționată în aceeași direcție cu viteza particulei. Unitatea de măsură a impulsului în Sistemul Internațional de Unități (SI) este kilogram metru pe secundă(kg m/s)

Dacă avem de-a face cu un corp de dimensiuni finite, pentru a-i determina impulsul, este necesar să spargem corpul în părți mici, care pot fi considerate puncte materiale și să însumăm peste ele, ca rezultat obținem:

Momentul unui sistem care nu este afectat de nicio forță externă (sau sunt compensate), conservate la timp:

Conservarea impulsului în acest caz decurge din a doua și a treia lege a lui Newton: scris a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale care alcătuiesc sistemul și însumând-o peste toate punctele materiale care alcătuiesc sistemul, în virtutea celei de-a treia legi a lui Newton. lege obținem egalitatea (*).

În mecanica relativistă, impulsul tridimensional al unui sistem de puncte materiale care nu interacționează este cantitatea

,

Unde m i- greutate i-al-lea punct material.

Pentru un sistem închis de puncte materiale care nu interacționează, această valoare este păstrată. Cu toate acestea, impulsul tridimensional nu este o mărime relativistic invariantă, deoarece depinde de cadrul de referință. O valoare mai semnificativă va fi un impuls cu patru dimensiuni, care pentru un punct material este definit ca

În practică, sunt adesea folosite următoarele relații între masa, impulsul și energia unei particule:

În principiu, pentru un sistem de puncte materiale care nu interacționează, se însumează cele 4 momente ale acestora. Cu toate acestea, pentru particulele care interacționează în mecanica relativistă, ar trebui să se ia în considerare momentele nu numai ale particulelor care alcătuiesc sistemul, ci și impulsul câmpului de interacțiune dintre ele. Prin urmare, o cantitate mult mai semnificativă în mecanica relativistă este tensorul energie-impuls, care satisface pe deplin legile conservării.

Întrebarea #8

Moment de inerție- o mărime fizică scalară, o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație. Se caracterizează prin distribuția maselor în corp: momentul de inerție este egal cu suma produselor maselor elementare și pătratul distanțelor acestora față de mulțimea de bază.

Momentul axial de inerție

Momentele axiale de inerție ale unor corpuri.

Momentul de inerție al unui sistem mecanic relativ la o axă fixă ​​(„momentul axial de inerție”) se numește valoare J a egală cu suma produselor maselor tuturor n punctele materiale ale sistemului în pătratele distanțelor lor față de axă:

,

• m i- greutate i- al-lea punct,
• r i- distanta de la i-al-lea punct către axă.

Axial moment de inerție corp J a este o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație.

,

• dm = ρ dV- masa unui element de volum mic al corpului dV,
• ρ - densitate,
• r- distanta fata de element dV la axa a.

Dacă corpul este omogen, adică densitatea lui este aceeași peste tot, atunci

Derivarea formulei

dmși momente de inerție DJ i. Apoi

Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)

Derivarea formulei

Momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive. Împărțirea unui cilindru cu pereți subțiri în elemente cu o masă dmși momente de inerție DJ i. Apoi

Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) este convertită în forma

teorema lui Steiner

Moment de inerție a unui corp rigid față de orice axă depinde nu numai de masa, forma și dimensiunile corpului, ci și de poziția corpului față de această axă. Conform teoremei Steiner (teorema Huygens-Steiner), moment de inerție corp J relativ la o axă arbitrară este egală cu suma moment de inerție acest corp Jc raportat la axa care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu axa considerată și produsul masei corporale m pe distanță pătrată d intre axe:

Dacă este momentul de inerție al corpului față de o axă care trece prin centrul de masă al corpului, atunci momentul de inerție față de o axă paralelă situată la o distanță de aceasta este egal cu

,

unde este masa totală a corpului.

De exemplu, momentul de inerție al unei tije în jurul unei axe care trece prin capătul acesteia este:

Energia de rotație

Energia cinetică a mișcării de rotație- energia corpului asociată cu rotația acestuia.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării de rotație a unui corp sunt viteza sa unghiulară (ω) și accelerația unghiulară. Principalele caracteristici dinamice ale mișcării de rotație sunt momentul unghiular în jurul axei de rotație z:

Kz = Izω

și energie cinetică

unde I z este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație.

Un exemplu similar poate fi găsit atunci când se consideră o moleculă rotativă cu axe principale de inerție eu 1, eu 2și eu 3. Energia de rotație a unei astfel de molecule este dată de expresie

Unde ω 1, ω 2, și ω 3 sunt componentele principale ale vitezei unghiulare.

În cazul general, energia în timpul rotației cu viteza unghiulară se găsește prin formula:

, Unde eu este tensorul de inerție.

Întrebarea #9

moment de impuls (moment unghiular, moment unghiular, moment orbital, moment unghiular) caracterizează cantitatea de mișcare de rotație. O cantitate care depinde de cât de multă masă se rotește, de modul în care este distribuită pe axa de rotație și de cât de repede are loc rotația.

Trebuie remarcat faptul că rotația aici este înțeleasă într-un sens larg, nu doar ca o rotație regulată în jurul unei axe. De exemplu, chiar și atunci când un corp se mișcă rectiliniu pe lângă un punct imaginar arbitrar care nu se află pe linia de mișcare, are și un moment unghiular. Poate cel mai mare rol îl joacă momentul unghiular în descrierea mișcării de rotație actuale. Cu toate acestea, este extrem de important pentru o clasă mult mai largă de probleme (mai ales dacă problema are simetrie centrală sau axială, dar nu numai în aceste cazuri).

Legea conservării impulsului(legea conservării momentului unghiular) - suma vectorială a tuturor momentelor unghiulare în jurul oricărei axe pentru un sistem închis rămâne constantă în cazul echilibrului sistemului. În conformitate cu aceasta, momentul unghiular al unui sistem închis în raport cu orice derivată non-timp a momentului unghiular este momentul forței:

Astfel, cerința de închidere a sistemului poate fi slăbită la cerința ca momentul principal (total) al forțelor externe să fie egal cu zero:

unde este momentul uneia dintre forțele aplicate sistemului de particule. (Dar desigur, dacă nu există deloc forțe externe, această cerință este îndeplinită și).

Din punct de vedere matematic, legea conservării momentului unghiular decurge din izotropia spațiului, adică din invarianța spațiului față de rotația printr-un unghi arbitrar. Când se rotește printr-un unghi infinitezimal arbitrar, vectorul rază al particulei cu numărul se va schimba cu , iar vitezele - . Funcția Lagrange a sistemului nu se va modifica în timpul unei astfel de rotații, din cauza izotropiei spațiului. Asa de

1. Luați în considerare rotația corpului în jurul nemişcat axa Z. Să împărțim întregul corp într-o mulțime de mase elementare m i. Viteza liniară a masei elementare m i– v i = w R i, unde R i– distanța masei m i din axa de rotație. Prin urmare, energia cinetică i-a masa elementară va fi egală cu . Energia cinetică totală a corpului: , iată momentul de inerție al corpului față de axa de rotație.

Astfel, energia cinetică a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este:

2. Lasă corpul acum se învârte despre unele axe, și se deplasează axele progresiv, rămânând paralel cu sine.

DE EXEMPLU: O bilă care se rostogolește fără alunecare face o mișcare de rotație, iar centrul ei de greutate, prin care trece axa de rotație (punctul „O”) se deplasează înainte (Fig. 4.17).

Viteză i-aceasta masă elementară a corpului este egală cu , unde este viteza unui punct „O” al corpului; – rază-vector care determină poziția masei elementare în raport cu punctul „O”.

Energia cinetică a unei mase elementare este egală cu:

NOTĂ: produsul vectorial coincide în direcție cu vectorul și are un modul egal cu (Fig. 4.18).

Ținând cont de această remarcă, putem scrie că , unde este distanța masei față de axa de rotație. În al doilea termen, facem o permutare ciclică a factorilor, după care obținem

Pentru a obține energia cinetică totală a corpului, însumăm această expresie peste toate masele elementare, luând factorii constanți din semnul sumei. obține

Suma maselor elementare este masa corpului „m”. Expresia este egală cu produsul dintre masa corporală și vectorul rază al centrului de inerție al corpului (prin definiția centrului de inerție). În sfârșit, - momentul de inerție al corpului față de axa care trece prin punctul „O”. Prin urmare, se poate scrie

.

Dacă luăm ca punct „O” centrul de inerție al corpului „C”, vectorul rază va fi egal cu zero și al doilea termen va dispărea. Apoi, notând prin - viteza centrului de inerție și prin - momentul de inerție al corpului față de axa care trece prin punctul "C", obținem:

(4.6)

Astfel, energia cinetică a unui corp în timpul mișcării plane este compusă din energia mișcării de translație cu o viteză egală cu viteza centrului de inerție și din energia de rotație în jurul unei axe care trece prin centrul de inerție al corpului.

Lucrul forțelor externe în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid.

Găsiți munca efectuată de forțele atunci când corpul se rotește în jurul axei Z fixă.

Fie ca o forță internă și o forță externă să acționeze asupra masei (forța rezultată se află într-un plan perpendicular pe axa de rotație) (Fig. 4.19). Aceste forțe se formează în timp dt loc de munca:

După ce am efectuat o permutare ciclică a factorilor în produse mixte ale vectorilor, găsim:

unde , - respectiv, momentele forțelor interne și externe relativ la punctul „O”.

Însumând peste toate masele elementare, obținem munca elementară efectuată asupra corpului în timp dt:

Suma momentelor forțelor interne este egală cu zero. Apoi, notând momentul total al forțelor externe prin , ajungem la expresia:

.

Se știe că produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul dintre modulul unuia dintre vectorii înmulțiți și proiecția celui de-al doilea pe direcția primului, ținând cont de faptul că , (direcțiile axa Z și coincid), obținem

,

dar w dt=d j, adică unghiul prin care corpul se rotește în timp dt. Asa de

.

Semnul lucrării depinde de semnul lui M z , adică. de la semnul proiecției vectorului pe direcția vectorului .

Deci, atunci când corpul se rotește, forțele interne nu lucrează, iar munca forțelor externe este determinată de formula .

Munca efectuată într-un interval de timp finit se găsește prin integrare

.

Dacă proiecția momentului rezultat al forțelor externe pe direcție rămâne constantă, atunci poate fi scoasă din semnul integral:

, adică .

Acestea. munca unei forțe exterioare în timpul mișcării de rotație a unui corp este egală cu produsul proiecției momentului forței exterioare și direcția și unghiul de rotație.

Pe de altă parte, munca forței externe care acționează asupra corpului duce la creșterea energiei cinetice a corpului (sau este egală cu modificarea energiei cinetice a corpului în rotație). Să-l arătăm:

;

Prin urmare,

. (4.7)

Pe cont propriu:

Forțe elastice;

legea lui Hooke.

PRELEZA 7

Hidrodinamică

Linii și tuburi de curent.

Hidrodinamica studiază mișcarea lichidelor, dar legile ei se aplică și mișcării gazelor. Într-un flux de fluid staționar, viteza particulelor sale în fiecare punct din spațiu este o mărime care este independentă de timp și este o funcție a coordonatelor. Într-un flux staționar, traiectoriile particulelor de fluid formează o linie de curgere. Setul de linii de curgere formează un tub de curent (Fig. 5.1). Presupunem că lichidul este incompresibil, apoi volumul de lichid care curge prin secțiuni S 1 și S 2 va fi la fel. Într-o secundă, un volum de fluid egal cu

, (5.1)

unde și sunt vitezele fluidului în secțiuni transversale S 1 și S 2 și vectorii și sunt definiți ca și , unde și sunt normalele secțiunilor S 1 și S 2. Ecuația (5.1) se numește ecuația de continuitate a jetului. De aici rezultă că viteza fluidului este invers proporțională cu secțiunea transversală a tubului de curent.

ecuația lui Bernoulli.

Vom considera un fluid incompresibil ideal în care nu există frecare internă (vâscozitate). Să evidențiem un tub subțire de curent într-un lichid care curge staționar (Fig. 5.2) cu secțiuni transversale S1și S2 perpendicular pe liniile de curent. in sectiune 1 in scurt timp t particulele se mișcă la o distanță l 1, iar în secțiunea 2 - de la distanță l 2. Prin ambele secțiuni în timp t vor trece volume mici egale de lichid V= V 1 = V 2și transportă mult lichid m=rV, Unde r este densitatea lichidului. În general, modificarea energiei mecanice a întregului lichid din tubul de curent între secțiuni S1și S2, ceea ce s-a întâmplat în timp t, poate fi înlocuit cu modificarea energiei de volum V, care a avut loc când s-a mutat de la secțiunea 1 la secțiunea 2. Cu o astfel de mișcare, energia cinetică și potențială a acestui volum se va modifica și modificarea totală a energiei sale

, (5.2)

unde v 1 și v 2 - viteza particulelor de fluid în secțiuni S1și S2 respectiv; g- accelerarea gravitației; h1și h2- înălțimile centrului secțiunilor.

Într-un fluid ideal, nu există pierderi prin frecare, astfel încât energia crește DE trebuie să fie egală cu munca efectuată de forțele de presiune asupra volumului alocat. În absența forțelor de frecare, aceasta funcționează:

Echivalând părțile din dreapta ale egalităților (5.2) și (5.3) și transferând termeni cu aceiași indici într-o parte a egalității, obținem

. (5.4)

Secțiuni de tub S1și S2 au fost luate în mod arbitrar, astfel încât se poate argumenta că expresia este valabilă în orice secțiune a tubului curent

. (5.5)

Ecuația (5.5) se numește ecuația lui Bernoulli. Pentru o raționalizare orizontală h = const, iar egalitatea (5.4) ia forma

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

acestea. presiunea este mai mică în acele puncte în care viteza este mai mare.

Forțele de frecare internă.

Vâscozitatea este inerentă unui lichid real, care se manifestă prin faptul că orice mișcare de lichid și gaz se oprește spontan în absența cauzelor care au provocat-o. Să luăm în considerare un experiment în care un strat de lichid este situat deasupra unei suprafețe fixe și o placă care plutește pe el cu o suprafață se mișcă de deasupra acesteia cu o viteză S(Fig. 5.3). Experiența arată că, pentru a deplasa placa cu o viteză constantă, este necesar să acționezi asupra ei cu o forță. Deoarece placa nu primește accelerație, înseamnă că acțiunea acestei forțe este echilibrată de o altă forță egală cu ea ca mărime și direcționată opus, care este forța de frecare . Newton a arătat că forța de frecare

, (5.7)

Unde d este grosimea stratului de lichid, h este coeficientul de vâscozitate sau coeficientul de frecare al lichidului, semnul minus ia în considerare direcția diferită a vectorilor F trși v o. Dacă examinăm viteza particulelor de fluid în diferite locuri ale stratului, rezultă că aceasta se modifică conform unei legi liniare (Fig. 5.3):

v(z) = (v 0 /d) z.

Diferențiând această egalitate, obținem dv/dz= v 0 /d. Având în vedere acest lucru

formula (5.7) ia forma

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Unde h- coeficient de vâscozitate dinamică. Valoare dv/dz numit gradient de viteză. Arată cât de repede se schimbă viteza în direcția axei z. La dv/dz= gradientul de viteză constant este numeric egal cu modificarea vitezei v când se schimbă z pe unitate. Punem numeric în formula (5.8) dv/dz =-1 și S= 1, obținem h = F. asta implică sens fizic h: coeficientul de vâscozitate este numeric egal cu forța care acționează asupra unui strat lichid de unitate de suprafață la un gradient de viteză egal cu unu. Unitatea SI a viscozității se numește pascal secundă (notat Pa s). În sistemul CGS, unitatea de vâscozitate este 1 poise (P), cu 1 Pa s = 10P.