Aflați panta tangentei trasate la grafic. Ecuația tangentei la graficul funcției

Să fie dată o funcție f, care la un punct x 0 are o derivată finită f (x 0). Apoi dreapta care trece prin punctul (x 0; f (x 0)), care are o pantă f '(x 0), se numește tangentă.

Dar ce se întâmplă dacă derivata în punctul x 0 nu există? Există două opțiuni:

1. Nici tangenta la grafic nu există. Exemplul clasic este funcția y = |x | în punctul (0; 0).
2. Tangenta devine verticală. Acest lucru este adevărat, de exemplu, pentru funcția y = arcsin x în punctul (1; π /2).

Ecuația tangentei

Orice dreaptă neverticală este dată de o ecuație de forma y = kx + b, unde k este panta. Tangenta nu face excepție, iar pentru a-și compune ecuația la un punct x 0 este suficient să cunoști valoarea funcției și a derivatei în acest punct.

Deci, să fie dată o funcție y \u003d f (x), care are o derivată y \u003d f '(x) pe segment. Atunci în orice punct x 0 ∈ (a; b) se poate trasa o tangentă la graficul acestei funcții, care este dată de ecuația:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Aici f ’(x 0) este valoarea derivatei în punctul x 0, iar f (x 0) este valoarea funcției în sine.

Sarcină. Având în vedere o funcție y = x 3 . Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 2.

Ecuație tangentă: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Ne este dat punctul x 0 = 2, dar valorile f (x 0) și f '(x 0) vor trebui calculate.

Mai întâi, să găsim valoarea funcției. Totul este ușor aici: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Acum să găsim derivata: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Înlocuiți în derivată x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Deci obținem: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Aceasta este ecuația tangentei.

Sarcină. Compuneți ecuația tangentei la graficul funcției f (x) \u003d 2sin x + 5 în punctul x 0 \u003d π / 2.

De data aceasta nu vom descrie în detaliu fiecare acțiune - vom indica doar pașii cheie. Noi avem:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Ecuația tangentei:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

În acest din urmă caz, linia s-a dovedit a fi orizontală, deoarece panta sa k = 0. Nu este nimic în neregulă cu asta - tocmai am dat peste un punct extremum.

În matematică, unul dintre parametrii care descriu poziția unei drepte pe planul de coordonate carteziene este panta acestei drepte. Acest parametru caracterizează panta dreptei față de axa x. Pentru a înțelege cum să găsiți panta, mai întâi amintiți-vă forma generală a ecuației unei drepte în sistemul de coordonate XY.

În general, orice linie poate fi reprezentată prin expresia ax+by=c, unde a, b și c sunt numere reale arbitrare, dar neapărat a 2 + b 2 ≠ 0.

Cu ajutorul unor transformări simple, o astfel de ecuație poate fi adusă la forma y=kx+d, în care k și d sunt numere reale. Numărul k este o pantă, iar ecuația unei drepte de acest fel se numește ecuație cu pantă. Se pare că pentru a găsi panta, trebuie doar să aduceți ecuația inițială la forma de mai sus. Pentru o mai bună înțelegere, luați în considerare un exemplu specific:

Sarcină: Aflați panta dreptei dată de ecuația 36x - 18y = 108

Soluție: Să transformăm ecuația inițială.

Răspuns: Panta dorită a acestei linii este 2.

Daca in timpul transformarii ecuatiei am obtinut o expresie de tipul x = const si ca urmare nu putem reprezenta y in functie de x, atunci avem de-a face cu o dreapta paralela cu axa X. Panta de o astfel de linie dreaptă este egală cu infinitul.

Pentru drepte care sunt exprimate printr-o ecuație precum y = const, panta este zero. Acest lucru este tipic pentru liniile drepte paralele cu axa x. De exemplu:

Sarcină: Aflați panta dreptei dată de ecuația 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rezolvare: Aducem ecuația inițială într-o formă generală

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Este imposibil de exprimat y din expresia rezultată, prin urmare, panta acestei drepte este egală cu infinitul, iar linia dreaptă în sine va fi paralelă cu axa Y.

sens geometric

Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la imagine:

În figură, vedem un grafic al unei funcții de tipul y = kx. Pentru a simplifica, luăm coeficientul c = 0. În triunghiul OAB, raportul dintre latura BA și AO va fi egal cu panta k. În același timp, raportul BA / AO este tangenta unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic OAB. Se dovedește că panta unei drepte este egală cu tangentei unghiului pe care această dreaptă îl formează cu axa x a rețelei de coordonate.

Rezolvând problema modului de a găsi panta unei drepte, găsim tangenta unghiului dintre aceasta și axa x a rețelei de coordonate. Cazurile limită, când linia luată în considerare este paralelă cu axele de coordonate, confirmă cele de mai sus. Într-adevăr, pentru o dreaptă descrisă de ecuația y=const, unghiul dintre ea și axa x este egal cu zero. Tangenta unghiului zero este, de asemenea, zero și panta este, de asemenea, zero.

Pentru liniile drepte perpendiculare pe axa x și descrise de ecuația x=const, unghiul dintre ele și axa x este de 90 de grade. Tangenta unui unghi drept este egală cu infinitul, iar panta dreptelor similare este egală cu infinitul, ceea ce confirmă ceea ce s-a scris mai sus.

Pantă tangentă

O sarcină comună, des întâlnită în practică, este, de asemenea, găsirea pantei tangentei la graficul funcției la un moment dat. Tangenta este o linie dreaptă, prin urmare și conceptul de pantă este aplicabil acesteia.

Pentru a ne da seama cum să găsim panta unei tangente, va trebui să ne amintim conceptul de derivată. Derivata oricărei funcții într-un punct este o constantă numeric egală cu tangentei unghiului care se formează între tangenta în punctul specificat la graficul acestei funcții și axa absciselor. Se pare că pentru a determina panta tangentei în punctul x 0, trebuie să calculăm valoarea derivatei funcției originale în acest punct k \u003d f "(x 0). Să luăm în considerare un exemplu:

Sarcină: Aflați panta dreptei tangente la funcția y = 12x 2 + 2xe x la x = 0,1.

Rezolvare: Aflați derivata funcției originale în formă generală

y „(0,1) = 24 . 0.1 + 2 . 0.1 . e 0.1 + 2 . e 0.1

Răspuns: Panta dorită în punctul x \u003d 0,1 este 4,831

Luați în considerare următoarea figură:

Arată o funcție y = f(x) care este diferențiabilă în punctul a. Punctul marcat M cu coordonatele (a; f(a)). Printr-un punct arbitrar P(a + ∆x; f(a + ∆x)) al graficului, se trasează o secanta MP.

Dacă acum punctul P este deplasat de-a lungul graficului către punctul M, atunci linia dreaptă MP se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. De aici putem formula definiția unei tangente la graficul unei funcții.

Graficul tangent la funcție

Tangenta la graficul funcției este poziția limită a secantei atunci când incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă către el.

În acest caz, panta tangentei va fi egală cu derivata acestei funcții în acest punct f’(x0). Acesta este sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul functiei f diferentiabila in punctul x0 este o dreapta care trece prin punctul (x0;f(x0)) si avand o panta f’(x0).

Ecuația tangentei

Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A(x0; f(x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea formă:

Deoarece panta noastră este egală cu derivata f'(x0), atunci ecuația va lua următoarea formă: y = f'(x0)*x + b.

Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Inlocuim valoarea rezultata in ecuatia tangentei:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 în punctul x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4*(x - 2). Deschizând parantezele și aducând termeni similari, obținem: y = 4*x - 7.

Răspuns: y = 4*x - 7.

Schema generala de compilare a ecuatiei tangentei la graficul funcției y = f(x):

1. Determinați x0.

2. Calculați f(x0).

3. Calculați f'(x)

Tema „Coeficientul unghiular al tangentei ca tangentă a unghiului de înclinare” din examenul de certificare primește mai multe sarcini deodată. În funcție de starea lor, absolventului i se poate cere să ofere atât un răspuns complet, cât și unul scurt. Când se pregătește pentru examenul de matematică, elevul ar trebui să repete cu siguranță sarcinile în care este necesar să calculeze panta tangentei.

Portalul educațional Shkolkovo vă va ajuta să faceți acest lucru. Experții noștri au pregătit și au prezentat materiale teoretice și practice cât mai accesibile. După ce s-au familiarizat cu acesta, absolvenții cu orice nivel de pregătire vor putea rezolva cu succes probleme legate de derivate, în care este necesar să se găsească tangentei pantei tangentei.

Momente de bază

Pentru a găsi soluția corectă și rațională la astfel de sarcini în USE, este necesar să ne amintim definiția de bază: derivata este rata de schimbare a funcției; este egală cu tangentei pantei tangentei trasate la graficul funcţiei într-un anumit punct. Este la fel de important să finalizați desenul. Vă va permite să găsiți soluția corectă la problemele USE pe derivată, în care este necesar să calculați tangentei pantei tangentei. Pentru claritate, cel mai bine este să trasați un grafic pe planul OXY.

Dacă v-ați familiarizat deja cu materialul de bază pe tema derivatei și sunteți gata să începeți să rezolvați probleme pentru calcularea tangentei pantei tangentei, similar sarcinilor USE, puteți face acest lucru online. Pentru fiecare sarcină, de exemplu, sarcini pe tema „Relația derivatei cu viteza și accelerația corpului”, am notat răspunsul corect și algoritmul de soluție. În acest caz, elevii pot exersa îndeplinirea sarcinilor de diferite niveluri de complexitate. Dacă este necesar, exercițiul poate fi salvat în secțiunea „Preferate”, pentru ca ulterior să discutați decizia cu profesorul.