Acasă

fântâni

Aria unei figuri plate delimitate de linii calculator online. Calculator online Calculați o integrală definită (aria unui trapez curbiliniu)

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați aria folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai relevantă. În acest sens, este util să reîmprospătați memoria graficelor principalelor funcții elementare și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă și o hiperbolă.

Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și un grafic al unei funcții continue pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună.

În ceea ce privește geometria, integrala definită este AREA.

adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construirea unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Pe segment se află graficul funcției peste axă, De aceea:

Răspuns:

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule clar nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Decizie: Hai să facem un desen:

Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:

În acest caz:

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Decizie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.

Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe interval mai mare sau egal o funcție continuă, apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte, poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Exemplul 4

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Decizie: Să facem mai întâi un desen:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite.

Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Cuvinte cheie: trapez integral, curbiliniu, zonă de figuri delimitată de crini

Echipamente: tabla alba, calculator, proiector multimedia

Tipul de lecție: lecție-prelecție

Obiectivele lecției:

educational: să formeze o cultură a muncii mentale, să creeze o situație de succes pentru fiecare elev, să formeze o motivație pozitivă pentru învățare; dezvolta capacitatea de a vorbi și de a asculta pe ceilalți.
în curs de dezvoltare: formarea independenței gândirii elevului în aplicarea cunoștințelor în diverse situații, capacitatea de a analiza și de a trage concluzii, dezvoltarea logicii, dezvoltarea capacității de a pune corect întrebări și de a găsi răspunsuri la acestea. Îmbunătățirea formării abilităților de calcul, de calcul, dezvoltarea gândirii elevilor în cursul îndeplinirii sarcinilor propuse, dezvoltarea unei culturi algoritmice.
educational: pentru a forma concepte despre un trapez curbiliniu, despre o integrală, pentru a stăpâni abilitățile de calcul a ariilor figurilor plate

Metoda de predare: explicative și ilustrative.

În timpul orelor

În clasele anterioare, am învățat cum să calculăm ariile figurilor ale căror limite sunt linii întrerupte. În matematică, există metode care vă permit să calculați aria figurilor delimitate de curbe. Astfel de figuri se numesc trapeze curbilinii, iar aria lor este calculată folosind antiderivate.

trapez curbiliniu ( slide 1)

Un trapez curbiliniu este o figură delimitată de graficul funcției, ( w.m.), Drept x = ași x = b si abscisa

Diferite tipuri de trapezi curbilinii ( slide 2)

Luăm în considerare diverse tipuri de trapeze curbilinii și observăm: una dintre drepte este degenerată într-un punct, rolul funcției de limitare este jucat de linie.

Aria unui trapez curbiliniu (diapozitivul 3)

Fixați capătul din stânga al intervalului A, si drept X ne vom schimba, adică deplasăm peretele drept al trapezului curbiliniu și obținem o figură în schimbare. Aria unui trapez curbiliniu variabil delimitat de graficul funcției este antiderivată F pentru functie f

Iar pe segmentul [ A; b] aria trapezului curbiliniu format de funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:

Exercitiul 1:

Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții: f(x) = x 2 si direct y=0, x=1, x=2.

Decizie: ( conform algoritmului slide 3)

Desenați un grafic al funcției și al dreptelor

Găsiți una dintre antiderivatele funcției f(x) = x 2 :

Slide Self-Verificare

Integral

Se consideră un trapez curbiliniu dat de funcție f pe segmentul [ A; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor curbilinii mai mici. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbiliniu. Cu cât rupem segmentul mai mic [ A; b], cu atât calculăm mai precis aria.

Scriem aceste considerații sub formă de formule.

Împărțiți segmentul [ A; b] în n părți cu puncte x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Lungime k- al notează prin xk = xk - xk-1. Să rezumam

Din punct de vedere geometric, această sumă este aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)

Sumele de formă se numesc sume integrale pentru funcție f. (sch.m.)

Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obține prin trecerea la limită. Imaginează-ți că rafinăm partiția segmentului [ A; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, aria figurii compuse se va apropia de aria trapezului curbiliniu. Putem spune că aria unui trapez curbiliniu este egală cu limita sumelor integrale, Sk.t. (sch.m.) sau integral, adică

Definiție:

integrală a funcției f(x) din A inainte de b se numește limita sumelor integrale

= (sch.m.)

formula Newton-Leibniz.

Amintiți-vă că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, deci putem scrie:

Sk.t. = (sch.m.)

Pe de altă parte, aria unui trapez curbiliniu este calculată prin formula

S la t. (sch.m.)

Comparând aceste formule, obținem:

= (sch.m.)

Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.

Pentru comoditatea calculelor, formula este scrisă astfel:

= = (sch.m.)

Sarcini: (sch.m.)

1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)

2. Compilați integralele conform desenului ( verificați diapozitivul 6)

3. Găsiți aria unei figuri mărginite de linii: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7)

Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)

Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbilinii?

Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sch.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sch.m.). Figura în cauză este un trapez curbiliniu? Și cum puteți găsi zona sa, folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbilinie și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( w.m.)

Să facem un algoritm pentru găsirea zonei din animația de pe diapozitiv:

Funcții grafice
Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x
Umbriți figura obținută prin încrucișarea graficelor
Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.
Calculați aria fiecăruia
Găsiți diferența sau suma suprafețelor

Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)

Teme pentru acasă: Elaborați rezumatul, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografie

Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Fabricant de lacuri. - M: Iluminismul, 1983.
Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasele 10-11 de gimnaziu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.
Bashmakov M.I. Matematică: un manual pentru instituțiile care încep. și avg. prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra și începutul analizei: un manual pentru 10-11 celule. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Iluminismul, 2010.
Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru lecție? / S.L. Ostrovsky. – M.: Primul septembrie 2010.

Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri

Ne întoarcem acum la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție, vom analiza o sarcină tipică și cea mai comună. Cum se utilizează o integrală definită pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o cabană de vară cu funcții elementare și să-i găsiți zona folosind o anumită integrală.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați aria folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai relevantă. În acest sens, este util să reîmprospătați graficele principalelor funcții elementare din memorie și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (mulți au nevoie) cu ajutorul materialului metodologic și al unui articol despre transformările geometrice ale graficelor.

De fapt, toată lumea este familiarizată cu problema găsirii zonei folosind o integrală definită încă de la școală și vom merge puțin înaintea programului școlar. Acest articol s-ar putea să nu existe deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev este chinuit de un turn urât cu entuziasm stăpânind un curs de matematică superioară.

Materialele acestui atelier sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbiliniu.

Trapez curbiliniu se numește figură plată delimitată de axa , linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul pe acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. La lecție Integrala definita. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construirea unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiești un plan, recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai după- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punct cu punct, cu tehnica construcției punctuale pot fi găsite în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi ecloza un trapez curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției peste axă, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axa

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Decizie: Hai să facem un desen:

Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

Exemplul 4

Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării se află ca „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite diagrame este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:

Repet că, la construcția punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei . Deoarece axa este dată de ecuația , iar graficul funcției este situat nu mai sus topoare, atunci

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă

Exemplul 5

Exemplul 6

Găsiți aria figurii încadrată de liniile , .

În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din cauza neatenției... a găsit zona figurii greșite, așa s-a încurcat servitorul tău ascultător de mai multe ori. Iată un caz real:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Decizie: Să facem mai întâi un desen:

… Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare să fie lizibil.

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Să trecem la o sarcină mai semnificativă.

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile într-o formă „școală” și să realizăm un desen punct cu punct:

Din desen se vede că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Poate ? Dar unde este garanția că desenul este făcut cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că. Sau rădăcină. Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?

În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:

,

Într-adevăr, .

Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai ușoare.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, în încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de drepte , ,

Decizie: Desenați această figură în desen.

La naiba, am uitat să semnez programul și refac poza, scuze, nu hotz. Nu un desen, pe scurt, azi este o zi =)

Pentru construcția punct cu punct, este necesar să se cunoască aspectul sinusoidei (și în general este util să se cunoască grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția: - „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală

Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă, am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

adica integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o anumită curbă pe plan (poate fi întotdeauna desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Primul și cel mai important moment al deciziei este construirea unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi ecloza un trapez curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției peste axă, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axa

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluție: Să facem un desen:

Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax, atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.

Exemplul 4

Găsiți aria unei figuri plate delimitate de linii , .

Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:

Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Este mai bine să nu utilizați această metodă dacă este posibil.

Și acum formula de lucru: Daca pe un segment vreo functie continua mai mare sau egal o funcție continuă, atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), și care este JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:

Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei . Deoarece axa este dată de ecuație, iar graficul funcției este situat sub axă, atunci

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă

Exemplul 5

Exemplul 6

Găsiți aria figurii încadrată de liniile , .

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Să desenăm mai întâi:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;

2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 8

În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:

Prin urmare, .

Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai ușoare.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, în încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de drepte , ,

Soluție: Desenați această figură în desen.

Pentru construcția punct cu punct a unui desen, este necesar să se cunoască aspectul sinusoidei (și, în general, este util să se cunoască grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția: - „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

(1) Modul în care sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare poate fi văzut în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice. Aceasta este o tehnică tipică, ciupim un sinus.

(2) Folosim identitatea trigonometrică de bază în formă

(3) Să schimbăm variabila , apoi:

Noi redistribuiri ale integrării:

Cine are cu adevărat o afacere proastă cu înlocuiri, te rog să mergi la lecție Metoda înlocuirii în integrală nedefinită. Pentru cei care nu sunt foarte clari despre algoritmul de înlocuire într-o integrală definită, vizitați pagina Integrala definita. Exemple de soluții.

Exemplul 1 . Calculați aria figurii mărginite de linii: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 și x = 2

Să construim o figură (vezi fig.) Construim o linie dreaptă x + 2y - 4 \u003d 0 de-a lungul a două puncte A (4; 0) și B (0; 2). Exprimând y în termeni de x, obținem y \u003d -0,5x + 2. Conform formulei (1), unde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, vom găsi

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 mp. unitati

Exemplul 2 Calculați aria figurii mărginite de linii: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 și y \u003d 0.

Decizie. Să construim o figură.

Să construim o dreaptă x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Să construim o dreaptă x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Aflați punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pentru a calcula aria necesară, împărțim triunghiul AMC în două triunghiuri AMN și NMC, deoarece atunci când x se schimbă de la A la N, aria este limitată de o linie dreaptă, iar când x se schimbă de la N la C, este o linie dreaptă.

Pentru triunghiul AMN avem: ; y \u003d 0,5x + 2, adică f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pentru triunghiul NMC avem: y = - x + 5, adică f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculând aria fiecărui triunghi și adunând rezultatele, găsim:

mp unitati

9 + 4, 5 = 13,5 mp. unitati Verificați: = 0,5AC = 0,5 sq. unitati

Exemplul 3 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

În acest caz, este necesar să se calculeze aria unui trapez curbiliniu delimitat de o parabolă y = x 2 , linii drepte x \u003d 2 și x \u003d 3 și axa Ox (a se vedea fig.) Conform formulei (1), găsim aria unui trapez curbiliniu

= = 6kv. unitati

Exemplul 4 Calculați aria unei figuri mărginite de drepte: y \u003d - x 2 + 4 și y = 0

Să construim o figură. Zona dorită este închisă între parabola y \u003d - x 2 + 4 și axa Oh.

Aflați punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Presupunând y \u003d 0, găsim x \u003d Deoarece această cifră este simetrică față de axa Oy, calculăm aria figurii situate în dreapta axei Oy și dublăm rezultatul: \u003d + 4x] pătrat. unitati 2 = 2 mp. unitati

Exemplul 5 Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aici este necesar să se calculeze aria trapezului curbiliniu delimitată de ramura superioară a parabolei y 2 \u003d x, axa Ox și liniile drepte x \u003d 1x \u003d 4 (a se vedea fig.)

Conform formulei (1), unde f(x) = a = 1 și b = 4, avem = (= unități sq.

Exemplul 6 . Calculați aria figurii mărginite de drepte: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Zona dorită este limitată de o sinusoidă cu jumătate de undă și de axa Ox (vezi Fig.).

Avem - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metri pătrați. unitati

Exemplul 7 Calculați aria figurii delimitată de linii: y \u003d - 6x, y \u003d 0 și x \u003d 4.

Figura este situată sub axa Ox (vezi Fig.).

Prin urmare, aria sa este găsită prin formula (3)

= =

Exemplul 8 Calculați aria figurii delimitată de liniile: y \u003d și x \u003d 2. Vom construi curba y \u003d de puncte (a se vedea figura). Astfel, aria figurii se găsește prin formula (4)

Exemplul 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Aici trebuie să calculați aria delimitată de cercul x 2 + y 2 = r 2 , adică aria unui cerc de rază r centrat la origine. Să găsim a patra parte a acestei zone, luând limitele integrării de la 0

dor; noi avem: 1 = = [

Prin urmare, 1 =

Exemplul 10 Calculați aria figurii mărginite de linii: y \u003d x 2 și y = 2x

Această cifră este limitată de parabola y \u003d x 2 și linie dreaptă y \u003d 2x (a se vedea fig.) Pentru a determina punctele de intersecție ale dreptelor date, rezolvăm sistemul de ecuații: x 2 – 2x = 0 x = 0 și x = 2

Folosind formula (5) pentru a găsi aria, obținem

= }

Secțiuni