Tetraedru obișnuit (piramidă). Volumul unui tetraedru Formula pentru găsirea ariei unui tetraedru
Raspuns: 6.
Raspuns: 000
Aria suprafeței unui tetraedru este 1. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui tetraedru.
Soluţie.
prototip.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Răspuns:
Aria suprafeței unui tetraedru este Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui tetraedru.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Răspuns: 0,8
Aria suprafeței tetraedrului este de 4,6. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Răspuns: 2.3
Aria suprafeței unui tetraedru este 6. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui tetraedru.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Raspuns: 3
Suprafața tetraedrului este de 2,8. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Raspuns: 000
Suprafața tetraedrului este de 8,8. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este 7. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele medii ale laturilor acestui tetraedru.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Răspuns: 3.5
Suprafața tetraedrului este de 4,8. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este de 9,6. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Suprafața tetraedrului este de 7,8. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței tetraedrului este de 5,6. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este de 3,2. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței tetraedrului este de 8,6. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este de 2,2. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței tetraedrului este de 6,8. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Răspuns: 3.4
Aria suprafeței unui tetraedru este de 10,2. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Suprafața tetraedrului este de 3,8. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este 4. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui tetraedru.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este 8. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui tetraedru.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este 9. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui tetraedru.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Raspuns: 6.
Aria suprafeței unui tetraedru este de 2,4. Găsiți aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor tetraedrului dat.
Soluţie.
Această sarcină nu a fost încă rezolvată, vă prezentăm soluția prototipului.
Aria suprafeței unui tetraedru este 12. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.
Suprafața dorită este formată din patru perechi de triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă egală cu un sfert din suprafața feței tetraedrului original. Prin urmare, aria dorită este egală cu jumătate din suprafața tetraedrului și este egală cu 6.
Să considerăm un triunghi arbitrar ABC și un punct D care nu se află în planul acestui triunghi. Conectați acest punct cu segmente la vârfurile triunghiului ABC. Ca rezultat, obținem triunghiuri ADC , CDB , ABD . Suprafața delimitată de patru triunghiuri ABC, ADC, CDB și ABD se numește tetraedru și se notează DABC.
Triunghiurile care alcătuiesc un tetraedru se numesc fețele sale.
Laturile acestor triunghiuri se numesc margini ale tetraedrului. Și vârfurile lor sunt vârfurile unui tetraedru
Tetraedrul are 4 fețe, 6 coasteși 4 vârfuri.
Două muchii care nu au un vârf comun se numesc opuse.
Adesea, pentru comoditate, se numește una dintre fețele tetraedrului bază, iar celelalte trei fețe sunt fețe laterale.
Astfel, tetraedrul este cel mai simplu poliedru, ale cărui fețe sunt patru triunghiuri.
Dar este și adevărat că orice piramidă triunghiulară arbitrară este un tetraedru. Atunci este și adevărat că se numește tetraedru o piramidă cu un triunghi la bază.
Înălțimea tetraedrului numit segment care leagă un vârf de un punct situat pe faţa opusă şi perpendicular pe acesta.
Mediana unui tetraedru numit segment care leagă vârful cu punctul de intersecție al medianelor feței opuse.
tetraedru bimedian se numește un segment care leagă punctele medii ale muchiilor de încrucișare ale tetraedrului.
Deoarece un tetraedru este o piramidă cu o bază triunghiulară, volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula
- S este zona oricărei fețe,
- H- înălțimea coborâtă pe această față
Tetraedru obișnuit - un tip special de tetraedru
Un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale se numește corect.
Proprietățile unui tetraedru regulat:
- Toate marginile sunt egale.
- Toate unghiurile plane ale unui tetraedru obișnuit sunt de 60°
- Deoarece fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri regulate, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este de 180°
- Orice vârf al unui tetraedru regulat este proiectat către ortocentrul feței opuse (până la punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului).
Să ni se dea un tetraedru regulat ABCD cu muchii egale cu a . DH este înălțimea sa.
Să facem construcții suplimentare BM - înălțimea triunghiului ABC și DM - înălțimea triunghiului ACD .
Înălțimea BM este egală cu BM și este egală
Luați în considerare triunghiul BDM , unde DH , care este înălțimea tetraedrului, este și înălțimea acestui triunghi.
Înălțimea unui triunghi coborât pe latura MB poate fi găsită folosind formula
, Unde
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 
Înlocuiți aceste valori în formula înălțimii. obține 
Să scoatem 1/2a. obține
Aplicați formula diferența de pătrate 
După câteva transformări minore, obținem 
Volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula
,
Unde 
,
Înlocuind aceste valori, obținem 
Astfel, formula de volum pentru un tetraedru obișnuit este
Unde A– marginea tetraedrului
Calcularea volumului unui tetraedru dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acestuia
Să ni se dea coordonatele vârfurilor tetraedrului
Desenați vectori din vârful , , .
Pentru a găsi coordonatele fiecăruia dintre acești vectori, scădeți coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele de sfârșit. obține 
Pentru un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice de la muchii și toate unghiurile triedrice de la vârfuri sunt egale
Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii.
Formulele de bază pentru un tetraedru obișnuit sunt date în tabel.
Unde:
S - Suprafața unui tetraedru obișnuit
V - volum
h - înălțime coborâtă până la bază
r - raza cercului înscris în tetraedru
R - raza cercului circumscris
a - lungimea coastei
Exemple practice
O sarcină.Aflați aria suprafeței unei piramide triunghiulare cu fiecare muchie egală cu √3
Soluţie.
Deoarece toate marginile unei piramide triunghiulare sunt egale, este corect. Aria suprafeței unei piramide triunghiulare regulate este S = a 2 √3.
Apoi
S = 3√3
Răspuns: 3√3
O sarcină.
Toate marginile unei piramide triunghiulare obișnuite au 4 cm. Aflați volumul piramidei 
Soluţie.
Deoarece într-o piramidă triunghiulară regulată înălțimea piramidei este proiectată în centrul bazei, care este și centrul cercului circumscris, atunci
AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3
Astfel, înălțimea piramidei OM poate fi găsită din triunghiul dreptunghic AOM
AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3
Volumul piramidei se găsește cu formula V = 1/3 Sh
În acest caz, găsim aria bazei cu formula S \u003d √3/4 a 2
V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3
Răspuns: 16√2/3cm