Základné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Riešenie homogénnych sústav lineárnych rovníc
Homogénny systém lineárnych rovníc nad poľom
DEFINÍCIA. Fundamentálna sústava riešení sústavy rovníc (1) je neprázdna lineárne nezávislá sústava jej riešení, ktorej lineárne rozpätie sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).
Všimnite si, že homogénny systém lineárnych rovníc, ktorý má iba nulové riešenie, nemá fundamentálny systém riešení.
NÁVRH 3.11. Akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému lineárnych rovníc pozostávajú z rovnakého počtu riešení.
Dôkaz. V skutočnosti sú akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému rovníc (1) ekvivalentné a lineárne nezávislé. Preto podľa výroku 1.12 sú ich pozície rovnaké. Preto sa počet riešení zahrnutých v jednom základnom systéme rovná počtu riešení zahrnutých v akomkoľvek inom základnom systéme riešení.
Ak je hlavná matica A homogénneho systému rovníc (1) nula, potom akýkoľvek vektor z je riešením pre systém (1); v tomto prípade je základný systém riešení akýkoľvek súbor lineárne nezávislých vektorov. Ak je poradie stĺpca matice A , potom systém (1) má iba jedno riešenie - nulu; preto v tomto prípade sústava rovníc (1) nemá fundamentálnu sústavu riešení.
TEOREMA 3.12. Ak je poradie hlavnej matice homogénneho systému lineárnych rovníc (1) menšie ako počet premenných, potom systém (1) má základný systém riešení pozostávajúci z riešení.
Dôkaz. Ak sa hodnosť hlavnej matice A homogénneho systému (1) rovná nule alebo , potom sa vyššie ukázalo, že veta je pravdivá. Preto sa ďalej predpokladá, že Za predpokladu , budeme predpokladať, že prvé stĺpce matice A sú lineárne nezávislé. V tomto prípade je matica A po riadkoch ekvivalentná redukovanej stupňovej matici a systém (1) je ekvivalentný nasledujúcemu redukovanému stupňovitému systému rovníc:
Je ľahké skontrolovať, či ľubovoľný systém hodnôt voľných premenných systému (2) zodpovedá jednému a iba jednému riešeniu systému (2), a teda systému (1). Predovšetkým iba nulové riešenie sústavy (2) a sústavy (1) zodpovedá sústave nulových hodnôt.
V systéme (2) priradíme jednej z voľných premenných hodnotu rovnajúcu sa 1 a ostatným premenným nulové hodnoty. Výsledkom je, že dostaneme riešenia sústavy rovníc (2), ktoré zapíšeme ako riadky nasledujúcej matice C:
Riadkový systém tejto matice je lineárne nezávislý. Vskutku, pre všetky skaláre z rovnosti
nasleduje rovnosť
a teda rovnosť
Dokážme, že lineárne rozpätie sústavy riadkov matice C sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).
Ľubovoľné riešenie systému (1). Potom vektor
je tiež riešením systému (1), a
Nechaj M 0 je množina riešení homogénnej sústavy (4) lineárnych rovníc.
Definícia 6.12. vektory s 1 ,s 2 , …, s p, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy lineárnych rovníc, sa nazývajú základný súbor riešení(skrátene FNR) ak
1) vektory s 1 ,s 2 , …, s p lineárne nezávislé (to znamená, že žiadna z nich nemôže byť vyjadrená ako ostatné);
2) akékoľvek iné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc možno vyjadriť pomocou riešení s 1 ,s 2 , …, s p.
Všimnite si, že ak s 1 ,s 2 , …, s p je nejaký f.n.r., potom výrazom k 1× s 1 + k 2× s 2 + … + kp× s p dokáže opísať celý súbor M 0 riešení k systému (4), tak sa nazýva celkový pohľad na systémové riešenie (4).
Veta 6.6. Akýkoľvek neurčitý homogénny systém lineárnych rovníc má základnú množinu riešení.
Spôsob, ako nájsť základný súbor riešení, je nasledujúci:
Nájdite všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc;
Stavať ( n – r) čiastkové riešenia tohto systému, pričom hodnoty voľných neznámych musia tvoriť maticu identity;
Napíšte všeobecnú formu riešenia, ktoré je súčasťou M 0 .
Príklad 6.5. Nájdite základnú sadu riešení nasledujúceho systému:
Riešenie. Poďme nájsť všeobecné riešenie tohto systému.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Tento systém má päť neznámych ( n= 5), z ktorých sú dve hlavné neznáme ( r= 2), tri voľné neznáme ( n – r), to znamená, že základná množina riešení obsahuje tri vektory riešenia. Poďme si ich postaviť. Máme X 1 a X 3 - hlavné neznáme, X 2 , X 4 , X 5 - voľné neznáme
Hodnoty voľných neznámych X 2 , X 4 , X 5 tvoria maticu identity E tretieho rádu. Mám tie vektory s 1 ,s 2 , s 3 formulár f.n.r. tento systém. Potom bude množina riešení tohto homogénneho systému M 0 = {k 1× s 1 + k 2× s 2 + k 3× s 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).
Zistime teraz podmienky existencie nenulových riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc, inými slovami, podmienky existencie fundamentálnej množiny riešení.
Homogénna sústava lineárnych rovníc má nenulové riešenia, to znamená, že je neurčitá, ak
1) poradie hlavnej matice systému je menšie ako počet neznámych;
2) v homogénnom systéme lineárnych rovníc je počet rovníc menší ako počet neznámych;
3) ak sa v homogénnom systéme lineárnych rovníc počet rovníc rovná počtu neznámych a determinant hlavnej matice sa rovná nule (t.j. | A| = 0).
Príklad 6.6. Pri akej hodnote parametra a homogénna sústava lineárnych rovníc 
má nenulové riešenia?
Riešenie. Zostavme si hlavnú maticu tohto systému a nájdime jej determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinant tejto matice sa rovná nule, kedy a = –4.
Odpoveď: –4.
7. Aritmetika n-rozmerný vektorový priestor
Základné pojmy
V predchádzajúcich častiach sme sa už stretli s pojmom množina reálnych čísel usporiadaných v určitom poradí. Toto je riadková matica (alebo stĺpcová matica) a riešenie systému lineárnych rovníc s n neznámy. Tieto informácie sa dajú zhrnúť.
Definícia 7.1. n-rozmerový aritmetický vektor sa nazýva usporiadaná množina n reálne čísla.
Prostriedky A= (a 1, a 2, …, a n), kde iО R, i = 1, 2, …, n je všeobecný pohľad na vektor. číslo n volal rozmer vektor a čísla a i zavolal ho súradnice.
Napríklad: A= (1, –8, 7, 4, ) je päťrozmerný vektor.
Všetko nachystané n-rozmerné vektory sa zvyčajne označujú ako R n.
Definícia 7.2. Dva vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) rovnakej dimenzie rovný vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné súradnice rovnaké, t.j. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definícia 7.3.súčet dva n-rozmerné vektory A= (a 1, a 2, …, a n) A b= (b1, b2, …, b n) sa nazýva vektor a + b= (a1 + b1, a2 + b2, …, a n+b n).
Definícia 7.4. práca Reálne číslo k na vektor A= (a 1, a 2, …, a n) sa nazýva vektor k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)
Definícia 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) sa volá nula(alebo nulový vektor).
Je ľahké skontrolovať, či akcie (operácie) sčítania vektorov a ich násobenia reálnym číslom majú nasledujúce vlastnosti: a, b, c Î R n, " k, lОR:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1x a = a 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definícia 7.6. Kopa R n s operáciami sčítania vektorov a ich násobením reálnym číslom na ňom uvedeným sa nazýva aritmetický n-rozmerný vektorový priestor.
Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému !!!Aby ste pochopili, čo je základný rozhodovací systém môžete si pozrieť videonávod pre rovnaký príklad kliknutím na . Teraz prejdime k popisu všetkých potrebných prác. To vám pomôže podrobnejšie pochopiť podstatu tohto problému.
Ako nájsť základný systém riešení lineárnej rovnice?
Zoberme si napríklad nasledujúci systém lineárnych rovníc:
Poďme nájsť riešenie tohto lineárneho systému rovníc. Na začiatok my zapíšte maticu koeficientov systému.
Transformujme túto maticu na trojuholníkovú. Prvý riadok prepíšeme bez zmien. A všetky prvky, ktoré sú pod $a_(11)$, musia byť vynulované. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(21)$, musíte odpočítať prvý od druhého riadku a napísať rozdiel do druhého riadku. Ak chcete vytvoriť nulu na mieste prvku $a_(31)$, musíte odpočítať prvý od tretieho riadku a rozdiel zapísať do tretieho riadku. Ak chcete na mieste prvku $a_(41)$ urobiť nulu, musíte od štvrtého riadku odpočítať prvé vynásobené 2 a do štvrtého riadku zapísať rozdiel. Ak chcete namiesto prvku $a_(31)$ urobiť nulu, odčítajte prvé vynásobené 2 od piateho riadku a rozdiel zapíšte do piateho riadku. 
Prvý a druhý riadok prepíšeme bez zmien. A všetky prvky, ktoré sú pod $a_(22)$, musia byť vynulované. Aby sa na mieste prvku $a_(32)$ vytvorila nula, je potrebné od tretieho riadku odpočítať druhý vynásobený 2 a rozdiel zapísať do tretieho riadku. Aby sa na mieste prvku $a_(42)$ vytvorila nula, je potrebné od štvrtého riadku odpočítať sekundu vynásobenú 2 a do štvrtého riadku zapísať rozdiel. Ak chcete namiesto prvku $a_(52)$ urobiť nulu, odčítajte sekundu vynásobenú 3 od piateho riadku a napíšte rozdiel do piateho riadku. 
To vidíme posledné tri riadky sú rovnaké, takže ak odpočítate tretiu od štvrtej a piatej, stanú sa nulou. 
Pre túto matricu napíšte nový systém rovníc.
Vidíme, že máme len tri lineárne nezávislé rovnice a päť neznámych, takže základný systém riešení bude pozostávať z dvoch vektorov. Takže my posuňte posledné dve neznáme doprava.
Teraz začneme vyjadrovať tie neznáme, ktoré sú na ľavej strane, cez tie, ktoré sú na pravej strane. Začneme poslednou rovnicou, najprv vyjadríme $x_3$, potom získaný výsledok dosadíme do druhej rovnice a vyjadríme $x_2$ a potom do prvej rovnice a tu vyjadríme $x_1$. Vyjadrili sme teda všetky neznáme, ktoré sú na ľavej strane, cez neznáme, ktoré sú na pravej strane. 
Potom namiesto $x_4$ a $x_5$ môžete nahradiť ľubovoľné čísla a nájsť $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Každých takýchto päť čísel bude koreňmi nášho pôvodného systému rovníc. Ak chcete nájsť vektory, ktoré sú zahrnuté v FSR musíme nahradiť 1 namiesto $x_4$ a nahradiť 0 namiesto $x_5$, nájsť $x_1$, $x_2$ a $x_3$ a potom naopak $x_4=0$ a $x_5=1$.
Gaussova metóda má množstvo nevýhod: nie je možné zistiť, či je systém konzistentný alebo nie, kým sa nevykonajú všetky potrebné transformácie v Gaussovej metóde; Gaussova metóda nie je vhodná pre systémy s písmenovými koeficientmi.
Zvážte iné metódy riešenia sústav lineárnych rovníc. Tieto metódy využívajú koncepciu hodnosti matice a redukujú riešenie akéhokoľvek kĺbového systému na riešenie systému, na ktorý sa vzťahuje Cramerovo pravidlo.
Príklad 1 Nájdite všeobecné riešenie nasledujúcej sústavy lineárnych rovníc pomocou základnej sústavy riešení redukovanej homogénnej sústavy a partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy.
1. Vyrobíme maticu A a rozšírená matica systému (1)
2. Preskúmajte systém (1) kvôli kompatibilite. Aby sme to urobili, nájdeme hodnosti matríc A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ak sa ukáže, že , potom systém (1) nezlučiteľné. Ak to dostaneme , potom je tento systém konzistentný a budeme ho riešiť. (Štúdia konzistencie je založená na Kronecker-Capelliho vete).
a. nachádzame rA.
Nájsť rA, budeme postupne uvažovať o nenulových maloletých prvého, druhého atď. rádu matice A a maloletí okolo nich.
M1=1≠0 (1 je prevzaté z ľavého horného rohu matice A).
Hraničný M1 druhý riadok a druhý stĺpec tejto matice. 
. Pokračujeme k hraniciam M1 druhý riadok a tretí stĺpec..gif" width="37" height="20 src=">. Teraz ohraničíme nenulovú vedľajšiu М2′ druhá objednávka.
Máme: 
(pretože prvé dva stĺpce sú rovnaké)
(pretože druhý a tretí riadok sú proporcionálne).
To vidíme rA=2 a je základom minor matice A.
b. nachádzame .
Dostatočne základné drobné М2′ matice A hranica so stĺpcom voľných členov a všetkými riadkami (máme len posledný riadok).
. Z toho vyplýva, že М3′′ zostáva základom minor matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Pretože М2′- menší základ matice A systémov (2) , potom je tento systém ekvivalentný systému (3) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (2) (pre М2′ je v prvých dvoch riadkoch matice A).
(3)
Keďže základná menšia je https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
V tomto systéme sú dve voľné neznáme ( x2 A x4 ). Preto FSR systémov (4) pozostáva z dvoch riešení. Aby sme ich našli, priraďujeme k nim voľné neznáme (4) hodnoty ako prvé x2 = 1 , x4 = 0 , a potom - x2 = 0 , x4=1 .
O x2 = 1 , x4 = 0 dostaneme:
.
Tento systém už má jediná vec riešenie (možno ho nájsť Cramerovým pravidlom alebo akoukoľvek inou metódou). Odčítaním prvej rovnice od druhej rovnice dostaneme:
Jej rozhodnutie bude x1= -1 , x3 = 0 . Vzhľadom na hodnoty x2 A x4 , ktoré sme uviedli, získame prvé zásadné riešenie systému (2) : .
Teraz vložíme (4) x2 = 0 , x4=1 . Dostaneme:
.
Tento systém riešime pomocou Cramerovej vety:
.
Získame druhé základné riešenie systému (2) : .
Riešenia β1 , β2 a make up FSR systémov (2) . Potom bude jeho všeobecné riešenie
γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Tu C1 , C2 sú ľubovoľné konštanty.
4. Nájdite jednu súkromné Riešenie heterogénny systém(1) . Ako v odseku 3 , namiesto systému (1) zvážiť ekvivalentný systém (5) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (1) .
(5)
Voľné neznáme prenášame na pravú stranu x2 A x4.
(6)
Dajme zadarmo neznáme x2 A x4 ľubovoľné hodnoty, napr. x2=2 , x4=1 a zapojte ich do (6) . Zoberme si systém
Tento systém má jedinečné riešenie (pretože jeho determinant М2′0). Jeho vyriešením (pomocou Cramerovej vety alebo Gaussovej metódy) dostaneme x1=3 , x3=3 . Vzhľadom na hodnoty voľných neznámych x2 A x4 , dostaneme konkrétne riešenie nehomogénneho systému(1)a1=(3,2,3,1).
5. Teraz zostáva písať všeobecné riešenie α nehomogénnej sústavy(1) : rovná sa súčtu súkromné rozhodnutie tento systém a všeobecné riešenie jeho redukovaného homogénneho systému (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
To znamená: 
(7)
6. Vyšetrenie. Ak chcete skontrolovať, či ste systém vyriešili správne (1) , potrebujeme všeobecné riešenie (7) nahradiť v (1) . Ak sa každá rovnica stane identitou ( C1 A C2 by mala byť zničená), potom sa riešenie nájde správne.
Nahradíme (7) napríklad len v poslednej rovnici sústavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Získame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Kde -1=-1. Máme identitu. Robíme to so všetkými ostatnými rovnicami systému (1) .
Komentujte. Overovanie je zvyčajne dosť ťažkopádne. Môžeme odporučiť nasledovné „čiastočné overenie“: v celkovom riešení systému (1) priradiť nejaké hodnoty ľubovoľným konštantám a výsledné konkrétne riešenie dosadiť len do vyradených rovníc (t.j. do tých rovníc z (1) ktoré nie sú zahrnuté (5) ). Ak získate identity, potom skôr, riešenie systému (1) nájdené správne (ale takáto kontrola nedáva úplnú záruku správnosti!). Napríklad, ak v (7) dať C2=- 1 , C1=1, potom dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosadením do poslednej rovnice systému (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.j. –1=–1. Máme identitu.
Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1) , vyjadrujúce hlavné neznáme z hľadiska voľných.
Riešenie. Ako v príklad 1, skladať matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> týchto matíc. Teraz ponecháme len tie rovnice systému (1) , ktorých koeficienty sú zahrnuté v tejto základnej moll (t. j. máme prvé dve rovnice) a uvažujeme systém z nich pozostávajúci, ktorý je ekvivalentný systému (1).
Prenesme voľné neznáme na pravú stranu týchto rovníc.
systém (9) riešime Gaussovou metódou, pričom správne časti považujeme za voľné členy.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Možnosť 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Možnosť 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Možnosť 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Možnosť 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Lineárna rovnica sa nazýva homogénne ak je jeho priesečník nulový a inak nehomogénny. Systém pozostávajúci z homogénnych rovníc sa nazýva homogénny a má všeobecný tvar:
Je zrejmé, že každý homogénny systém je konzistentný a má nulové (triviálne) riešenie. Preto vo vzťahu k homogénnym sústavám lineárnych rovníc treba často hľadať odpoveď na otázku existencie nenulových riešení. Odpoveď na túto otázku možno formulovať ako nasledujúca veta.
Veta . Homogénny systém lineárnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jeho poradie menšie ako počet neznámych .
Dôkaz: Predpokladajme, že systém, ktorého poradie je rovnaké, má nenulové riešenie. Je zrejmé, že nepresahuje . V prípade, že systém má unikátne riešenie. Keďže sústava homogénnych lineárnych rovníc má vždy nulové riešenie, je to práve nulové riešenie, ktoré bude týmto jedinečným riešením. Nenulové riešenia sú teda možné len pre .
Dôsledok 1 : Homogénna sústava rovníc, v ktorej je počet rovníc menší ako počet neznámych, má vždy nenulové riešenie.
Dôkaz: Ak sústava rovníc má , tak hodnosť sústavy nepresahuje počet rovníc , t.j. . Podmienka je teda splnená, a preto má systém nenulové riešenie.
Dôsledok 2 : Homogénna sústava rovníc s neznámymi má nenulové riešenie práve vtedy, ak je jej determinant nulový.
Dôkaz: Predpokladajme sústavu lineárnych homogénnych rovníc, ktorých matica s determinantom má nenulové riešenie. Potom, podľa dokázanej vety, , čo znamená, že matica je degenerovaná, t.j. .
Kroneckerova-Capelliho veta: SLE je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie matice systému rovná hodnote rozšírenej matice tohto systému. Systém ur-th sa nazýva kompatibilný, ak má aspoň jedno riešenie.Homogénny systém lineárnych algebraických rovníc.
Sústava m lineárnych rovníc s n premennými sa nazýva sústava lineárnych homogénnych rovníc, ak sú všetky voľné členy rovné 0. Sústava lineárnych homogénnych rovníc je vždy kompatibilná, pretože vždy má aspoň nulové riešenie. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenie práve vtedy, ak hodnost jeho matice koeficientov pri premenných je menšia ako počet premenných, t.j. pre úroveň A (n. Akákoľvek lineárna kombinácia
riešenia sústavy liniek. homogénne ur-ii je tiež riešením tohto systému.
Systém lineárne nezávislých riešení e1, e2,…,ek sa nazýva fundamentálny, ak každé riešenie systému je lineárnou kombináciou riešení. Veta: ak je poradie r matice koeficientov pri premenných sústavy lineárnych homogénnych rovníc menšie ako počet premenných n, potom každá fundamentálna sústava riešení sústavy pozostáva z n-r riešení. Preto je všeobecné riešenie sústavy liniek. slobodný ur-th má tvar: c1e1+c2e2+…+ckek, kde e1, e2,…, ek je ľubovoľná základná sústava riešení, c1, c2,…,ck sú ľubovoľné čísla a k=n-r. Všeobecné riešenie sústavy m lineárnych rovníc s n premennými sa rovná súčtu
všeobecné riešenie jemu zodpovedajúceho systému je homogénne. lineárnych rovníc a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy.
7. Lineárne priestory. Podpriestormi. Základ, rozmer. Lineárna škrupina. Lineárny priestor je tzv n-rozmerný, ak obsahuje sústavu lineárne nezávislých vektorov a ľubovoľná sústava viacerých vektorov je lineárne závislá. Číslo sa volá rozmer (počet meraní) lineárny priestor a označuje sa . Inými slovami, rozmer priestoru je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov v tomto priestore. Ak takéto číslo existuje, potom sa hovorí, že priestor je konečný-dimenzionálny. Ak pre akékoľvek prirodzené číslo n v priestore existuje systém pozostávajúci z lineárne nezávislých vektorov, potom sa takýto priestor nazýva nekonečno-rozmerný (napíš: ). V nasledujúcom texte, pokiaľ nie je uvedené inak, sa budú brať do úvahy konečne-dimenzionálne priestory.
Základom n-rozmerného lineárneho priestoru je usporiadaná množina lineárne nezávislých vektorov ( bázové vektory).
Veta 8.1 o expanzii vektora z hľadiska bázy. Ak je základ n-rozmerného lineárneho priestoru, potom každý vektor môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia základných vektorov:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+sk
a navyše jedinečným spôsobom, t.j. koeficienty sú jednoznačne určené. Inými slovami, každý priestorový vektor môže byť základne a navyše jedinečným spôsobom rozšírený.
Skutočne, rozmer priestoru je . Systém vektorov je lineárne nezávislý (to je základ). Po pripojení ľubovoľného vektora k základu dostaneme lineárne závislý systém (keďže tento systém pozostáva z vektorov v n-rozmernom priestore). Vlastnosťou 7 lineárne závislých a lineárne nezávislých vektorov získame záver vety.