Preskúmajte homogénny systém pre existenciu netriviálneho riešenia. Systémy lineárnych algebraických rovníc

Nazýva sa sústava lineárnych rovníc, v ktorej sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne :

Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) Riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.

Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie hlavnej matice menšie ako počet jej neznámych.

Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.

Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pre ktoré má systém netriviálne riešenia a nájdite tieto riešenia:

rozhodnutie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:

Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a predpokladáme, že r=a a z=b, dostaneme x=b-a, t.j.

Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základnú vedľajšiu vyberte:

dostaneme zjednodušený systém

Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Za predpokladu z=4a, dostaneme

Súbor všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležitý lineárna vlastnosť : ak X stĺpcov 1 a X 2 - roztoky homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1+b X 2 bude aj riešením tohto systému. Skutočne, pretože AX 1 = 0 a AX 2 = 0 , potom A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Vďaka tejto vlastnosti, ak má lineárny systém viac riešení, potom týchto riešení bude nekonečne veľa.

Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , E k, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazýva tzv základný rozhodovací systém homogénna sústava lineárnych rovníc, ak je možné všeobecné riešenie tejto sústavy zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:

Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, potom k = n-r.

Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:

rozhodnutie. Nájdite poradie hlavnej matice systému:

Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n - r= 5 - 2 = 3. Ako základnú moll volíme

.

Potom, keď ponecháme len základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné prenesieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:

Za predpokladu X 3 = a, X 4 = b, X 5 = c, nájdeme

, .

Za predpokladu a= 1, b=c= 0, získame prvé zásadité riešenie; za predpokladu b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; za predpokladu c= 1, a = b= 0, získame tretie zásadité riešenie. Výsledkom je, že normálny základný systém riešení nadobúda formu

Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.

Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B a Y je všeobecné riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akýchkoľvek lineárnych systémov vo všeobecnosti (algebraických, diferenciálnych, funkčných atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp prekrytia. Napríklad v teórii lineárnych elektrických obvodov možno prúd v akomkoľvek obvode získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.

Homogénny systém lineárnych rovníc nad poľom

DEFINÍCIA. Fundamentálna sústava riešení sústavy rovníc (1) je neprázdna lineárne nezávislá sústava jej riešení, ktorej lineárne rozpätie sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).

Všimnite si, že homogénny systém lineárnych rovníc, ktorý má iba nulové riešenie, nemá fundamentálny systém riešení.

NÁVRH 3.11. Akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému lineárnych rovníc pozostávajú z rovnakého počtu riešení.

Dôkaz. V skutočnosti sú akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému rovníc (1) ekvivalentné a lineárne nezávislé. Preto podľa návrhu 1.12 sú ich pozície rovnaké. Preto sa počet riešení zahrnutých v jednom základnom systéme rovná počtu riešení zahrnutých v akomkoľvek inom základnom systéme riešení.

Ak je hlavná matica A homogénneho systému rovníc (1) nula, potom akýkoľvek vektor z je riešením pre systém (1); v tomto prípade je akýkoľvek súbor lineárne nezávislých vektorov základným systémom riešení. Ak je poradie stĺpca matice A , potom systém (1) má iba jedno riešenie - nulu; preto v tomto prípade sústava rovníc (1) nemá fundamentálnu sústavu riešení.

TEOREMA 3.12. Ak je poradie hlavnej matice homogénneho systému lineárnych rovníc (1) menšie ako počet premenných, potom systém (1) má základný systém riešení pozostávajúci z riešení.

Dôkaz. Ak sa hodnosť hlavnej matice A homogénneho systému (1) rovná nule alebo , potom sa vyššie ukázalo, že veta je pravdivá. Preto sa ďalej predpokladá, že Za predpokladu , budeme predpokladať, že prvé stĺpce matice A sú lineárne nezávislé. V tomto prípade je matica A po riadkoch ekvivalentná redukovanej stupňovej matici a systém (1) je ekvivalentný nasledujúcemu redukovanému stupňovitému systému rovníc:

Je ľahké skontrolovať, či ľubovoľná sústava hodnôt voľných premenných sústavy (2) zodpovedá jednému a iba jednému riešeniu sústavy (2), a teda sústavy (1). Predovšetkým iba nulové riešenie sústavy (2) a sústavy (1) zodpovedá sústave nulových hodnôt.

V systéme (2) priradíme jednej z voľných premenných hodnotu rovnajúcu sa 1 a ostatným premenným nulové hodnoty. Výsledkom je, že dostaneme riešenia sústavy rovníc (2), ktoré zapíšeme ako riadky nasledujúcej matice C:

Riadkový systém tejto matice je lineárne nezávislý. Vskutku, pre všetky skaláre z rovnosti

nasleduje rovnosť

a teda rovnosť

Dokážme, že lineárne rozpätie sústavy riadkov matice C sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).

Ľubovoľné riešenie systému (1). Potom vektor

je tiež riešením systému (1), a

systém m lineárne rovnice c n sa volá neznámy lineárny homogénny systém rovnice, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule. Takýto systém vyzerá takto:

kde a ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dané čísla; x i- neznámy.

Systém lineárnych homogénnych rovníc je vždy konzistentný, od r r(A) = r(). Vždy má aspoň nulu ( triviálne) roztok (0; 0; ...; 0).

Uvažujme, za akých podmienok majú homogénne systémy nenulové riešenia.

Veta 1. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenia práve vtedy, ak má poradie hlavnej matice r menej neznámych n, t.j. r < n.

□ jeden). Nech má sústava lineárnych homogénnych rovníc nenulové riešenie. Keďže poradie nemôže presiahnuť veľkosť matice, je zrejmé, že r ≤ n. Nechať byť r = n. Potom jeden z maloletých veľkosti n n odlišný od nuly. Preto má zodpovedajúci systém lineárnych rovníc jedinečné riešenie: , , . Preto neexistujú žiadne iné riešenia ako triviálne. Takže, ak existuje netriviálne riešenie, potom r < n.

2). Nechať byť r < n. Potom je homogénny systém, ktorý je konzistentný, neurčitý. Má teda nekonečné množstvo riešení, t.j. má aj nenulové riešenia. ■

Predstavte si homogénny systém n lineárne rovnice c n neznámy:

(2)

Veta 2. homogénny systém n lineárne rovnice c n neznáma (2) má nenulové riešenia práve vtedy, ak sa jej determinant rovná nule: = 0.

□ Ak má systém (2) nenulové riešenie, potom = 0. Pre at má systém iba jedinečné nulové riešenie. Ak = 0, potom poradie r hlavná matica systému je menšia ako počet neznámych, t.j. r < n. A teda systém má nekonečné množstvo riešení, t.j. má aj nenulové riešenia. ■

Označte riešenie sústavy (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ako struna .

Riešenia sústavy lineárnych homogénnych rovníc majú tieto vlastnosti:

1. Ak reťazec je riešením systému (1), potom reťazec je tiež riešením systému (1).

2. Ak linky a - riešenia sústavy (1), potom pre ľubovoľné hodnoty s 1 a s 2 ich lineárna kombinácia je tiež riešením sústavy (1).

Platnosť týchto vlastností môžete skontrolovať ich priamym dosadením do rovníc systému.

Z formulovaných vlastností vyplýva, že každá lineárna kombinácia riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc je riešením aj tejto sústavy.

Systém lineárne nezávislých riešení e 1 , e 2 , …, e r volal zásadný, ak každé riešenie sústavy (1) je lineárnou kombináciou týchto riešení e 1 , e 2 , …, e r.

Veta 3. Ak hodnosť r matica koeficientov pre premenné sústavy lineárnych homogénnych rovníc (1) je menšia ako počet premenných n, potom každý základný systém riešení systému (1) pozostáva z n–r riešenia.

Takže spoločné rozhodnutie sústava lineárnych homogénnych rovníc (1) má tvar:

kde e 1 , e 2 , …, e r je akýkoľvek základný systém riešení systému (9), s 1 , s 2 , …, s p- ľubovoľné čísla, R = n–r.

Veta 4. Všeobecné systémové riešenie m lineárne rovnice c n neznámych sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej sústavy lineárnych homogénnych rovníc (1) a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy (1).

Príklad. Vyriešte systém

rozhodnutie. Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém iba triviálne riešenie: X = r = z = 0.

Príklad. 1) Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia systému

2) Nájdite základný systém riešení.

rozhodnutie. 1) Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém nenulové riešenia.

Pretože v systéme existuje iba jedna nezávislá rovnica

X + r – 4z = 0,

potom z nej vyjadrujeme X =4z- r. Odkiaľ dostaneme nekonečnú množinu riešení: (4 z- r, r, z) je všeobecným riešením systému.

o z= 1, r= -1, dostaneme jedno konkrétne riešenie: (5, -1, 1). Umiestňovanie z= 3, r= 2, dostaneme druhé konkrétne riešenie: (10, 2, 3) atď.

2) Vo všeobecnom riešení (4 z- r, r, z) premenné r a z sú zadarmo a variabilné X- na nich závislý. Aby sme našli základný systém riešení, priraďujeme hodnoty voľným premenným: po prvé r = 1, z= 0 teda r = 0, z= 1. Získame partikulárne riešenia (-1, 1, 0), (4, 0, 1), ktoré tvoria základnú sústavu riešení.

Ilustrácie:

Ryža. 1 Klasifikácia sústav lineárnych rovníc

Ryža. 2 Štúdium sústav lineárnych rovníc

Prezentácie:

Riešenie metódy SLAE_matrix

Riešenie SLAU_Cramerova metóda

Riešenie SLAE_Gaussova metóda

· Balíky na riešenie matematických úloh Mathematica: hľadanie analytického a numerického riešenia sústav lineárnych rovníc

testovacie otázky:

1. Definujte lineárnu rovnicu

2. Aký druh systému robí m lineárne rovnice s n neznámy?

3. Ako sa nazýva riešenie sústav lineárnych rovníc?

4. Aké systémy sa nazývajú ekvivalentné?

5. Aký systém sa nazýva nekompatibilný?

6. Aký systém sa nazýva kĺb?

7. Aký systém sa nazýva definovaný?

8. Aký systém sa nazýva neurčitý

9. Vymenujte elementárne transformácie sústav lineárnych rovníc

10. Vymenujte elementárne transformácie matíc

11. Formulujte vetu o aplikácii elementárnych transformácií na sústavu lineárnych rovníc

12. Aké sústavy možno riešiť maticovou metódou?

13. Aké systémy je možné riešiť Cramerovou metódou?

14. Aké sústavy možno riešiť Gaussovou metódou?

15. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

16. Popíšte maticovú metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

17. Opíšte Cramerovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

18. Opíšte Gaussovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

19. Aké systémy je možné riešiť pomocou inverznej matice?

20. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Literatúra:

1. Vyššia matematika pre ekonómov: Učebnica pre vysoké školy / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 s.

2. Všeobecný kurz vyššej matematiky pre ekonómov: Učebnica. / Ed. IN AND. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 s.

3. Zbierka úloh z vyššej matematiky pre ekonómov: Učebnica / Spracoval V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 s.

4. V. E. Gmurman, Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a magmatickej štatistike. - M.: Vyššia škola, 2005. - 400 s.

5. Gmurman. VE Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. - M.: Vysoká škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T.Ya. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. Časť 1, 2. - M .: Onyx 21. storočie: Svet a vzdelávanie, 2005. - 304 s. Časť 1; – 416 s. Časť 2

7. Matematika v ekonómii: Učebnica: Za 2 hodiny / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Financie a štatistika, 2006.

8. Šipačov V.S. Vyššia matematika: Učebnica pre študentov. univerzity - M .: Vyššia škola, 2007. - 479 s.

Podobné informácie.

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie a nejaký základný systém riešení pre systém

rozhodnutie nájsť pomocou kalkulačky. Algoritmus riešenia je rovnaký ako pre sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc.
Pri práci iba s riadkami nájdeme hodnosť matice, základnú minor; deklarujeme závislé a voľné neznáme a nájdeme všeobecné riešenie.

Prvý a druhý riadok sú proporcionálne, jeden z nich bude vymazaný:

.
Závislé premenné - x 2, x 3, x 5, voľné - x 1, x 4. Z prvej rovnice 10x 5 = 0 nájdeme x 5 = 0, teda
; .
Všeobecné riešenie vyzerá takto:

Nájdeme základný systém riešení, ktorý pozostáva z (n-r) riešení. V našom prípade n=5, r=3 teda fundamentálny systém riešení pozostáva z dvoch riešení a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé. Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, teda 2. Stačí dať voľným neznámym x 1 a x 4 hodnoty z riadkov determinantu druhého rádu, ktorý sa líši od nuly, a vypočítajte x 2 , x 3 , x 5 . Najjednoduchší nenulový determinant je .
Takže prvé riešenie je: , druhy - .
Tieto dve rozhodnutia tvoria základný systém rozhodovania. Všimnite si, že základný systém nie je jedinečný (iné determinanty ako nula môžu byť zložené toľko, koľko chcete).

Príklad 2. Nájdite všeobecné riešenie a základný systém riešení systému
rozhodnutie.



,
z toho vyplýva, že poradie matice je 3 a rovná sa počtu neznámych. To znamená, že systém nemá žiadne voľné neznáme, a preto má unikátne riešenie – triviálne.

Cvičenie . Preskúmajte a riešte systém lineárnych rovníc.
Príklad 4

Cvičenie . Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia pre každý systém.
rozhodnutie. Napíšeme hlavnú maticu systému:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Maticu privedieme do trojuholníkového tvaru. Budeme pracovať len s riadkami, keďže vynásobiť riadok matice nenulovým číslom a pridať ho do iného riadku pre sústavu znamená vynásobiť rovnicu rovnakým číslom a pridať ju do inej rovnice, čím sa riešenie nezmení. systému.
Vynásobte 2. riadok (-5). Pridajme 2. riadok k 1.:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Vynásobte 2. riadok číslom (6). Vynásobte 3. riadok číslom (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:
Nájdite hodnosť matice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Zvýraznená vedľajšia položka má najvyššie poradie (z možných vedľajších položiek) a je nenulová (rovná sa súčinu prvkov na recipročnej diagonále), preto zazvonil(A) = 2.
Táto minorita je základná. Zahŕňa koeficienty pre neznáme x 1, x 2, čo znamená, že neznáme x 1, x 2 sú závislé (základné) a x 3, x 4, x 5 sú voľné.
Transformujeme maticu, pričom vľavo ponecháme iba základnú mollovú.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Metódou eliminácie neznámych nájdeme netriviálne riešenie:
Dostali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1, x 2 cez voľné x 3, x 4, x 5, čiže sme našli spoločné rozhodnutie:
x2 = 0,64 x 4 – 0,0455 x 3 – 1,09 x 5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Nájdeme základný systém riešení, ktorý pozostáva z (n-r) riešení.
V našom prípade n=5, r=2 teda základná sústava riešení pozostáva z 3 riešení a tieto riešenia musia byť lineárne nezávislé.
Aby boli riadky lineárne nezávislé, je potrebné a postačujúce, aby sa poradie matice zloženej z prvkov riadkov rovnalo počtu riadkov, t.j. 3.
Stačí dať voľným neznámym hodnoty x 3 , x 4 , x 5 z riadkov determinantu 3. rádu odlišného od nuly a vypočítať x 1 , x 2 .
Najjednoduchším nenulovým determinantom je matica identity.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Úloha . Nájdite základnú množinu riešení homogénneho systému lineárnych rovníc.

Nechať byť M 0 je množina riešení homogénnej sústavy (4) lineárnych rovníc.

Definícia 6.12. vektory s 1 ,s 2 , …, s p, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy lineárnych rovníc, sa nazývajú základný súbor riešení(skrátene FNR) ak

1) vektory s 1 ,s 2 , …, s p lineárne nezávislé (to znamená, že žiadna z nich nemôže byť vyjadrená ako ostatné);

2) akékoľvek iné riešenie homogénneho systému lineárnych rovníc možno vyjadriť pomocou riešení s 1 ,s 2 , …, s p.

Všimnite si, že ak s 1 ,s 2 , …, s p je nejaký f.n.r., potom podľa výrazu k 1× s 1 + k 2× s 2 + … + kp× s p dokáže opísať celý súbor M 0 riešení k systému (4), tak sa nazýva celkový pohľad na systémové riešenie (4).

Veta 6.6. Akýkoľvek neurčitý homogénny systém lineárnych rovníc má základnú množinu riešení.

Spôsob, ako nájsť základný súbor riešení, je nasledujúci:

Nájdite všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc;

Stavať ( n – r) čiastkové riešenia tohto systému, pričom hodnoty voľných neznámych musia tvoriť maticu identity;

Napíšte všeobecnú formu riešenia, ktoré je súčasťou M 0 .

Príklad 6.5. Nájdite základnú sadu riešení nasledujúceho systému:

rozhodnutie. Poďme nájsť všeobecné riešenie tohto systému.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Tento systém má päť neznámych ( n= 5), z ktorých sú dve hlavné neznáme ( r= 2), tri voľné neznáme ( n – r), to znamená, že základná množina riešení obsahuje tri vektory riešenia. Poďme si ich postaviť. Máme X 1 a X 3 - hlavné neznáme, X 2 , X 4 , X 5 - voľné neznáme

Hodnoty voľných neznámych X 2 , X 4 , X 5 tvoria maticu identity E tretieho rádu. Mám tie vektory s 1 ,s 2 , s 3 formulár f.n.r. tento systém. Potom bude množina riešení tohto homogénneho systému M 0 = {k 1× s 1 + k 2× s 2 + k 3× s 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Zistime teraz podmienky existencie nenulových riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc, inými slovami, podmienky existencie fundamentálnej množiny riešení.

Homogénny systém lineárnych rovníc má nenulové riešenia, to znamená, že je neurčitý, ak

1) poradie hlavnej matice systému je menšie ako počet neznámych;

2) v homogénnom systéme lineárnych rovníc je počet rovníc menší ako počet neznámych;

3) ak sa v homogénnom systéme lineárnych rovníc počet rovníc rovná počtu neznámych a determinant hlavnej matice sa rovná nule (t.j. | A| = 0).

Príklad 6.6. Pri akej hodnote parametra a homogénna sústava lineárnych rovníc má nenulové riešenia?

rozhodnutie. Zostavme si hlavnú maticu tohto systému a nájdime jej determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Determinant tejto matice sa rovná nule, kedy a = –4.

Odpoveď: –4.

7. Aritmetika n-rozmerný vektorový priestor

Základné pojmy

V predchádzajúcich častiach sme sa už stretli s pojmom množina reálnych čísel usporiadaných v určitom poradí. Toto je riadková matica (alebo stĺpcová matica) a riešenie systému lineárnych rovníc s n neznámy. Tieto informácie sa dajú zhrnúť.

Definícia 7.1. n-rozmerový aritmetický vektor sa nazýva usporiadaná množina n reálne čísla.

Prostriedky a= (a 1, a 2, …, a n), kde iО R, i = 1, 2, …, n je všeobecný pohľad na vektor. číslo n volal rozmer vektor a čísla a i zavolal mu súradnice.

Napríklad: a= (1, –8, 7, 4, ) je päťrozmerný vektor.

Všetko nachystané n-rozmerné vektory sa zvyčajne označujú ako R n.

Definícia 7.2. Dva vektory a= (a 1, a 2, …, a n) a b= (b1, b2, …, b n) rovnakej dimenzie rovný vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné súradnice rovnaké, t.j. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definícia 7.3.súčet dva n-rozmerné vektory a= (a 1, a 2, …, a n) a b= (b1, b2, …, b n) sa nazýva vektor a + b= (a1 + b1, a2 + b2, …, a n+b n).

Definícia 7.4. práca Reálne číslo k na vektor a= (a 1, a 2, …, a n) sa nazýva vektor k× a = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definícia 7.5. Vektor o= (0, 0, …, 0) sa volá nula(alebo nulový vektor).

Je ľahké skontrolovať, či akcie (operácie) sčítania vektorov a ich násobenia reálnym číslom majú nasledujúce vlastnosti: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + o = a;

4) a+ (–a) = o;

5) 1x a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definícia 7.6. Kopa R n s operáciami sčítania vektorov a ich násobením reálnym číslom na ňom uvedeným sa nazýva aritmetický n-rozmerný vektorový priestor.