Najjednoduchšie jednociferné prvočíslo. Vzorce pre prvočísla
V tomto článku budeme študovať prvočísla a zložené čísla. Najprv uvádzame definície prvočísel a zložených čísel a tiež uvádzame príklady. Potom dokážeme, že prvočísel je nekonečne veľa. Ďalej napíšeme tabuľku prvočísel a zvážime metódy na zostavenie tabuľky prvočísel, zvlášť pozorne sa zastavíme pri metóde nazývanej Eratosthenovo sito. Na záver zdôrazňujeme hlavné body, ktoré je potrebné vziať do úvahy pri dokazovaní, že dané číslo je prvočíslo alebo zložené.
Navigácia na stránke.
Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady
Koncepty prvočísel a zložených čísel sa týkajú tých, ktoré sú väčšie ako jedna. Takéto celé čísla sa v závislosti od počtu ich kladných deliteľov delia na prvočísla a zložené čísla. Tak aby som pochopil definície prvočísel a zložených čísel, musíte mať dobrú predstavu o tom, čo sú deliteľ a násobky.
Definícia.
základné čísla sú celé čísla väčšie ako jedna, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov, konkrétne seba a 1 .
Definícia.
Zložené čísla sú celé čísla väčšie ako jedna, ktoré majú aspoň troch kladných deliteľov.
Samostatne si všimneme, že číslo 1 sa nevzťahuje na prvočísla ani na zložené čísla. Jednotka má iba jedného kladného deliteľa, ktorým je samotné číslo 1. Toto odlišuje číslo 1 od všetkých ostatných kladných celých čísel, ktoré majú aspoň dvoch kladných deliteľov.
Vzhľadom na to, že kladné celé čísla sú , a že jednotka má iba jedného kladného deliteľa, možno uviesť iné formulácie vyjadrených definícií prvočísel a zložených čísel.
Definícia.
základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.
Definícia.
Zložené čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú viac ako dvoch kladných deliteľov.
Všimnite si, že každé kladné celé číslo väčšie ako jedna je buď prvočíslo, alebo zložené číslo. Inými slovami, neexistuje jediné celé číslo, ktoré by nebolo ani prvočíslo, ani zložené. Vyplýva to z vlastnosti deliteľnosti, ktorá hovorí, že čísla 1 a a sú vždy deliteľmi ľubovoľného celého čísla a.
Na základe informácií v predchádzajúcom odseku môžeme uviesť nasledujúcu definíciu zložených čísel.
Definícia.
Voláme prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla zložka.
Poďme priniesť príklady prvočísel a zložených čísel.
Ako príklady zložených čísel uvádzame 6 , 63 , 121 a 6697 . Aj toto tvrdenie potrebuje vysvetlenie. Číslo 6 má okrem kladných deliteľov 1 a 6 aj deliteľov 2 a 3, keďže 6 \u003d 2 3, preto je 6 skutočne zložené číslo. Kladnými deliteľmi 63 sú čísla 1 , 3 , 7 , 9 , 21 a 63 . Číslo 121 sa rovná súčinu 11 11 , takže jeho kladnými deliteľmi sú 1 , 11 a 121 . A číslo 6697 je zložené, keďže jeho kladnými deliteľmi sú okrem 1 a 6697 aj čísla 37 a 181.
Na záver tohto odseku by som chcel ešte upozorniť na fakt, že prvočísla a druhočísla ani zďaleka nie sú to isté.
Tabuľka prvočísel
Prvočísla sa pre pohodlie ich ďalšieho použitia zaznamenávajú do tabuľky, ktorá sa nazýva tabuľka prvočísel. Nižšie je tabuľka prvočísel do 1 000.
Vynára sa logická otázka: „Prečo sme vypĺňali tabuľku prvočísel len do 1000, nie je možné zostaviť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel“?
Najprv si odpovedzme na prvú časť tejto otázky. Pre väčšinu problémov, ktoré zahŕňajú prvočísla, postačia prvočísla do tisíc. V iných prípadoch sa s najväčšou pravdepodobnosťou budete musieť uchýliť k niektorým špeciálnym technikám riešenia. Aj keď, samozrejme, môžeme prvočísla tabuľovať až do ľubovoľne veľkého konečného kladného čísla, či už je to 10 000 alebo 1 000 000 000 , v ďalšom odseku si povieme o metódach zostavovania tabuliek prvočísel, konkrétne si rozoberieme metódu volal.
Teraz sa pozrime na možnosť (alebo skôr nemožnosť) zostaviť tabuľku všetkých existujúcich prvočísel. Nemôžeme vytvoriť tabuľku všetkých prvočísel, pretože tých prvočísel je nekonečne veľa. Posledným tvrdením je veta, ktorú dokážeme po nasledujúcej pomocnej vete.
Veta.
Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako 1 okrem 1 je prvočíslo.
Dôkaz.
Nechaj a je prirodzené číslo väčšie ako jedna a b je najmenej kladný nejednotný deliteľ čísla a. Dokážme, že b je prvočíslo kontradikciou.
Predpokladajme, že b je zložené číslo. Potom je tu deliteľ čísla b (označme ho b 1 ), ktorý je odlišný od 1 aj b . Ak vezmeme do úvahy aj to, že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy (vieme to z vlastností deliteľnosti), potom podmienka 1
Keďže číslo a je deliteľné b podmienkou a my sme povedali, že b je deliteľné b 1, potom pojem deliteľnosti umožňuje hovoriť o existencii takých celých čísel q a q 1, že a=b q a b=b 1 q 1 , odkiaľ a= b 1 ·(q 1 ·q) . Z toho vyplýva, že súčin dvoch celých čísel je celé číslo, potom rovnosť a=b 1 ·(q 1 ·q) udáva, že b 1 je deliteľ čísla a . Berúc do úvahy vyššie uvedené nerovnosti 1
Teraz môžeme dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa.
Veta.
Prvočísel je nekonečne veľa.
Dôkaz.
Predpokladajme, že nie. To znamená, že predpokladajme, že existuje iba n prvočísel a tieto prvočísla sú p 1 , p 2 , …, p n . Ukážme, že vždy môžeme nájsť iné prvočíslo, ako je uvedené.
Uvažujme číslo p rovné p 1 ·p 2 ·...·p n +1 . Je jasné, že toto číslo sa líši od každého z prvočísel p 1 , p 2 , …, p n . Ak je číslo p prvočíslo, potom je veta dokázaná. Ak je toto číslo zložené, potom na základe predchádzajúcej vety existuje prvočíselník tohto čísla (označme ho p n+1 ). Ukážme, že tento deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z čísel p 1 , p 2 , …, p n .
Ak by to tak nebolo, potom by podľa vlastností deliteľnosti bol súčin p 1 ·p 2 ·...·p n deliteľný p n+1 . Ale číslo p je tiež deliteľné p n+1, ktoré sa rovná súčtu p 1 ·p 2 ·...·p n +1. To znamená, že druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná jednej, musí byť deliteľný p n+1, čo je nemožné.
Je teda dokázané, že vždy sa dá nájsť nové prvočíslo, ktoré nie je obsiahnuté v žiadnom z vopred zadaných prvočísel. Preto existuje nekonečne veľa prvočísel.
Takže vzhľadom na to, že prvočísel je nekonečne veľa, pri zostavovaní tabuliek prvočísel sa vždy zhora obmedzia na nejaké číslo, zvyčajne 100, 1 000, 10 000 atď.
Eratosthenove sito
Teraz si rozoberieme spôsoby zostavovania tabuliek prvočísel. Predpokladajme, že potrebujeme vytvoriť tabuľku prvočísel do 100 .
Najzrejmejšou metódou riešenia tohto problému je postupná kontrola kladných celých čísel, počnúc 2 a končiac 100 , na prítomnosť kladného deliteľa, ktorý je väčší ako 1 a menší ako kontrolované číslo (z vlastností deliteľnosti vedieť, že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy odlišnú od nuly). Ak sa takýto deliteľ nenájde, potom je kontrolované číslo prvočíslo a zapíše sa do tabuľky prvočísel. Ak sa takýto deliteľ nájde, potom je kontrolované číslo zložené, NEZApisuje sa do tabuľky prvočísel. Potom nasleduje prechod na ďalšie číslo, ktoré sa podobne kontroluje na prítomnosť deliteľa.
Poďme si popísať prvých pár krokov.
Začíname číslom 2. Číslo 2 nemá žiadneho kladného deliteľa okrem 1 a 2 . Preto je prvočíslo, preto ho zapíšeme do tabuľky prvočísel. Tu treba povedať, že 2 je najmenšie prvočíslo. Prejdime k číslu 3. Jeho možný kladný deliteľ iný ako 1 a 3 je 2. Ale 3 nie je deliteľné 2, preto je 3 prvočíslo a treba ho zadať aj do tabuľky prvočísel. Prejdime k číslu 4. Jeho kladné deliče iné ako 1 a 4 môžu byť 2 a 3, skontrolujme ich. Číslo 4 je deliteľné 2, preto je 4 zložené číslo a netreba ho zadávať do tabuľky prvočísel. Všimnite si, že 4 je najmenšie zložené číslo. Prejdime k číslu 5. Skontrolujeme, či aspoň jedno z čísel 2 , 3 , 4 je jeho deliteľ. Keďže 5 nie je deliteľné ani 2, ani 3, ani 4, je prvočíslo a treba ho zapísať do tabuľky prvočísel. Potom nasleduje prechod na čísla 6, 7 a tak ďalej až do 100.
Tento prístup k zostaveniu tabuľky prvočísel má ďaleko od ideálu. Tak či onak má právo na existenciu. Všimnite si, že pri tejto metóde konštrukcie tabuľky celých čísel môžete použiť kritériá deliteľnosti, ktoré mierne urýchlia proces hľadania deliteľov.
Existuje pohodlnejší spôsob zostavenia tabuľky prvočísel s názvom . Slovo „sito“ prítomné v názve nie je náhodné, pretože akcie tejto metódy pomáhajú takpovediac „preosiať“ cez sito Eratosthenove celé čísla, veľké jednotky, aby sa oddelili jednoduché od zložených.
Ukážme si Eratosthenovo sito v akcii pri zostavovaní tabuľky prvočísel do 50.
Najprv si zapíšeme čísla 2, 3, 4, ..., 50 v poradí.
Prvé zapísané číslo 2 je prvočíslo. Teraz sa od čísla 2 posúvame postupne o dve čísla doprava a tieto čísla škrtáme, kým sa nedostaneme na koniec zostavenej tabuľky čísel. Takže všetky čísla, ktoré sú násobkom dvoch, budú prečiarknuté.
Prvé neprečiarknuté číslo po 2 je 3 . Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 3 postupne posunieme doprava o tri čísla (berúc do úvahy už prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Takže všetky čísla, ktoré sú násobkom troch, budú prečiarknuté.
Prvé neprečiarknuté číslo po 3 je 5 . Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 5 postupne posunieme doprava o 5 čísel (berieme do úvahy aj skôr prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Takže všetky čísla, ktoré sú násobkom piatich, budú prečiarknuté.
Ďalej prečiarkneme čísla, ktoré sú násobkami 7, potom násobkami 11 atď. Proces končí, keď nezostanú žiadne čísla na prečiarknutie. Nižšie je vyplnená tabuľka prvočísel do 50 získaných pomocou Eratosthenovho sita. Všetky neprečiarknuté čísla sú prvočísla a všetky prečiarknuté čísla sú zložené.
Sformulujme a dokážme vetu, ktorá urýchli proces zostavovania tabuľky prvočísel pomocou Eratosthenovho sita.
Veta.
Najmenší kladný nejednotný deliteľ zloženého čísla a nepresahuje , kde je z a .
Dôkaz.
Nech b označuje najmenšieho deliteľa zloženého čísla a, ktoré sa líši od jednotky (číslo b je prvočíslo, čo vyplýva z vety dokázanej na samom začiatku predchádzajúceho odseku). Potom existuje celé číslo q také, že a=b q (tu q je kladné celé číslo, čo vyplýva z pravidiel násobenia celých čísel) a (keď b>q je porušená podmienka, že b je najmenším deliteľom a, keďže q je tiež deliteľom a kvôli rovnosti a=q b ). Vynásobením oboch strán nerovnosti kladným a väčším ako jedným celým číslom b (môžeme to urobiť), dostaneme , odkiaľ a .
Čo nám dáva dokázaná veta ohľadom Eratosthenovho sita?
Po prvé, vymazanie zložených čísel, ktoré sú násobkami prvočísla b, by malo začať číslom rovným (to vyplýva z nerovnosti ). Napríklad prečiarknutie čísel, ktoré sú násobkom dvoch, by malo začínať číslom 4, násobky troch - číslom 9, násobky piatich - číslom 25 atď.
Po druhé, zostavenie tabuľky prvočísel až po číslo n pomocou Eratosthenovho sita možno považovať za úplné, keď sa prečiarknu všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel, ktoré nepresahujú. V našom príklade n=50 (pretože tabulkujeme prvočísla do 50) a , takže Eratosthenovo sito musí odstrániť všetky zložené násobky prvočísiel 2, 3, 5 a 7, ktoré nepresahujú aritmetickú druhú odmocninu 50 . To znamená, že už nemusíme hľadať a preškrtávať čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 11 , 13 , 17 , 19 , 23 a tak ďalej až do 47 , keďže už budú prečiarknuté ako násobky menších prvočísel 2 , 3, 5 a 7.
Je toto číslo prvočíslo alebo zložené?
Niektoré úlohy vyžadujú zistenie, či je dané číslo prvočíslo alebo zložené. Vo všeobecnosti nie je táto úloha ani zďaleka jednoduchá, najmä pri číslach, ktorých záznam pozostáva z veľkého počtu znakov. Vo väčšine prípadov musíte hľadať nejaký konkrétny spôsob, ako to vyriešiť. My sa však pokúsime nasmerovať myšlienkový pochod pre jednoduché prípady.
Nepochybne sa môžeme pokúsiť použiť kritériá deliteľnosti, aby sme dokázali, že dané číslo je zložené. Ak napríklad nejaké kritérium deliteľnosti ukazuje, že dané číslo je deliteľné nejakým kladným celým číslom väčším ako jedna, potom je pôvodné číslo zložené.
Príklad.
Dokážte, že číslo 898 989 898 989 898 989 je zložené.
Riešenie.
Súčet číslic tohto čísla je 9 8+9 9=9 17 . Keďže číslo rovnajúce sa 9 17 je deliteľné 9, potom podľa kritéria deliteľnosti 9 možno tvrdiť, že pôvodné číslo je deliteľné aj 9. Preto je zložený.
Významnou nevýhodou tohto prístupu je, že kritériá deliteľnosti nám neumožňujú dokázať jednoduchosť čísla. Preto pri kontrole čísla, či je prvočíslo alebo zložené, musíte postupovať inak.
Najlogickejším prístupom je vymenovať všetkých možných deliteľov daného čísla. Ak žiadny z možných deliteľov nie je skutočným deliteľom daného čísla, potom je toto číslo prvočíslo, inak je zložené. Z teorém dokázaných v predchádzajúcom odseku vyplýva, že deliteľov daného čísla a treba hľadať medzi prvočíslami nepresahujúcimi . Dané číslo a teda môžeme postupne deliť prvočíslami (ktoré je vhodné vziať z tabuľky prvočísel), pričom sa snažíme nájsť deliteľa čísla a. Ak sa nájde deliteľ, potom číslo a je zložené. Ak medzi prvočíslami nepresahujúcimi , nie je deliteľ čísla a, potom číslo a je prvočíslo.
Príklad.
číslo 11 723 jednoduché alebo zložené?
Riešenie.
Poďme zistiť, do akého prvočísla môžu byť deliče čísla 11 723. Na tento účel odhadujeme .
Je celkom zrejmé, že 
, od 200 2 \u003d 40 000 a 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью porovnanie čísel). Možných hlavných deliteľov 11 723 je teda menej ako 200. To už značne zjednodušuje našu úlohu. Ak by sme to nevedeli, museli by sme zoradiť všetky prvočísla nie do 200, ale do čísla 11 723 .
Ak chcete, môžete odhadnúť presnejšie. Od 108 2 \u003d 11 664 a 109 2 \u003d 11 881, potom 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Každé z prvočísel menších ako 109 je teda potenciálne prvočíselným deliteľom daného čísla 11 723.
Teraz postupne rozdelíme číslo 11 723 na prvočísla 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 1 , 6 , 6 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Ak je číslo 11 723 celé vydelené jedným zo zapísaných prvočísel, bude zložené. Ak nie je deliteľné žiadnym zo zapísaných prvočísel, tak pôvodné číslo je prvočíslo.
Nebudeme popisovať celý tento monotónny a monotónny proces delenia. Povedzme, že 11 723
Zoznam deliteľov. Podľa definície číslo n je prvočíslo iba vtedy, ak nie je rovnomerne deliteľné 2 a akýmikoľvek celými číslami okrem 1 a sebou samým. Vyššie uvedený vzorec odstraňuje zbytočné kroky a šetrí čas: napríklad po kontrole, či je číslo deliteľné 3, nie je potrebné kontrolovať, či je deliteľné 9.
- Funkcia floor(x) zaokrúhli x na najbližšie celé číslo menšie alebo rovné x.
Získajte informácie o modulárnej aritmetike. Operácia "x mod y" (mod je skratka pre latinské slovo "modulo", čo znamená "modul") znamená "rozdeliť x y a nájsť zvyšok". Inými slovami, v modulárnej aritmetike, pri dosiahnutí určitej hodnoty, ktorá je tzv modul, čísla sa "otočia" späť na nulu. Napríklad hodiny merajú čas v module 12: ukazujú 10, 11 a 12 hodín a potom sa vrátia na 1.
- Mnoho kalkulačiek má mod kľúč. Koniec tejto časti ukazuje, ako manuálne vypočítať túto funkciu pre veľké čísla.
Prečítajte si o úskaliach Fermatovej Malej vety. Všetky čísla, pre ktoré nie sú splnené podmienky testu, sú zložené, ale zostávajúce čísla sú len pravdepodobne sa považujú za jednoduché. Ak sa chcete vyhnúť nesprávnym výsledkom, hľadajte n v zozname "Carmichaelových čísel" (zložené čísla, ktoré vyhovujú tomuto testu) a "pseudoprvočísla Fermat" (tieto čísla spĺňajú podmienky testu len pre niektoré hodnoty a).
Ak je to vhodné, použite Miller-Rabinov test. Hoci je táto metóda dosť ťažkopádna na manuálne výpočty, často sa používa v počítačových programoch. Poskytuje prijateľnú rýchlosť a poskytuje menej chýb ako Fermatova metóda. Zložené číslo sa nebude považovať za prvočíslo, ak sa výpočty robia pre viac ako ¼ hodnôt a. Ak náhodne vyberiete rôzne hodnoty a a u všetkých z nich test poskytne pozitívny výsledok, môžeme s pomerne vysokou mierou istoty predpokladať, že n je prvočíslo.
Pre veľké čísla použite modulárnu aritmetiku. Ak nemáte po ruke modovú kalkulačku alebo ak vaša kalkulačka nie je navrhnutá tak, aby zvládla také veľké čísla, použite vlastnosti napájania a modulárnu aritmetiku, aby ste si uľahčili výpočty. Nižšie je uvedený príklad pre 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:
- Prepíšte výraz do vhodnejšej podoby: mod 50. Pri manuálnom výpočte môžu byť potrebné ďalšie zjednodušenia.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Tu sme brali do úvahy vlastnosť modulárneho násobenia.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle=49).
M. Gardner farbisto rozpráva, ako k tomuto pozorovaniu došlo v Mathematical Leisures (M., Mir, 1972). Tu je tento diel (s. 413-417):
V závislosti od usporiadania celých čísel môžu prvočísla tvoriť jeden alebo druhý vzor. Raz sa matematik Stanislav M. Ulam musel zúčastniť jednej veľmi dlhej a podľa jeho slov veľmi nudnej reportáže. Aby sa nejako zabavil, nakreslil si na papier zvislé a vodorovné čiary a chcel začať zostavovať šachové štúdie, no potom si to rozmyslel a začal číslovať priesečníky, dal 1 do stredu a pohyboval sa proti smeru hodinových ručičiek v špirále. . Bez akéhokoľvek postranného úmyslu zakrúžkoval všetky prvočísla. Čoskoro sa na jeho prekvapenie kruhy začali zoraďovať pozdĺž priamych línií s úžasnou húževnatosťou. Na obr. 203 ukazuje, ako vyzerala špirála so stovkou prvých čísel (od 1 do 100). [ Toto je dvojotáčková skrátená verzia obrázku 1 vyššie, takže ju sem nezahŕňam. — E.G.A.] Pre pohodlie sú čísla zapísané do buniek a nestoja na priesečníku čiar.
V blízkosti stredu sa dá stále očakávať zarovnanie prvočísel pozdĺž priamych čiar, pretože hustota prvočísel je spočiatku vysoká a všetky, okrem čísla 2, sú nepárne. Ak sú bunky šachovnice očíslované v špirále, potom všetky nepárne čísla padnú na bunky rovnakej farby. Keď vezmete 17 pešiakov (čo zodpovedá 17 prvočíslam nepresahujúcim 64) a náhodne ich umiestnite na polia rovnakej farby, zistíte, že pešiaci sú zoradení pozdĺž diagonálnych čiar. Nebol však dôvod očakávať, že v oblasti veľkých čísel, kde je hustota prvočísel oveľa menšia, sa budú zoraďovať aj pozdĺž rovných čiar. Ulam sa zaujímal o to, ako by vyzerala jeho špirála, keby sa predĺžila na niekoľko tisíc prvočísel.
Vo výpočtovom oddelení laboratória Los Alamos, kde Ulam pracoval, bola magnetická páska, na ktorej bolo zaznamenaných 90 miliónov prvočísel. Ulam spolu s Myronom L. Steinom a Markom B. Wellsom napísali program pre počítač MANIAC, ktorý umožňoval tlačenie po sebe idúcich celých čísel od 1 do 65 000 na špirále. Výsledný vzor (niekedy nazývaný „obrus Ulam“) je zobrazený na obr. 204. [ A toto je rozšírená verzia vyššie uvedeného obrázku 2, takže ju prinášam. — E.G.A.] Venujte pozornosť tomu, že aj na okraji obrázka sa prvočísla naďalej poslušne zmestia na rovné čiary.
V prvom rade sú nápadné zhluky prvočísel na uhlopriečkach, no celkom nápadná je aj iná tendencia prvočísel - zoraďovať sa pozdĺž zvislých a vodorovných čiar, na ktorých sú všetky bunky bez prvočísel obsadené nepárnymi číslami. Prvočísla padajúce na čiary presahujúce segment, ktorý obsahuje po sebe idúce čísla ležiace na nejakom otočení špirály, možno považovať za hodnoty niektorých kvadratických výrazov začínajúcich výrazom 4. X². Napríklad postupnosť prvočísel 5, 19, 41, 71, stojacich na jednej z uhlopriečok na obr. 204, sú hodnoty získané kvadratickým trinomom 4 X² + 10 X+ 5 o X rovné 0, 1, 2 a 3. Z obr. 204 možno vidieť, že kvadratické výrazy, ktoré majú prvočísla, sú „chudobné“ (dávajúce niekoľko prvočísel) a „bohaté“ a že celé „umiestňovače“ prvočísiel sú pozorované na „bohatých“ riadkoch.
Začneme-li špirálu nie od 1, ale od nejakého iného čísla, dostaneme ďalšie kvadratické výrazy pre prvočísla zoradené pozdĺž priamych čiar. Uvažujme špirálu začínajúcu číslom 17 (obr. 205, vľavo). Čísla pozdĺž hlavnej uhlopriečky smerujúce zo „severovýchodu“ na „juhozápad“ sú generované kvadratickým trinomom 4 X² + 2 X+ 17. Nahradenie kladných hodnôt X, dostaneme spodnú polovicu uhlopriečky dosadením záporných hodnôt - hornú. Ak vezmeme do úvahy celú uhlopriečku a usporiadame prvočísla vo vzostupnom poradí, ukáže sa (a to je príjemné prekvapenie), že všetky čísla sú opísané jednoduchším vzorcom X² + X+ 17. Toto je jeden z mnohých „generujúcich“ vzorcov pre prvočísla, ktoré objavil v 18. storočí veľký matematik Leonhard Euler. o X, ktorý nadobúda hodnoty od 0 do 15, dáva iba prvočísla. Preto po predĺžení uhlopriečky, kým nevyplní štvorec 16x16, vidíme, že celá uhlopriečka je vyplnená prvočíslami.
Najslávnejší Eulerov kvadratický trinom, ktorý produkuje prvočísla, X² + X+ 41, ukáže sa, ak špirálu spustíte číslom 41 (obr. 205, vpravo). Táto trojčlenka vám umožňuje získať 40 po sebe idúcich prvočísiel, ktoré vyplnia celú uhlopriečku štvorca 0 40 × 4! Už dlho je známe, že z 2398 prvých hodnôt získaných týmto trinomom je presne polovica jednoduchých. Ulam, Stein a Wells, ktorí prešli všetkými hodnotami slávneho trinomu, nepresahujúcimi 10 000 000, zistili, že pomer prvočísel medzi nimi je 0,475 ... . Matematici by veľmi radi objavili vzorec, ktorý vám umožní dostať sa k nemu všetci všeobecne X rôzne prvočísla, no doteraz sa takýto vzorec neobjavil. Možno neexistuje.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ryža. 205. Uhlopriečky vyplnené prvočíslami generované kvadratickými trinómami X² + X+ 17 (vľavo) a X² + X+ 41 (vpravo). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ulamská špirála vyvolala mnoho nových otázok o vzorcoch a náhodnosti v distribúcii prvočísel. Existujú riadky obsahujúce nekonečne veľa prvočísel? Aká je maximálna hustota rozloženia prvočísel pozdĺž čiar? Líšia sa výrazne rozloženia hustoty prvočísel v kvadrantoch Ulamovho obrusu, ak predpokladáme, že to pokračuje donekonečna? Ulamská špirála je zábavná, ale treba ju brať vážne.
Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je deliteľné iba samo sebou a jednotkou.
Zvyšné čísla sa nazývajú zložené.
Jednoduché prirodzené čísla
Ale nie všetky prirodzené čísla sú prvočísla.
Jednoduché prirodzené čísla sú len tie, ktoré sú deliteľné len sebou samým a jedným.
Príklady prvočísel:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Jednoduché celé čísla
Z toho vyplýva, že prvočísla sú len prirodzené čísla.
To znamená, že prvočísla sú nevyhnutne prirodzené.
Ale všetky prirodzené čísla sú tiež celé čísla.
Všetky prvočísla sú teda celé čísla.
Príklady prvočísel:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Dokonca prvočísla
Existuje len jedno párne prvočíslo, a to dve.
Všetky ostatné prvočísla sú nepárne.
Prečo párne číslo väčšie ako dva nemôže byť prvočíslo?
Ale pretože každé párne číslo väčšie ako dva bude deliteľné samo o sebe, nie jedným, ale dvoma, teda také číslo bude mať vždy troch deliteľov a možno aj viac.