Záznamy označené ako „nájsť najmenšiu kladnú periódu funkcie“. Ako nájsť najmenšiu kladnú periódu funkcie
Minimálne pozitívne obdobie funkcie v trigonometrii označujeme f. Vyznačuje sa najmenšou hodnotou kladného čísla T, to znamená, že jeho menšia hodnota T už nebude obdobie ohm funkcie .
Budete potrebovať
- - matematická referenčná kniha.
Inštrukcia
1. Vezmite prosím na vedomie, že obdobie ical funkcia nemá vždy minimálne správne obdobie. Tak napríklad ako obdobie ale nepretržité funkcie môže byť bezpodmienečne akékoľvek číslo, čo znamená, že nemusí mať najmenší klad obdobie a. Existujú aj nestabilné obdobie ical funkcie, ktoré nemajú najmenšiu pravidelnú obdobie a. Vo väčšine prípadov je však minimum správne obdobie pri obdobie stále existujú.
2. Minimum obdobie sínus je 2?. Pre potvrdenie si pozrite tento príklad. funkcie y=sin(x). Nech T je ľubovoľné obdobie ohm sínusu, v tomto prípade sin(a+T)=sin(a) pre akúkoľvek hodnotu a. Ak a=?/2, ukáže sa, že sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Sin(x)=1 však iba vtedy, ak x=?/2+2?n, kde n je celé číslo. Z toho vyplýva, že T=2?n, čo znamená, že najmenšia kladná hodnota 2?n je 2?.
3. Minimálne správne obdobie kosínus sa tiež rovná 2?. Pre potvrdenie si pozrite tento príklad. funkcie y=cos(x). Ak je T ľubovoľné obdobie kosínus, potom cos(a+T)=cos(a). V prípade, že a=0, cos(T)=cos(0)=1. Vzhľadom na to je najmenšia kladná hodnota T, pre ktorú cos(x)=1 je 2?.
4. Vzhľadom na skutočnosť, že 2? - obdobie sínus a kosínus, bude mať rovnakú hodnotu obdobie ohm kotangens, ako aj tangens však nie minimálne, z toho, že, ako je známe, minimum správne obdobie dotyčnica a kotangens je rovnaká?. Budete si to môcť overiť na nasledujúcom príklade: body zodpovedajúce číslam (x) a (x +?) na trigonometrickej kružnici majú diametrálne opačné umiestnenie. Vzdialenosť od bodu (x) k bodu (x + 2?) zodpovedá polovici kruhu. Podľa definície tangens a kotangens tg(x+?)=tgx a ctg(x+?)=ctgx, čo znamená, že minimálna správna obdobie kotangens a dotyčnica sa rovná?.
Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitej nenulovej perióde. Perióda funkcie je číslo, ktorého pridanie do argumentu funkcie nemení hodnotu funkcie.
Budete potrebovať
- Znalosť elementárnej matematiky a začiatky prieskumu.
Inštrukcia
1. Označme periódu funkcie f(x) číslom K. Našou úlohou je nájsť túto hodnotu K. Aby sme to urobili, predstavme si, že funkcia f(x) pomocou definície periodickej funkcie rovná f (x+K)=f(x).
2. Výslednú rovnicu pre neznáme K riešime, ako keby x bola konštanta. V závislosti od hodnoty K bude niekoľko možností.
3. Ak K>0, potom je to perióda vašej funkcie. Ak K=0, funkcia f(x) nie je periodická. Ak riešenie rovnice f(x+K)=f(x) neexistuje pre akékoľvek K, ktoré sa nerovná nule, sa takáto funkcia nazýva aperiodická a tiež nemá periódu.
Podobné videá
Poznámka!
Všetky goniometrické funkcie sú periodické a všetky polynomické funkcie so stupňom väčším ako 2 sú aperiodické.
Užitočné rady
Perióda funkcie pozostávajúcej z 2 periodických funkcií je najmenším spoločným násobkom periód týchto funkcií.
Ak uvažujeme body na kružnici, potom body x, x + 2π, x + 4π atď. zápas medzi sebou. Takže trigonometrické funkcie na priamke pravidelne zopakujte ich význam. Ak je obdobie slávne funkcie, je dovolené postaviť funkciu na tomto období a opakovať ho na iných.
Inštrukcia
1. Perióda je číslo T také, že f(x) = f(x+T). Ak chcete nájsť periódu, vyriešte zodpovedajúcu rovnicu a dosaďte x a x + T ako argument. V tomto prípade sa používajú známejšie obdobia pre funkcie. Pre funkcie sínus a kosínus je perióda 2π a pre dotyčnicu a kotangens je to π.
2. Nech je daná funkcia f(x) = sin^2(10x). Uvažujme výraz sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Na zníženie stupňa použite vzorec: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Potom získajte 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) alebo cos 20x = cos (20x+20T). S vedomím, že perióda kosínusu je 2π, 20T = 2π. Preto T = π/10. T je minimálna správna perióda a funkcia sa zopakuje po 2T a po 3T a v opačnom smere pozdĺž osi: -T, -2T atď.
Užitočné rady
Použite vzorce na zníženie stupňa funkcie. Ak sa viac orientujete v obdobiach niektorých funkcií, skúste existujúcu funkciu zredukovať na tie slávne.
Zavolá sa funkcia, ktorej hodnoty sa opakujú po určitom čísle periodikum. To znamená, že bez ohľadu na to, koľko bodiek pridáte k hodnote x, funkcia sa bude rovnať rovnakému číslu. Akékoľvek hľadanie periodických funkcií začína hľadaním najmenšej periódy, aby sme si nerobili prácu navyše: stačí preskúmať všetky vlastnosti na segmente, ktorý sa rovná perióde.
Inštrukcia
1. Použite definíciu periodikum funkcie. Všetky hodnoty x v funkcie nahraďte (x+T), kde T je minimálna perióda funkcie. Vyriešte výslednú rovnicu, pričom T považujete za neznáme číslo.
2. V dôsledku toho získate určitú identitu, skúste z nej nájsť najmenšie obdobie. Povedzme, že ak sa získa rovnosť sin (2T) = 0,5, potom 2T = P / 6, teda T = P / 12.
3. Ak sa ukáže, že rovnosť je správna len pri T=0 alebo parameter T závisí od x (povedzme, vyšla rovnosť 2T=x), urobte záver, že funkcia nie je periodická.
4. Aby ste našli minimálnu lehotu funkcie obsahujúci iba jeden goniometrický výraz, použite pravidlo. Ak výraz obsahuje sin alebo cos, bodka pre funkcie bude 2P a pre funkcie tg, ctg nastavte minimálnu periódu P. Upozorňujeme, že funkcia by nemala byť umocnená, ale premenná pod znamienkom funkcie sa nesmie násobiť číslom dobrý od 1.
5. Ak cos alebo hriech vnútri funkcie postavené na rovnomerný výkon, znížte periódu 2P na polovicu. Graficky to môžete vidieť takto: graf funkcie, umiestnený pod osou x, sa bude odrážať symetricky nahor, následne sa funkcia bude opakovať dvakrát tak často.
6. Ak chcete nájsť minimálnu dobu funkcie napriek tomu, že uhol x je vynásobený nejakým číslom, postupujte nasledovne: určite typickú periódu tohto funkcie(povedzme, pretože je to 2P). Potom ju vydeľte faktorom pred premennou. Toto bude požadované minimálne obdobie. Pokles periódy je na grafe dokonale viditeľný: zmenší sa presne toľkokrát, koľkokrát sa znásobí uhol pod trigonometrickým znamienkom. funkcie .
7. Upozorňujeme, že ak pred x predchádza zlomkové číslo menšie ako 1, perióda sa zväčší, to znamená, že graf sa naopak roztiahne.
8. Ak má váš výraz dve periodické funkcie vynásobené navzájom, nájdite minimálnu dobu pre každú zvlášť. Potom pre nich určite minimálny celkový multiplikátor. Povedzme, že pre periódy P a 2/3P bude minimálny spoločný činiteľ 3P (bezo zvyšku sa delí P aj 2/3P).
Výpočet priemernej mzdy zamestnancov je potrebný na výpočet dávok pri dočasnej invalidite, náhrady mzdy za pracovné cesty. Priemerná mzda odborníkov sa vypočítava na základe skutočne odpracovaných hodín a závisí od platu, príplatkov a prémií uvedených v tabuľke zamestnancov.
Budete potrebovať
- - personálne zabezpečenie;
- - kalkulačka;
- - správny;
- - kalendár výroby;
- - pracovný výkaz alebo vykonaný úkon práce.
Inštrukcia
1. Ak chcete vypočítať priemernú mzdu zamestnanca, určte si najskôr obdobie, za ktoré ju potrebujete vypočítať. Ako obvykle je toto obdobie 12 kalendárnych mesiacov. Ak však zamestnanec pracuje v podniku menej ako rok, napríklad 10 mesiacov, musíte nájsť priemerný zárobok za čas, keď odborník vykonáva svoju pracovnú funkciu.
2. Teraz určte výšku miezd, ktorá mu za zúčtovacie obdobie skutočne pripadla. Na to použite mzdový list, podľa ktorého boli zamestnancovi pripísané všetky platby, ktoré mu prislúchajú. Ak je nemysliteľné použiť tieto dokumenty, vynásobte mesačnú mzdu, prémie, príplatky 12 (alebo počtom mesiacov, počas ktorých zamestnanec pracuje v podniku, ak je v spoločnosti registrovaný menej ako rok).
3. Vypočítajte si priemerný denný zárobok. Za týmto účelom vydeľte výšku mzdy za zúčtovacie obdobie priemerným počtom dní v mesiaci (aktuálne je to 29,4). Výsledný súčet vydeľte 12.
4. Potom určite počet skutočne odpracovaných hodín. Na tento účel použite časový výkaz. Tento doklad je povinný vyplniť časomerač, personalista alebo iný zamestnanec, ktorý to má rozpísané v pracovných povinnostiach.
5. Vynásobte počet skutočne odpracovaných hodín priemerným denným zárobkom. Získaná suma je priemerný plat znalca za rok. Výsledok vydeľte 12. Toto bude priemerný mesačný príjem. Tento výpočet sa používa pre zamestnancov, ktorých mzdy závisia od skutočne odpracovaných hodín.
6. Keď zamestnanec dostane mzdu za prácu za kus, vynásobte tarifnú sadzbu (uvedenú v tabuľke zamestnancov a určenú pracovnou zmluvou) počtom vyrobených výrobkov (použite vykonanú prácu alebo iný dokument, v ktorom je to zaznamenané).
Poznámka!
Nezamieňajte funkcie y=cos(x) a y=sin(x) - ak majú rovnakú periódu, tieto funkcie sa zobrazujú odlišne.
Užitočné rady
Pre väčšiu prehľadnosť nakreslite goniometrickú funkciu, pre ktorú je vypočítané minimálne správne obdobie.
Inštrukcia
Vezmite prosím na vedomie, že obdobie ic nemá vždy najmenší klad obdobie. Tak napríklad ako obdobie ale konštantná funkcie môže byť absolútne ľubovoľné číslo a nemusí mať najmenšie kladné číslo obdobie a. Existujú aj nestabilné obdobie ical funkcie, ktoré nemajú najmenšie pozitívum obdobie a. Vo väčšine prípadov však najmenšie pozitívum obdobie pri obdobie ic je stále tam.
Najmenej obdobie sínus je 2?. Zvážte to na príklade funkcie y=sin(x). Nech T je ľubovoľné obdobie ohm sínusu, v tomto prípade sin(a+T)=sin(a) pre akúkoľvek hodnotu a. Ak a=?/2, ukáže sa, že sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Sin(x)=1 však iba vtedy, ak x=?/2+2?n, kde n je celé číslo. Z toho vyplýva, že T=2?n, a teda najmenšia kladná hodnota 2?n2?.
Najmenej pozitívne obdobie kosínus sa tiež rovná 2?. Zvážte to dôkazom na príklade funkcie y=cos(x). Ak je T ľubovoľné obdobie kosínus, potom cos(a+T)=cos(a). V prípade, že a=0, cos(T)=cos(0)=1. Vzhľadom na to je najmenšia kladná hodnota T, pri ktorej cos(x)=1, 2?.
Vzhľadom na skutočnosť, že 2? - obdobie sínus a kosínus, bude to rovnaké obdobie ohm kotangens, ako aj tangens, ale nie minimum, pretože ako najmenší klad obdobie dotyčnica a kotangens je rovnaká?. Môžete to overiť zvážením nasledujúceho: body zodpovedajúce (x) a (x +?) na trigonometrickej kružnici majú diametrálne opačné umiestnenie. Vzdialenosť od bodu (x) k bodu (x + 2?) zodpovedá polovici kruhu. Podľa definície tangens a kotangens tg(x+?)=tgx a ctg(x+?)=ctgx, čo znamená, že najmenej kladné obdobie kotangens a ?.
Poznámka
Nezamieňajte funkcie y=cos(x) a y=sin(x) - majúce rovnakú bodku, tieto funkcie sa zobrazujú odlišne.
Užitočné rady
Pre väčšiu prehľadnosť nakreslite goniometrickú funkciu, pre ktorú je vypočítaná najmenšia kladná perióda.
Zdroje:
- Príručka matematiky, školská matematika, vyššia matematika
Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitej nenulovej perióde. Perióda funkcie je číslo, ktorého pridanie do argumentu funkcie nemení hodnotu funkcie.
Budete potrebovať
- Znalosť elementárnej matematiky a začiatky analýzy.
Inštrukcia
Podobné videá
Poznámka
Všetky goniometrické funkcie sú periodické a všetky polynomické funkcie so stupňom väčším ako 2 sú aperiodické.
Užitočné rady
Perióda funkcie pozostávajúcej z dvoch periodických funkcií je najmenším spoločným násobkom periód týchto funkcií.
Ak uvažujeme body na kružnici, potom body x, x + 2π, x + 4π atď. zápas medzi sebou. Takže trigonometrické funkcie na priamke pravidelne zopakujte ich význam. Ak je obdobie známe funkcie, môžete na tomto období postaviť funkciu a opakovať ju na iných.
Inštrukcia
Nech je daná funkcia f(x) = sin^2(10x). Uvažujme sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Použite redukčný vzorec: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Potom získajte 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) alebo cos 20x = cos (20x+20T). S vedomím, že perióda kosínusu je 2π, 20T = 2π. Preto T = π/10. T je najmenšia perióda a funkcia sa bude opakovať cez 2T a cez 3T a na stranu pozdĺž osi: -T, -2T atď.
Užitočné rady
Použite vzorce na zníženie stupňa funkcie. Ak už poznáte periódy akýchkoľvek funkcií, skúste existujúcu funkciu zredukovať na známe.
Zavolá sa funkcia, ktorej hodnoty sa opakujú po určitom čísle periodikum. To znamená, že bez ohľadu na to, koľko bodiek pridáte k hodnote x, funkcia sa bude rovnať rovnakému číslu. Akékoľvek štúdium periodických funkcií začína hľadaním najmenšej periódy, aby sa nevykonala práca navyše: stačí študovať všetky vlastnosti na segmente, ktorý sa rovná perióde.
Inštrukcia
V dôsledku toho získate určitú identitu, skúste z nej nájsť minimálne obdobie. Napríklad, ak dostanete rovnosť sin (2T) = 0,5, teda 2T = P / 6, teda T = P / 12.
Ak sa rovnosť ukáže ako pravdivá len vtedy, keď T = 0 alebo parameter T závisí od x (napríklad sa ukázala rovnosť 2T = x), uistite sa, že funkcia nie je periodická.
Ak chcete nájsť najkratšie obdobie funkcie obsahujúci iba jeden goniometrický výraz, použite . Ak výraz obsahuje sin alebo cos, bodka pre funkcie bude 2P a pre funkcie tg, ctg nastaví najmenšiu periódu P. Upozorňujeme, že funkcia by nemala byť umocnená a premenná pod znamienkom funkcie nesmie sa násobiť iným číslom ako 1.
Ak cos alebo hriech vnútri funkcie zvýšená na rovnomernú moc, skrátiť periódu 2P na polovicu. Graficky to môžete vidieť takto: funkcie, pod osou x, sa bude odrážať symetricky nahor, takže funkcia sa bude opakovať dvakrát tak často.
Ak chcete nájsť najmenšie obdobie funkcie vzhľadom na to, že uhol x je vynásobený nejakým číslom, postupujte takto: určte štandardnú periódu tohto funkcie(napríklad pre cos je to 2P). Potom ju rozdeľte pred premennú. Toto bude požadované minimálne obdobie. Pokles periódy je jasne viditeľný na grafe: je to presne toľkokrát, koľkokrát sa vynásobí uhol pod trigonometrickým znamienkom funkcie.
Ak má váš výraz dve periodické funkcie vynásobené navzájom, nájdite najmenšiu periódu pre každého zvlášť. Potom určte pre nich najmenej spoločný faktor. Napríklad pre obdobia P a 2/3P bude najmenší spoločný faktor 3P (je bezo zvyšku na P aj 2/3P).
Výpočet priemerného zárobku zamestnancov je potrebný pre výpočet dávok pri dočasnej invalidite, výplaty pri pracovných cestách. Priemerná mzda špecialistov sa vypočítava na základe skutočne odpracovaných hodín a závisí od platu, príspevkov a bonusov uvedených v tabuľke zamestnancov.
Na vašu žiadosť!
7. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie: y=2cos(0,2x+1).
Aplikujme pravidlo: ak je funkcia f periodická a má periódu T, potom funkcia y=Af(kx+b), kde A, k a b sú konštantné a k≠0, je tiež periodická, navyše jej perióda T o = T: |k|. Máme T \u003d 2π - toto je najmenšia kladná perióda kosínusovej funkcie, k \u003d 0,2. Nájdeme T o = 2π:0,2=20π:2=10π.
9. Vzdialenosť od bodu rovnako vzdialeného od vrcholov štvorca k jeho rovine je 9 dm. Nájdite vzdialenosť od tohto bodu k stranám štvorca, ak je strana štvorca 8 palcov.
10. Vyriešte rovnicu: 10=|5x+5x 2 |.
Pretože |10|=10 a |-10|=10, sú možné 2 prípady: 1) 5x 2 +5x=10 a 2) 5x 2 +5x=-10. Vydeľte každú z rovníc 5 a vyriešte výsledné kvadratické rovnice:
1) x 2 +x-2=0, korene podľa Vietovej vety x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1. 2) x2 + x + 2 = 0. Diskriminant je negatívny – neexistujú žiadne korene.
11. Vyriešte rovnicu:
Aplikujeme základnú logaritmickú identitu na pravú stranu rovnosti:
Dostaneme rovnosť:
Vyriešime kvadratickú rovnicu x 2 -3x-4=0 a nájdeme korene: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 4.
13. Vyriešte rovnicu a nájdite súčet jej koreňov na zadanom intervale.
22. Vyriešte nerovnosť:
Potom má nerovnosť tvar: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Priamka y= a x+b je kolmá na priamku y=2x+3 a prechádza bodom C(4; 5). Napíšte jej rovnicu. Priamyy=k 1 x+b 1 a y=k 2 x+b 2 sú vzájomne kolmé, ak je splnená podmienka k 1 ∙k 2 =-1. Z toho teda vyplýva a 2 = -1. Požadovaný riadok bude vyzerať takto: y=(-1/2) x+b. Hodnotu b if nájdeme v rovnici našej priamky namiesto X a pri Dosaďte súradnice bodu C.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Potom dostaneme rovnicu: y \u003d (-1/2) x + 7.
25. Štyria rybári A, B, C a D sa pochválili svojim úlovkom:
1. D chytil viac C;
2. Súčet úlovkov A a B sa rovná súčtu úlovkov C a D;
3. A a D spolu chytili menej ako B a C spolu. Zaznamenajte úlovky rybárov v zostupnom poradí.
Máme: 1)
D > C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D