Zadajte poradie diferenciálnej rovnice online. Riešenie najjednoduchších diferenciálnych rovníc prvého rádu

I. Obyčajné diferenciálne rovnice

1.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá sa týka nezávislej premennej X, požadovanú funkciu r a jeho deriváty alebo diferenciály.

Symbolicky je diferenciálna rovnica napísaná takto:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná, ak požadovaná funkcia závisí od jednej nezávislej premennej.

Riešením diferenciálnej rovnice sa nazýva taká funkcia, ktorá mení túto rovnicu na identitu.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie v tejto rovnici

Príklady.

1. Uvažujme diferenciálnu rovnicu prvého rádu

Riešením tejto rovnice je funkcia y = 5 ln x. Naozaj, nahrádzaním y" do rovnice dostaneme - identitu.

A to znamená, že funkcia y = 5 ln x– je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

2. Uvažujme diferenciálnu rovnicu druhého rádu y" - 5r" + 6y = 0. Funkcia je riešením tejto rovnice.

Naozaj,.

Dosadením týchto výrazov do rovnice dostaneme: , - identitu.

A to znamená, že funkcia je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

Integrácia diferenciálnych rovníc je proces hľadania riešení diferenciálnych rovníc.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva funkcia formy , ktorá zahŕňa toľko nezávislých ľubovoľných konštánt, koľko je poradie rovnice.

Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva riešenie získané zo všeobecného riešenia pre rôzne číselné hodnoty ľubovoľných konštánt. Hodnoty ľubovoľných konštánt sa nachádzajú pri určitých počiatočných hodnotách argumentu a funkcie.

Graf konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.

Príklady

1. Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu

xdx + ydy = 0, ak r= 4 at X = 3.

rozhodnutie. Integráciou oboch strán rovnice dostaneme

Komentujte. Ľubovoľná konštanta C získaná ako výsledok integrácie môže byť reprezentovaná v akejkoľvek forme vhodnej pre ďalšie transformácie. V tomto prípade, berúc do úvahy kanonickú rovnicu kruhu, je vhodné reprezentovať ľubovoľnú konštantu С v tvare .

je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky r = 4 at X = 3 sa zistí zo všeobecného dosadením počiatočných podmienok do všeobecného riešenia: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Dosadením C=5 do všeobecného riešenia dostaneme x2 + y2 = 5 2 .

Toto je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice získané zo všeobecného riešenia za daných počiatočných podmienok.

2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

Riešením tejto rovnice je ľubovoľná funkcia tvaru , kde C je ľubovoľná konštanta. Vskutku, dosadením do rovníc dostaneme: , .

Preto má táto diferenciálna rovnica nekonečný počet riešení, pretože pre rôzne hodnoty konštanty C rovnosť určuje rôzne riešenia rovnice.

Napríklad priamou substitúciou je možné overiť, že funkcie sú riešenia rovnice .

Problém, v ktorom je potrebné nájsť konkrétne riešenie rovnice y" = f(x, y) splnenie počiatočnej podmienky y(x0) = y0, sa nazýva Cauchyho problém.

Riešenie rovnice y" = f(x, y), spĺňajúce počiatočnú podmienku, y(x0) = y0, sa nazýva riešenie Cauchyho problému.

Riešenie Cauchyho úlohy má jednoduchý geometrický význam. V skutočnosti, podľa týchto definícií, vyriešiť Cauchyho problém y" = f(x, y) vzhľadom na to y(x0) = y0, znamená nájsť integrálnu krivku rovnice y" = f(x, y) ktorý prechádza daným bodom M0 (x0,y 0).

II. Diferenciálne rovnice prvého rádu

2.1. Základné pojmy

Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru F(x,y,y") = 0.

Diferenciálna rovnica prvého rádu zahŕňa prvú deriváciu a nezahŕňa derivácie vyššieho rádu.

Rovnica y" = f(x, y) sa nazýva rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu.

Príklad. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku.

Riešením tejto rovnice je funkcia .

Nahradením tejto rovnice jej hodnotou skutočne získame

t.j 3x = 3x

Preto je funkcia všeobecným riešením rovnice pre ľubovoľnú konštantu C.

Nájdite konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(1)=1 Nahradenie počiatočných podmienok x = 1, y = 1 do všeobecného riešenia rovnice , dostaneme odkiaľ C=0.

Zo všeobecného teda získame konkrétne riešenie tak, že do tejto rovnice dosadíme výslednú hodnotu C=0 je súkromné ​​rozhodnutie.

2.2. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálna rovnica s oddeliteľnými premennými je rovnica v tvare: y"=f(x)g(y) alebo cez diferenciály , kde f(x) a g(y) sú dané funkcie.

Pre tých r, pre ktorú platí rovnica y"=f(x)g(y) je ekvivalentná rovnici v ktorom premenná r je prítomná iba na ľavej strane a premenná x je prítomná iba na pravej strane. Hovoria: „v rovnici y"=f(x)g(y oddelenie premenných.

Typ rovnice sa nazýva separovaná premenná rovnica.

Po integrácii oboch častí rovnice na X, dostaneme G(y) = F(x) + C je všeobecné riešenie rovnice, kde G(y) a F(x) sú niektoré primitívne deriváty funkcií resp f(x), Cľubovoľná konštanta.

Algoritmus riešenia diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

Príklad 1

vyriešiť rovnicu y" = xy

rozhodnutie. Derivácia funkcie y" nahradiť s

oddeľujeme premenné

Poďme integrovať obe časti rovnosti:

Príklad 2

2yy" = 1- 3x 2, ak y0 = 3 pri x0 = 1

Toto je oddelená premenná rovnica. Znázornime to v diferenciáloch. Aby sme to dosiahli, prepíšeme túto rovnicu do tvaru Odtiaľ

Integráciou oboch častí poslednej rovnosti nájdeme

Nahradenie počiatočných hodnôt x 0 = 1, y0 = 3 Nájsť S 9=1-1+C, t.j. C = 9.

Preto požadovaný parciálny integrál bude alebo

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre krivku prechádzajúcu bodom M(2;-3) a má dotyčnicu so sklonom

rozhodnutie. Podľa stavu

Toto je separovateľná premenná rovnica. Rozdelením premenných dostaneme:

Integráciou oboch častí rovnice dostaneme:

Pomocou počiatočných podmienok, x=2 a y = -3 Nájsť C:

Preto má požadovaná rovnica tvar

2.3. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru y" = f(x)y + g(x)

kde f(x) a g(x)- niektoré dané funkcie.

Ak g(x)=0 potom sa lineárna diferenciálna rovnica nazýva homogénna a má tvar: y" = f(x)y

Ak potom rovnica y" = f(x)y + g(x) nazývané heterogénne.

Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y daný vzorcom: kde S je ľubovoľná konštanta.

Najmä ak C \u003d 0, potom je riesenie y=0 Ak má lineárna homogénna rovnica tvar y" = ky kde k je nejaká konštanta, potom má jej všeobecné riešenie tvar: .

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y + g(x) daný vzorcom ,

tie. sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia tejto rovnice.

Pre lineárnu nehomogénnu rovnicu tvaru y" = kx + b,

kde k a b- niektoré čísla a konkrétne riešenie budú konštantnou funkciou . Preto má všeobecné riešenie tvar .

Príklad. vyriešiť rovnicu y" + 2 y + 3 = 0

rozhodnutie. Rovnicu reprezentujeme vo forme y" = -2r -3 kde k = -2, b = -3 Všeobecné riešenie je dané vzorcom .

Preto, kde C je ľubovoľná konštanta.

2.4. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Bernoulliho metódou

Nájdenie všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu y" = f(x)y + g(x) redukuje na riešenie dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými pomocou substitúcie y=uv, kde u a v- neznáme funkcie z X. Táto metóda riešenia sa nazýva Bernoulliho metóda.

Algoritmus riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu

y" = f(x)y + g(x)

1. Zadajte náhradu y=uv.

2. Diferencujte túto rovnosť y"=u"v + uv"

3. Náhradník r a y" do tejto rovnice: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) alebo u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Zoskupte členy rovnice tak, aby u vytiahnite to z hranatých zátvoriek:

5. V zátvorke, prirovnajúc ju k nule, nájdite funkciu

Toto je oddeliteľná rovnica:

Rozdeľte premenné a získajte:

Kde . .

6. Nahraďte prijatú hodnotu v do rovnice (z bodu 4):

a nájdite funkciu Toto je oddeliteľná rovnica:

7. Napíšte všeobecné riešenie v tvare: , t.j. .

Príklad 1

Nájdite konkrétne riešenie rovnice y" = -2y +3 = 0 ak y=1 pri x=0

rozhodnutie. Riešime to substitúciou y=uv,.y"=u"v + uv"

Nahrádzanie r a y" do tejto rovnice dostaneme

Zoskupením druhého a tretieho člena na ľavej strane rovnice vyberieme spoločný faktor u mimo zátvoriek

Výraz v zátvorkách prirovnáme k nule a po vyriešení výslednej rovnice nájdeme funkciu v = v(x)

Dostali sme rovnicu s oddelenými premennými. Integrujeme obe časti tejto rovnice: Nájdite funkciu v:

Dosaďte výslednú hodnotu v do rovnice dostaneme:

Toto je oddelená premenná rovnica. Integrujeme obe časti rovnice: Poďme nájsť funkciu u = u(x,c) Poďme nájsť všeobecné riešenie: Nájdite konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky y=1 pri x=0:

III. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

3.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica obsahujúca derivácie nie vyššie ako druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako: F(x,y,y",y") = 0

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje dve ľubovoľné konštanty C1 a C2.

Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice druhého rádu je riešenie získané zo všeobecného pre niektoré hodnoty ľubovoľných konštánt C1 a C2.

3.2. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantné pomery.

Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi sa nazýva rovnica tvaru y" + py" + qy = 0, kde p a q sú konštantné hodnoty.

Algoritmus riešenia homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi

1. Napíšte diferenciálnu rovnicu v tvare: y" + py" + qy = 0.

2. Zostavte jeho charakteristickú rovnicu, označte y" cez r2, y" cez r, r v 1: r2 + pr + q = 0

Táto online kalkulačka vám umožňuje riešiť diferenciálne rovnice online. Stačí zadať svoju rovnicu do príslušného poľa, pričom „derivát funkcie“ označíte apostrofom a kliknete na tlačidlo „vyriešiť rovnicu.“ A systém implementovaný na základe populárnej webovej stránky WolframAlpha vám poskytne podrobný riešenie diferenciálnej rovniceúplne zadarmo. Môžete tiež nastaviť Cauchyho problém, aby ste si z celej množiny možných riešení vybrali konkrétne riešenie zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam. Cauchyho problém sa zadáva do samostatného poľa.

Diferenciálnej rovnice

Štandardne je v rovnici funkcia r je funkciou premennej X. Môžete si však nastaviť vlastný zápis premennej, ak do rovnice napíšete napríklad y(t), kalkulačka to automaticky rozpozná r je funkciou premennej t. Pomocou kalkulačky môžete riešiť diferenciálne rovnice akejkoľvek zložitosti a typu: homogénne a nehomogénne, lineárne alebo nelineárne, prvého rádu alebo druhého a vyššieho rádu, rovnice so separovateľnými alebo neoddeliteľnými premennými atď. Riešenie rozdiel. rovnica je uvedená v analytickej forme, má podrobný popis. Diferenciálne rovnice sú veľmi bežné vo fyzike a matematike. Bez ich výpočtu nie je možné vyriešiť mnohé problémy (najmä v matematickej fyzike).

Jedným z krokov pri riešení diferenciálnych rovníc je integrácia funkcií. Na riešenie diferenciálnych rovníc existujú štandardné metódy. Je potrebné uviesť rovnice do tvaru so separovateľnými premennými y a x a separátne integrovať separované funkcie. Aby ste to dosiahli, niekedy musíte vykonať určitú náhradu.

Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá obsahuje funkciu a jednu alebo viac jej derivácií. Vo väčšine praktických problémov sú funkcie fyzikálne veličiny, derivácie zodpovedajú rýchlostiam zmien týchto veličín a rovnica určuje vzťah medzi nimi.

Tento článok pojednáva o metódach riešenia niektorých typov obyčajných diferenciálnych rovníc, ktorých riešenia možno zapísať vo forme elementárne funkcie, teda polynomiálne, exponenciálne, logaritmické a goniometrické funkcie, ako aj ich inverzné funkcie. Mnohé z týchto rovníc sa vyskytujú v reálnom živote, aj keď väčšinu ostatných diferenciálnych rovníc nemožno týmito metódami vyriešiť a odpoveď na ne je napísaná ako špeciálne funkcie alebo mocninné rady, alebo nájdené numerickými metódami.

Aby ste pochopili tento článok, musíte poznať diferenciálny a integrálny počet, ako aj mať určité znalosti o parciálnych deriváciách. Odporúča sa tiež poznať základy lineárnej algebry aplikované na diferenciálne rovnice, najmä diferenciálne rovnice druhého rádu, hoci na ich riešenie postačia znalosti diferenciálneho a integrálneho počtu.

Predbežná informácia

• Diferenciálne rovnice majú rozsiahlu klasifikáciu. Tento článok hovorí o obyčajné diferenciálne rovnice, teda o rovnice, ktoré obsahujú funkciu jednej premennej a jej derivácie. Obyčajné diferenciálne rovnice sú oveľa jednoduchšie na pochopenie a riešenie ako parciálne diferenciálne rovnice, ktoré zahŕňajú funkcie viacerých premenných. Tento článok sa nezaoberá parciálnymi diferenciálnymi rovnicami, pretože metódy riešenia týchto rovníc sú zvyčajne určené ich špecifickou formou.
  • Nižšie sú uvedené niektoré príklady obyčajných diferenciálnych rovníc.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Nižšie sú uvedené niektoré príklady parciálnych diferenciálnych rovníc.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\čiastočné ^(2)f)(\čiastočné x^(2)))+(\frac (\čiastočné ^(2) )f)(\čiastočné y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\čiastočné u)(\čiastočné t))-\alpha (\frac (\čiastočné ^(2)u)(\čiastočné x ^(2)))=0)
• objednať diferenciálna rovnica je určená poradím najvyššej derivácie obsiahnutej v tejto rovnici. Prvá z vyššie uvedených obyčajných diferenciálnych rovníc je prvého rádu, zatiaľ čo druhá je druhého rádu. stupňa diferenciálnej rovnice sa nazýva najvyššia mocnina, na ktorú sa zvýši jeden z členov tejto rovnice.
  • Napríklad nižšie uvedená rovnica je tretí rád a druhá mocnina.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ vpravo)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Diferenciálna rovnica je lineárna diferenciálna rovnica ak je funkcia a všetky jej derivácie v prvej mocnine. Inak platí rovnica nelineárna diferenciálna rovnica. Lineárne diferenciálne rovnice sú pozoruhodné tým, že z ich riešení možno vytvárať lineárne kombinácie, ktoré budú tiež riešením tejto rovnice.
  • Nižšie sú uvedené niektoré príklady lineárnych diferenciálnych rovníc.
  • Nižšie sú uvedené niektoré príklady nelineárnych diferenciálnych rovníc. Prvá rovnica je nelineárna kvôli sínusovému členu.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Spoločné rozhodnutie obyčajná diferenciálna rovnica nie je jedinečná, zahŕňa ľubovoľné integračné konštanty. Vo väčšine prípadov sa počet ľubovoľných konštánt rovná poradiu rovnice. V praxi sú hodnoty týchto konštánt určené danými počiatočné podmienky, teda hodnotami funkcie a jej derivácií at x = 0. (\displaystyle x=0.) Počet počiatočných podmienok, ktoré je potrebné nájsť súkromné ​​rozhodnutie diferenciálnej rovnice sa vo väčšine prípadov rovná aj poradiu tejto rovnice.
  • Tento článok sa napríklad bude zaoberať riešením rovnice uvedenej nižšie. Toto je lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu. Jeho všeobecné riešenie obsahuje dve ľubovoľné konštanty. Na nájdenie týchto konštánt je potrebné poznať počiatočné podmienky pri x (0) (\displaystyle x(0)) a x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Zvyčajne sú počiatočné podmienky uvedené v bode x = 0 , (\displaystyle x=0,), aj keď sa to nevyžaduje. Tento článok tiež zváži, ako nájsť konkrétne riešenia pre dané počiatočné podmienky.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Kroky

Časť 1

Pri používaní tejto služby sa môžu niektoré informácie preniesť na YouTube.

1. Lineárne rovnice prvého rádu. Táto časť pojednáva o metódach riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu vo všeobecných a špeciálnych prípadoch, keď sa niektoré členy rovnajú nule. Predstierajme to y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) a q (x) (\displaystyle q(x)) sú funkcie X . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Podľa jednej z hlavných teorém matematickej analýzy je integrál derivácie funkcie tiež funkciou. Na nájdenie riešenia teda stačí rovnicu jednoducho integrovať. V tomto prípade je potrebné vziať do úvahy, že pri výpočte neurčitého integrálu sa objaví ľubovoľná konštanta.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Používame metódu separácia premenných. V tomto prípade sa rôzne premenné prenášajú na rôzne strany rovnice. Môžete napríklad preniesť všetkých členov z y (\displaystyle y) do jedného a všetkých členov s x (\displaystyle x) na druhú stranu rovnice. Členov možno aj presúvať d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) a d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), ktoré sú zahrnuté v derivačných výrazoch, treba však pamätať na to, že ide len o konvenciu, ktorá je vhodná pri diferenciácii komplexnej funkcie. Diskusia o týchto pojmoch, ktoré sú tzv diferenciály, je mimo rámca tohto článku.

   • Najprv musíte presunúť premenné na opačné strany znamienka rovnosti.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integrujeme obe strany rovnice. Po integrácii sa na oboch stranách objavia ľubovoľné konštanty, ktoré je možné preniesť na pravú stranu rovnice.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Príklad 1.1. V poslednom kroku sme použili pravidlo e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) a vymenené e C (\displaystyle e^(C)) na C (\displaystyle C), pretože je to tiež ľubovoľná konštanta integrácie.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\koniec (zarovnané)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Aby sme našli všeobecné riešenie, predstavili sme integračný faktor ako funkcia x (\displaystyle x) zredukovať ľavú stranu na spoločnú deriváciu a tým vyriešiť rovnicu.

   • Vynásobte obe strany μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Na zmenšenie ľavej strany na spoločnú deriváciu je potrebné vykonať nasledujúce transformácie:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • To znamená posledná rovnosť d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Toto je integračný faktor, ktorý je dostatočný na vyriešenie akejkoľvek lineárnej rovnice prvého poriadku. Teraz môžeme odvodiť vzorec na riešenie tejto rovnice vzhľadom na µ , (\displaystyle \mu,) aj keď pre tréning je užitočné urobiť všetky medzivýpočty.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Príklad 1.2. V tomto príklade uvažujeme, ako nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice s danými počiatočnými podmienkami.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(zarovnané)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(zarovnané)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Riešenie lineárnych rovníc prvého rádu (zaznamenané Intuit - National Open University).

2. Nelineárne rovnice prvého rádu. V tejto časti sa uvažuje o metódach riešenia niektorých nelineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu. Hoci neexistuje všeobecná metóda na riešenie takýchto rovníc, niektoré z nich možno vyriešiť pomocou nižšie uvedených metód.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Ak je funkcia f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) možno rozdeliť na funkcie jednej premennej, takáto rovnica sa nazýva separovateľná diferenciálna rovnica. V tomto prípade môžete použiť vyššie uvedenú metódu:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Príklad 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(zarovnané)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\koniec (zarovnané)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Predstierajme to g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) a h (x, y) (\displaystyle h(x, y)) sú funkcie x (\displaystyle x) a y (\displaystyle y.) Potom homogénna diferenciálna rovnica je rovnica, v ktorej g (\displaystyle g) a h (\displaystyle h) sú homogénne funkcie rovnaký stupeň. To znamená, že funkcie musia spĺňať podmienku g (α x , α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) kde k (\displaystyle k) sa nazýva stupeň homogenity. Akákoľvek homogénna diferenciálna rovnica môže byť daná vhodnou zmena premenných (v = y / x (\displaystyle v=y/x) alebo v = x / y (\displaystyle v=x/y)) previesť na rovnicu s oddeliteľnými premennými.

   • Príklad 1.4. Vyššie uvedený popis homogenity sa môže zdať nejasný. Pozrime sa na tento koncept na príklade.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Na začiatok treba poznamenať, že táto rovnica je nelineárna vzhľadom na y (\displaystyle y.) Tiež vidíme, že v tomto prípade nie je možné oddeliť premenné. Táto diferenciálna rovnica je však homogénna, keďže čitateľ aj menovateľ sú homogénne s mocninou 3. Preto môžeme urobiť zmenu premenných v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) V dôsledku toho máme rovnicu pre v (\displaystyle v) so zdieľanými premennými.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) yn. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Toto je Bernoulliho diferenciálna rovnica- špeciálny druh nelineárnej rovnice prvého stupňa, ktorej riešenie možno zapísať pomocou elementárnych funkcií.

   • Vynásobte obe strany rovnice (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Použijeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie na ľavej strane a transformujeme rovnicu na lineárnu rovnicu vzhľadom na y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) ktoré možno vyriešiť vyššie uvedenými metódami.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Toto je totálna diferenciálna rovnica. Je potrebné nájsť tzv potenciálna funkcia φ (x, y), (\displaystyle \varphi (x,y),), ktorý spĺňa podmienku d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Na splnenie tejto podmienky je potrebné mať celkový derivát. Celková derivácia zohľadňuje závislosť od iných premenných. Na výpočet celkovej derivácie φ (\displaystyle \varphi ) na x , (\displaystyle x,) predpokladáme, že y (\displaystyle y) môže závisieť aj od X . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\čiastočný \varphi )(\čiastočné x))+(\frac (\čiastočné \varphi )(\čiastočné y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Porovnávanie pojmov nám dáva M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\čiastočné \varphi )(\čiastočné x))) a N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Toto je typický výsledok pre rovnice s viacerými premennými, kde sa zmiešané derivácie hladkých funkcií navzájom rovnajú. Niekedy sa tento prípad nazýva Clairautova veta. V tomto prípade je diferenciálna rovnica rovnicou totálnych diferenciálov, ak je splnená nasledujúca podmienka:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\čiastočné M)(\čiastočné y))=(\frac (\čiastočné N)(\čiastočné x))))
   • Metóda riešenia rovníc v totálnych diferenciáloch je podobná hľadaniu potenciálnych funkcií v prítomnosti niekoľkých derivácií, ktoré si stručne rozoberieme. Najprv sa integrujeme M (\displaystyle M) na X . (\displaystyle x.) Pokiaľ ide o M (\displaystyle M) je funkcia a x (\displaystyle x) a y , (\displaystyle y,) pri integrácii dostaneme neúplnú funkciu φ , (\displaystyle \varphi ,) označené ako φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Výsledok zahŕňa aj závislé na y (\displaystyle y) integračná konštanta.
     • φ (x , y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Potom sa dostať c (y) (\displaystyle c(y)) môžete vziať čiastočnú deriváciu výslednej funkcie vzhľadom na y , (\displaystyle y,) prirovnať výsledok N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) a integrovať. Človek sa môže tiež najskôr integrovať N (\displaystyle N) a potom vezmite čiastočnú deriváciu vzhľadom na x (\displaystyle x), čo nám umožní nájsť ľubovoľnú funkciu d(x). (\displaystyle d(x).) Obidva spôsoby sú vhodné a zvyčajne sa na integráciu zvolí jednoduchšia funkcia.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\čiastočné \varphi )(\čiastočné y))=(\frac (\ čiastočné (\tilde (\varphi )))(\čiastočné y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Príklad 1.5. Môžete použiť parciálne derivácie a overiť, že nižšie uvedená rovnica je totálna diferenciálna rovnica.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\začiatok(zarovnané)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\čiastočné \varphi )(\čiastočné y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end (zarovnané)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Ak diferenciálna rovnica nie je totálna diferenciálna rovnica, v niektorých prípadoch môžete nájsť integračný faktor, ktorý vám umožní previesť ju na totálnu diferenciálnu rovnicu. Takéto rovnice sa však v praxi používajú len zriedka, a hoci sú integračným faktorom existujú, zistite, že sa to deje nie také ľahké, takže tieto rovnice nie sú v tomto článku zohľadnené.

Časť 2

1. Homogénne lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi. Tieto rovnice sú v praxi široko používané, preto je ich riešenie prvoradé. V tomto prípade nehovoríme o homogénnych funkciách, ale o tom, že na pravej strane rovnice je 0. V ďalšej časti si ukážeme, ako zodpovedajúca heterogénne diferenciálne rovnice. Nižšie a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) sú konštanty.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristická rovnica. Táto diferenciálna rovnica je pozoruhodná tým, že sa dá veľmi jednoducho vyriešiť, ak si dáte pozor na to, aké vlastnosti by jej riešenia mali mať. Z rovnice je vidieť, že y (\displaystyle y) a jeho deriváty sú navzájom úmerné. Z predchádzajúcich príkladov, o ktorých sme uvažovali v časti o rovniciach prvého rádu, vieme, že túto vlastnosť má iba exponenciálna funkcia. Preto je možné predložiť ansatz(vzdelaný odhad) o tom, aké bude riešenie danej rovnice.

   • Riešenie bude mať formu exponenciálnej funkcie e r x , (\displaystyle e^(rx),) kde r (\displaystyle r) je konštanta, ktorej hodnotu treba nájsť. Dosaďte túto funkciu do rovnice a získajte nasledujúci výraz
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Táto rovnica naznačuje, že súčin exponenciálnej funkcie a polynómu musí byť nula. Je známe, že exponent nemôže byť rovný nule pre žiadne hodnoty stupňa. Preto sme dospeli k záveru, že polynóm sa rovná nule. Problém riešenia diferenciálnej rovnice sme teda zredukovali na oveľa jednoduchší problém riešenia algebraickej rovnice, ktorý sa nazýva charakteristická rovnica pre danú diferenciálnu rovnicu.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Máme dva korene. Keďže táto diferenciálna rovnica je lineárna, jej všeobecné riešenie je lineárnou kombináciou čiastočných riešení. Keďže ide o rovnicu druhého rádu, vieme, že áno naozaj všeobecné riešenie a iné neexistujú. Dôkladnejšie odôvodnenie spočíva v teorémoch o existencii a jedinečnosti riešenia, ktoré možno nájsť v učebniciach.
   • Užitočným spôsobom, ako skontrolovať, či sú dve riešenia lineárne nezávislé, je výpočet Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- ide o determinant matice, v ktorej stĺpcoch sú funkcie a ich po sebe idúce derivácie. Veta lineárnej algebry tvrdí, že funkcie vo Wronskiane sú lineárne závislé, ak sa Wronskian rovná nule. V tejto časti môžeme otestovať, či sú dve riešenia lineárne nezávislé, a to tak, že sa uistíme, že Wronskian je nenulový. Wronskian je dôležitý pri riešení nehomogénnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi metódou variácie parametrov.
     • w = | r 1 r 2 r 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\začiatok(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Z hľadiska lineárnej algebry tvorí množina všetkých riešení danej diferenciálnej rovnice vektorový priestor, ktorého rozmer sa rovná rádu diferenciálnej rovnice. V tomto priestore si možno vybrať základ lineárne nezávislé rozhodnutia jeden od druhého. Je to možné vďaka tomu, že funkcia y (x) (\displaystyle y(x)) platné lineárny operátor. Derivát je lineárny operátor, pretože transformuje priestor diferencovateľných funkcií na priestor všetkých funkcií. Rovnice sa nazývajú homogénne v prípadoch, keď pre nejaký lineárny operátor L (\displaystyle L) je potrebné nájsť riešenie rovnice L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y] = 0.)

   Prejdime teraz k niekoľkým konkrétnym príkladom. Prípadom viacerých koreňov charakteristickej rovnice sa budeme zaoberať o niečo neskôr, v časti o redukcii poriadku.

   Ak korene r ± (\displaystyle r_(\pm )) sú rôzne reálne čísla, diferenciálna rovnica má nasledovné riešenie

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dva zložité korene. Zo základnej vety algebry vyplýva, že riešenia polynomických rovníc s reálnymi koeficientmi majú korene, ktoré sú reálne alebo tvoria konjugované dvojice. Ak teda komplexné číslo r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) je koreňom charakteristickej rovnice, potom r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) je tiež koreňom tejto rovnice. Riešenie teda môže byť napísané vo forme c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) ide však o komplexné číslo a pri riešení praktických problémov je nežiaduce.

   • Namiesto toho môžete použiť Eulerov vzorec e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), ktorý vám umožňuje napísať riešenie vo forme goniometrických funkcií:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Teraz môžete namiesto neustáleho c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) zapísať c 1 (\displaystyle c_(1)) a výraz i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) nahradený c 2. (\displaystyle c_(2).) Potom dostaneme nasledujúce riešenie:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Existuje ďalší spôsob, ako napísať riešenie z hľadiska amplitúdy a fázy, ktorý je vhodnejší pre fyzické problémy.
   • Príklad 2.1. Nájdite riešenie nižšie uvedenej diferenciálnej rovnice s danými počiatočnými podmienkami. Na tento účel je potrebné vziať získané riešenie, ako aj jeho derivát a dosadíme ich do počiatočných podmienok, čo nám umožní určiť ľubovoľné konštanty.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\začiatok(zarovnané)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(zarovnané)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Riešenie diferenciálnych rovníc n-tého rádu s konštantnými koeficientmi (zaznamenané Intuit - National Open University).

2. Prechod na nižšiu verziu. Redukcia rádu je metóda riešenia diferenciálnych rovníc, keď je známe jedno lineárne nezávislé riešenie. Táto metóda spočíva v znížení poradia rovnice o jednu, čo umožňuje riešiť rovnicu pomocou metód opísaných v predchádzajúcej časti. Nech je známe riešenie. Hlavnou myšlienkou zníženia objednávky je nájsť riešenie vo formulári nižšie, kde je potrebné definovať funkciu v (x) (\displaystyle v(x)), jeho dosadením do diferenciálnej rovnice a nájdením v(x). (\displaystyle v(x).) Uvažujme, ako možno použiť redukciu rádu na riešenie diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi a viacerými koreňmi.

   
   

   Viaceré korene homogénna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientmi. Pripomeňme, že rovnica druhého rádu musí mať dve lineárne nezávislé riešenia. Ak má charakteristická rovnica viacero koreňov, množina riešení nie tvorí priestor, pretože tieto riešenia sú lineárne závislé. V tomto prípade je potrebné použiť redukciu objednávky na nájdenie druhého lineárne nezávislého riešenia.

   • Nech má charakteristická rovnica viacero koreňov r (\displaystyle r). Predpokladáme, že druhé riešenie možno zapísať ako y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)) a dosaďte ho do diferenciálnej rovnice. V tomto prípade väčšina členov, s výnimkou člena s druhou deriváciou funkcie v , (\displaystyle v,) sa zníži.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Príklad 2.2. Vzhľadom na nasledujúcu rovnicu, ktorá má viacero koreňov r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Pri nahrádzaní sa väčšina termínov ruší.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\začiatok(zarovnané)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\koniec (zarovnané)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\zrušiť (8v"e^(-4x)))+(\zrušiť (16ve^(-4x)))\\&+(\zrušiť (8v"e ^(-4x)))-(\zrušiť (32ve^(-4x)))+(\zrušiť (16ve^(-4x)))=0\koniec (zarovnané)))
   • Rovnako ako náš ansatz pre diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi, v tomto prípade môže byť iba druhá derivácia rovná nule. Dvakrát integrujeme a získame požadovaný výraz pre v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Potom všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi, ak má charakteristická rovnica viac koreňov, možno zapísať v nasledujúcom tvare. Pre pohodlie si môžete zapamätať, že na získanie lineárnej nezávislosti stačí jednoducho vynásobiť druhý člen x (\displaystyle x). Táto množina riešení je lineárne nezávislá, a preto sme našli všetky riešenia tejto rovnice.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Zníženie objednávky je použiteľné, ak je známe riešenie y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), ktoré možno nájsť alebo uviesť v popise problému.

   • Hľadáme riešenie vo formulári y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) a vložte to do tejto rovnice:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Pokiaľ ide o y 1 (\displaystyle y_(1)) je riešením diferenciálnej rovnice, všetky pojmy s v (\displaystyle v) sa zmenšujú. V dôsledku toho zostáva lineárna rovnica prvého rádu. Aby sme to videli jasnejšie, zmeňme premenné w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\vpravo)(\mathrm (d) )x\vpravo))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ak sa integrály dajú vypočítať, dostaneme všeobecné riešenie ako kombináciu elementárnych funkcií. V opačnom prípade môže byť riešenie ponechané v integrálnej forme.

3. Cauchyho-Eulerova rovnica. Cauchyho-Eulerova rovnica je príkladom diferenciálnej rovnice druhého rádu s premenné koeficientov, ktorý má presné riešenia. Táto rovnica sa v praxi používa napríklad na riešenie Laplaceovej rovnice v sférických súradniciach.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristická rovnica. Ako vidíte, v tejto diferenciálnej rovnici každý člen obsahuje účinník, ktorého stupeň sa rovná rádu zodpovedajúcej derivácie.

   • Možno teda skúsiť hľadať riešenie vo formulári y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kde definovať n (\displaystyle n), rovnako ako sme hľadali riešenie v podobe exponenciálnej funkcie pre lineárnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi. Po diferenciácii a substitúcii dostaneme
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Aby sme mohli použiť charakteristickú rovnicu, musíme to predpokladať x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Bodka x = 0 (\displaystyle x=0) volal pravidelný singulárny bod Diferenciálnej rovnice. Takéto body sú dôležité pri riešení diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov. Táto rovnica má dva korene, ktoré môžu byť rôzne a skutočné, viacnásobné alebo komplexne konjugované.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Dva rôzne skutočné korene. Ak korene n ± (\displaystyle n_(\pm )) sú skutočné a rôzne, potom riešenie diferenciálnej rovnice má nasledujúci tvar:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-))))

   Dva zložité korene. Ak má charakteristická rovnica korene n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), riešením je komplexná funkcia.

   • Aby sme riešenie premenili na reálnu funkciu, vykonáme zmenu premenných x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) t.j t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) a použite Eulerov vzorec. Podobné akcie boli vykonané skôr pri definovaní ľubovoľných konštánt.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Potom môže byť všeobecné riešenie napísané ako
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Viaceré korene. Na získanie druhého lineárne nezávislého riešenia je potrebné opäť znížiť objednávku.

   • Vyžaduje si to pomerne veľa výpočtov, ale princíp je rovnaký: nahrádzame y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) do rovnice, ktorej prvé riešenie je y 1 (\displaystyle y_(1)). Po redukciách sa získa nasledujúca rovnica:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Toto je lineárna rovnica prvého poriadku vzhľadom na v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Jeho riešenie je v (x) = c1 + c2ln⁡x. (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Riešenie teda môže byť napísané v nasledujúcom tvare. Je celkom ľahké si to zapamätať – na získanie druhého lineárne nezávislého riešenia potrebujete iba dodatočný výraz ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Nehomogénne lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi. Nehomogénne rovnice majú tvar L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) kde f (x) (\displaystyle f(x))- tzv voľný člen. Podľa teórie diferenciálnych rovníc je všeobecným riešením tejto rovnice superpozícia súkromné ​​rozhodnutie y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) a dodatočné riešenie y c (x). (\displaystyle y_(c)(x).) Konkrétne riešenie však v tomto prípade neznamená riešenie dané počiatočnými podmienkami, ale skôr riešenie, ktoré je spôsobené prítomnosťou nehomogenity (voľný člen). Komplementárne riešenie je riešením zodpovedajúcej homogénnej rovnice, v ktorej f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Všeobecné riešenie je superpozíciou týchto dvoch riešení, pretože L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)) a odvtedy L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) takáto superpozícia je skutočne všeobecným riešením.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metóda neurčitých koeficientov. Metóda neurčitých koeficientov sa používa v prípadoch, keď je voľný člen kombináciou exponenciálnych, trigonometrických, hyperbolických alebo mocninných funkcií. Len tieto funkcie majú zaručený konečný počet lineárne nezávislých derivácií. V tejto časti nájdeme konkrétne riešenie rovnice.

   • Porovnajte podmienky v f (x) (\displaystyle f(x)) s pojmami v ignorovaní konštantných faktorov. Možné sú tri prípady.
     • Neexistujú žiadni identickí členovia. V tomto prípade konkrétne riešenie y p (\displaystyle y_(p)) bude lineárnou kombináciou výrazov z y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) obsahuje člena x n (\displaystyle x^(n)) a člen z y c , (\displaystyle y_(c),) kde n (\displaystyle n) je nula alebo kladné celé číslo a tento člen zodpovedá jedinému koreňu charakteristickej rovnice. V tomto prípade y p (\displaystyle y_(p)) bude pozostávať z kombinácie funkcie x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) jeho lineárne nezávislé deriváty, ako aj ďalšie pojmy f (x) (\displaystyle f(x)) a ich lineárne nezávislé deriváty.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) obsahuje člena h (x), (\displaystyle h(x),) čo je dielo x n (\displaystyle x^(n)) a člen z y c , (\displaystyle y_(c),) kde n (\displaystyle n) sa rovná 0 alebo kladnému celému číslu a tento výraz zodpovedá viacnásobný koreň charakteristickej rovnice. V tomto prípade y p (\displaystyle y_(p)) je lineárna kombinácia funkcie x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(kde s (\displaystyle s)- násobnosť koreňa) a jeho lineárne nezávislé derivácie, ako aj ďalšie členy funkcie f (x) (\displaystyle f(x)) a jeho lineárne nezávislé deriváty.
   • Poďme si zapísať y p (\displaystyle y_(p)) ako lineárna kombinácia vyššie uvedených pojmov. Vďaka týmto koeficientom v lineárnej kombinácii sa táto metóda nazýva „metóda neurčitých koeficientov“. Po objavení sa tých, ktoré sú obsiahnuté v y c (\displaystyle y_(c)) ich členy môžu byť vyradené kvôli prítomnosti ľubovoľných konštánt v y c . (\displaystyle y_(c).) Potom vystriedame y p (\displaystyle y_(p)) do rovnice a prirovnať podobné pojmy.
   • Určujeme koeficienty. V tejto fáze sa získa sústava algebraických rovníc, ktoré sa zvyčajne dajú vyriešiť bez špeciálnych problémov. Riešenie tohto systému umožňuje získať y p (\displaystyle y_(p)) a tým vyriešiť rovnicu.
   • Príklad 2.3. Uvažujme nehomogénnu diferenciálnu rovnicu, ktorej voľný člen obsahuje konečný počet lineárne nezávislých derivácií. Konkrétne riešenie takejto rovnice možno nájsť metódou neurčitých koeficientov.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ ⁡ \displaystyle (\začiatok(zarovnané)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end (zarovnané)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ koniec (prípady)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrangeova metóda. Lagrangeova metóda alebo metóda variácie ľubovoľných konštánt je všeobecnejšia metóda riešenia nehomogénnych diferenciálnych rovníc, najmä v prípadoch, keď voľný člen neobsahuje konečný počet lineárne nezávislých derivácií. Napríklad s voľnými členmi tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) alebo x − n (\displaystyle x^(-n)) na nájdenie konkrétneho riešenia je potrebné použiť Lagrangeovu metódu. Lagrangeovu metódu možno dokonca použiť aj na riešenie diferenciálnych rovníc s premenlivými koeficientmi, aj keď v tomto prípade sa s výnimkou Cauchy-Eulerovej rovnice používa menej často, keďže dodatočné riešenie sa zvyčajne nevyjadruje v elementárnych funkciách.

   • Predpokladajme, že riešenie má nasledujúci tvar. Jeho derivácia je uvedená v druhom riadku.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Keďže navrhované riešenie obsahuje dva neznáme množstvá, je potrebné uložiť dodatočné stav. Túto dodatočnú podmienku volíme v nasledujúcom tvare:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Teraz môžeme získať druhú rovnicu. Po nahradení a prerozdelení členov môžete zoskupiť členov s v 1 (\displaystyle v_(1)) a členovia z v 2 (\displaystyle v_(2)). Tieto podmienky sú zrušené, pretože y 1 (\displaystyle y_(1)) a y 2 (\displaystyle y_(2)) sú riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice. Výsledkom je nasledujúca sústava rovníc
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end (zarovnané)))
   • Tento systém je možné transformovať na maticovú rovnicu tvaru A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) ktorého riešením je x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pre maticu 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) inverzná matica sa nájde delením determinantom, permutáciou diagonálnych prvkov a obrátením znamienka mimodiagonálnych prvkov. V skutočnosti je determinantom tejto matice Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\začiatok(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Výrazy pre v 1 (\displaystyle v_(1)) a v 2 (\displaystyle v_(2)) sú uvedené nižšie. Rovnako ako v metóde redukcie rádu, aj v tomto prípade sa pri integrácii objaví ľubovoľná konštanta, ktorá zahŕňa dodatočné riešenie vo všeobecnom riešení diferenciálnej rovnice.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Prednáška National Open University Intuit s názvom "Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu s konštantnými koeficientmi".

Praktické využitie

Diferenciálne rovnice vytvárajú vzťah medzi funkciou a jednou alebo viacerými jej deriváciami. Keďže takéto vzťahy sú také bežné, diferenciálne rovnice našli široké uplatnenie v širokej škále oblastí, a keďže žijeme v štyroch dimenziách, tieto rovnice sú často diferenciálnymi rovnicami v súkromné deriváty. Táto časť sa zaoberá niektorými z najdôležitejších rovníc tohto typu.

• Exponenciálny rast a úpadok. rádioaktívny rozpad. Zložené úročenie. Rýchlosť chemických reakcií. Koncentrácia liečiv v krvi. Neobmedzený rast populácie. Newtonov-Richmannov zákon. V reálnom svete existuje veľa systémov, kde je rýchlosť rastu alebo úpadku v akomkoľvek danom čase úmerná množstvu v danom čase, alebo sa dá dobre aproximovať modelom. Je to preto, že riešenie tejto diferenciálnej rovnice, exponenciálna funkcia, je jednou z najdôležitejších funkcií v matematike a iných vedách. Všeobecnejšie povedané, pri riadenom raste populácie môže systém obsahovať ďalšie podmienky, ktoré obmedzujú rast. V rovnici nižšie, konštanta k (\displaystyle k) môže byť väčšia alebo menšia ako nula.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmonické vibrácie. V klasickej aj kvantovej mechanike je harmonický oscilátor jedným z najdôležitejších fyzikálnych systémov vďaka svojej jednoduchosti a širokému použitiu na aproximáciu zložitejších systémov, ako je jednoduché kyvadlo. V klasickej mechanike sú harmonické oscilácie opísané rovnicou, ktorá dáva do vzťahu polohu hmotného bodu a jeho zrýchlenie prostredníctvom Hookovho zákona. V tomto prípade možno brať do úvahy aj tlmenie a hnacie sily. Vo výraze nižšie x ˙ (\displaystyle (\bodka (x)))- časová derivácia z x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta ) je parameter, ktorý popisuje silu tlmenia, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- uhlová frekvencia systému, F (t) (\displaystyle F(t)) je časovo závislá hnacia sila. Harmonický oscilátor je prítomný aj v elektromagnetických oscilačných obvodoch, kde môže byť implementovaný s väčšou presnosťou ako v mechanických systémoch.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\bodka (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselova rovnica. Besselova diferenciálna rovnica sa používa v mnohých oblastiach fyziky, vrátane riešenia vlnovej rovnice, Laplaceovej rovnice a Schrödingerovej rovnice, najmä v prítomnosti valcovej alebo sférickej symetrie. Táto diferenciálna rovnica druhého rádu s premenlivými koeficientmi nie je Cauchyho-Eulerovou rovnicou, takže jej riešenia nemožno zapísať ako elementárne funkcie. Riešením Besselovej rovnice sú Besselove funkcie, ktoré sú dobre študované vďaka tomu, že sa používajú v mnohých oblastiach. Vo výraze nižšie α (\displaystyle \alpha ) je konštanta, ktorá sa zhoduje objednať Besselove funkcie.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwellove rovnice. Spolu s Lorentzovou silou tvoria Maxwellove rovnice základ klasickej elektrodynamiky. Toto sú štyri parciálne diferenciálne rovnice pre elektrinu E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) a magnetické B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) poliach. Vo výrazoch nižšie ρ = ρ (r, t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- hustota náboja, J = J (r, t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) je aktuálna hustota a ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) a μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) sú elektrické a magnetické konštanty.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin (zarovnané)\na (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\čiastočné (\mathbf (B) ))(\čiastočné t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\čiastočné (\mathbf (E) ))(\čiastočné t))\koniec (zarovnané)))
• Schrödingerova rovnica. V kvantovej mechanike je Schrödingerova rovnica základnou pohybovou rovnicou, ktorá popisuje pohyb častíc podľa zmeny vlnovej funkcie. Ψ = Ψ (r, t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) s časom. Pohybová rovnica je opísaná správaním Hamiltonián H ^ (\displaystyle (\klobúk(H))) - operátor, ktorý popisuje energiu systému. Jedným zo známych príkladov Schrödingerovej rovnice vo fyzike je rovnica pre jednu nerelativistickú časticu, ktorá je vystavená potenciálu V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Mnoho systémov je popísaných časovo závislou Schrödingerovou rovnicou, pričom rovnica je na ľavej strane E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) kde E (\displaystyle E) je energia častice. Vo výrazoch nižšie ℏ (\displaystyle \hbar ) je redukovaná Planckova konštanta.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\čiastočné \Psi )(\čiastočné t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\čiastočné \Psi )(\čiastočné t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• vlnová rovnica. Nie je možné si predstaviť fyziku a technológiu bez vĺn, sú prítomné vo všetkých typoch systémov. Vo všeobecnosti sú vlny opísané nižšie uvedenou rovnicou, v ktorej u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) je požadovaná funkcia a c (\displaystyle c)- experimentálne stanovená konštanta. d'Alembert bol prvý, kto zistil, že pre jednorozmerný prípad je riešením vlnová rovnica akýkoľvek funkcia s argumentom x − c t (\displaystyle x-ct), ktorý popisuje ľubovoľnú vlnu šíriacu sa doprava. Všeobecným riešením pre jednorozmerný prípad je lineárna kombinácia tejto funkcie s druhou funkciou s argumentom x + c t (\displaystyle x+ct), ktorý popisuje vlnu šíriacu sa doľava. Toto riešenie je uvedené v druhom riadku.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\čiastočné ^(2)u)(\čiastočné t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokesove rovnice. Navier-Stokesove rovnice opisujú pohyb tekutín. Keďže tekutiny sú prítomné takmer v každej oblasti vedy a techniky, tieto rovnice sú mimoriadne dôležité pre predpoveď počasia, konštrukciu lietadiel, morské prúdy a mnohé ďalšie aplikácie. Navier-Stokesove rovnice sú nelineárne parciálne diferenciálne rovnice a vo väčšine prípadov je veľmi ťažké ich vyriešiť, pretože nelinearita vedie k turbulenciám a na získanie stabilného riešenia numerickými metódami je potrebné rozdeliť na veľmi malé bunky, čo si vyžaduje značný výpočtový výkon. Na praktické účely v hydrodynamike sa na modelovanie turbulentných tokov používajú metódy ako časové spriemerovanie. Ešte základnejšie otázky, ako je existencia a jedinečnosť riešení pre nelineárne parciálne diferenciálne rovnice, sú zložité problémy a dokazovanie existencie a jedinečnosti riešení pre Navier-Stokesove rovnice v troch dimenziách patrí medzi matematické problémy tisícročia. . Nižšie je uvedená rovnica toku nestlačiteľnej tekutiny a rovnica kontinuity.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\čiastočný (\mathbf (u)) ) )(\čiastočné t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\čiastočné \rho )(\čiastočné t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u)))=0)

• Mnoho diferenciálnych rovníc jednoducho nemožno vyriešiť vyššie uvedenými metódami, najmä tými, ktoré sú uvedené v poslednej časti. To platí, keď rovnica obsahuje premenlivé koeficienty a nie je Cauchyho-Eulerovou rovnicou, alebo keď je rovnica nelineárna, s výnimkou niekoľkých veľmi zriedkavých prípadov. Vyššie uvedené metódy však umožňujú riešiť mnohé dôležité diferenciálne rovnice, s ktorými sa často stretávame v rôznych oblastiach vedy.
• Na rozdiel od diferenciácie, ktorá vám umožňuje nájsť deriváciu ľubovoľnej funkcie, integrál mnohých výrazov nemožno vyjadriť v elementárnych funkciách. Preto nestrácajte čas počítaním integrálu tam, kde to nie je možné. Pozrite si tabuľku integrálov. Ak riešenie diferenciálnej rovnice nemožno vyjadriť elementárnymi funkciami, niekedy môže byť reprezentované v integrálnom tvare a v tomto prípade nezáleží na tom, či sa tento integrál dá vypočítať analyticky.

Varovania

• Vzhľad diferenciálna rovnica môže byť zavádzajúca. Napríklad nižšie sú dve diferenciálne rovnice prvého rádu. Prvá rovnica sa dá ľahko vyriešiť pomocou metód opísaných v tomto článku. Na prvý pohľad menšia zmena y (\displaystyle y) na y 2 (\displaystyle y^(2)) v druhej rovnici ju robí nelineárnou a stáva sa veľmi ťažko riešiteľnou.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

6.1. ZÁKLADNÉ POJMY A DEFINÍCIE

Pri riešení rôznych problémov matematiky a fyziky, biológie a medicíny nie je často možné okamžite stanoviť funkčnú závislosť vo forme vzorca spájajúceho premenné, ktoré popisujú skúmaný proces. Zvyčajne je potrebné použiť rovnice obsahujúce okrem nezávislej premennej a neznámej funkcie aj jej derivácie.

Definícia. Nazýva sa rovnica týkajúca sa nezávislej premennej, neznámej funkcie a jej derivátov rôznych rádov diferenciál.

Neznáma funkcia sa zvyčajne označuje y(x) alebo jednoducho y, a jeho deriváty sú y", y" atď.

Možné sú aj iné zápisy, napr.: ak r= x(t), potom x"(t), x""(t) sú jeho deriváty a t je nezávislá premenná.

Definícia. Ak funkcia závisí od jednej premennej, potom sa diferenciálna rovnica nazýva obyčajná. Všeobecná forma obyčajná diferenciálna rovnica:

alebo

Funkcie F a f nemusí obsahovať nejaké argumenty, ale na to, aby boli rovnice diferenciálne, je nevyhnutná prítomnosť derivácie.

Definícia.Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie, ktorá je v ňom zahrnutá.

Napríklad, x 2 y"- r= 0, y" + hriech X= 0 sú rovnice prvého rádu a y"+ 2 y"+ 5 r= X je rovnica druhého rádu.

Pri riešení diferenciálnych rovníc sa používa integračná operácia, ktorá je spojená s výskytom ľubovoľnej konštanty. Ak sa použije integračná akcia nčasy, potom, samozrejme, bude riešenie obsahovať nľubovoľné konštanty.

6.2. DIFERENČNÉ ROVNICE PRVÉHO RADU

Všeobecná forma diferenciálna rovnica prvého rádu je definovaný výrazom

Rovnica nemusí explicitne obsahovať X a y, ale nevyhnutne obsahuje y“.

Ak možno rovnicu zapísať ako

potom dostaneme diferenciálnu rovnicu prvého rádu vyriešenú vzhľadom na deriváciu.

Definícia. Všeobecným riešením diferenciálnej rovnice prvého rádu (6.3) (alebo (6.4)) je množina riešení , kde S je ľubovoľná konštanta.

Graf na riešenie diferenciálnej rovnice je tzv integrálna krivka.

Dávať ľubovoľnú konštantu S rôzne hodnoty, je možné získať konkrétne riešenia. Na povrchu xOy všeobecné riešenie je skupina integrálnych kriviek zodpovedajúcich každému konkrétnemu riešeniu.

Ak si stanovíte bod A(x0, y0), cez ktorý musí prechádzať integrálna krivka, teda spravidla z množiny funkcií jedno možno vyčleniť - konkrétne riešenie.

Definícia.Súkromné ​​rozhodnutie diferenciálnej rovnice je jej riešenie, ktoré neobsahuje ľubovoľné konštanty.

Ak je všeobecné riešenie, potom z podm

môžete nájsť trvalý S. Podmienka je tzv počiatočný stav.

Problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice (6.3) alebo (6.4), ktoré spĺňa počiatočnú podmienku pri volal Cauchyho problém. Má tento problém vždy riešenie? Odpoveď je obsiahnutá v nasledujúcej vete.

Cauchyho veta(teorém o existencii a jedinečnosti riešenia). Vpustite diferenciálnu rovnicu y"= f(x, y) funkciu f(x, y) a jej

čiastočná derivácia definované a nepretržité v niekt

oblasti D, obsahujúci bodku Potom v oblasti D existujú

jediné riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku pri

Cauchyho veta hovorí, že za určitých podmienok existuje jedinečná integrálna krivka r= f(x), prechod cez bod Body, v ktorých nie sú splnené podmienky vety

Mačky sú tzv špeciálne. Prestávky v týchto bodoch f(x, y) alebo.

Jedným bodom prechádza buď niekoľko integrálnych kriviek, alebo žiadna.

Definícia. Ak sa riešenie (6.3), (6.4) nachádza vo formulári f(x, y, c)= 0 nie je povolené vzhľadom na y, potom sa volá spoločný integrál Diferenciálnej rovnice.

Cauchyho veta len zaručuje, že riešenie existuje. Keďže neexistuje jediná metóda na nájdenie riešenia, zvážime len niektoré typy diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré sú integrovateľné do štvorcov.

Definícia. Diferenciálna rovnica sa nazýva integrovateľné v kvadratúre, ak sa hľadanie jeho riešenia redukuje na integráciu funkcií.

6.2.1. Diferenciálne rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

Definícia. Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva rovnica s oddeliteľné premenné,

Pravá strana rovnice (6.5) je súčinom dvoch funkcií, z ktorých každá závisí len od jednej premennej.

Napríklad rovnica je rovnica s oddeľovaním

odovzdávanie premenných
a rovnica

nemožno zastupovať vo forme (6.5).

Vzhľadom na to , prepíšeme (6.5) ako

Z tejto rovnice dostaneme diferenciálnu rovnicu so separovanými premennými, v ktorej diferenciály obsahujú funkcie, ktoré závisia len od príslušnej premennej:

Integrujeme termín po termíne, máme

kde C= C2 - C1 je ľubovoľná konštanta. Výraz (6.6) je všeobecný integrál rovnice (6.5).

Delením oboch častí rovnice (6.5) môžeme stratiť tie riešenia, pre ktoré, Skutočne, ak pri

potom je zrejme riešením rovnice (6.5).

Príklad 1 Nájdite riešenie vyhovujúcej rovnice

podmienka: r= 6 at X= 2 (y(2) = 6).

rozhodnutie. Poďme vymeniť v" nato . Vynásobte obe strany

dx, keďže v ďalšej integrácii nemožno odísť dx v menovateli:

a potom delením oboch častí dostaneme rovnicu,

ktoré je možné integrovať. Integrujeme:

Potom ; potenciovaním dostaneme y = C . (x + 1) - ob-

Riešenie.

Na základe počiatočných údajov určíme ľubovoľnú konštantu ich dosadením do všeobecného riešenia

Konečne sa dostávame r= 2(x + 1) je konkrétne riešenie. Zvážte niekoľko ďalších príkladov riešenia rovníc s oddeliteľnými premennými.

Príklad 2 Nájdite riešenie rovnice

rozhodnutie. Vzhľadom na to , dostaneme .

Integráciou oboch strán rovnice máme

kde

Príklad 3 Nájdite riešenie rovnice rozhodnutie. Obe časti rovnice delíme tými faktormi, ktoré závisia od premennej, ktorá sa nezhoduje s premennou pod diferenciálnym znamienkom, t.j. a integrovať. Potom dostaneme

a nakoniec

Príklad 4 Nájdite riešenie rovnice

rozhodnutie. Vedieť, čo dostaneme. Sekcia-

lim premenné. Potom

Integrácia, chápeme

Komentujte. V príkladoch 1 a 2 požadovaná funkcia r výslovne vyjadrené (všeobecné riešenie). V príkladoch 3 a 4 - implicitne (všeobecný integrál). V budúcnosti nebude forma rozhodnutia špecifikovaná.

Príklad 5 Nájdite riešenie rovnice rozhodnutie.

Príklad 6 Nájdite riešenie rovnice uspokojujúce

stav y(e)= 1.

rozhodnutie. Rovnicu zapíšeme do tvaru

Vynásobením oboch strán rovnice dx a ďalej, dostávame

Integráciou oboch strán rovnice (integrál na pravej strane je prevzatý časťami), dostaneme

Ale podľa podmienok r= 1 at X= e. Potom

Nahraďte nájdené hodnoty S do všeobecného riešenia:

Výsledný výraz sa nazýva partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice.

6.2.2. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu

Definícia. Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva homogénne ak to môže byť reprezentované ako

Uvádzame algoritmus na riešenie homogénnej rovnice.

1. Namiesto toho r zaviesť novú funkciu Potom a preto

2. Z hľadiska funkcie u rovnica (6.7) nadobúda tvar

náhrada redukuje homogénnu rovnicu na rovnicu s oddeliteľnými premennými.

3. Pri riešení rovnice (6.8) najskôr nájdeme u a potom r= ux.

Príklad 1 vyriešiť rovnicu rozhodnutie. Rovnicu zapíšeme do tvaru

Robíme náhradu:
Potom

Poďme vymeniť

Vynásobte dx: Deliť podľa X a ďalej potom

Integráciou oboch častí rovnice vzhľadom na zodpovedajúce premenné máme

alebo, keď sa vrátime k starým premenným, konečne sa dostaneme

Príklad 2vyriešiť rovnicu rozhodnutie.Nechať byť potom

Vydeľte obe strany rovnice x2: Otvorme zátvorky a usporiadajme výrazy:

Keď prejdeme k starým premenným, dostaneme sa ku konečnému výsledku:

Príklad 3Nájdite riešenie rovnice vzhľadom na to

rozhodnutie.Vykonanie štandardnej výmeny dostaneme

alebo

alebo

Takže konkrétne riešenie má formu Príklad 4 Nájdite riešenie rovnice

rozhodnutie.

Príklad 5Nájdite riešenie rovnice rozhodnutie.

Samostatná práca

Nájdite riešenie diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými (1-9).

Nájdite riešenie homogénnych diferenciálnych rovníc (9-18).

6.2.3. Niektoré aplikácie diferenciálnych rovníc prvého rádu

Problém rádioaktívneho rozpadu

Rýchlosť rozpadu Ra (rádia) v každom časovom okamihu je úmerná jeho dostupnej hmotnosti. Nájdite zákon rádioaktívneho rozpadu Ra, ak je známe, že v počiatočnom okamihu bolo Ra a polčas rozpadu Ra je 1590 rokov.

rozhodnutie. Nech je momentálne hmotnosť Ra X= x(t) g, a Potom je rýchlosť rozpadu Ra

Podľa zadania

kde k

Oddelením premenných v poslednej rovnici a integráciou dostaneme

kde

Na určenie C používame počiatočnú podmienku: .

Potom a preto,

Faktor proporcionality k určená z dodatočnej podmienky:

Máme

Odtiaľ a požadovaný vzorec

Problém rýchlosti rozmnožovania baktérií

Rýchlosť rozmnožovania baktérií je úmerná ich počtu. Na začiatku tam bolo 100 baktérií. Do 3 hodín sa ich počet zdvojnásobil. Nájdite závislosť počtu baktérií od času. Koľkokrát sa počet baktérií zvýši za 9 hodín?

rozhodnutie. Nechať byť X- počet baktérií v súčasnosti t. Potom, podľa stavu,

kde k- koeficient proporcionality.

Odtiaľ Z podmienky je známe, že . znamená,

Z dodatočnej podmienky . Potom

Požadovaná funkcia:

Takže, o t= 9 X= 800, t.j. v priebehu 9 hodín sa počet baktérií zvýšil 8-krát.

Úlohou je zvýšiť množstvo enzýmu

V kultúre pivovarských kvasníc je rýchlosť rastu aktívneho enzýmu úmerná jeho počiatočnému množstvu. X. Počiatočné množstvo enzýmu a zdvojnásobil do hodiny. Nájdite závislosť

x(t).

rozhodnutie. Podľa podmienky má diferenciálna rovnica procesu tvar

odtiaľ

ale . znamená, C= a a potom

Je tiež známe, že

teda

6.3. ROVNICE DRUHÉHO RADU

6.3.1. Základné pojmy

Definícia.Diferenciálna rovnica druhého rádu sa nazýva vzťah spájajúci nezávislú premennú, požadovanú funkciu a jej prvú a druhú deriváciu.

V špeciálnych prípadoch môže x v rovnici chýbať, pri alebo y". Rovnica druhého rádu však musí nevyhnutne obsahovať y". Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako:

alebo, ak je to možné, vo forme povolenej pre druhý derivát:

Rovnako ako v prípade rovnice prvého rádu, aj rovnica druhého rádu môže mať všeobecné a konkrétne riešenie. Všeobecné riešenie vyzerá takto:

Nájdenie súkromného riešenia

za počiatočných podmienok – dané

číslo) sa volá Cauchyho problém. Geometricky to znamená, že je potrebné nájsť integrálnu krivku pri= y(x), prechádza cez daný bod a majúci v tomto bode dotyčnicu, ktorá je o

vidlice s kladným smerom osi Vôl daný uhol. e. (obr. 6.1). Cauchyho problém má jedinečné riešenie, ak pravá strana rovnice (6.10), vopred

je nespojitý a má spojité parciálne derivácie vzhľadom na ty, ty" v nejakom susedstve východiskového bodu

Ak chcete nájsť konštantu zahrnuté v konkrétnom riešení, je potrebné systém povoliť

Ryža. 6.1. integrálna krivka