Schrödingerova rovnica je základnou rovnicou nerelativistickej kvantovej mechaniky. Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy
(Štatistická interpretácia de Broglieho vĺn (pozri § 216) a Heisenbergov vzťah neurčitosti (pozri § 215) viedli k záveru, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, popisujúca pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach, musí byť rovnicou z ktorých by pozorovateľné experimentálne vyplývali vlnové vlastnosti častíc.Hlavnou rovnicou musí byť rovnica pre vlnovú funkciu. X,y, z, t),| Ypretože je to, presnejšie povedané, hodnota | | 2, určuje pravdepodobnosť, že častica zostane v danom čase t v objemovom V, teda v oblasti so súradnicami X A x+dx, y A y+dy, z A z+dz.Keďže požadovaná rovnica musí zohľadňovať vlnové vlastnosti častíc, musí byť vlnová rovnica, podobne ako rovnica popisujúca elektromagnetické vlny.
Základná rovnica nerelativistická kvantová mechanika sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole), nie je odvodená, ale postulovaná. Správnosť tejto rovnice potvrdzuje súhlas so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona. Schrödingerova rovnica má tvar
Kde ћ =h),p/(2 T-- Laplaceov operátor D je hmotnosť častice, i- pomyselná jednotka, U (x, y, z, t) - Y je potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje, (x, y, z, t) je požadovaná vlnová funkcia častice.
Rovnica (217.1) platí pre akúkoľvek časticu (so spinom rovným 0; pozri § 225), ktorá sa pohybuje malou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция | 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).
Aby sme dospeli k Schrödingerovej rovnici, uvažujme o voľne sa pohybujúcej častici, ktorá je podľa de Broglieho predstavy spojená s rovinnou vlnou. Pre jednoduchosť uvažujeme jednorozmerný prípad. Rovnica rovinnej vlny šíriacej sa pozdĺž osi X, má formu (pozri § 154) , alebo v zložitom zápise . Preto má de Broglieho rovinná vlna tvar
(berúc do úvahy to w = E/y, k = p/y|Y). V kvantovej mechanike sa exponent berie so znamienkom mínus, ale keďže iba | 2, potom to (pozri (217.2)) je nepodstatné. Potom
Použitie vzťahu medzi energiou E a hybnosť p (E = p 2 /( 2m)) a dosadením výrazov (217.3) dostaneme diferenciálnu rovnicu
ktorá sa zhoduje s rovnicou (217.1) pre prípad U= 0 (uvažovali sme o voľnej častici). Ak sa častica pohybuje v silovom poli charakterizovanom potenciálnou energiou ty potom celková energia E sa skladá z kinetickej a potenciálnej energie. Analogickým uvažovaním a použitím vzťahu medzi E A R(pre tento prípad p 2 /(2m)=EÚ), prejdeme na diferenciálnu rovnicu zhodnú s (217.1).
Vyššie uvedené úvahy by sa nemali považovať za odvodenie Schrödingerovej rovnice. Vysvetľujú len, ako sa dá dospieť k tejto rovnici. Dôkazom správnosti Schrödingerovej rovnice je zhoda so skúsenosťami so závermi, ku ktorým vedie.
Rovnica (217.1) je všeobecná Schrödingerova rovnica. On je tiež tzv časovo závislá Schrödingerova rovnica načas, inými slovami, nájdite Schrödingerovu rovnicu pre Y. Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrosvete možno rovnicu (217.1) zjednodušiť odstránením závislosti stacionárne stavy - stavy s pevnými hodnotami energie. To je možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, teda funkcia U=U(x, y, z) nie je vyslovene závislá od času a má význam potenciálnej energie. V tomto prípade môže byť riešenie Schrödingerovej rovnice reprezentované ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá je iba funkciou času a závislosť od času je vyjadrená faktorom , takže
Kde E - celková energia častice, ktorá je v prípade stacionárneho poľa konštantná. Dosadením (217,4) do (217,1) dostaneme
odkiaľ po vydelení spoločným činiteľom a zodpovedajúcimi transformáciami dospejeme k rovnici, ktorá definuje funkciu y:
Rovnica (217.5) sa volá Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy. Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu ako parameter Ečastice. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých sa uložením okrajových podmienok vyberajú riešenia, ktoré majú fyzikálny význam. Pre Schrödingerovu rovnicu sú takéto podmienky podmienkami pravidelnosti vlnových funkcií: vlnové funkcie musia byť konečné, jednohodnotové a spojité spolu s ich prvými deriváciami. Skutočný fyzikálny význam majú teda iba riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami r. Pravidelné riešenia sa však neuskutočňujú pre žiadne hodnoty parametra E, ale len pre určitý ich súbor, charakteristický pre danú úlohu. Tieto energetické hodnoty sa nazývajú vlastné. Riešenia, ktoré sa zhodujú vlastné energetické hodnoty sa nazývajú vlastné funkcie. Vlastné hodnoty E môžu tvoriť spojité aj diskrétne série. V prvom prípade sa hovorí o nepretržitý, alebo nepretržitý,spektrum, v druhom - o diskrétnom spektre.
Model atómu od Thomsona a Rutherforda.
Myšlienka atómov ako nedeliteľných najmenších častíc hmoty vznikla v staroveku (Democritus, Epicurus, Lucretius). Dokázala realitu existencie atómov. Otázka vnútornej štruktúry atómov však ani nevznikla, keďže atómy sa považovali za nedeliteľné. Dôležitú úlohu vo vývoji atomistického modelu zohral Mendelejev, ktorý v roku 1869 vyvinul Periodickú tabuľku prvkov, v ktorej sa po prvýkrát na vedeckom základe objavila otázka jednotnej povahy atómov. V druhej polovici 19. storočia sa experimentálne dokázalo, že edektorón je jednou z hlavných zložiek akejkoľvek látky. Tieto závery, ako aj experimentálne údaje viedli k tomu, že začiatkom 20. storočia bola vážne nastolená otázka štruktúry atómu. Prvý pokus o vytvorenie modelu atómu na základe nahromadených experimentálnych údajov patrí Tomsanovi. Podľa tohto modelu je atóm guľa súvisle nabitá kladným nábojom s polomerom rádovo m, vo vnútri ktorej elektróny oscilujú okolo svojich rovnovážnych polôh; celkový náboj elektrónov sa rovná kladnému náboju gule, preto atóm je neutrálny. O niekoľko rokov neskôr sa ukázalo, že myšlienka pozitívneho náboja kontinuálne distribuovaného vo vnútri atómu je mylná.
Vo vývoji predstáv o štruktúre atómu majú veľký význam experimenty anglického fyzika Rutherforda o rozptyle častíc alfa v hmote. Častice alfa vznikajú pri rádioaktívnych premenách, sú to kladne nabité častice s nábojom 2e a hmotnosťou približne 7300-násobku hmotnosti elektrónu. Lúče častíc alfa sú vysoko monochromatické. Na základe svojho výskumu Rutherford v roku 1911 navrhol jadrový (planetárny) model atómu. Podľa tohto modelu je okolo kladného náboja dostupný náboj Ze (Z je poradové číslo prvku v Mendelejevovom systéme e je veľkosť elementárneho náboja - a hmotnosť je takmer rovnaká ako hmotnosť atómu v oblasti s lineárnymi rozmermi rádovo m sa elektróny pohybujú po uzavretých dráhach a tvoria elektrónový obal atómu Keďže atómy sú neutrálne, náboj sa rovná celkovému náboju elektrónov, t.j. Z elektrónov sa musí otáčať okolo jadra.Pre jednoduchosť, predpokladáme, že elektrón sa pohybuje okolo jadra po kruhovej dráhe s polomerom r. V tomto prípade Coulombova sila interakcie medzi jadrom a elektrónom hovorí elektrónu o normálnom zrýchlení. Rovnica popisujúca pohyb elektrónu v atóm v kruhu pod vplyvom Coulombovej sily = kde ε0 je elektrická konštanta me- a v-hmotnosť a rýchlosť elektrónu na dráhe s polomerom r. Rovnica obsahuje dve neznáme r a v. nekonečný počet hodnôt polomeru a zodpovedajúcich hodnôt rýchlosti, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Preto sa hodnoty r a v môžu neustále meniť, t.j. môže byť emitovaná akákoľvek, ale nie presne definovaná časť energie. Potom by spektrá atómov mali byť spojité. V skutočnosti však skúsenosti ukazujú, že atómy majú čiarové spektrum. Podľa klasickej elektrodynamiky musia rýchlo sa pohybujúce elektróny vyžarovať elektromagnetické vlny a v dôsledku toho neustále strácať energiu. V dôsledku toho sa elektróny priblížia k jadru a nakoniec naň padnú. Rutherfordov atóm sa teda ukazuje ako nestabilný systém, čo opäť odporuje realite. Pokusy o zostavenie modelu atómu v rámci klasickej fyziky neviedli k úspechu, Thomsonov model bol vyvrátený Rutherfordovými experimentmi, pričom jadrový model sa ukázal ako nestabilný a elektrodynamicky odporoval experimentálnym údajom. Prekonanie vzniknutých ťažkostí si vyžiadalo vytvorenie kvalitatívne novej - kvantovej teórie atómu
Čiarové spektrum vodíka
Štúdium emisných spektier nabitých plynov ukázalo, že každý plyn má určité čiarové spektrum, pozostávajúce z jednotlivých špirálovitých čiar. Najviac študované je spektrum najjednoduchšieho atómu – atómu vodíka. Švajčiarsky vedec Balmer zachytil empirický vzorec popisujúci všetky v tom čase známe spektrálne čiary atómu vodíka vo viditeľnej oblasti spektra, kde R je prvočíslo = Rydbergova konštanta. Následne bolo objavených niekoľko ďalších sérií v spektre atómu vodíka. Lymanova séria je v ultrafialovej oblasti spektra.
V infračervenej oblasti spektra boli tiež nájdené
Séria Paschen
Séria držiakov
v=R(1/4^2 -1/n^2) (n=5,6,7....)
séria Pfund
v=R(1/5^2 -1/n^2) (n=6,7,8....)
Séria Humphrey
v=R(1/6^2 -1/n^2) (n=7,8,9....)
Všetky vyššie uvedené série v spektre atómu vodíka možno opísať jedným vzorcom nazývaným zovšeobecnený Balmerov vzorec, kde m má v každej sérii konštantnú hodnotu m=1,2,3,4,5,6 (definuje rad) n , nadobúda celočíselné hodnoty začínajúce od m +1 (definuje jednotlivé riadky tohto radu)
Bohrove postuláty
Prvý pokus o vybudovanie kvalitatívne novej - kvantovej teórie atómu urobil v roku 1913 dánsky fyzik Niels Bohr. Dal si za cieľ spojiť do jedného celku empirické zákony čiarových spektier, Rutherfordov jadrový model atómu a kvantovú povahu emisie a absorpcie svetla. Bohr založil svoju teóriu na dvoch postulátoch.
1 postulát (postulát stacionárnych stavov) v atóme sú stacionárne stavy, v ktorých nevyžaruje energiu, tieto stavy sa vyznačujú určitými diskrétnymi hodnotami energie. Stacionárne stavy atómu zodpovedajú stacionárnym dráham, po ktorých sa pohybujú elektróny. Pohyb elektrónov na stacionárnych dráhach nie je sprevádzaný emisiou elektromagnetických vĺn. V stacionárnom stave atómu musí mať elektrón pohybujúci sa po kruhovej dráhe diskrétne kvantové hodnoty momentu hybnosti, ktoré spĺňajú podmienku
Kde me je hmotnosť elektrónu, v je rýchlosť
2 postulát (pravidlo frekvencie), keď sa elektrón pohybuje z jednej stacionárnej dráhy na druhú, je emitovaný jeden fotón s energiou
Rovná sa energetickému rozdielu zodpovedajúcich stacionárnych stavov E_m-respektíve energie stacionárnych stavov atómu pred a po ožiarení. At - žiarenie nastáva pri - jeho absorpcii. Množina možných diskrétnych frekvencií kvantových prechodov určuje čiarové spektrum atómu.
O. Stern a V Gerlakh uskutočnili priame merania magnetických momentov a v roku 1922 zistili, že úzky zväzok atómov vodíka, o ktorom je známe, že je v stave s v nehomogénnom magnetickom poli, sa rozdelí na dva zväzky. V tomto stave je moment hybnosti elektrónu nulový. Magnetický moment atómu spojený s orbitálnym pohybom elektrónu je úmerný mechanickému momentu, preto sa rovná nule a magnetické pole by nemalo ovplyvňovať pohyb atómov vodíka v základnom stave, t.j. nemalo by dochádzať k štiepeniu. . neskôr sa však pomocou spektrálnych prístrojov s vysokým rozlíšením dokázalo, že spektrálne čiary atómu vodíka vykazujú jemnú štruktúru, aj keď neexistuje magnetické pole.Na vysvetlenie jemnej štruktúry spektrálnych čiar, ako aj počet z iných ťažkostí v atómovej fyzike Uhlenbeck a Goudsmit navrhli, že elektrón má svoj vlastný nezničiteľný mechanický moment hybnosti, ktorý nesúvisí s pohybom elektrónu v priestore rotáciou. Spin elektrónu je kvantová veličina, nemá klasický analóg, je to vnútorná vlastná vlastnosť elektrónu podobná jeho hmotnosti a náboju. Ak je elektrónu priradený vlastný mechanický moment hybnosti, tak tomu zodpovedá jeho vlastný magnetický moment.Podľa všeobecných záverov kvantovej mechaniky sa spin kvantuje podľa zákona kde s je spinové kvantové číslo.
Pohybová rovnica mikročastice v rôznych silových poliach je Schrödingerova vlnová rovnica.
Pre stacionárne stavy bude Schrödingerova rovnica:
M je hmotnosť častice, h je Planckova konštanta, E je celková energia, U je potenciálna energia.
Schrödingerova rovnica je diferenciálna rovnica druhého rádu a má riešenie, ktoré naznačuje, že celková energia v atóme vodíka musí byť diskrétna:
Táto energia je na zodpovedajúcich úrovniach n = 1,2,3,... podľa vzorca:
Najnižšia úroveň E zodpovedá minimálnej možnej energii. Táto úroveň sa nazýva hlavná úroveň, všetci ostatní sú nadšení.
Keď sa hlavné kvantové číslo n zvyšuje, energetické hladiny sa približujú, celková energia klesá a pri n = E>0 sa elektrón uvoľňuje, neviaže sa na konkrétne jadro a atóm sa ionizuje.
Kompletný popis stavu elektrónu v atóme je okrem energie spojený so štyrmi charakteristikami, ktoré sa nazývajú kvantové čísla. Patria sem: hlavné kvantové číslo n, orbitálne kvantové číslo l, magnetické kvantové číslo m1, magnetické spinové kvantové číslo ms.
trón vo vesmíre, čiže vlnovú funkciu vo vesmíre charakterizujú tri systémy. Každý z nich má svoje vlastné kvantové čísla: n, l, ml.
Každá mikročastica, vrátane elektrónu, má tiež svoj vlastný vnútorný komplexný pohyb. Tento pohyb možno charakterizovať štvrtým kvantovým číslom ms. Povedzme si o tom podrobnejšie.
A. Hlavné kvantové číslo n podľa vzorca určuje energetické hladiny elektrónu v atóme a môže nadobúdať hodnoty n = 1, 2, 3…
B. Orbitálne kvantové číslo /. Z riešenia Schrödingerovej rovnice vyplýva, že moment hybnosti elektrónu (jeho mechanická orbitálna hybnosť) je kvantovaný, to znamená, že nadobúda diskrétne hodnoty určené vzorcom
kde Ll je moment hybnosti elektrónu na obežnej dráhe, l je orbitálne kvantové číslo, ktoré pre dané n nadobúda hodnotu i = 0, 1, 2… (n – 1) a určuje moment hybnosti elektrónu v atóm.B. Magnetické kvantové číslo ml.
Z riešenia Schrödingerovej rovnice tiež vyplýva, že vektor Ll (hybnosť elektrónu) je pod vplyvom vonkajšieho magnetického poľa orientovaný v priestore. V tomto prípade sa vektor rozvinie tak, že jeho priemet na smer vonkajšieho magnetického poľa bude
kde ml sa nazýva magnetické kvantové číslo, ktoré môže nadobúdať hodnoty ml = 0, ±1, ±2, ±1, to znamená, že celkovo existujú hodnoty (2l + 1).
Vzhľadom na vyššie uvedené môžeme dospieť k záveru, že atóm vodíka môže mať rovnakú energetickú hodnotu a môže byť v niekoľkých rôznych stavoch (n je rovnaké a l a ml sú rôzne).
Keď sa elektrón pohybuje v atóme, elektrón zreteľne vykazuje vlnové vlastnosti. Preto kvantová elektronika vo všeobecnosti odmieta klasické predstavy o dráhach elektrónov. Hovoríme o určení pravdepodobného umiestnenia elektrónu na obežnej dráhe, to znamená, že umiestnenie elektrónu môže byť reprezentované podmieneným "oblakom". Elektrón pri svojom pohybe je akoby „rozmazaný“ po celom objeme tohto „oblaku“. Kvantové čísla n a l charakterizujú veľkosť a tvar elektrónového „oblaku“ a kvantové číslo ml charakterizuje orientáciu tohto „oblaku“ v priestore.
V roku 1925 americkí fyzici Uhlenbeck a Goudsmit dokázali, že aj elektrón má svoj vlastný moment hybnosti (spin), hoci elektrón nepovažujeme za zložitú mikročasticu. Neskôr sa ukázalo, že protóny, neutróny, fotóny a iné elementárne častice majú rotáciu.
Experimenty Sterna, Gerlacha a ďalších fyzikov viedli k potrebe charakterizovať elektrón (a mikročastice vo všeobecnosti) dodatočným vnútorným stupňom voľnosti. Pre úplný popis stavu elektrónu v atóme je teda potrebné nastaviť štyri kvantové čísla: hlavné je n, orbitálne číslo je l, magnetické číslo je ml a magnetické spinové číslo je ms. .
V kvantovej fyzike sa zistilo, že takzvaná symetria alebo asymetria vlnových funkcií je určená rotáciou častice. V závislosti od povahy symetrie častíc sú všetky elementárne častice a z nich postavené atómy a molekuly rozdelené do dvoch tried. Častice s polovičným spinom (napr. elektróny, protóny, neutróny) sú opísané asymetrickými vlnovými funkciami a riadia sa Fermi-Diracovou štatistikou. Tieto častice sa nazývajú fermióny. Častice s celočíselným spinom vrátane nuly, ako napríklad fotón (Ls = 1) alebo π-mezón (Ls = 0), sú opísané pomocou symetrických vlnových funkcií a riadia sa Bose-Einsteinovou štatistikou. Tieto častice sa nazývajú bozóny. Komplexné častice (napríklad atómové jadrá) zložené z nepárneho počtu fermiónov sú tiež fermióny (celkový spin je polovičný) a častice zložené z párneho čísla sú bozóny (celkový spin je celé číslo).
Ak prejdeme od uvažovania o pohybe jednej mikročastice (jeden elektrón) k viacelektrónovým systémom, potom sa objavia špeciálne vlastnosti, ktoré v klasickej fyzike nemajú obdobu. Nech sa kvantový mechanický systém skladá z rovnakých častíc, ako sú elektróny. Všetky elektróny majú rovnaké fyzikálne vlastnosti – hmotnosť, elektrický náboj, spin a ďalšie vnútorné charakteristiky (napríklad kvantové čísla). Takéto častice sa nazývajú identické.
Nevyhnutné vlastnosti systému identických identických častíc sa prejavujú v základnom princípe kvantovej mechaniky – princípe nerozlíšiteľnosti identických častíc, podľa ktorého nie je možné experimentálne rozlíšiť identické častice.
V klasickej mechanike možno dokonca identické častice rozlíšiť podľa ich polohy v priestore a ich hybnosti. Ak sú častice v určitom časovom okamihu očíslované, potom v nasledujúcich okamihoch je možné sledovať trajektóriu ktorejkoľvek z nich. Klasické častice majú teda individualitu, takže klasická mechanika sústav identických častíc sa zásadne nelíši od klasickej mechaniky sústav rôznych častíc.
V kvantovej mechanike je situácia iná. Zo vzťahu neurčitosti vyplýva, že pojem trajektórie je vo všeobecnosti neaplikovateľný na mikročastice; stav mikročastice je opísaný vlnovou funkciou, ktorá umožňuje iba vypočítať pravdepodobnosť nájdenia mikročastice v blízkosti jedného alebo druhého bodu v priestore. Ak sa vlnové funkcie dvoch identických častíc v priestore prekrývajú, potom hovoriť o tom, ktorá častica sa nachádza v danej oblasti, je vo všeobecnosti bezvýznamné: možno hovoriť iba o pravdepodobnosti nájdenia jednej z rovnakých častíc v danej oblasti. V kvantovej mechanike teda identické častice úplne strácajú svoju individualitu a stávajú sa nerozoznateľnými. Je potrebné zdôrazniť, že princíp nerozlíšiteľnosti identických častíc nie je len dôsledkom pravdepodobnej interpretácie vlnovej funkcie, ale zavádza sa do kvantovej mechaniky ako nový princíp, ako už bolo spomenuté vyššie.
S prihliadnutím na fyzikálny význam veličiny možno princíp nerozlíšenia identických častíc zapísať v nasledujúcom tvare: , (8.1.1)
kde a sú množina priestorových a silových súradníc prvej a druhej častice. Z výrazu (8.1.1) vyplýva, že sú možné dva prípady:
tie. princíp nerozlíšiteľnosti identických častíc vedie k určitej vlastnosti symetrie vlnovej funkcie. Ak vlnová funkcia nemení znamienko pri zmene miesta častice, potom sa nazýva symetrická, ak sa mení, nazýva sa antisymetrická. Zmena znamienka vlnovej funkcie neznamená zmenu stavu, keďže iba druhá mocnina modulu vlnovej funkcie má fyzikálny význam.
V kvantovej mechanike je dokázané, že povaha symetrie vlnovej funkcie sa s časom nemení. Toto nie je dôkazom toho, že vlastnosti symetrie alebo antisymetrie sú znakom tohto typu mikročastíc.
Zistilo sa, že symetria alebo antisymetria vlnových funkcií je určená rotáciou častíc. V závislosti od povahy symetrie sa všetky elementárne častice a z nich vybudované systémy (atómy, molekuly) delia do dvoch tried: častice s polovičným spinom (napríklad elektróny, neutróny a protóny) sú opísané antisymetrickou vlnou. fungovať a riadiť sa štatistikou Fermi-Dirac; tieto častice sa nazývajú fermióny. Častice s nulovým alebo celočíselným spinom (napríklad fotóny, mezóny) sú opísané pomocou symetrických funkcií (vlna) a riadia sa Bose-Einsteinovou štatistikou; tieto častice sa nazývajú bozóny.
Komplexné častice (napríklad atómové jadrá), zložené z nepárneho počtu fermiónov, sú fermióny (celkový spin je polovičný) a od párneho čísla sú to bozóny (celkový spin je celé číslo).
Závislosť charakteru symetrie vlnových funkcií systému identických častíc od spinu častíc teoreticky zdôvodnil švajčiarsky fyzik W. Pauli, čo bol ďalší dôkaz, že spiny sú základnou charakteristikou mikročastíc.
Po štúdiu vlastností prvkov usporiadaných za sebou vo vzostupnom poradí ich atómových hmotností, veľký ruský vedec D.I. Mendelejev v roku 1869 odvodil zákon periodicity:
vlastnosti prvkov, a teda vlastnosti nimi tvorených jednoduchých a zložitých telies, sú v periodickej závislosti od veľkosti atómových hmotností prvkov.
Zmena vlastností chemických prvkov pri zvyšovaní ich atómových hmotností má podľa tohto zákona periodický charakter, t.j. po určitom počte prvkov (rôznych pre rôzne obdobia) sa vlastnosti prvkov opakujú v rovnakom poradí, aj keď s určitými kvalitatívnymi a kvantitatívnymi rozdielmi. Len v troch prípadoch Mendelejev porušil poradie prvkov – argón dal pred draslík, kobalt pred nikel a telúr pred jód. Vyžadovala si to podobnosť vlastností chemických prvkov.
Grafickým znázornením periodického zákona je tabuľka prvkov D.I. Mendelejev. Každý prvok v ňom zodpovedá sériovému číslu. V tabuľke je celý rad prvkov rozdelený na samostatné segmenty, v rámci ktorých začínajú a končia cykly periodických zmien vlastností. Vertikálne segmenty sa nazývajú skupiny a horizontálne segmenty sa nazývajú periódy.
Prvé tri periódy obsahujúce 2, 8 a 8 prvkov sa nazývajú malé, ostatné obsahujúce 18, 18 a 32 prvkov sú veľké. Veľké obdobia sú rozdelené do sérií, zatiaľ čo malé obdobia sa zhodujú s príslušnými sériami.
V každej skupine sú prvky veľkých období rozdelené do dvoch podskupín - hlavnej a vedľajšej. Hlavná podskupina zahŕňa podobné prvky, vrátane prvkov malých a veľkých období. Sekundárna podskupina zahŕňa podobné prvky, vrátane prvkov veľkých období. Maximálna možná valencia prvkov v skupine sa rovná číslu skupiny. Niektoré prvky síce nevykazujú maximálnu valenciu, napríklad kyslík, fluór, neón, na druhej strane však valencia zlata, prvku sekundárnej podskupiny I. skupiny, môže presiahnuť jednu, dosahuje tri.
Objav periodického zákona podnietil fyzikov hľadať jeho vysvetlenie z hľadiska teórie štruktúry atómov a naopak. Periodický zákon sa stal prostriedkom na overenie platnosti navrhnutých modelov štruktúry atómov.
Na základe objavu elektrónu J. Thomsonom v roku 1897 anglický fyzik E. Rutherford v roku 1911 navrhol, že atóm pozostáva z kladne nabitého jadra a elektrónov, ktoré sa okolo neho otáčajú po kruhových dráhach. V tomto prípade je kladný náboj jadra neutralizovaný celkovým záporným nábojom elektrónov, čím je atóm ako celok elektricky neutrálny. Rutherford experimentálne dokázal, že náboj jadra sa číselne rovná poradovému číslu prvku v periodickej sústave.
Až potom bolo možné vysvetliť dôvod porušenia poradia prvkov v periodickej tabuľke (argón pred draslíkom, kobalt pred niklom a telúr pred jódom). Uvedené prvky boli usporiadané v súlade so zmenou nábojov ich jadier. Ukázalo sa teda, že hlavnou veličinou, od ktorej závisia vlastnosti prvku, je náboj jadra. Z toho vyplýva moderná formulácia Mendelejevovho periodického zákona:
Vlastnosti chemických prvkov, ako aj formy a vlastnosti zlúčenín prvkov sú v periodickej závislosti od náboja ich jadier.
Úvod
Je známe, že priebeh kvantovej mechaniky je jedným z najťažších na pochopenie. To nesúvisí ani tak s novým a „nezvyčajným“ matematickým aparátom, ale predovšetkým s ťažkosťami pochopenia z pohľadu klasickej fyziky revolučných myšlienok kvantovej mechaniky a zložitosťou interpretácie výsledkov.
Vo väčšine učebníc kvantovej mechaniky je prezentácia materiálu spravidla založená na analýze riešení stacionárnej Schrödingerovej rovnice. Stacionárny prístup však neumožňuje priame porovnanie výsledkov riešenia kvantovomechanického problému s analogickými klasickými výsledkami. Okrem toho mnohé procesy študované v rámci kvantovej mechaniky (ako je prechod častice cez potenciálnu bariéru, rozpad kvázistacionárneho stavu atď.) sú v zásade nestacionárne, a preto môžu byť chápané v plnom rozsahu len na základe riešení nestacionárnej Schrödingerovej rovnice. Keďže počet analyticky riešiteľných problémov je malý, použitie počítača v procese štúdia kvantovej mechaniky je obzvlášť dôležité.
Schrödingerova rovnica a fyzikálny význam jej riešení
Schrödingerova vlnová rovnica
Jednou zo základných rovníc kvantovej mechaniky je Schrödingerova rovnica, ktorá určuje zmenu stavov kvantových systémov v čase. Píše sa vo forme
kde H je Hamiltonián systému, ktorý sa zhoduje s energetickým operátorom, ak nezávisí od času. Typ operátora je určený vlastnosťami systému. Pre nerelativistický pohyb častice hmoty v potenciálnom poli U(r) je operátor reálny a je reprezentovaný súčtom operátorov kinetickej a potenciálnej energie častice.
Ak sa častica pohybuje v elektromagnetickom poli, Hamiltonov operátor bude zložitý.
Aj keď rovnica (1.1) je rovnicou prvého rádu v čase, vďaka pomyselnej jednote má aj periodické riešenia. Preto sa Schrödingerova rovnica (1.1) často nazýva Schrödingerova vlnová rovnica a jej riešenie sa nazýva časovo závislá vlnová funkcia. Rovnica (1.1) so známym tvarom operátora H umožňuje určiť hodnotu vlnovej funkcie v ktoromkoľvek nasledujúcom časovom okamihu, ak je táto hodnota v počiatočnom časovom okamihu známa. Schrödingerova vlnová rovnica teda vyjadruje princíp kauzality v kvantovej mechanike.
Schrödingerovu vlnovú rovnicu možno získať na základe nasledujúcich formálnych úvah. V klasickej mechanike je známe, že ak je energia daná ako funkcia súradníc a hybnosti
potom prechod na klasickú Hamiltonovu-Jacobiho rovnicu pre akčnú funkciu S
možno získať z (1.3) formálnou transformáciou
Rovnakým spôsobom sa rovnica (1.1) získa z (1.3) pri prechode z (1.3) na operátorovú rovnicu formálnou transformáciou
ak (1.3) neobsahuje súčin súradníc a hybností, alebo obsahuje také súčiny z nich, ktoré po odovzdaní operátorom (1.4) medzi sebou pendlujú. Ak po tejto transformácii zrovnáme výsledky pôsobenia na funkciu operátorov pravej a ľavej časti výslednej operátorovej rovnosti, dostaneme sa k vlnovej rovnici (1.1). Tieto formálne transformácie by sme však nemali brať ako odvodenie Schrödingerovej rovnice. Schrödingerova rovnica je zovšeobecnením experimentálnych údajov. Nie je odvodený v kvantovej mechanike, rovnako ako Maxwellove rovnice nie sú odvodené v elektrodynamike, princípe najmenšej akcie (alebo Newtonových rovniciach) v klasickej mechanike.
Je ľahké overiť, že rovnica (1.1) je splnená pre vlnovú funkciu
opisujúci voľný pohyb častice s určitou hodnotou hybnosti. Vo všeobecnom prípade je platnosť rovnice (1.1) dokázaná zhodou so skúsenosťami všetkých záverov získaných pomocou tejto rovnice.
Ukážme, že rovnica (1.1) implikuje dôležitú rovnosť
čo naznačuje zachovanie normalizácie vlnovej funkcie v čase. Vynásobme (1.1) vľavo funkciou * a vynásobme rovnicu komplexne konjugovanú k (1.1) funkciou a odčítajme druhú rovnicu od prvej získanej rovnice; potom nájdeme
Integráciou tohto vzťahu nad všetkými hodnotami premenných a pri zohľadnení samoväzbovosti operátora dostaneme (1.5).
Ak vo vzťahu (1.6) dosadíme za pohyb častice v potenciálnom poli explicitné vyjadrenie Hamiltonovho operátora (1.2), dostaneme sa k diferenciálnej rovnici (rovnici kontinuity)
kde je hustota pravdepodobnosti a vektor
možno nazvať vektor hustoty prúdu pravdepodobnosti.
Komplexná vlnová funkcia môže byť vždy reprezentovaná ako
kde a sú skutočné funkcie času a súradníc. Takže hustota pravdepodobnosti
a hustota pravdepodobnostného prúdu
Z (1.9) vyplýva, že j = 0 pre všetky funkcie, ktorých funkcia Φ nezávisí od súradníc. Najmä j = 0 pre všetky reálne funkcie.
Riešenia Schrödingerovej rovnice (1.1) sú vo všeobecnosti reprezentované komplexnými funkciami. Používanie komplexných funkcií je veľmi pohodlné, aj keď nie nevyhnutné. Namiesto jednej komplexnej funkcie môže byť stav systému opísaný dvoma reálnymi funkciami a splnením dvoch spojených rovníc. Napríklad, ak je operátor H reálny, potom dosadením funkcie do (1.1) a oddelením reálnej a imaginárnej časti dostaneme systém dvoch rovníc
v tomto prípade má tvar hustota pravdepodobnosti a hustota prúdu pravdepodobnosti
Vlnové funkcie v reprezentácii hybnosti.
Fourierova transformácia vlnovej funkcie charakterizuje rozdelenie hybnosti v kvantovom stave. Je potrebné odvodiť integrálnu rovnicu s Fourierovou transformáciou potenciálu ako jadra.
Riešenie. Medzi funkciami a existujú dva vzájomne inverzné vzťahy.
Ak sa ako definícia použije vzťah (2.1) a aplikuje sa naň operácia, potom, berúc do úvahy definíciu 3-rozmernej funkcie,
v dôsledku toho, ako je ľahké vidieť, dostaneme inverzný vzťah (2.2). Podobné úvahy sú použité nižšie pri odvodzovaní vzťahu (2.8).
potom pre Fourierov obraz potenciálu, ktorý máme
Za predpokladu, že vlnová funkcia spĺňa Schrödingerovu rovnicu
Nahradením tu namiesto výrazov (2.1) a (2.3) dostaneme
V dvojitom integráli prechádzame od integrácie nad premennou k integrácii nad premennou a potom znova označíme túto novú premennú pomocou. Integrál nad zaniká pri akejkoľvek hodnote iba vtedy, ak je samotný integrand rovný nule, ale potom
Toto je požadovaná integrálna rovnica s Fourierovou transformáciou potenciálu ako jadra. Samozrejme, integrálnu rovnicu (2.6) možno získať len za podmienky, že existuje Fourierova transformácia potenciálu (2.4); na to musí napríklad potenciál klesať na veľké vzdialenosti, aspoň ako, kde.
Treba poznamenať, že z normalizačného stavu
nasleduje rovnosť
Dá sa to ukázať nahradením výrazu (2.1) za funkciu do (2.7):
Ak tu najskôr vykonáme integráciu, potom ľahko získame vzťah (2.8).
Zo štatistickej interpretácie de Broglieho vĺn (pozri § a Heisenbergov vzťah neurčitosti (pozri § 215)) vyplynulo, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, ktorá popisuje pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach, by mala byť rovnicou z r. ktoré by nasledovali nasledujúce pozorovania.- experimentálne dané vlnové vlastnosti častíc.
Hlavná rovnica musí byť rovnicou pre vlnovú funkciu, pretože je to práve táto, alebo presnejšie, veličina |Ф|2, ktorá určuje pravdepodobnosť, že častica zostane v danom okamihu t v objeme dV, v oblasti so súradnicami a X+ dx, y+dy,
z a Keďže požadovaná rovnica musí zohľadňovať vlnové vlastnosti častíc, musí byť vlnová rovnica, ako rovnica popisujúca elektromagnetické vlny. Základná rovnica nerelativistická kvantová mechanika sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole), nie je odvodená, ale postulovaná. Správnosť tejto rovnice je potvrdená zhodou so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona. Rovnica
Schrödinger má formu
|
pomyselná jednotka, y,z,t) -
Potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje; z,t) - požadovaná vlnová funkcia
Rovnica platí pre každú časticu (so spinom rovným 0; pozri § 225), ktorá sa pohybuje malou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. v s. Je doplnená o podmienky kladené na vlnovú funkciu: 1) vlnová funkcia musí byť konečná, jednohodnotová a spojitá (pozri § 216);
2) deriváty -, -, --, musí-
dx urobiť
aby sme boli nepretržití; 3) funkcia |Ф|2 musí byť integrovateľná; tento stav sa v najjednoduchších prípadoch znižuje na
Podmienka normalizácie (216.3).
Aby sme dospeli k Schrödingerovej rovnici, uvažujeme voľne sa pohybujúcu časticu, ktorá je podľa de Broglieho asociovaná.Pre jednoduchosť uvažujeme jednorozmerný prípad. Rovnica rovinnej vlny šíriacej sa pozdĺž osi X, má formu (pozri § 154) t) = A cos - alebo v zložitom zápise t)- Preto má de Broglieho rovinná vlna tvar
(217.2)
(berúc do úvahy to - = -). V kvantovej th
Exponent sa berie so znamienkom „-“, keďže iba |Ф|2 má fyzický význam, nie je to dôležité. Potom
 |
Použitie vzťahu medzi energiou E a hybnosť = --) a dosadzovanie
výraz (217.3), dostaneme diferenciálnu rovnicu
čo sa zhoduje s rovnicou pre prípad U- O (uvažovali sme o voľnej častici).
Ak sa častica pohybuje v silovom poli charakterizovanom potenciálnou energiou ty potom celková energia E sa skladá z kinetickej a potenciálnej energie. Vykonávanie podobného uvažovania a používanie vzťahu medzi („pre
prípad = EÚ), dospejeme k diferenciálnej rovnici, ktorá sa zhoduje s (217.1).
Vyššie uvedená úvaha by sa nemalo brať ako odvodenie Schrödingerovej rovnice. Vysvetľujú len, ako sa dá dospieť k tejto rovnici. Dôkazom správnosti Schrödingerovej rovnice je zhoda so skúsenosťami so závermi, ku ktorým vedie.
Rovnica (217.1) je všeobecná Schrödingerova rovnica. On je tiež tzv časovo závislá Schrödingerova rovnica. Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrokozme možno rovnicu (217.1) zjednodušiť odstránením časovej závislosti, inými slovami, nájsť Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy - stavy s pevnými hodnotami energie. To je možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, teda funkcia U=z) nie je vyslovene závislá od času a má význam potenciálnej energie.
V tomto prípade môže byť riešenie Schrödingerovej rovnice reprezentované ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá je len funkciou času a závislosť od času je vyjadrená
Vynásobí sa e" = e, takže
(217.4)
Kde E je celková energia častice, ktorá je v prípade stacionárneho poľa konštantná. Dosadením (217,4) do (217,1) dostaneme
Odkiaľ, po vydelení spoločným faktorom e zodpovedajúcich transformácií
Dostaneme sa k rovnici, ktorá definuje funkciu
Rovnica ekvivalent-
Schrödingerova koncepcia pre stacionárne stavy. Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu ako parameter Ečastice. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých sa uložením okrajových podmienok vyberú riešenia, ktoré majú fyzikálne
Pre Schrödingerovu rovnicu také podmienky sú podmienky pre pravidelnosť vlnových funkcií: vlnové funkcie musia byť konečné, jednohodnotové a spojité spolu s ich prvými deriváciami.
Skutočný fyzikálny význam majú teda iba riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami. Ale regulárne riešenia sa nevyskytujú pre žiadne hodnoty parametra E, ale len pre určitý súbor z nich, typický pre tento problém. Títo energetické hodnoty sa volajú vlastné. Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným hodnotám energie, sa nazývajú vlastné funkcie. Vlastné hodnoty E môžu tvoriť spojité aj diskrétne série. V prvom prípade sa hovorí o nepretržitý, alebo spojité, spektrum, v druhom - diskrétne spektrum.
§ 218. Princíp kauzality v kvantovej mechanike
Zo vzťahu neurčitosti sa často usudzuje, že
princíp kauzality k javom vyskytujúcim sa v mikrokozme. V tomto prípade sú založené na nasledujúcich úvahách. V klasickej mechanike sa podľa princíp kauzality - princíp klasického determinizmu, Autor: známy stav systému v určitom časovom bode (je úplne určený hodnotami súradníc a hybnosti všetkých častíc systému) a silami, ktoré naň pôsobia, môžete úplne presne nastaviť jeho stav v ktoromkoľvek nasledujúcom moment. Preto je klasická fyzika založená na nasledujúcom chápaní kauzality: stav mechanického systému v počiatočnom časovom okamihu so známym zákonom interakcie častíc je príčinou a jeho stav v post-momente je dôsledkom.
Na druhej strane mikroobjekty nemôžu mať súčasne určitú súradnicu a určitú zodpovedajúcu projekciu hybnosti [sú dané vzťahom neurčitosti; preto sa usudzuje, že v počiatočnom okamihu nie je stav systému presne určený . Ak stav systému nie je istý v počiatočnom okamihu, potom nemožno predpovedať nasledujúce stavy, t. j. je porušený princíp kauzality.
Vo vzťahu k mikroobjektom však nedochádza k porušeniu princípu kauzality, keďže v kvantovej mechanike nadobúda pojem stav mikroobjektu úplne iný význam ako v klasickej mechanike. V kvantovej mechanike je stav mikroobjektu úplne určený vlnovou funkciou, ktorej modul na druhú
2 nastavuje hustotu pravdepodobnosti nájdenia častice v bode so súradnicami x, y, z.
Vlnová funkcia zase spĺňa rovnicu
Schrödinger obsahujúci prvú deriváciu funkcie Ф vzhľadom na čas. To tiež znamená, že úloha funkcie (na okamih určuje jej hodnotu v nasledujúcich okamihoch. Preto v kvantovej mechanike je počiatočný stav príčinou a stav Ф v nasledujúcom okamihu je dôsledkom. Toto je forma princípu kauzality v kvantovej mechanike, t.j. nastavenie funkcie predurčuje jej hodnoty pre akékoľvek nasledujúce momenty. Stav systému mikročastíc definovaný v kvantovej mechanike teda jednoznačne vyplýva z predchádzajúceho stavu, ako to vyžaduje princíp kauzality .
§ 219. Voľný pohyb častíc
voľná častica - častica pohybujúca sa v neprítomnosti vonkajších polí. Keďže je voľný (nech sa pohybuje pozdĺž osi X) sily nepôsobia, potom potenciálna energia častice U(x) = const a môže sa to považovať za rovné nule. Potom sa celková energia častice zhoduje s jej kinetickou energiou. V tomto prípade má Schrödingerova rovnica (217.5) pre stacionárne stavy tvar
(219.1)
Priamou substitúciou možno overiť, že konkrétne riešenie rovnice (219.1) je funkciou - Kde A = konšt a Komu= konšt., s vlastnou hodnotou energie
Funkcia = = predstavuje iba súradnicovú časť vlnovej funkcie. Preto časovo závislá vlnová funkcia podľa (217.4),
(219.3) je rovinná monochromatická de Broglieho vlna [viď. (217,2)].
Od výrazu (219.2) vyplýva, že závislosť energie od hybnosti
sa ukázalo byť bežné pre nerelativistické častice. Preto môže voľná častica brať energiu akékoľvek hodnoty(pretože vlnové číslo Komu môže nadobudnúť akékoľvek kladné hodnoty), t.j. energiu rozsah voľná častica je nepretržitý.
Voľná kvantová častica je teda opísaná rovinnou monochromatickou de Broglieho vlnou. To zodpovedá hustote pravdepodobnosti detekcie častice v danom bode priestoru na čase
t.j. všetky polohy voľnej častice v priestore sú ekvipravdepodobné.
§ 220. Častica v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokým
"steny"
Urobme kvalitatívnu analýzu riešení Schrödingerovej rovnice pomocou
Ryža. 299
(220.4)
vzhľadom na časticu V jednorozmerná obdĺžniková „potenciálna studňa“ s nekonečne vysokými „stenami“. Takáto „studňa“ je opísaná potenciálnou energiou formy (pre jednoduchosť predpokladáme, že častica sa pohybuje pozdĺž osi X)
kde je šírka "jamy", A energia sa meria od jej dna (obr. 299).
Schrödingerovu rovnicu (217.5) pre stacionárne stavy v prípade jednorozmernej úlohy možno zapísať ako
Podľa stavu problému (nekonečne vysoké „steny“) častica neprenikne za „jamu“, takže pravdepodobnosť jej detekcie (a následne aj vlnovej funkcie) mimo „jamy“ sa rovná nule. . Na hraniciach „jamy“ (at X- 0 a x = funkcia spojitej vlny musí tiež zmiznúť. Preto majú okrajové podmienky v tomto prípade tvar
V rámci „jamy“ (0 X Schrödingerova rovnica (220.1) sa redukuje na rovnicu
 |
|||
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (220.3):
Keďže podľa (220,2) = 0, potom IN= 0.
(220.5)
Stav (220.2) = 0 je splnené len pre kde P- celé čísla, t.j. je potrebné, aby
Z výrazov (220.4) a (220.6) vyplýva, že
t.j. stacionárna Schrödingerova rovnica popisujúca pohyb častice v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ je splnená iba pre vlastné hodnoty, ktoré závisia od celého čísla. P. Preto energia častíc v
"potenciálna studňa" s nekonečne vysokými "stenami" zaberá len určité diskrétne hodnoty, tie. je kvantovaný.
Kvantované energetické hodnoty sa nazývajú energetická hladina, a číslo P, ktorý určuje energetické hladiny častice sa nazýva hlavné kvantové číslo. Mikročastica v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ teda môže byť len na určitej energetickej úrovni, alebo, ako sa hovorí, častica je v kvante.
Nahradením hodnoty (220,5). Komu z (220.6) nájdeme vlastné funkcie:
 |
Integračná konštanta A zistíme z normalizačnej podmienky (216.3), ktorá pre tento prípad môže byť zapísaná vo forme
IN výsledok integrácie polo-
A - A budú vyzerať vlastné funkcie
I rozvrhy vlastných funkcií (220.8) zodpovedajúce úrovniam
energie (220,7) at n=1,2, 3 sú znázornené na obr. 300, A. Na obr. 300, b je zobrazená hustota pravdepodobnosti detekcie častice v rôznych vzdialenostiach od „steny“ jamky, ktorá sa rovná =
Pre n= 1, 2 a 3. Z obrázku vyplýva, že napríklad v kvantovom stave s P= 2 častica nemôže byť v strede „jamy“, pričom rovnako často môže byť v jej ľavej a pravej časti. Toto správanie častice naznačuje, že koncepty trajektórií častíc v kvantovej mechanike sú neudržateľné. Z výrazu (220.7) vyplýva, že energetický interval medzi dvoma
Susedné úrovne sa rovnajú
 |
Napríklad pre elektrón s veľkosťou jamky - 10 "1 m (bezplatná el
Kovové tróny) 10 J
To znamená, že energetické hladiny sú tak blízko seba, že spektrum možno prakticky považovať za spojité. Ak sú rozmery jamky úmerné atómovému m), potom pre elektrón J eV, t.j. sa získajú explicitne diskrétne energetické hodnoty (čiarové spektrum).
Teda aplikácia Schrödingerovej rovnice na časticu v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokým
„steny“ vedú ku kvantovaným energetickým hodnotám, zatiaľ čo klasická mechanika neukladá žiadne obmedzenia na energiu tejto častice.
okrem toho
Zváženie tohto problému vedie k záveru, že častica „v potenciálovej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ nemôže mať energiu menšiu ako
Minimálne, rovné [pozri. (220,7)].
Prítomnosť nenulovej minimálnej energie nie je náhodná a vyplýva zo vzťahu neurčitosti. Neistota súradníc Ohčastice v "jame" širokej Ah= Potom podľa vzťahu neistoty hybnosť nemôže mať presnú, v tomto prípade nulovú hodnotu. Neistota hybnosti
Také šírenie hodnôt
hybnosť zodpovedá kinetickej energii
Všetky ostatné úrovne (n > 1) majú energiu presahujúcu túto minimálnu hodnotu.
Od vzorcov (220.9) a (220.7) vyplýva, že pre veľké kvantové čísla
tj susedné úrovne sú blízko seba: čím bližšie, tým viac P. Ak P je veľmi veľká, potom môžeme hovoriť o prakticky nepretržitom slede úrovní a charakteristická vlastnosť kvantových procesov - diskrétnosť - je vyhladená. Tento výsledok je špeciálny prípad Bohrov princíp korešpondencie (1923), podľa ktorého by sa zákony kvantovej mechaniky mali pri veľkých hodnotách kvantových čísel transformovať na zákony klasickej fyziky.
Viac všeobecný výklad princípu korešpondencie: akákoľvek nová, všeobecnejšia teória, ktorá je rozvinutím klasickej, ju úplne nezavrhuje, ale zahŕňa klasickú teóriu, pričom naznačuje hranice jej aplikácie a v určitých obmedzujúcich prípadoch prechádza nová teória do starej. Tak prechádzajú vzorce kinematiky a dynamiky špeciálnej teórie relativity v c do vzorcov newtonovskej mechaniky. Napríklad da Broglieho hypotéza síce pripisuje vlnové vlastnosti všetkým telesám, ale v tých prípadoch, keď máme do činenia s makroskopickými telesami, možno ich vlnové vlastnosti zanedbať, t.j. použiť klasickú newtonovskú mechaniku.
§ 221. Prechod častice cez potenciálnu bariéru.
tunelový efekt
najjednoduchšiu potenciálovú bariéru pravouhlého tvaru (obr. pre jednorozmernú (po osi pohybu častice). Pre potenciálovú bariéru pravouhlého tvaru s výškou šírky l môžeme písať
Za daných podmienok problému klasická častica, ktorá má energiu E, alebo bez prekážok prejsť cez bariéru (s E > U), alebo sa od nej odráža (keď E< U) sa bude pohybovať opačným smerom, t.j. nemôže preniknúť cez bariéru. Pre mikročasticu aj pri E > U, existuje nenulová pravdepodobnosť, že častica sa odrazí od bariéry a pohne sa opačným smerom. O E existuje aj nenulová pravdepodobnosť, že častica bude v oblasti x> tie. preniká cez bariéru. Takéto zdanlivo paradoxné závery vyplývajú priamo z opísaného riešenia Schrödingerovej rovnice
412
ktorý popisuje pohyb mikročastice za podmienok daného problému.
Rovnica (217.5) pre stacionárne stavy pre každý z vybraných obr. 301, A oblasť má
(pre oblasti
(pre oblasť
Všeobecné riešenia týchto diferenciálnych rovníc:
Riešenie (221.3) obsahuje aj vlny (po vynásobení časovým faktorom) šíriace sa oboma smermi. Avšak v oblasti 3 existuje len vlna, ktorá prešla cez bariéru a šíri sa zľava doprava. Preto by sa koeficient vo vzorci (221.3) mal brať ako rovný nule.
V oblasti 2
riešenie závisí od vzťahov E>U alebo E
(pre oblasť
(pre región 2);
Význam q a 0, získame riešenia Schrödingerovej rovnice pre tri oblasti v nasledujúcom tvare:
(pre oblasť 3).
IN najmä pre región 1 celková vlnová funkcia podľa (217.4) bude mať tvar
 |
V tomto výraze je prvým členom rovinná vlna typu (219.3) šíriaca sa v kladnom smere osi X(zodpovedá častici pohybujúcej sa smerom k bariére) a druhá - vlna šíriaca sa v opačnom smere, t.j. odrazená od bariéry (zodpovedá častici pohybujúcej sa od bariéry doľava).
(pre oblasť 3).
V oblasti 2
funkcia už nezodpovedá rovinným vlnám šíreným v oboch smeroch, keďže exponenty exponentov nie sú imaginárne, ale skutočné. Dá sa ukázať, že pre konkrétny prípad vysokej a širokej bariéry, keď 1,
Kvalitatívna povaha funkcií a je znázornená na obr. 301, z čoho vyplýva, že vln
Funkcia sa nerovná nule ani vo vnútri bariéry, ale v oblasti 3, ak bariéra nie je veľmi široká, bude mať opäť formu de Broglieho vĺn s rovnakou hybnosťou, t.j. s rovnakou frekvenciou, ale s menšou amplitúdou. Následne sme zistili, že častica má nenulovú pravdepodobnosť, že prejde cez potenciálnu bariéru konečnej šírky.
Kvantová mechanika teda vedie k zásadne novému špecifickému kvantovému javu, tzv tunelový efekt, v dôsledku čoho môže mikroobjekt „prejsť“ cez potenciálnu bariéru. z hľadiska Spoločné riešenie rovníc pre pravouhlú potenciálovú bariéru dáva (za predpokladu, že koeficient priehľadnosti je malý v porovnaní s jednotkou)
kde je konštantný faktor, ktorý možno prirovnať k jednému; U- potenciálna výška bariéry; E - energia častíc; je šírka bariéry.
Z výrazu (221.7) vyplýva, že D vysoko závislé od hmotnosti Tčastice, šírka/bariéra a od (U-čím je bariéra širšia, tým je menej pravdepodobné, že cez ňu častica prejde.
Pre potenciálnu bariéru ľubovoľného tvaru (obr. 302) spĺňajúcu podmienky tzv poloklasická aproximácia(skôr hladký tvar krivky), máme
 |
Kde U=U(x).
Z klasického hľadiska je prechod častice cez potenciálnu bariéru pri E nemožné, pretože častica, ktorá sa nachádza v bariérovej oblasti, by musela mať negatívnu kinetickú energiu. Tunelový efekt je špecifický kvantový efekt.
Prechod častice oblasťou, do ktorej podľa zákonov klasickej mechaniky nemôže preniknúť, možno vysvetliť vzťahom neurčitosti. Neistota hybnosti Ar na segmente Ach = je Ar > -. V súvislosti s týmto rozpätím hodnôt hybnosti, kinetiky
302
Česká energetika môže byť
dostatočné na dokončenie
energia častice sa ukázala byť väčšia ako potenciálna energia.
Základy teórie tunelových križovatiek boli položené v prácach L.I.
Tunelovanie cez potenciálnu bariéru je základom mnohých javov vo fyzike pevných látok (napríklad javy v kontaktnej vrstve na rozhraní dvoch polovodičov), atómovej a jadrovej fyzike (napríklad rozpad, termonukleárne reakcie).
§ 222. Lineárny harmonický oscilátor
V kvantovej mechanike
Lineárny harmonický oscilátor- systém, ktorý vykonáva jednorozmerný pohyb pôsobením kvázi-elastickej sily, je model používaný v mnohých problémoch klasickej a kvantovej teórie (pozri § 142). Príklady klasických harmonických oscilátorov sú pružinové, fyzikálne a matematické kyvadla.
Potenciálna energia harmonického oscilátora [pozri. (141,5)] je
Kde je vlastná frekvencia oscilátora; T - hmotnosť častíc.
Závislosť (222.1) má tvar paraboly (obr. 303), t.j. „Potencionálna studňa“ je v tomto prípade parabolická.
Amplitúda malých kmitov klasického oscilátora je určená jeho celkovou energiou E(pozri obr. 17).
Dinger, berúc do úvahy výraz (222.1) pre potenciálnu energiu. Potom sú stacionárne stavy kvantového oscilátora určené Schrödingerovou rovnicou tvaru
= 0, (222.2)
Kde E - celková energia oscilátora. V teórii diferenciálnych rovníc
Je dokázané, že rovnica (222.2) je vyriešená len pre vlastné hodnoty energie
(222.3)
Vzorec (222.3) ukazuje, že energia kvantového oscilátora môže
mať len diskrétne hodnoty, t.j. je kvantovaný. Energia je zdola ohraničená nenulovou hodnotou, ako pri pravouhlej „jame“ s nekonečne vysokými „stenami“ (pozri § 220), minimálnou hodnotou energie. = Su-
existencia minimálnej energie – tzv energie nulového bodu - je typický pre kvantové systémy a je priamym dôsledkom vzťahu neurčitosti.
Prítomnosť nulových oscilácií znamená, že častica nemôže byť na dne „potenciálnej studne“ (bez ohľadu na tvar jamky). „Pád na dno jamy“ je totiž spojený s vymiznutím hybnosti častice a zároveň s jej neistotou. Potom sa neistota súradnice stane ľubovoľne veľkou, čo je v rozpore s prítomnosťou častice v
„potenciálnej diery“.
Záver o prítomnosti energie kmitov nulového bodu kvantového oscilátora je v rozpore so závermi klasickej teórie, podľa ktorej najmenšia energia, ktorú môže oscilátor mať, je nulová (zodpovedá častici v pokoji v rovnovážnej polohe) . Napríklad podľa záverov klasickej fyziky at T= 0, energia vibračného pohybu atómov kryštálu mala zmiznúť. V dôsledku toho by mal zmiznúť aj rozptyl svetla v dôsledku vibrácií atómov. Experiment však ukazuje, že intenzita rozptylu svetla s klesajúcou teplotou sa nerovná nule, ale má tendenciu k určitej limitnej hodnote, čo naznačuje, že pri T 0 vibrácií atómov v kryštáli sa nezastaví. Toto je potvrdenie prítomnosti nulových výkyvov.
Zo vzorca (222.3) tiež vyplýva, že energetické hladiny lineárneho harmonického oscilátora sú umiestnené v rovnakých vzdialenostiach od seba (pozri obr. 303), konkrétne vzdialenosť medzi susednými energetickými hladinami je rovná a minimálna energetická hodnota =
Dôsledné riešenie problému kvantového oscilátora vedie k ďalšiemu významnému rozdielu od klasického.
Pre častice kvantového sveta platia iné zákony ako pre objekty klasickej mechaniky. Podľa de Broglieho predpokladu majú mikroobjekty vlastnosti častíc aj vĺn – a skutočne, keď sa elektrónový lúč rozptýli v diere, pozoruje sa difrakcia, ktorá je charakteristická pre vlny.
Preto nemôžeme hovoriť o pohybe kvantových častíc, ale o pravdepodobnosti, že častica bude v určitom bode v určitom časovom bode.
Čo popisuje Schrödingerovu rovnicu
Schrödingerova rovnica má opísať vlastnosti pohybu kvantových objektov v poliach vonkajších síl. Častica sa často pohybuje cez silové pole, ktoré nezávisí od času. Pre tento prípad je napísaná stacionárna Schrödingerova rovnica:
V predloženej rovnici sú m a E energia častice v silovom poli a U je energia tohto poľa. 
je Laplaceov operátor. - Planckova konštanta rovná 6,626 10 -34 J s.
(nazýva sa aj amplitúda pravdepodobnosti alebo psi-funkcia) - je to funkcia, ktorá vám umožňuje zistiť, kde vo vesmíre sa náš mikroobjekt s najväčšou pravdepodobnosťou nachádza. Fyzickým významom nie je samotná funkcia, ale jej štvorec. Pravdepodobnosť, že častica je v elementárnom objeme je:
Preto je možné nájsť funkciu v konečnom objeme s pravdepodobnosťou:
Keďže funkcia psi je pravdepodobnosť, nemôže byť ani menšia ako nula, ani väčšia ako jedna. Celková pravdepodobnosť nájdenia častice v nekonečnom objeme je podmienka normalizácie:
Pre funkciu psi funguje princíp superpozície: ak častica alebo systém môže byť v množstve kvantových stavov, potom je pre ňu možný aj stav určený ich súčtom:
Stacionárna Schrödingerova rovnica má veľa riešení, ale pri riešení treba brať do úvahy okrajové podmienky a vyberať len správne riešenia – tie, ktoré majú fyzikálny význam. Takéto riešenia existujú len pre jednotlivé hodnoty energie častice E, ktoré tvoria diskrétne energetické spektrum častice.
Príklady riešenia problémov
PRÍKLAD 1
| Cvičenie | Vlnová funkcia popisuje vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom vodíka: r je vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom, a je prvý Bohrov polomer. Ako ďaleko od jadra je pravdepodobne elektrón? |
| Riešenie | 1) Vyjadrením objemu v zmysle polomeru jadra nájdeme pravdepodobnosť, že elektrón je v určitej vzdialenosti od jadra: 2) Pravdepodobnosť, že elektrón je v elementárnom „kruhu“ dr:
3) Aby sme našli najpravdepodobnejšiu vzdialenosť, zistíme z posledného výrazu: Vyriešením tejto rovnice dostaneme r = a - najpravdepodobnejšia vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom. |
| Odpoveď | r = a – s najväčšou pravdepodobnosťou sa jadro nachádza vo vzdialenosti prvého Bohrovho polomeru od jadra. |
PRÍKLAD 2
| Cvičenie | Nájdite energetické hladiny častice v nekonečne hlbokej potenciálovej studni. |
| Riešenie | Nechajte časticu pohybovať sa pozdĺž osi x. Šírka jamy - l. Spočítame energiu zo spodnej časti studne a opíšeme ju funkciou: Napíšeme jednorozmernú stacionárnu Schrödingerovu rovnicu:
Zvážte okrajové podmienky. Keďže veríme, že častica nemôže preniknúť stenami, potom mimo studne = 0. Na hranici vrtu sa psi-funkcia tiež rovná nule: V studni je potenciálna energia U=0. Potom sa Schrödingerova rovnica napísaná pre studňu zjednoduší:
Vo forme je to DE harmonického oscilátora: |
