Ohýbanie (mechanika). Návrhové schémy pre nosníky

Domov

Dokumentácia

Rovný zákrut. Plochý priečny ohyb 1.1. Zostrojenie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky 1.2. Zostrojenie diagramov Q a M podľa rovníc 1.3. Konštrukcia diagramov Q a M na charakteristických rezoch (bodoch) 1.4. Výpočty pevnosti pri priamom ohybe nosníkov 1.5. Hlavné ohybové napätia. Úplná kontrola pevnosti nosníkov 1.6. Koncepcia stredu ohybu 1.7. Stanovenie posunov v nosníkoch pri ohýbaní. Pojmy deformácie nosníkov a podmienky ich tuhosti 1.8. Diferenciálna rovnica ohnutej osi nosníka 1.9. Metóda priamej integrácie 1.10. Príklady určenia posunov v nosníkoch priamou integráciou 1.11. Fyzikálny význam integračných konštánt 1.12. Metóda počiatočných parametrov (univerzálna rovnica ohybovej osi nosníka) 1.13. Príklady určenia posunov v nosníku metódou počiatočných parametrov 1.14. Stanovenie pohybov Mohrovou metódou. A.K. pravidlo Vereščagin 1.15. Výpočet Mohrovho integrálu podľa A.K. Vereščagin 1.16. Príklady určenia posunov pomocou Mohrovho integrálu Literatúra 4 1. Priamy ohyb. Plochý priečny ohyb. 1.1. Vykresľovanie diagramov súčiniteľov vnútornej sily pre nosníky Priamy ohyb je typ deformácie, pri ktorej v priereze tyče vznikajú dva súčiniteľa vnútornej sily: ohybový moment a priečna sila. V konkrétnom prípade sa priečna sila môže rovnať nule, potom sa ohyb nazýva čistý. Pri plochom priečnom ohybe sú všetky sily umiestnené v jednej z hlavných rovín zotrvačnosti tyče a sú kolmé na jej pozdĺžnu os, momenty sú umiestnené v rovnakej rovine (obr. 1.1, a, b). Ryža. 1.1 Priečna sila v ľubovoľnom priereze nosníka sa numericky rovná algebraickému súčtu priemetov na kolmicu na os nosníka všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného úseku. Priečna sila v reze m-n nosníka (obr. 1.2, a) sa považuje za pozitívnu, ak výslednica vonkajších síl naľavo od rezu smeruje nahor a doprava - dole a negatívna - v opačnom prípade (obr. 1.2, b). Ryža. 1.2 Pri výpočte priečnej sily v danom reze sa vonkajšie sily ležiace naľavo od rezu berú so znamienkom plus, ak smerujú nahor, a so znamienkom mínus, ak sú nadol. Pre pravú stranu lúča - naopak. 5 Ohybový moment v ľubovoľnom priereze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov okolo stredovej osi z prierezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného prierezu. Ohybový moment v úseku m-n nosníka (obr. 1.3, a) sa považuje za pozitívny, ak výsledný moment vonkajších síl smeruje v smere hodinových ručičiek z úseku doľava od úseku a proti smeru hodinových ručičiek doprava a negatívny - v opačný prípad (obr. 1.3, b). Ryža. 1.3 Pri výpočte ohybového momentu v danom reze sa momenty vonkajších síl ležiacich vľavo od rezu považujú za kladné, ak smerujú v smere hodinových ručičiek. Pre pravú stranu lúča - naopak. Znak ohybového momentu je vhodné určiť podľa charakteru deformácie nosníka. Ohybový moment sa považuje za pozitívny, ak sa v uvažovanom úseku odrezaná časť nosníka ohne konvexnosťou smerom nadol, t.j. spodné vlákna sú natiahnuté. V opačnom prípade je ohybový moment v reze záporný. Medzi ohybovým momentom M, priečnou silou Q a intenzitou zaťaženia q sú rozdielne závislosti. 1. Prvá derivácia priečnej sily pozdĺž úsečky rezu sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. . (1.1) 2. Prvá derivácia ohybového momentu pozdĺž úsečky úseku sa rovná priečnej sile, t.j. (1.2) 3. Druhá derivácia úsečky úseku sa rovná intenzite rozloženého zaťaženia, t.j. (1.3) Rozložené zaťaženie smerujúce nahor považujeme za pozitívne. Z diferenciálnych závislostí medzi M, Q, q vyplýva množstvo dôležitých záverov: 1. Ak na priereze nosníka: a) je priečna sila kladná, potom sa ohybový moment zvyšuje; b) priečna sila je záporná, potom ohybový moment klesá; c) priečna sila je nulová, potom má ohybový moment konštantnú hodnotu (čistý ohyb); 6 d) priečna sila prechádza nulou, mení sa znamienko z plus na mínus, max M M, inak M Mmin. 2. Ak na časti nosníka nie je žiadne rozložené zaťaženie, potom je priečna sila konštantná a ohybový moment sa mení lineárne. 3. Ak je na priereze nosníka rovnomerne rozložené zaťaženie, potom sa priečna sila mení podľa lineárneho zákona a ohybový moment - podľa zákona štvorcovej paraboly, konvexne prevrátený smerom k zaťaženiu (v prípade vykresľovania M zo strany napnutých vlákien). 4. V reze pod sústredenou silou má diagram Q skok (o veľkosti sily), diagram M má zlom v smere sily. 5. V úseku, kde sa uplatňuje sústredený moment, má diagram M skok rovný hodnote tohto momentu. Toto sa neodráža v grafe Q. Pri komplexnom zaťažení vykresľujú nosníky priečne sily Q a ohybové momenty M. Graf Q(M) je graf znázorňujúci zákon zmeny priečnej sily (ohybového momentu) po dĺžke lúča. Na základe analýzy diagramov M a Q sa stanovia nebezpečné úseky lúča. Kladné súradnice Q diagramu sú vynesené smerom nahor a záporné súradnice sú vynášané smerom nadol od základnej čiary vedenej rovnobežne s pozdĺžnou osou lúča. Kladné súradnice diagramu M sú položené a záporné súradnice sú vynesené smerom nahor, t.j. diagram M je zostavený zo strany natiahnutých vlákien. Konštrukcia diagramov Q a M pre nosníky by mala začať definíciou reakcií podpory. Pre nosník s jedným pevným koncom a druhým voľným koncom je možné začať vykresľovanie Q a M od voľného konca bez definovania reakcií v ukotvení. 1.2. Konštrukcia diagramov Q a M podľa Balkových rovníc je rozdelená do sekcií, v rámci ktorých funkcie pre ohybový moment a šmykovú silu zostávajú konštantné (nemajú nespojitosti). Hranicami rezov sú miesta pôsobenia sústredených síl, dvojice síl a miesta zmeny intenzity rozloženého zaťaženia. Na každom reze sa zoberie ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od začiatku a pre tento rez sa zostavia rovnice pre Q a M. Pomocou týchto rovníc sa zostrojia grafy Q a M. Príklad 1.1 Zostrojte grafy šmykových síl Q a ohybových momentov M pre daný nosník (obr. 1.4a). Riešenie: 1. Stanovenie reakcií podpier. Zostavíme rovnice rovnováhy: z ktorých získame Reakcie podpier sú definované správne. Nosník má štyri časti Obr. 1.4 zaťaženia: CA, AD, DB, BE. 2. Plot Q. Plot SA. Na rez CA 1 nakreslíme ľubovoľný rez 1-1 vo vzdialenosti x1 od ľavého konca nosníka. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od rezu 1-1: 1 Q 3 0 kN. Znamienko mínus sa používa, pretože sila pôsobiaca naľavo od úseku smeruje nadol. Výraz pre Q nezávisí od premennej x1. Graf Q v tejto časti bude znázornený ako priamka rovnobežná s osou x. Dej AD. Na mieste nakreslíme ľubovoľnú časť 2-2 vo vzdialenosti x2 od ľavého konca lúča. Q2 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich naľavo od rezu 2-2: Hodnota Q je na reze konštantná (nezávisí od premennej x2). Graf Q na pozemku je priamka rovnobežná s osou x. DB stránka. Na mieste nakreslíme ľubovoľnú časť 3-3 vo vzdialenosti x3 od pravého konca lúča. Q3 definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od časti 3-3: . Výsledným výrazom je rovnica naklonenej priamky. Zápletka B.E. Na mieste nakreslíme rez 4-4 vo vzdialenosti x4 od pravého konca lúča. Q definujeme ako algebraický súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich napravo od sekcie 4-4: Tu sa berie znamienko plus, pretože výsledné zaťaženie napravo od sekcie 4-4 smeruje dole. Na základe získaných hodnôt zostavíme diagramy Q (obr. 1.4, b). 3. Pozemok M. Pozemok SA m1. Ohybový moment v sekcii 1-1 definujeme ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od sekcie 1-1. je rovnica priamky. Zápletka. 3Ohybový moment definujeme v časti 2-2 ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich vľavo od časti 2-2. je rovnica priamky. Zápletka. 4Ohybový moment definujeme v časti 3-3 ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich napravo od časti 3-3. je rovnica štvorcovej paraboly. 9 Nájdeme tri hodnoty na koncoch rezu a v bode so súradnicou xk, kde odvtedy máme kNm. Zápletka. 1Ohybový moment definujeme v časti 4-4 ako algebraický súčet momentov síl pôsobiacich napravo od časti 4-4. - rovnicou štvorcovej paraboly nájdeme tri hodnoty M4: Na základe získaných hodnôt zostavíme graf M (obr. 1.4, c). V rezoch CA a AD je pozemok Q ohraničený priamkami rovnobežnými s osou x a v rezoch DB a BE šikmými priamkami. V rezoch C, A a B na diagrame Q sú skoky o veľkosti zodpovedajúcich síl, čo slúži na kontrolu správnosti konštrukcie diagramu Q. V rezoch, kde Q 0, sa momenty zľava zvyšujú. doprava. V úsekoch, kde Q 0, momenty klesajú. Pod sústredenými silami dochádza k zlomom v smere pôsobenia síl. Pod sústredeným momentom je skok o momentovú hodnotu. To naznačuje správnosť vykreslenia M. Príklad 1.2 Zostrojte grafy Q a M pre nosník na dvoch podperách, zaťažený rozloženým zaťažením, ktorého intenzita sa mení lineárne (obr. 1.5, a). Riešenie Stanovenie podporných reakcií. Výslednica rozloženého zaťaženia sa rovná ploche trojuholníka reprezentujúceho diagram zaťaženia a aplikuje sa v ťažisku tohto trojuholníka. Zostavíme súčty momentov všetkých síl vzhľadom na body A a B: Vynesenie Q. Narysujme ľubovoľný rez vo vzdialenosti x od ľavej podpery. Poradnica diagramu zaťaženia zodpovedajúceho rezu sa určí z podobnosti trojuholníkov. Výslednica tej časti zaťaženia, ktorá sa nachádza naľavo od nuly rezu: Graf Q je znázornený na obr. 1,5, b. Ohybový moment v ľubovoľnom reze je rovný Ohybový moment sa mení podľa zákona kubickej paraboly: Maximálna hodnota ohybového momentu je v úseku, kde Q 0, t.j. 1,5, c. 1.3. Konštrukcia diagramov Q a M podľa charakteristických rezov (bodov) Pomocou diferenciálnych vzťahov medzi M, Q, q a záverov z nich vyplývajúcich je vhodné zostaviť diagramy Q a M podľa charakteristických rezov (bez formulovania rovníc). Pomocou tejto metódy sa hodnoty Q a M vypočítajú v charakteristických úsekoch. Charakteristickými rezmi sú hraničné rezy rezov, ako aj rezy, kde má daný súčiniteľ vnútornej sily extrémnu hodnotu. V medziach medzi charakteristickými časťami je obrys 12 diagramu stanovený na základe diferenciálnych závislostí medzi M, Q, q a závermi z nich vyplývajúcimi. Príklad 1.3 Zostrojte diagramy Q a M pre nosník znázornený na obr. 1.6, a. Začneme vykresľovať Q a M diagramy od voľného konca nosníka, pričom reakcie v zapustení možno vynechať. Nosník má tri ložné plochy: AB, BC, CD. V úsekoch AB a BC nie je rozložené zaťaženie. Priečne sily sú konštantné. Graf Q je ohraničený priamkami rovnobežnými s osou x. Ohybové momenty sa menia lineárne. Graf M je obmedzený na priame čiary naklonené k osi x. Na sekcii CD je rovnomerne rozložené zaťaženie. Priečne sily sa menia lineárne a ohybové momenty sa menia podľa zákona štvorcovej paraboly s konvexnosťou v smere rozloženého zaťaženia. Na rozhraní úsekov AB a BC sa priečna sila prudko mení. Na rozhraní úsekov BC a CD sa ohybový moment prudko mení. 1. Vykreslenie Q. Vypočítame hodnoty priečnych síl Q v hraničných rezoch rezov: Na základe výsledkov výpočtov zostavíme diagram Q pre nosník (obr. 1, b). Z diagramu Q vyplýva, že priečna sila v reze CD je rovná nule v reze vzdialenom qa a q  od začiatku tohto rezu. V tomto úseku má ohybový moment maximálnu hodnotu. 2. Zostrojenie diagramu M. Vypočítame hodnoty ohybových momentov v hraničných rezoch rezov: Pri Kx3, maximálny moment na reze Na základe výsledkov výpočtov zostavíme diagram M (obr. 5.6, Obr. c). Príklad 1.4 Podľa daného diagramu ohybových momentov (obr. 1.7, a) pre nosník (obr. 1.7, b) určte pôsobiace zaťaženia a nakreslite Q. Kružnica označuje vrchol štvorcovej paraboly. Riešenie: Určte zaťaženia pôsobiace na nosník. Úsek AC je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením, pretože diagram M v tomto úseku je štvorcová parabola. V referenčnom reze B pôsobí na lúč koncentrovaný moment pôsobiaci v smere hodinových ručičiek, keďže na diagrame M máme skok o veľkosť momentu smerom nahor. V SV reze nosník nie je zaťažený, keďže diagram M je v tomto reze ohraničený naklonenou priamkou. Reakcia podpery B sa určí z podmienky, že ohybový moment v reze C je rovný nule, t.j. na určenie intenzity rozloženého zaťaženia zostavíme výraz pre ohybový moment v reze A ako súčet momentov sily vpravo a rovnajú sa nule.Teraz určíme reakciu podpery A. Na to zostavíme výraz pre ohybové momenty v reze ako súčet momentov síl vľavo odkiaľ je Obr. 1.7 Kontrola Návrhová schéma nosníka so zaťažením je na obr. 1,7, c. Počnúc ľavým koncom nosníka vypočítame hodnoty priečnych síl v hraničných rezoch sekcií: Graf Q je znázornený na obr. 1.7, d. Uvažovaný problém možno vyriešiť zostavením funkčných závislostí pre M, Q v každej sekcii. Zvoľme počiatok súradníc na ľavom konci lúča. Na AC reze je dej M vyjadrený štvorcovou parabolou, ktorej rovnica je tvaru Konštanty a, b, c, z podmienky, že parabola prechádza tromi bodmi so známymi súradnicami, zistíme: Dosadenie súradníc bodov do rovnice paraboly dostaneme: Výraz pre ohybový moment bude Diferenciáciou funkcie M1 získame závislosť pre priečnu silu Po derivácii funkcie Q dostaneme výraz pre intenzitu rozloženého zaťaženia. V reze NE je vyjadrenie pre ohybový moment znázornené ako lineárna funkcia Na určenie konštánt a a b použijeme podmienku, že táto priamka prechádza dvoma bodmi, ktorých súradnice sú známe Získame dve rovnice: z ktorých majú a 10, b  20. Rovnica pre ohybový moment v reze CB bude Po dvojnásobnej diferenciácii M2 zistíme.Na základe zistených hodnôt M a Q zostavíme diagramy ohybu momenty a priečne sily pre nosník. Okrem rozloženého zaťaženia pôsobia na nosník sústredené sily v troch úsekoch, kde sú skoky na Q diagrame a sústredené momenty v úseku, kde je skok na M diagrame. Príklad 1.5 Pre nosník (obr. 1.8, a) určte racionálnu polohu závesu C, pri ktorej sa najväčší ohybový moment v rozpätí rovná ohybovému momentu vo vložke (v absolútnej hodnote). Zostavte diagramy Q a M. Riešenie Stanovenie reakcií podpier. Napriek tomu, že celkový počet podperných článkov je štyri, nosník je staticky určitý. Ohybový moment v závese C je rovný nule, čo nám umožňuje urobiť dodatočnú rovnicu: súčet momentov ohybu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu tohto závesu je rovný nule. Zostavte súčet momentov všetkých síl napravo od závesu C. Diagram Q pre nosník je ohraničený naklonenou priamkou, keďže q = konšt. Hodnoty priečnych síl v hraničných rezoch nosníka určíme: Úsečka xK rezu, kde Q = 0, je určená z rovnice, odkiaľ je graf M pre nosník ohraničený štvorcovou parabolou. Vyjadrenia pre ohybové momenty v rezoch, kde Q = 0, a vo vložke sú zapísané takto: Z podmienky rovnosti momentov dostaneme kvadratickú rovnicu vzhľadom na požadovaný parameter x: Reálna hodnota. Určujeme číselné hodnoty priečnych síl a ohybových momentov v charakteristických úsekoch nosníka. 1.8, c - graf M. Uvažovaný problém by sa dal vyriešiť rozdelením kĺbového nosníka na jeho základné prvky, ako je znázornené na obr. 1.8, d) Na začiatku sa stanovia reakcie podpier VC a VB. Pozemky Q a M sú konštruované pre závesný nosník SV z pôsobenia zaťaženia, ktoré naň pôsobí. Potom sa presunú k hlavnému nosníku AC a zaťažia ho dodatočnou silou VC, čo je prítlačná sila nosníka CB na nosník AC. Potom sa pre AC lúč zostavia diagramy Q a M. 1.4. Pevnostné výpočty pre priamy ohyb nosníkov Pevnostný výpočet pre normálové a šmykové napätia. Pri priamom ohybe nosníka vznikajú v jeho prierezoch normálové a šmykové napätia (obr. 1.9). Normálové napätia súvisia s ohybovým momentom, šmykové napätia súvisia so šmykovou silou. Pri priamom čistom ohybe sú šmykové napätia rovné nule. Normálové napätia v ľubovoľnom bode prierezu nosníka sú určené vzorcom (1.4) kde M je ohybový moment v danom priereze; Iz je moment zotrvačnosti prierezu vzhľadom na neutrálnu os z; y je vzdialenosť od bodu, kde je určené normálové napätie, k neutrálnej osi z. Normálové napätia po výške prierezu sa lineárne menia a najväčšiu hodnotu dosahujú v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi Ak je prierez symetrický podľa neutrálnej osi (obr. 1.11), potom 1.11 najväčšie ťahové a tlakové napätia sú rovnaké a sú určené vzorcom - modul osového prierezu v ohybe. Pre pravouhlý prierez so šírkou b a výškou h: (1.7) Pre kruhový prierez s priemerom d: (1.8) Pre kruhový prierez (1.9), kde d0 a d sú vnútorný a vonkajší priemer krúžku. Pre nosníky z plastových materiálov sú najracionálnejšie symetrické 20 profilové tvary (I-nosník, krabicový, prstencový). Pre nosníky vyrobené z krehkých materiálov, ktoré rovnako neodolajú ťahu a tlaku, sú racionálne úseky, ktoré sú asymetrické okolo neutrálnej osi z (ta-br., tvar U, asymetrický nosník I). Pre nosníky konštantného prierezu vyrobené z plastov so symetrickým tvarom prierezu sa podmienka pevnosti zapíše takto: (1.10) kde Mmax je maximálny ohybový moment modulo; - dovolené napätie pre materiál. Pre nosníky konštantného prierezu vyrobené z tvárnych materiálov s asymetrickými tvarmi prierezu sa podmienka pevnosti píše nasledovne: yP,max, yC,max sú vzdialenosti od neutrálnej osi k najvzdialenejším bodom natiahnutých a stlačených oblastí nebezpečný úsek, resp. - prípustné napätia v ťahu a tlaku. Obr.1.12. 21 Ak má diagram ohybového momentu úseky s rôznymi znamienkami (obr. 1.13), potom okrem kontroly úseku 1-1, kde pôsobí Mmax, je potrebné vypočítať maximálne ťahové napätia pre úsek 2-2 (s najväčší moment opačného znamienka). Ryža. 1.13 Spolu so základným výpočtom pre normálové napätia je v niektorých prípadoch potrebné skontrolovať pevnosť nosníka na šmykové napätia. Šmykové napätia v nosníkoch sa vypočítajú podľa vzorca D. I. Zhuravského (1.13) kde Q je priečna sila v uvažovanom priereze nosníka; Szots je statický moment okolo neutrálnej osi oblasti časti úseku umiestnenej na jednej strane priamky vedenej cez daný bod a rovnobežnej s osou z; b je šírka rezu na úrovni uvažovaného bodu; Iz je moment zotrvačnosti celého úseku okolo neutrálnej osi z. V mnohých prípadoch sa maximálne šmykové napätia vyskytujú na úrovni neutrálnej vrstvy nosníka (obdĺžnik, I-nosník, kruh). V takýchto prípadoch sa podmienka pevnosti pre šmykové napätia zapíše ako (1.14) kde Qmax je priečna sila s najvyšším modulom; - prípustné šmykové napätie pre materiál. Pre pravouhlý prierez lúča má podmienka pevnosti tvar 22 (1,15) A - plocha prierezu lúča. Pre kruhový prierez je podmienka pevnosti znázornená ako (1.16) Pre I-prierez je podmienka pevnosti zapísaná takto: (1.17) d je hrúbka steny I-nosníka. Zvyčajne sa rozmery prierezu nosníka určujú z podmienky pevnosti pre normálne napätia. Kontrola pevnosti nosníkov na šmykové napätia je povinná pre krátke nosníky a nosníky akejkoľvek dĺžky, ak sú v blízkosti podpier veľké sústredené sily, ako aj pre drevené, nitované a zvárané nosníky. Príklad 1.6 Skontrolujte pevnosť nosníka so skriňovým prierezom (obr. 1.14) na normálové a šmykové napätie, ak je 0 MPa. Vytvorte diagramy v nebezpečnej časti lúča. Ryža. 1.14 Rozhodnutie 23 1. Zostrojte grafy Q a M z charakteristických rezov. Ak vezmeme do úvahy ľavú stranu nosníka, získame Diagram priečnych síl je znázornený na obr. 1,14, c. . Graf ohybových momentov je znázornený na obr. 5.14, g 2. Geometrické charakteristiky prierezu 3. Najvyššie normálové napätia v reze C, kde pôsobí Mmax (modulo): Maximálne normálové napätia v nosníku sú takmer rovnaké ako dovolené. 4. Najväčšie tangenciálne napätia v reze C (alebo A), kde pôsobí - statický moment plochy polovičného prierezu vzhľadom na neutrálnu os; b2 cm je šírka rezu na úrovni neutrálnej osi. 5. Tangenciálne napätia v bode (v stene) v sekcii C: Tu je statický moment oblasti časti sekcie umiestnenej nad čiarou prechádzajúcou bodom K1; b2 cm je hrúbka steny v úrovni bodu K1. Schémy rezu C nosníka sú znázornené na obr. 1.15. Príklad 1.7 Pre nosník znázornený na obr. 1.16, a, je potrebné: 1. Zostrojiť diagramy priečnych síl a ohybových momentov pozdĺž charakteristických rezov (bodov). 2. Určte rozmery prierezu v tvare kruhu, obdĺžnika a I-nosníka z podmienky pevnosti pre normálové napätia, porovnajte plochy prierezov. 3. Skontrolujte zvolené rozmery sekcií nosníka na šmykové napätia. Riešenie: 1. Určte reakcie podpier nosníkov, odkiaľ Skontrolujte: 2. Nakreslite diagramy Q a M. Preto je v týchto častiach diagram Q obmedzený na priame čiary naklonené k osi. V sekcii DB je intenzita rozloženého zaťaženia q \u003d 0, preto je v tejto sekcii diagram Q obmedzený na priamku rovnobežnú s osou x. Diagram Q pre nosník je znázornený na obr. 1.16b. Hodnoty ohybových momentov v charakteristických rezoch nosníka: V druhej časti určíme úsečku x2 rezu, v ktorej Q = 0: Maximálny moment v druhom reze Diagram M pre nosník je znázornený na obr. . 1,16, c. 2. Pevnostnú podmienku pre normálové napätia zostavíme, z ktorej určíme požadovaný modul osového prierezu z vyjadrenia určeného požadovaného priemeru d kruhového nosníka Plocha kruhového prierezu Pre obdĺžnikový nosník Požadovaná výška prierezu Plocha obdĺžnikového prierezu. Podľa tabuliek GOST 8239-89 nájdeme najbližšiu väčšiu hodnotu axiálneho momentu odporu, ktorá zodpovedá I-nosníku č. 33 s nasledujúcimi charakteristikami: Kontrola tolerancie: (podťaženie o 1% z prípustných 5 %) najbližší I-nosník č. 30 (W  472 cm3) vedie k výraznému preťaženiu (viac ako 5 %). Nakoniec akceptujeme I-nosník č.33. Plochy kruhových a pravouhlých rezov porovnávame s najmenšou plochou A I-nosníka: Z troch uvažovaných rezov je I-prierez najekonomickejší. 3. Vypočítame najväčšie normálové napätia v nebezpečnom úseku 27 I-nosníka (obr. 1.17, a): Normálové napätia v stene v blízkosti pásnice I-profilu. 1.17b. 5. Pre vybrané úseky nosníka určíme najväčšie šmykové napätia. a) pravouhlý rez nosníka: b) kruhový rez nosníka: c) I-rez nosníka: Šmykové napätia v stene v blízkosti pásnice I nosníka v nebezpečnom reze A (vpravo) (pri. bod 2): Diagram šmykových napätí v nebezpečných úsekoch I-nosníka je na obr. 1,17 palcov Maximálne šmykové napätia v nosníku nepresahujú prípustné napätia. Príklad 1.8 Určte prípustné zaťaženie nosníka (obr. 1.18, a), ak sú uvedené rozmery prierezu (obr. 1.19, a). Zostrojte diagram normálových napätí v nebezpečnom úseku nosníka pri prípustnom zaťažení. Obr. 1.18 1. Stanovenie reakcií podpier nosníkov. Vďaka symetrii systému VVB A8qa . 29 2. Konštrukcia diagramov Q a M podľa charakteristických rezov. Šmykové sily v charakteristických rezoch nosníka: Diagram Q pre nosník je znázornený na obr. 5.18b. Ohybové momenty v charakteristických rezoch nosníka Pre druhú polovicu nosníka sú ordináty M pozdĺž osí symetrie. Schéma M pre nosník je znázornená na obr. 1.18b. 3. Geometrické charakteristiky rezu (obr. 1.19). Obrázok rozdelíme na dva jednoduché prvky: I-nosník - 1 a obdĺžnik - 2. Obr. 1.19 Podľa sortimentu pre I-nosník č.20 máme Pre obdĺžnik: Statický moment prierezovej plochy vzhľadom na os z1 Vzdialenosť od osi z1 k ťažisku rezu Moment zotrvačnosti rezu vz. na hlavnú stredovú os z celého úseku podľa vzorcov pre prechod na rovnobežné osi nebezpečný bod "a" (obr. 1.19) v nebezpečnom úseku I (obr. 1.18): Po dosadení číselných údajov 5. Pod príp. zaťaženie q v nebezpečnom úseku, normálové napätia v bodoch "a" a "b" budú rovnaké: Graf normálových napätí pre nebezpečný úsek 1-1 je znázornený na obr. 1.19b. Príklad 1.9 Určte požadované rozmery prierezu liatinového nosníka (obr. 1.20.), pričom ste predtým zvolili racionálne usporiadanie prierezu. Rozhodnite sa 1. Určenie reakcií podpier nosníkov. 2. Konštrukcia parciel Q a M. Parcely sú znázornené na obr. 1,20 palcov, g. Najväčší (modulo) ohybový moment vzniká v úseku "b". V tejto časti sú natiahnuté vlákna umiestnené v hornej časti. Väčšina materiálu by mala byť v strečovej zóne. Preto je racionálne usporiadať časť lúča, ako je znázornené na obr. 1,20, b. 3. Určenie polohy ťažiska úseku (analogicky s predchádzajúcim príkladom): 4. Určenie momentu zotrvačnosti úseku vzhľadom na neutrálnu os: 5. Určenie požadovaných rozmerov nosníka rez z pevnostného stavu pre normálové napätia. Označme y vzdialenosti od neutrálnej osi k najvzdialenejším bodom v zónach napätia a tlaku (pre sekciu B): , potom sú body natiahnutej zóny, ktoré sú najvzdialenejšie od neutrálnej osi, nebezpečné. Pevnostnú podmienku pre bod m v sekcii B zostavíme: alebo po dosadení číselných hodnôt V tomto prípade budú napätia v bode n, najvzdialenejšom od neutrálnej osi v stlačenej zóne (v sekcii B), MPa . Zápletka M je nejednoznačná. Je potrebné skontrolovať pevnosť nosníka v sekcii C. Tu je moment B, ale spodné vlákna sú natiahnuté. Bod n bude nebezpečný bod: V tomto prípade budú napätia v bode m Nakoniec prevzaté z výpočtov Diagram normálových napätí pre nebezpečný úsek C je znázornený na obr. 1.21. Ryža. 1,21 1,5. Hlavné ohybové napätia. Kompletné overenie pevnosti nosníkov Vyššie sú uvažované príklady výpočtu nosníkov na pevnosť podľa normálového a šmykového napätia. Vo veľkej väčšine prípadov tento výpočet postačuje. Avšak v tenkostenných nosníkoch z I-nosníka, T-nosníka, kanálových a skriňových profilov vznikajú značné šmykové napätia na styku steny s pásnicou. K tomu dochádza v prípadoch, keď na nosník pôsobí značná priečna sila a existujú úseky, v ktorých sú M a Q súčasne veľké. Jedna z týchto sekcií bude nebezpečná a je kontrolovaná 34 hlavnými napätiami pomocou jednej z teórií pevnosti. Kontrola pevnosti nosníkov na normálové, tangenciálne a hlavné napätia sa nazýva úplná kontrola pevnosti nosníkov. Takýto výpočet je diskutovaný nižšie. Hlavným je výpočet nosníka podľa normálových napätí. Pevnostná podmienka pre nosníky, ktorých materiál rovnako odoláva ťahu a tlaku, má tvar [ ]─ prípustné normálové napätie pre materiál. Z pevnostnej podmienky (1) určte požadované rozmery prierezu nosníka. Vybrané rozmery prierezu nosníka sa kontrolujú na šmykové napätia. Pevnostná podmienka pre šmykové napätia má tvar (vzorec D. I. Zhuravského): kde Qmax je maximálna priečna sila prevzatá z Q diagramu; Szots.─ statický moment (vzhľadom na neutrálnu os) odrezanej časti prierezu, ktorý sa nachádza na jednej strane úrovne, pri ktorej sa určujú šmykové napätia; I z ─ moment zotrvačnosti celého prierezu vzhľadom na neutrálnu os; b─ šírka prierezu nosníka na úrovni, kde sa určujú šmykové napätia; ─ prípustné šmykové napätie materiálu pri ohýbaní. Normálny záťažový test sa vzťahuje na bod najvzdialenejší od neutrálnej osi v úseku, kde platí Mmax. Skúška pevnosti v šmyku sa vzťahuje na bod umiestnený na neutrálnej osi v úseku, kde platí Qmax. V nosníkoch s tenkostenným prierezom (nosník I atď.) môže byť bod nachádzajúci sa v stene v sekcii, kde sú obe veľké M a Q veľké. V tomto prípade sa skúška pevnosti vykonáva podľa hlavných napätí. Hlavné a extrémne šmykové napätia sú určené analytickými závislosťami získanými z teórie rovinných napätí telies: Napríklad podľa tretej teórie najväčších šmykových napätí máme Po dosadení hodnôt hlavných napätí nakoniec získame (1.23) Podľa štvrtej energetickej teórie pevnosti má podmienka pevnosti tvar (1.24 ) Zo vzorcov (1.6) a (1.7) je vidieť, že návrhové napätie Eqv závisí od. Preto prvok materiálu nosníka podlieha overeniu, pre ktoré budú súčasne veľké. Toto sa vykonáva v týchto prípadoch: 1) ohybový moment a priečna sila dosiahnu svoju maximálnu hodnotu v rovnakom úseku; 2) šírka lúča sa dramaticky mení v blízkosti okrajov sekcie (I-lúč atď.). Ak tieto podmienky nesplnia, potom je potrebné uvažovať s niekoľkými prierezmi, v ktorých je najvyššia rov. Príklad 1.10 Zvarený nosník prierezu I-nosníka s rozpätím l = 5 m, na koncoch voľne podopretý, je zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením intenzity q a sústredenou silou P 5qa, pôsobiacou vo vzdialenosti a = 1 m od pravej podpery (obr. 1,22). Určte dovolené zaťaženie nosníka z pevnostnej podmienky pre normálové napätia a skontrolujte tangenciálne a hlavné napätia podľa 36 4. (energetickej) teórie pevnosti. Zostrojte diagramy v nebezpečnom úseku podľa hlavných napätí a preskúmajte stav napätia prvku vybraného v stene v blízkosti príruby v špecifikovanom úseku. Dovolené napätie v ťahu a tlaku: pri ohybe 160 MPa; a pre posun 100 MPa. Ryža. 1.22 Riešenie 1. Stanovenie reakcií podpier nosníka: 2. Zostrojenie diagramov M a Q podľa charakteristických rezov (bodov): 3. Výpočet geometrických charakteristík rezu nosníka. a) Osový moment zotrvačnosti prierezu voči neutrálnej osi z: 37 b) Osový moment odporu voči neutrálnej osi z: 4. Určenie prípustného zaťaženia nosníka z pevnostnej podmienky pre normálové napätia: Dovolené zaťaženie na nosníku 5. Kontrola pevnosti nosníka na šmykové napätia podľa vzorca D.I.Zhuravsky Statický moment polovičného prierezu I nosníka vzhľadom na neutrálnu os z: Šírka rezu na úrovni bodu 3: Maximálna priečna sila Maximálne šmykové napätia v nosníku 6. Kontrola pevnosti nosníka podľa hlavných napätí. Nebezpečný z hľadiska hlavných napätí je úsek D, v ktorom sú M aj Q veľké a nebezpečnými miestami v tomto úseku sú body 2 a 4, kde  aj  sú veľké (obr. 1.23). Pre body 2 a 4 skontrolujeme pevnosť pre hlavné napätia pomocou 4. teórie pevnosti, kde  (2) a (2) sú normálové a šmykové napätia v bode 2 (4) (obr. 1.2). Ryža. 1.23 vzdialenosť od neutrálnej osi k bodu 2. kde Sz po (lk ─) je statický moment police vzhľadom na neutrálnu os z. cm ─ šírka rezu pozdĺž čiary prechádzajúcej bodom 3. Ekvivalentné napätia podľa 4. teórie pevnosti v bode 2. rezu D: Podmienka pevnosti podľa 4. teórie pevnosti je splnená. 7. Zostrojenie diagramov normálových, tangenciálnych, hlavných a extrémnych šmykových napätí v nebezpečnom úseku D (na základe hlavných napätí). a) vypočítame napätia v bodoch (1-5) úseku D podľa zodpovedajúcich vzorcov. Bod 2 (v stene) Predtým boli vypočítané hodnoty normálového a šmykového napätia v bode 2. Hlavné a extrémne šmykové napätie nájdeme v rovnakom bode 2: Bod 3. Normálne a šmykové napätie v bode 3: hlavné a krajné šmykové napätia v bode 3: Podobne sú napätia v bodoch 4 a 5. Na základe získaných údajov zostavíme diagramy, max. 8. Stav napätia prvku zvoleného v blízkosti bodu 2 v reze D je znázornený na obr. 1.24, uhol sklonu hlavných nástupíšť 1.6. Koncepcia stredu ohybu Ako bolo uvedené vyššie, šmykové napätia v prierezoch tenkostenných tyčí počas ohýbania (napríklad I-nosník alebo kanál) sú určené vzorcom na obr. 194 sú znázornené diagramy šmykových napätí v I-profile. Pomocou techniky opísanej v odseku 63 môžete vykresliť 41 aj pre kanál. Zvážte prípad, keď je kanál zapustený do steny a na druhom konci je zaťažený silou P pôsobiacou na ťažisko úseku. Ryža. 1.25 Celkový pohľad na diagram τ v ľubovoľnom reze je znázornený na obr. 1.25 hod. Vo zvislej stene sa objavujú šmykové napätia τу. V dôsledku pôsobenia napätí τу vzniká celková šmyková sila T2 (obr. 1.25, b). Ak zanedbáme tangenciálne napätia τу v poličkách, potom môžeme zapísať približnú rovnosť.Vo vodorovných poliach vznikajú šmykové napätia τx, ktoré smerujú vodorovne. Najväčšie šmykové napätie v prírube τx max je Tu S1OTS je statický moment oblasti príruby vzhľadom na os Ox: Celková šmyková sila v prírube je teda určená ako plocha diagramu šmykového napätia vynásobená hrúbka príruby.Na spodnú prírubu pôsobí presne taká istá šmyková sila ako na vrchnú, ale smeruje opačným smerom. Dve sily T1 tvoria s momentom dvojicu (1.25) V dôsledku šmykových napätí τу a τх teda vznikajú tri vnútorné šmykové sily, ktoré sú znázornené na obr. 1,25 b. Z tohto obrázku je možné vidieť, že sily T1 a T2 majú tendenciu otáčať sekciu kanála vzhľadom na ťažisko v rovnakom smere. Ryža. 1.25 Následne je v sekcii kanála vnútorný krútiaci moment smerovaný v smere hodinových ručičiek. Takže, keď je kanálový lúč ohnutý silou pôsobiacou v ťažisku sekcie, lúč sa súčasne krúti. Tri tangenciálne sily je možné zredukovať na hlavný vektor a hlavný moment. Veľkosť hlavného momentu závisí od polohy bodu, do ktorého sú sily privedené. Ukazuje sa, že je možné zvoliť bod A, vzhľadom na ktorý je hlavný moment rovný nule. Tento bod sa nazýva stred ohybu. Prirovnanie momentu tangenciálnych síl k nule: dostaneme Ak vezmeme do úvahy výraz (1.25), nakoniec zistíme vzdialenosť od osi zvislej steny k stredu ohybu: Ak vonkajšia sila pôsobí nie v ťažisku úseku, ale v strede ohybu, potom vytvorí rovnaký moment vzhľadom na ťažisko ako vnútorné tangenciálne sily, ale len s opačným znamienkom. Pri takomto zaťažení (obr. 1.25, c) sa kanál neskrúti, ale iba sa ohne. Preto sa bod A nazýva stred ohybu. Podrobná prezentácia výpočtu tenkostenných tyčí je uvedená v kap. XIII. 1.7. Stanovenie posunov v nosníkoch pri ohýbaní. Pojmy deformácie nosníkov a podmienky ich tuhosti Pôsobením vonkajšieho zaťaženia sa nosník deformuje a jeho os sa ohýba. Krivka, do ktorej sa os nosníka po pôsobení zaťaženia stočí, sa nazýva pružná čiara za predpokladu, že napätia nosníka nepresiahnu hranicu úmernosti. V závislosti od smeru zaťaženia, umiestnenia diagramov môže mať elastická čiara vydutie smerom nahor (obr. 1.26, a), smerom nadol (obr. 1.26, b) alebo agregát (obr. 1.26, c). V tomto prípade sa ťažiská prierezov pohybujú buď nahor alebo nadol a samotné sekcie sa otáčajú vzhľadom na neutrálnu os, pričom zostávajú kolmé na zakrivenú os lúča (obr. 1.26, a). Presne povedané, ťažiská prierezov sa tiež pohybujú v smere pozdĺžnej osi nosníka. Vzhľadom na malú veľkosť týchto posunov pre nosníky sú však zanedbané, t. j. uvažujú, že ťažisko úseku sa pohybuje kolmo na os nosníka. Označme tento posun cez y a v budúcnosti ho budeme chápať ako vychýlenie lúča (pozri obr. 1.26). Vychýlenie nosníka v danom úseku je posunutie ťažiska úseku v smere kolmom na os nosníka. Ryža. 1.26 Priehyby v rôznych úsekoch nosníka závisia od polohy úsekov a sú premennou hodnotou. Takže pre nosník (obr. 1.26, a) v bode B bude mať priehyb maximálnu hodnotu a v bode D bude nula. Ako už bolo uvedené, spolu s posunom ťažiska sekcie sa sekcie otáčajú vzhľadom na neutrálnu os sekcie. Uhol, o ktorý je časť otočená vzhľadom na svoju pôvodnú polohu, sa nazýva uhol natočenia časti. Označíme uhol natočenia cez (obr. 1.26, a). Pretože pri ohýbaní lúča zostáva prierez vždy kolmý na jeho ohnutú os, uhol natočenia možno znázorniť ako uhol medzi dotyčnicou k ohnutej osi v danom bode a pôvodnou osou lúča (obr. 1.26, a) alebo kolmo na pôvodnú a ohnutú os lúča v predmetnom bode. Uhol natočenia sekcie pre nosníky je tiež premenlivý. Napríklad pre nosník (obr. 1.26, b) má maximálnu hodnotu v kĺbových podperách a minimálnu hodnotu 0 pre úsek, v ktorom má priehyb maximálnu hodnotu. Pre konzolový nosník (obr. 1.26, a) bude maximálny uhol natočenia na jeho voľnom konci, to znamená v bode B. Na zabezpečenie normálnej prevádzky nosníkov nestačí, aby spĺňali podmienku pevnosti. Je tiež potrebné, aby nosníky mali dostatočnú tuhosť, to znamená, aby maximálny priehyb a uhol natočenia neprekročili prípustné hodnoty určené prevádzkovými podmienkami nosníkov. Táto poloha sa nazýva stav tuhosti nosníkov v ohybe. V krátkej matematickej forme majú podmienky tuhosti tvar: kde [y] a podľa toho prípustné vychýlenie a uhol natočenia. 45 Prípustný priehyb sa zvyčajne udáva ako časť vzdialenosti medzi podperami nosníka (dĺžka rozpätia l), teda kde m je koeficient v závislosti od hodnoty a prevádzkových podmienok systému, v ktorom sa tento nosník používa. V každom odvetví strojárstva je táto hodnota určená konštrukčnými normami a mení sa v širokom rozsahu. Takto: - pre žeriavové nosníky m = 400 - 700; - pre železničné mosty m = 1000; - pre vretená sústruhu m= 1000-2000. Prípustné uhly natočenia nosníkov zvyčajne nepresahujú 0,001 rad. Ľavá strana rovníc (1.26) obsahuje maximálnu výchylku ymax a uhol natočenia max, ktoré sú určené výpočtom na základe známych metód: analytických, grafických a grafických, z ktorých niektoré sú popísané nižšie. 1.8. Diferenciálna rovnica ohnutej osi nosníka Pôsobením vonkajších síl sa os nosníka ohne (pozri obr. 1.26, a). Potom možno rovnicu ohnutej osi lúča zapísať v tvare a uhol natočenia  pre ľubovoľný úsek sa bude rovnať uhlu sklonu dotyčnice k osi ohnutého bodu v danom bode. Dotyčnica tohto uhla sa číselne rovná derivácii výchylky pozdĺž úsečky aktuálneho úseku x, t.j. keďže výchylky lúča sú malé v porovnaní s jeho dĺžkou l (pozri vyššie), možno predpokladať, že uhol rotácia (1.27) Pri odvodení vzorca pre normálové napätia v ohybe sa zistilo, že medzi zakrivením neutrálnej vrstvy a ohybovým momentom existuje nasledujúci vzťah: Tento vzorec ukazuje, že zakrivenie sa mení po dĺžke nosníka podľa ten istý zákon, ktorý mení hodnotu Mz. Ak lúč konštantného prierezu zažije čistý ohyb (obr. 5.27), pri ktorom sa moment po dĺžke nemení, jeho zakrivenie: Preto je pre takýto lúč aj polomer krivosti konštantnou hodnotou a lúč v tomto puzdro sa ohne pozdĺž oblúka kruhu. Vo všeobecnom prípade však nie je možné priamo aplikovať zákon zmeny zakrivenia na určenie priehybov. Na analytické riešenie úlohy používame výraz zakrivenia známy z matematiky. (1.29) Dosadením (1.28) do (1.29) dostaneme presnú diferenciálnu rovnicu pre ohnutú os nosníka: . (1.30) Rovnica (1.30) je nelineárna a jej integrácia je spojená s veľkými ťažkosťami. Vzhľadom na to, že priehyby a uhly natočenia pre skutočné lúče používané v strojárstve, stavebníctve atď. malé, hodnotu možno zanedbať. Vzhľadom na to, ako aj na skutočnosť, že pre pravý súradnicový systém majú ohybový moment a krivosť rovnaké znamienko (obr. 1.26), potom pre pravý súradnicový systém možno znamienko mínus v rovnici (1.26) vynechať. Potom bude mať približná diferenciálna rovnica tvar 1.9. Metóda priamej integrácie Táto metóda je založená na integrácii rovnice (1.31) a umožňuje získať rovnicu osi pružnosti nosníka v tvare priehybov y f (x) a rovnicu uhlov natočenia Integráciou rovnice (1.31) prvýkrát dostaneme rovnicu uhlov natočenia (1.32), kde C je integračná konštanta . Druhým integrovaním získame rovnicu vychýlenia, kde D je druhá integračná konštanta. Konštanty C a D sú určené z okrajových podmienok podopretia nosníka a okrajových podmienok jeho rezov. Takže pre nosník (obr. 1.26, a), v mieste uloženia (x l) sa priehyb a uhol natočenia úseku rovnajú nule a pre nosník (pozri obr. 1.26, b) priehyb y a priehyb yD 0, pri x .l podopreného nosníka s konzolami (obr. 1.28), keď je počiatok súradníc zarovnaný s koncom ľavej podpery a je zvolený pravý súradnicový systém, okrajové podmienky nadobúdajú tvar Prevzatie do pri zohľadnení okrajových podmienok sú určené integračné konštanty. Po dosadení konštánt integrácie do rovníc uhlov natočenia (1.32) a priehybov (1.33) sa vypočítajú uhly natočenia a priehyby daného úseku. 1.10. Príklady určenia posunov v nosníkoch priamou integráciou Príklad 1.11 Určte maximálny priehyb a uhol natočenia pre konzolový nosník (obr. 1.26, a). Riešenie Počiatok súradníc je zarovnaný s ľavým koncom lúča. Ohybový moment v ľubovoľnom reze vo vzdialenosti x od ľavého konca nosníka sa vypočíta podľa vzorca S prihliadnutím na moment má približná diferenciálna rovnica tvar Po prvýkrát integrujeme, máme (1.34) Integrovanie pre druhýkrát nájdené konštanty integrácie C a D, rovnica uhlov rotácie a výchyliek bude vyzerať takto: Keď (pozri obr. 1.26, a) uhol rotácie a výchylky majú maximálne hodnoty: hodinová ručička. Záporná hodnota y znamená, že ťažisko sekcie sa pohybuje nadol. 1.11. Fyzikálny význam integračných konštánt Ak sa pozrieme na rovnice (1.32), (1.33) a (1.34), (1.35) príkladov uvažovaných vyššie, je ľahké vidieť, že pre x 0 nasledujú. Môžeme teda dospieť k záveru, že integračné konštanty C a D sú súčinom tuhosti nosníka uhlom natočenia 0 a priehybu y0 v počiatku. Závislosti (1.36) a (1.37) platia vždy pre nosníky s jedným zaťaženým úsekom, ak ohybový moment počítame zo síl nachádzajúcich sa medzi úsekom a počiatkom. To isté platí pre nosníky s ľubovoľným počtom zaťažovacích úsekov, ak použijeme špeciálne metódy na integráciu diferenciálnej rovnice ohýbanej osi nosníka, o ktorej bude reč nižšie. 1.12. Metóda počiatočných parametrov (univerzálna rovnica ohýbanej osi nosníka) Pri určovaní priehybov a uhlov natočenia priamou integráciou je potrebné nájsť dve integračné konštanty C a D aj v prípadoch, keď má nosník jeden zaťažovací úsek. V praxi sa používajú nosníky s viacerými ložnými plochami. V týchto prípadoch bude zákon ohybového momentu odlišný v rôznych oblastiach zaťaženia. Potom bude potrebné zostaviť diferenciálnu rovnicu zakrivenej osi pre každý z úsekov lúča a pre každý z nich nájsť ich integračné konštanty C a D. Je zrejmé, že ak má nosník n zaťažovacích úsekov, potom sa počet integračných konštánt bude rovnať dvojnásobku počtu úsekov. Na ich určenie bude potrebné vyriešiť 2 rovnice. Táto úloha je náročná na prácu. Na riešenie problémov, ktoré majú viac ako jednu ložnú plochu, sa rozšírila metóda počiatočných parametrov, ktorá je vývojom metódy priamej integrácie. Ukazuje sa, že dodržaním určitých podmienok, spôsobov zostavovania a integrovania rovníc nad úsekmi je možné znížiť počet integračných konštánt bez ohľadu na počet zaťažovacích úsekov na dve, predstavujúce priehyb a uhol natočenia na reze. pôvodu. Zvážte podstatu tejto metódy na príklade konzolového nosníka (obr. 1.28), zaťaženého ľubovoľným zaťažením, ale vytvárajúceho kladný moment v ľubovoľnom reze nosníka. Nech je daný lúč konštantného prierezu, pričom prierez má os symetrie zhodnú s osou y a celé zaťaženie je umiestnené v jednej rovine prechádzajúcej touto osou. Stanovme si úlohu vytvoriť závislosti, ktoré určujú uhol natočenia a vychýlenie ľubovoľného úseku lúča. Ryža. 1.29 Pri riešení úloh sa dohodneme: 1. Počiatok súradníc bude spojený s ľavým koncom lúča a je spoločný pre všetky rezy. 2. Ohybový moment v ľubovoľnom reze bude vždy vypočítaný pre úsek nosníka umiestnený naľavo od rezu, t.j. medzi počiatkom a rezom. 3. Integrácia diferenciálnej rovnice zakrivenej osi na všetkých segmentoch sa vykoná bez otvárania zátvoriek niektorých výrazov obsahujúcich zátvorky. Napríklad integrácia výrazu v tvare P x(b) sa vykonáva bez otvárania zátvoriek, a to podľa nasledujúceho vzorca: Integrácia podľa tohto vzorca sa od integrácie s predbežným otváraním zátvoriek líši iba hodnotou an ľubovoľná konštanta. 4. Pri zostavovaní výrazu pre ohybový moment v ľubovoľnom reze, spôsobený vonkajším sústredeným momentom M, pripočítame súčiniteľ (x)a0 1. Pri dodržaní týchto pravidiel zostavíme a integrujeme približnú diferenciálnu rovnicu pre každú z piatich sekcií lúča naznačených na obr. 1,28 rímskymi číslicami. Približná diferenciálna rovnica pre tieto úseky má rovnaký tvar: (1.38), ale pre každý úsek má ohybový moment svoj vlastný zákon zmeny. Ohybové momenty pre úseky majú tvar: Dosadením vyjadrení ohybového momentu do rovnice (1.38) pre každý z úsekov po integrácii získame dve rovnice: rovnicu uhlov natočenia a rovnicu priehybov, ktorá bude zahŕňať ich dve integračné konštanty Ci a Di . Vzhľadom na skutočnosť, že lúč má päť sekcií, bude takýchto integračných konštánt desať. Ak však vezmeme do úvahy, že os lúča je súvislá a elastická čiara, potom na hraniciach susedných úsekov majú vychýlenie a uhol natočenia rovnaké hodnoty, t.j. pri atď. porovnaním rovníc uhlov natočenia a priehybov susedných rezov dostaneme, že integračné konštanty Na vyriešenie úlohy je teda potrebné namiesto desiatich integračných konštánt určiť len dve integračné konštanty C a D . Z uvažovania o integrálnych rovniciach prvého oddielu vyplýva, že pre x 0: t.j. predstavujú rovnaké závislosti (1,36) a (1,37). Počiatočné parametre 0 a y0 ® sú určené z okrajových podmienok, ktoré boli diskutované v predchádzajúcej časti. Pri analýze získaných výrazov pre uhly natočenia a výchylky y vidíme, že najvšeobecnejší tvar rovníc zodpovedá piatej časti. Ak vezmeme do úvahy integračné konštanty, tieto rovnice majú tvar: Prvá z týchto rovníc predstavuje rovnicu uhlov rotácie a druhá - výchylky. Keďže na nosník môže pôsobiť viac ako jedna sústredená sila, moment alebo nosník môže mať viac ako jeden úsek s rozloženým zaťažením, potom pre všeobecný prípad rovnice (1.38), (1.39) budú písané v tvare: Rovnice ( 1.41), (1.42) sa nazývajú univerzálne rovnice zakrivená os lúča. Prvá z týchto rovníc je rovnica uhla natočenia a druhá je rovnica vychýlenia. Pomocou týchto rovníc je možné určiť priehyby a uhly natočenia prierezov pre ľubovoľné staticky určité nosníky, pre ktoré je tuhosť po ich dĺžke konštantná EI  konšt. V rovniciach (1.41), (1.42): M , P , q , qx ─ vonkajšie zaťaženie nachádzajúce sa medzi počiatkom súradníc a úsekom, v ktorom sa určujú posuny (uhol natočenia a priehybu); a, b, c, d ─ vzdialenosti od začiatku súradníc k bodom pôsobenia momentu M, sústredenej sily P, začiatku rovnomerne rozloženého zaťaženia a začiatku nerovnomerne rozloženého zaťaženia. Je potrebné dbať na: 53 1. Pri opačnom smere vonkajšieho zaťaženia, ktorý je akceptovaný pri odvodzovaní univerzálnych rovníc, sa znamienko pred príslušným členom rovníc zmení na opačné, teda do mínusu. 2. Posledné dva členy rovníc (1.41), (1.42) platia len vtedy, ak sa rozložené zaťaženie neporuší pred úsekom, v ktorom sa určuje priehyb a uhol natočenia. Ak náklad nedosiahne tento úsek, treba v ňom pokračovať do tohto úseku a súčasne pridať rovnaké rozložené zaťaženie, ale v opačnom znamienku, do predĺženého úseku, táto myšlienka je vysvetlená na obr. 1.30. Bodkovaná čiara znázorňuje pridané rozložené zaťaženie na predĺženej časti. Ryža. 1.30 Pri určovaní uhlov natočenia  a odchýlok y by mal byť počiatok súradníc umiestnený na ľavom konci lúča, pričom os y smeruje nahor a os x ─ doprava. V rovnici uhlov natočenia a vychýlenia sú zahrnuté len tie sily, ktoré sa nachádzajú vľavo od rezu, t.j. na úseku lúča medzi počiatkom a úsekom, v ktorom sa určuje priehyb a uhol natočenia (vrátane síl pôsobiacich v úseku zhodnom s počiatkom). 1.13. Príklady určenia posunov v nosníku metódou počiatočných parametrov Príklad 1.12 Pre nosník (obr. 1.31), zovretý ľavým koncom a zaťažený sústredenou silou P, určte uhol natočenia a priehybu v mieste pôsobenia silu, ako aj voľný koniec (sekcia D). Tuhosť nosníka Obr. 1.31 Riešenie rovnovážnej rovnice statiky: 1) Všimnite si, že jalový moment smeruje proti smeru hodinových ručičiek, bude teda vstupovať do rovnice zakrivenej osi so znamienkom mínus. 2. Spojíme počiatok súradníc s bodom B a nastavíme počiatočné parametre. Pri zovretí ()B absentuje vychýlenie a uhol natočenia, t.j. 0 0. Zapíšeme rovnicu uhlov natočenia a výchyliek pre ľubovoľný úsek druhého úseku, umiestnené vo vzdialenosti x od počiatku súradníc Berúc do úvahy reaktívne sily, ako aj nulové počiatočné parametre, tieto rovnice majú tvar otáčania sa na pravej podpore nosníka zaťaženého v strede rozpätia sústredenou silou ( Obr. 1.32). Riešenie 1. Určte podperné reakcie Z rovníc statiky máme B 2. Počiatok umiestnite na ľavý koniec nosníka (bod B). Ryža. 1.32 3. Nastavte počiatočné parametre. Vychýlenie na začiatku By0, pretože podpera neumožňuje vertikálny pohyb. Treba poznamenať, že ak by podpera bola zaťažená pružinou, potom by sa priehyb na začiatku rovnal ťahu deformácie pružiny. Uhol natočenia v počiatku sa nerovná nule, t.j. 4. Určte uhol natočenia v počiatku 0 . Na to použijeme podmienku, že pri x l sa priehyb rovná nule yD 0: 3 Keďže nosník je symetrický vzhľadom na zaťaženie P, uhol natočenia na pravej podpere sa rovná uhlu natočenia na podpere. ľavá podpora. 2 BD 16z Pl EI. Maximálne vychýlenie bude v strede lúča pri x. Preto Príklad 1.14 Určte priehyb v strede rozpätia a na pravom konci nosníka (obr. 1.33), ak je nosník vyrobený z I-nosníka č.10 (moment zotrvačnosti Iz 198 csmm4), zaťaženého s rozloženým zaťažením q 2, N / m, sústredený moment M sila. P kkNN Obr. 1.33 Riešenie 1 . Určíme podperné reakcie Odkiaľ Kontrola správnosti určenia reakcií 2. Počiatok súradníc spojíme s bodom B a nastavíme počiatočné parametre. Z obr. 1.33 vyplýva, že na začiatku súradníc je výchylka y0 0 a uhol natočenia. 57 3. Určite počiatočné parametre y0 a 0 . Používame na to okrajové podmienky, ktoré pri: Na realizáciu okrajových podmienok zostavíme rovnicu zakrivenej osi. pre dva úseky: úsek BC 0 mm1: Pri písaní tejto rovnice sa počítalo s tým, že rozložené zaťaženie bolo odrezané v bode C, preto sa podľa vyššie uvedeného pokračovalo a zaviedlo sa vyrovnávacie zaťaženie rovnakej veľkosti. v predĺženom úseku, ale v opačnom smere. Pri zohľadnení okrajových podmienok (bod 3) a zaťaženia majú rovnice (1.43) a (1.44) tvar: Zo spoločného riešenia týchto rovníc máme 4. V rezoch K a E určíme priehyb. Pre prierez K pri x 2 mm máme 1,14. Stanovenie pohybov Mohrovou metódou Pravidlo A.K. Vereshchaginova Mohrova metóda je všeobecná metóda na určenie posunov v tyčových lineárne deformovateľných systémoch. Definícia posunov (lineárnych, uhlových) vo vypočítaných úsekoch sa vykonáva podľa Mohrovho vzorca (integrálu), ktorý sa dá ľahko získať na základe vety o reciprocite práce (Bettiho veta) a vety o reciprocite práce. posunutia (Maxwellova veta). Dajme napríklad plochý pružný systém vo forme nosníka (obr. 1.34), zaťaženého plochým vyváženým ľubovoľným zaťažením. Daný stav systému sa bude nazývať nákladný stav a označovať sa písmenom P . Pôsobením vonkajšieho zaťaženia dôjde k deformácii a k posunom najmä v bode K v smere kolmom na os - priehyb cr. Zaveďme nový (pomocný) stav tej istej sústavy, ale zaťaženej v bode K v smere požadovaného posunutia  (cr) jedinou bezrozmernou silou (obr. 1.34). Tento stav systému bude označený písmenom i a bude sa nazývať jeden stav. 59 Obr. 1.34 Na základe Bettiho vety je možná práca síl pí A v náklade a jednostavových síl pi A rovná (1.45) ), (1.47) z (1.45) máme (1.48) kde M p , Qp, Np ─ ohybový moment, priečne a pozdĺžne sily vznikajúce v systéme z vonkajšieho zaťaženia; Mi, Qi, Ni sú ohybový moment, priečne a pozdĺžne sily vznikajúce v systéme od jednotkového zaťaženia pôsobiaceho v smere určeného posunutia; k ─ koeficient zohľadňujúci nerovnomernosť šmykových napätí v priereze; I ─ axiálny moment zotrvačnosti okolo hlavnej stredovej osi; A─ plocha prierezu tyče v reze; 60 E , G ─ moduly pružnosti materiálu. Nerovnomerné rozloženie šmykových napätí v priereze závisí od tvaru prierezu. Pre pravouhlé a trojuholníkové rezy k 1.2, kruhový rez k 1.11, kruhový prstencový rez k 2. Vzorec (1.48) umožňuje určiť posunutie v akomkoľvek bode plochého elastického systému. Pri určovaní priehybu v reze (K) pôsobíme v tomto bode jednotkovou silou (bezrozmernou). V prípade určenia uhla natočenia rezu v bode K je potrebné uplatniť jediný bezrozmerný moment

Proces navrhovania moderných budov a stavieb je regulovaný veľkým množstvom rôznych stavebných predpisov a predpisov. Vo väčšine prípadov normy vyžadujú splnenie určitých charakteristík, ako je deformácia alebo priehyb nosníkov podlahových dosiek pri statickom alebo dynamickom zaťažení. Napríklad SNiP č. 2.09.03-85 definuje vychýlenie nosníka pre podpery a nadjazdy nie viac ako 1/150 dĺžky rozpätia. Pre podkrovné podlahy je toto číslo už 1/200 a pre medzipodlahové nosníky ešte menej - 1/250. Preto je jednou z povinných etáp návrhu výpočet priehybu nosníka.

Spôsoby vykonania výpočtu a testovania priehybu

Dôvod, prečo SNiP stanovujú také drakonické obmedzenia, je jednoduchý a zrejmý. Čím menšia je deformácia, tým väčšia je miera bezpečnosti a pružnosti konštrukcie. Pri priehybe menšom ako 0,5% si nosný prvok, nosník alebo doska stále zachováva elastické vlastnosti, čo zaručuje normálne prerozdelenie síl a zachovanie celistvosti celej konštrukcie. S nárastom priehybu sa rám budovy prehýba, odoláva, ale stojí, pri prekročení hraníc prípustnej hodnoty dochádza k porušeniu väzieb, konštrukcia stráca tuhosť a nosnosť ako lavína.

Použite softvérovú online kalkulačku, v ktorej sú „chránené“ štandardné podmienky a nič viac;
Použite hotové referenčné údaje pre rôzne typy a typy nosníkov, pre rôzne podpery zaťažovacích diagramov. Je potrebné iba správne identifikovať typ a veľkosť lúča a určiť požadovaný priehyb;
Dovolené vychýlenie si vypočítajte rukami a hlavou, robí to väčšina projektantov, pričom kontrola architektonických a stavebných inšpekcií uprednostňuje druhý spôsob výpočtu.

Poznámka! Aby sme skutočne pochopili, prečo je také dôležité poznať veľkosť odchýlky od pôvodnej polohy, stojí za to pochopiť, že meranie veľkosti odchýlky je jediným dostupným a spoľahlivým spôsobom, ako v praxi určiť stav lúča.

Meraním, o koľko sa stropný trám prepadol, je možné s 99% istotou určiť, či je konštrukcia v havarijnom stave alebo nie.

Metóda výpočtu priehybu

Pred výpočtom bude potrebné pripomenúť niektoré závislosti z teórie pevnosti materiálov a zostaviť schému výpočtu. V závislosti od toho, ako správne sa schéma vykoná a zohľadnia sa podmienky zaťaženia, bude závisieť presnosť a správnosť výpočtu.

Používame najjednoduchší model zaťaženého nosníka znázornený na schéme. Najjednoduchšou analógiou pre trám môže byť drevené pravítko, fotografia.

V našom prípade lúč:

Má obdĺžnikový prierez S=b*h, dĺžka opornej časti je L;
Pravítko je zaťažené silou Q prechádzajúcou cez ťažisko roviny ohybu, v dôsledku čoho sa konce otáčajú o malý uhol θ, s vychýlením vzhľadom na počiatočnú horizontálnu polohu. , rovné f;
Konce nosníka sú sklopné a voľne podopreté na pevných podperách, neexistuje žiadna horizontálna zložka reakcie a konce pravítka sa môžu pohybovať v ľubovoľnom smere.

Na určenie deformácie tela pri zaťažení sa používa vzorec modulu pružnosti, ktorý je určený pomerom E \u003d R / Δ, kde E je referenčná hodnota, R je sila, Δ je hodnota deformácia tela.

Vypočítame momenty zotrvačnosti a sily

V našom prípade bude závislosť vyzerať takto: Δ \u003d Q / (S E) . Pre zaťaženie q rozložené pozdĺž nosníka bude vzorec vyzerať takto: Δ \u003d q h / (S E) .

Nasleduje najdôležitejší bod. Vyššie uvedený Youngov diagram ukazuje vychýlenie lúča alebo deformáciu pravítka, ako keby bolo rozdrvené pod silným lisom. V našom prípade je lúč ohnutý, čo znamená, že na koncoch pravítka vzhľadom na ťažisko pôsobia dva ohybové momenty s rôznymi znamienkami. Schéma zaťaženia takéhoto nosníka je uvedená nižšie.

Na prevod Youngovej závislosti pre ohybový moment je potrebné vynásobiť obe strany rovnice ramenom L. Dostaneme Δ*L = Q·L/(b·h·E) .

Ak si predstavíme, že jedna z podpier je pevne pripevnená a na druhú M max \u003d q * L * 2/8 pôsobí ekvivalentný vyvažovací moment síl, veľkosť deformácie lúča bude vyjadrená ako závislosť Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E). Hodnota b·h 2 /6 sa nazýva moment zotrvačnosti a označuje sa W. V dôsledku toho sa získa Δx = M x / (W E), základný vzorec na výpočet lúča na ohyb W = M / E prostredníctvom momentu zotrvačnosti a ohybového momentu.

Na presný výpočet priehybu potrebujete poznať ohybový moment a moment zotrvačnosti. Hodnota prvého sa dá vypočítať, ale špecifický vzorec na výpočet priehybu nosníka bude závisieť od podmienok kontaktu s podperami, na ktorých je nosník umiestnený, a od spôsobu zaťaženia pre rozložené alebo sústredené zaťaženie. . Ohybový moment z rozloženého zaťaženia sa vypočíta podľa vzorca Mmax \u003d q * L 2 / 8. Vyššie uvedené vzorce platia len pre rozložené zaťaženie. Pre prípad, keď je tlak na nosník sústredený v určitom bode a často sa nezhoduje s osou symetrie, musí byť vzorec na výpočet priehybu odvodený pomocou integrálneho počtu.

Moment zotrvačnosti možno považovať za ekvivalent odolnosti nosníka voči ohybovému zaťaženiu. Moment zotrvačnosti pre jednoduchý pravouhlý nosník možno vypočítať pomocou jednoduchého vzorca W=b*h 3 /12, kde b a h sú rozmery prierezu nosníka.

Zo vzorca je zrejmé, že to isté pravítko alebo doska obdĺžnikového prierezu môže mať úplne iný moment zotrvačnosti a priehybu, ak ho položíte na podpery tradičným spôsobom alebo položíte na okraj. Nie bez dôvodu nie sú takmer všetky prvky strešného nosníkového systému vyrobené z tyče 100x150, ale z dosky 50x150.

Reálne časti stavebných konštrukcií môžu mať rôzne profily, od štvorca, kruhu až po zložité tvary I-nosníkov alebo kanálov. Zároveň určiť moment zotrvačnosti a veľkosť výchylky ručne, „na papieri“, sa pre takéto prípady stáva pre neprofesionálneho staviteľa netriviálnou úlohou.

Vzorce na praktické použitie

V praxi sa najčastejšie vyskytuje inverzný problém - určiť hranicu bezpečnosti podláh alebo stien pre konkrétny prípad zo známej hodnoty priehybu. V stavebníctve je veľmi ťažké posúdiť mieru bezpečnosti inými, nedeštruktívnymi metódami. Podľa veľkosti priehybu je často potrebné vykonať výpočet, posúdiť mieru bezpečnosti budovy a celkový stav nosných konštrukcií. Navyše podľa vykonaných meraní sa zisťuje, či je deformácia podľa výpočtu prípustná, alebo je budova v havarijnom stave.

Poradte! V otázke výpočtu medzného stavu lúča podľa veľkosti priehybu poskytujú požiadavky SNiP neoceniteľnú službu. Nastavením limitu priehybu v relatívnej hodnote, napríklad 1/250, stavebné predpisy značne uľahčujú určenie havarijného stavu nosníka alebo dosky.

Napríklad, ak máte v úmysle kúpiť hotovú stavbu, ktorá dlho stála na problematickej pôde, bolo by užitočné skontrolovať stav podlahy podľa existujúceho priehybu. Pri znalosti maximálnej povolenej rýchlosti priehybu a dĺžky nosníka je možné bez akéhokoľvek výpočtu posúdiť, aký kritický je stav konštrukcie.

Stavebná kontrola pri posudzovaní priehybu a posudzovaní únosnosti podlahy prebieha zložitejšie:

Najprv sa zmeria geometria dosky alebo nosníka, zafixuje sa veľkosť vychýlenia;
Podľa nameraných parametrov sa určí sortiment lúča, potom sa z referenčnej knihy vyberie vzorec pre moment zotrvačnosti;
Moment sily sa určuje z priehybu a momentu zotrvačnosti, po ktorých je možné pri znalosti materiálu vypočítať skutočné napätia v kovovom, betónovom alebo drevenom nosníku.

Otázkou je, prečo je to také ťažké, ak priehyb možno získať pomocou vzorca pre jednoduchý nosník na kĺbových podperách f=5/24*R*L 2 /(E*h) pri rozloženom zaťažení. Stačí poznať dĺžku rozpätia L, výšku profilu, návrhovú odolnosť R a modul pružnosti E pre konkrétny podlahový materiál.

Poradte! Využite vo svojich výpočtoch existujúce rezortné zbierky rôznych projekčných organizácií, v ktorých sú v komprimovanej forme zhrnuté všetky potrebné vzorce na určenie a výpočet konečného zaťaženia.

Záver

Väčšina developerov a projektantov serióznych budov robí to isté. Program je dobrý, pomáha veľmi rýchlo vypočítať priehyb a hlavné parametre zaťaženia podlahy, ale je dôležité poskytnúť zákazníkovi aj listinné dôkazy o získaných výsledkoch vo forme konkrétnych sekvenčných výpočtov na papieri.

počítať nosník na ohýbanie existuje niekoľko možností:
1. Výpočet maximálneho zaťaženia, ktoré vydrží
2. Výber rezu tohto nosníka
3. Výpočet maximálnych prípustných napätí (pre overenie)
uvažujme všeobecný princíp výberu časti lúča na dvoch podperách zaťažených rovnomerne rozloženým zaťažením alebo sústredenou silou.
Na začiatok budete musieť nájsť bod (úsek), v ktorom bude maximálny moment. Závisí to od podopretia nosníka alebo jeho ukončenia. Nižšie sú uvedené diagramy ohybových momentov pre schémy, ktoré sú najbežnejšie.

Po zistení ohybového momentu musíme nájsť modul Wx tohto prierezu podľa vzorca uvedeného v tabuľke:

Ďalej, keď vydelíme maximálny ohybový moment momentom odporu v danom úseku, dostaneme maximálne napätie v nosníku a toto namáhanie musíme porovnať s napätím, ktoré náš nosník z daného materiálu vo všeobecnosti vydrží.

Pre plastové materiály(oceľ, hliník atď.) sa maximálne napätie bude rovnať medza klzu materiálu, a pre krehké(liatina) - pevnosť v ťahu. Medzu klzu a pevnosť v ťahu nájdeme z nižšie uvedených tabuliek.

Pozrime sa na pár príkladov:
1. [i] Chcete skontrolovať, či vám I-nosník č. 10 (oceľ St3sp5) s dĺžkou 2 metre pevne zabudovaný do steny vydrží, ak sa naň zavesíte. Nech je vaša hmotnosť 90 kg.
Najprv musíme zvoliť schému výpočtu.

Tento diagram ukazuje, že maximálny moment bude v zakončení, a keďže náš I-lúč áno rovnaký úsek po celej dĺžke, potom bude maximálne napätie v koncovke. Poďme to nájsť:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Podľa tabuľky sortimentu I-nosníka zistíme moment odporu I-nosníka č.10.

Bude to rovných 39,7 cm3. Prepočítajte na kubické metre a získate 0,0000397 m3.
Ďalej podľa vzorca nájdeme maximálne napätia, ktoré máme v nosníku.

b = M/W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Po zistení maximálneho napätia, ktoré sa vyskytuje v nosníku, ho môžeme porovnať s maximálnym dovoleným napätím rovným medze klzu ocele St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - správne, takže tento I-nosník vydrží hmotnosť 90 kg.

2. [i] Keďže sme dostali dosť veľkú rezervu, vyriešime druhú úlohu, v ktorej nájdeme maximálnu možnú hmotnosť, ktorú znesie rovnaký I-nosník č. 10, dlhý 2 metre.
Ak chceme nájsť maximálnu hmotnosť, potom hodnoty medze klzu a napätia, ktoré sa vyskytnú v nosníku, musíme dať rovnať (b \u003d 245 MPa \u003d 245 000 kN * m2).

ohnúť nazývaná deformácia, pri ktorej sa pôsobením vonkajších síl ohýba os tyče a všetky jej vlákna, t.j. pozdĺžne čiary rovnobežné s osou tyče. Najjednoduchší prípad ohybu sa získa, keď vonkajšie sily ležia v rovine prechádzajúcej stredovou osou tyče a nepremietajú do tejto osi. Takýto prípad ohybu sa nazýva priečny ohyb. Rozlišujte plochý ohyb a šikmý.

plochý ohyb- taký prípad, keď sa ohnutá os tyče nachádza v tej istej rovine, v ktorej pôsobia vonkajšie sily.

Šikmý (komplexný) ohyb- taký prípad ohybu, kedy ohnutá os tyče neleží v rovine pôsobenia vonkajších síl.

Ohýbacia tyč sa bežne označuje ako lúč.

Pri plochom priečnom ohybe nosníkov v reze so súradnicovým systémom y0x môžu vzniknúť dve vnútorné sily - priečna sila Q y a ohybový moment M x; v nasledujúcom uvádzame notáciu Q a M. Ak v reze alebo reze nosníka nie je žiadna priečna sila (Q = 0) a ohybový moment sa nerovná nule alebo M je konštantná, potom sa takýto ohyb bežne nazýva čisté.

Šmyková sila v ktoromkoľvek úseku lúča sa číselne rovná algebraickému súčtu priemetov na os všetkých síl (vrátane podporných reakcií) umiestnených na jednej strane (akejkoľvek) časti.

Ohybový moment v časti nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl (vrátane podporných reakcií) umiestnených na jednej strane (akejkoľvek) časti nakreslenej vzhľadom na ťažisko tejto časti, presnejšie vzhľadom na os prechádzajúci kolmo na rovinu výkresu cez ťažisko nakresleného rezu.

Q-sila je výsledný rozložené po priereze vnútorného šmykové napätia, a moment M– súčet momentov okolo stredovej osi sekcie X interná normálne stresy.

Medzi vnútornými silami existuje rozdielny vzťah

ktorý sa používa pri konštrukcii a overovaní diagramov Q a M.

Keďže niektoré vlákna lúča sú natiahnuté a niektoré stlačené a prechod z napätia na stlačenie prebieha hladko, bez skokov, v strednej časti lúča je vrstva, ktorej vlákna sa len ohýbajú, ale nepociťujú ani jedno. napätie alebo stlačenie. Takáto vrstva je tzv neutrálna vrstva. Čiara, pozdĺž ktorej sa neutrálna vrstva pretína s prierezom lúča, sa nazýva neutrálna čiara th alebo neutrálna os oddielov. Neutrálne čiary sú navlečené na osi lúča.

Čiary nakreslené na bočnom povrchu lúča kolmo na os zostávajú ploché, keď sú ohnuté. Tieto experimentálne údaje umožňujú založiť závery vzorcov na hypotéze plochých rezov. Podľa tejto hypotézy sú úseky nosníka pred ohnutím ploché a kolmé na jeho os, zostávajú ploché a pri ohýbaní sa stávajú kolmými na ohnutú os nosníka. Prierez nosníka sa pri ohýbaní deformuje. V dôsledku priečnej deformácie sa rozmery prierezu v stlačenej zóne nosníka zväčšujú a v ťahovej zóne sú stlačené.

Predpoklady na odvodenie vzorcov. Normálne stresy

1) Hypotéza plochých rezov je splnená.

2) Pozdĺžne vlákna na seba netlačia, a preto pri pôsobení normálových napätí fungujú lineárne ťahy alebo stlačenia.

3) Deformácie vlákien nezávisia od ich polohy pozdĺž šírky úseku. V dôsledku toho normálové napätia, meniace sa pozdĺž výšky sekcie, zostávajú rovnaké po celej šírke.

4) Nosník má aspoň jednu rovinu súmernosti a všetky vonkajšie sily ležia v tejto rovine.

5) Materiál nosníka sa riadi Hookovým zákonom a modul pružnosti v ťahu a tlaku je rovnaký.

6) Pomery medzi rozmermi nosníka sú také, aby fungoval v podmienkach plochého ohybu bez deformácie alebo krútenia.

Len s čistým ohybom lúča na plošinách v jeho sekcii normálne stresy, určené podľa vzorca:

kde y je súradnica ľubovoľného bodu rezu, meraná od neutrálnej čiary - hlavnej stredovej osi x.

Normálne ohybové napätia pozdĺž výšky sekcie sú rozdelené na lineárny zákon. Na extrémnych vláknach dosahujú normálové napätia svoju maximálnu hodnotu a v ťažisku sú prierezy rovné nule.

Charakter diagramov normálového napätia pre symetrické rezy vzhľadom na neutrálnu čiaru

Povaha diagramov normálového napätia pre úseky, ktoré nemajú symetriu okolo neutrálnej čiary

Nebezpečné body sú tie, ktoré sú najďalej od neutrálnej čiary.

Vyberme si nejakú sekciu

Pre akýkoľvek bod sekcie ho nazvime bod Komu, podmienka pevnosti nosníka pre normálne napätia má tvar:

, kde i.d. - Toto neutrálna os

Toto modul osového prierezu okolo neutrálnej osi. Jeho rozmer je cm 3, m 3. Moment odporu charakterizuje vplyv tvaru a rozmerov prierezu na veľkosť napätí.

Podmienka sily pre normálny stres:

Normálne napätie sa rovná pomeru maximálneho ohybového momentu k modulu osového prierezu vzhľadom na neutrálnu os.

Ak materiál nerovnomerne odoláva rozťahovaniu a stláčaniu, potom sa musia použiť dve podmienky pevnosti: pre napínaciu zónu s prípustným ťahovým napätím; pre tlakovú zónu s prípustným tlakovým napätím.

Pri priečnom ohybe pôsobia nosníky na plošinách v jeho reze ako normálne a dotyčnice Napätie.

Pre konzolový nosník zaťažený rozloženým zaťažením o intenzite kN / m a sústredenom momente kN m (obr. 3.12) je potrebné: zostaviť diagramy šmykových síl a ohybových momentov , zvoliť nosník kruhového prierezu s prípustným normálové napätie kN / cm2 a skontrolujte pevnosť nosníka podľa šmykových napätí pri dovolenom šmykovom napätí kN/cm2. Rozmery lúča m; m; m.

Návrhová schéma pre problém priameho priečneho ohybu

Ryža. 3.12

Riešenie problému „priameho priečneho ohybu“

Určenie podporných reakcií

Horizontálna reakcia v kotvení je nulová, pretože vonkajšie zaťaženie v smere osi z na nosník nepôsobí.

Vyberáme smery zostávajúcich reaktívnych síl, ktoré vznikajú v zapustení: nasmerujme vertikálnu reakciu, napríklad dole, a moment - v smere hodinových ručičiek. Ich hodnoty sú určené z rovníc statiky:

Pri zostavovaní týchto rovníc považujeme moment pri otáčaní proti smeru hodinových ručičiek za kladný a priemet sily je kladný, ak sa jeho smer zhoduje s kladným smerom osi y.

Z prvej rovnice nájdeme moment v zakončení:

Z druhej rovnice - vertikálna reakcia:

Nami získané kladné hodnoty a vertikálna reakcia v ukončení naznačujú, že sme uhádli ich smer.

V súlade s charakterom upevnenia a zaťaženia nosníka delíme jeho dĺžku na dve časti. Pozdĺž hraníc každého z týchto rezov načrtneme štyri priečne rezy (pozri obr. 3.12), v ktorých vypočítame hodnoty šmykových síl a ohybových momentov metódou rezov (ROZU).

Časť 1. Poďme mentálne odhodiť pravú stranu lúča. Jeho pôsobenie na zostávajúcej ľavej strane nahraďme reznou silou a ohybovým momentom. Pre uľahčenie výpočtu ich hodnôt zatvoríme pravú stranu nami vyradeného lúča kusom papiera, pričom zarovnáme ľavý okraj listu s uvažovanou sekciou.

Pripomeňme, že šmyková sila vznikajúca v akomkoľvek priereze musí vyvažovať všetky vonkajšie sily (aktívne a reaktívne), ktoré pôsobia na časť nosníka, ktorú uvažujeme (teda viditeľnú). Preto sa šmyková sila musí rovnať algebraickému súčtu všetkých síl, ktoré vidíme.

Uveďme aj pravidlo o znamienkach pre šmykovú silu: vonkajšia sila pôsobiaca na uvažovanú časť nosníka, ktorá má tendenciu „otáčať“ túto časť vzhľadom na prierez v smere hodinových ručičiek, spôsobuje v priereze kladnú šmykovú silu. Takáto vonkajšia sila je zahrnutá v algebraickom súčte pre definíciu so znamienkom plus.

V našom prípade vidíme len reakciu podpery, ktorá otáča viditeľnú časť lúča vzhľadom na prvý úsek (vzhľadom na okraj papiera) proti smeru hodinových ručičiek. Takže

kN.

Ohybový moment v ľubovoľnom reze musí vyrovnávať moment vytvorený vonkajšími silami, ktoré vidíme vzhľadom na uvažovaný rez. Preto sa rovná algebraickému súčtu momentov všetkých snáh, ktoré pôsobia na časť lúča, ktorú uvažujeme, vzhľadom na uvažovaný úsek (inými slovami, vzhľadom na okraj kusu papiera). V tomto prípade vonkajšie zaťaženie ohýbajúce uvažovanú časť nosníka s konvexnosťou smerom nadol spôsobí kladný ohybový moment v priereze. A moment vytvorený takýmto zaťažením je zahrnutý do algebraického súčtu pre definíciu so znamienkom plus.

Vidíme dve snahy: reakciu a moment ukončenia. Avšak rameno sily vzhľadom na sekciu 1 je rovné nule. Takže

kN m

Znamienko plus sme vzali, pretože reaktívny moment ohýba viditeľnú časť lúča s vypuklosťou smerom nadol.

Časť 2. Ako predtým, celú pravú stranu trámu zakryjeme kusom papiera. Teraz, na rozdiel od prvého úseku, sila má rameno: m. Preto

kN; kN m

Časť 3. Zatvorením pravej strany lúča, nájdeme

kN;

Časť 4. Zatvorme ľavú stranu lúča listom. Potom

kN m

Na základe zistených hodnôt zostavíme diagramy šmykových síl (obr. 3.12, b) a ohybových momentov (obr. 3.12, c).

Pri nezaťažených úsekoch prebieha diagram šmykových síl rovnobežne s osou nosníka a pri rozloženom zaťažení q pozdĺž naklonenej priamky smerom nahor. Pod podpornou reakciou na diagrame je skok nadol o hodnotu tejto reakcie, teda o 40 kN.

Na diagrame ohybových momentov vidíme zlom pod reakciou podpory. Lomový uhol smeruje k reakcii podpery. Pri rozloženom zaťažení q sa diagram mení pozdĺž kvadratickej paraboly, ktorej konvexnosť smeruje k zaťaženiu. V časti 6 diagramu je extrém, keďže diagram šmykovej sily v tomto mieste tu prechádza cez nulovú hodnotu.

Určte požadovaný priemer prierezu lúča

Podmienka pevnosti pre normálne namáhanie má tvar:

kde je moment odporu lúča v ohybe. Pre lúč s kruhovým prierezom sa rovná:

Ohybový moment s najväčšou absolútnou hodnotou sa vyskytuje v tretej časti nosníka: kN cm

Potom je požadovaný priemer lúča určený vzorcom

cm.

Akceptujeme mm. Potom

kN/cm2 kN/cm2.

"Prepätie" je

čo je dovolené.

Skontrolujeme pevnosť nosníka na najvyššie tangenciálne napätia

Najväčšie šmykové napätia, ktoré sa vyskytujú v priereze kruhového nosníka, sa vypočítajú podľa vzorca

kde je plocha prierezu.

Podľa grafu sa najväčšia algebraická hodnota šmykovej sily rovná kN. Potom

kN/cm2 kN/cm2,

to znamená, že podmienka pevnosti a šmykového napätia je splnená navyše s veľkou rezervou.

Príklad riešenia úlohy "priamy priečny ohyb" č.2

Podmienka príkladu problému pre priamy priečny ohyb

Pre kĺbový nosník zaťažený rozloženým zaťažením o intenzite kN / m, sústredenej sile kN a sústredenom momente kN m (obr. 3.13) je potrebné vykresliť diagramy šmykovej sily a ohybového momentu a zvoliť prierez I-nosníka. s dovoleným normálovým napätím kN / cm2 a dovoleným šmykovým napätím kN/cm2. Rozpätie lúča m.

Príklad úlohy pre rovný ohyb - návrhová schéma

Ryža. 3.13

Riešenie príkladu úlohy priameho ohybu

Určenie podporných reakcií

Pre daný otočne podoprený nosník je potrebné nájsť tri podperné reakcie: , a . Pretože na nosník, kolmo na jeho os, pôsobí iba zvislé zaťaženie, horizontálna reakcia pevnej kĺbovej podpery A je rovná nule: .

Smery vertikálnych reakcií a sú zvolené ľubovoľne. Nasmerujme napríklad obe vertikálne reakcie smerom nahor. Na výpočet ich hodnôt zostavíme dve rovnice statiky:

Pripomeňme, že výsledné lineárne zaťaženie, rovnomerne rozložené na úseku dĺžky l, sa rovná ploche diagramu tohto zaťaženia a pôsobí v ťažisku tohto diagramu, teda v strede dĺžky.

;

kN.

Kontrolujeme: .

Pripomeňme, že sily, ktorých smer sa zhoduje s kladným smerom osi y, sa premietajú (premietajú) na túto os so znamienkom plus:

to je správne.

Vytvárame diagramy šmykových síl a ohybových momentov

Dĺžku lúča rozdeľujeme na samostatné časti. Hranicami týchto úsekov sú miesta pôsobenia sústredených síl (aktívnych a/alebo reaktívnych), ako aj body zodpovedajúce začiatku a koncu rozloženého zaťaženia. V našom probléme sú tri takéto oblasti. Pozdĺž hraníc týchto rezov načrtneme šesť prierezov, v ktorých vypočítame hodnoty šmykových síl a ohybových momentov (obr. 3.13, a).

Časť 1. Poďme mentálne odhodiť pravú stranu lúča. Pre uľahčenie výpočtu šmykovej sily a ohybového momentu vznikajúceho v tejto časti uzatvoríme časť lúča, ktorú sme vyradili, kusom papiera, pričom ľavý okraj kusu papiera zarovnáme so samotnou časťou.

Šmyková sila v priereze nosníka sa rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl (aktívnych a reaktívnych), ktoré vidíme. V tomto prípade vidíme reakciu podpery a lineárneho zaťaženia q, rozložené na nekonečne malej dĺžke. Výsledné lineárne zaťaženie je nulové. Takže

kN.

Znamienko plus sa používa, pretože sila otáča viditeľnú časť lúča vzhľadom na prvú časť (okraj kusu papiera) v smere hodinových ručičiek.

Ohybový moment v reze lúča sa rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl, ktoré vidíme, vo vzťahu k uvažovanému rezu (to znamená vzhľadom na okraj kusu papiera). Vidíme reakciu podpery a lineárneho zaťaženia q, rozložené na nekonečne malej dĺžke. Pákový efekt sily je však nulový. Výsledné lineárne zaťaženie sa tiež rovná nule. Takže

Časť 2. Ako predtým, celú pravú stranu trámu zakryjeme kusom papiera. Teraz vidíme reakciu a zaťaženie q pôsobiace na úsek dĺžky . Výsledné lineárne zaťaženie sa rovná . Je pripevnený v strede časti s dĺžkou . Takže

Pripomeňme si, že pri určovaní znamienka ohybového momentu mentálne uvoľníme časť nosníka, ktorú vidíme zo všetkých skutočných upevnení podpery, a predstavíme si ju, ako keby bola zovretá v uvažovanom úseku (to znamená ľavý okraj kusu nosníka). papier je nami mentálne reprezentovaný ako tuhá pečať).

Časť 3. Zatvorme pravú časť. Získajte

Sekcia 4. Pravú stranu lúča zatvoríme listom. Potom

Teraz, aby sme skontrolovali správnosť výpočtov, pokryjeme ľavú stranu lúča kusom papiera. Vidíme sústredenú silu P, reakciu pravej podpery a lineárne zaťaženie q, rozložené na nekonečne malej dĺžke. Výsledné lineárne zaťaženie je nulové. Takže

kN m

To znamená, že všetko je správne.

Časť 5. Stále zatvorte ľavú stranu lúča. Bude mať

kN;

kN m

Časť 6. Opäť zatvorme ľavú stranu lúča. Získajte

kN;

Na základe zistených hodnôt zostavíme diagramy šmykových síl (obr. 3.13, b) a ohybových momentov (obr. 3.13, c).

Sme presvedčení, že pod nezaťaženým úsekom prebieha diagram šmykovej sily rovnobežne s osou nosníka a pri rozloženom zaťažení q - pozdĺž priamky so sklonom nadol. Na diagrame sú tri skoky: pod reakciou - hore o 37,5 kN, pod reakciou - hore o 132,5 kN a pod silou P - dole o 50 kN.

Na diagrame ohybových momentov vidíme zlomy pod sústredenou silou P a pod podpernými reakciami. Lomové uhly smerujú k týmto silám. Pri rozloženom zaťažení o intenzite q sa diagram mení pozdĺž kvadratickej paraboly, ktorej konvexnosť smeruje k zaťaženiu. Pod sústredeným momentom je skok 60 kN m, teda o veľkosť samotného momentu. V sekcii 7 na diagrame je extrém, pretože diagram šmykovej sily pre tento úsek prechádza cez nulovú hodnotu (). Určme vzdialenosť od sekcie 7 k ľavej podpere.

Sekcie