Keď v kvadratickej rovnici nie sú žiadne korene. Kvadratické rovnice

Vzorce pre korene kvadratickej rovnice. Zvažujú sa prípady skutočných, viacnásobných a zložitých koreňov. Faktorizácia štvorcového trojčlenu. Geometrická interpretácia. Príklady určovania koreňov a faktorizácie.

Základné vzorce

Zvážte kvadratickú rovnicu:
(1) .
Korene kvadratickej rovnice(1) sa určujú podľa vzorcov:
; .
Tieto vzorce je možné kombinovať takto:
.
Keď sú známe korene kvadratickej rovnice, potom môže byť polynóm druhého stupňa reprezentovaný ako súčin faktorov (faktorovaný):
.

Ďalej predpokladáme, že ide o reálne čísla.
Zvážte diskriminant kvadratickej rovnice:
.
Ak je diskriminant kladný, potom kvadratická rovnica (1) má dva rôzne reálne korene:
; .
Potom má rozklad štvorcového trinomu tvar:
.
Ak je diskriminant nulový, potom kvadratická rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) skutočné korene:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant záporný, potom kvadratická rovnica (1) má dva komplexne konjugované korene:
;
.
Tu je pomyselná jednotka, ;
a sú skutočnými a imaginárnymi časťami koreňov:
; .
Potom

.

Grafická interpretácia

Ak nakreslíme graf funkcie
,
čo je parabola, potom priesečníky grafu s osou budú koreňmi rovnice
.
Keď , graf pretína os x (os) v dvoch bodoch.
Keď sa graf dotkne osi x v jednom bode.
Keď , graf nepretína os x.

Nižšie sú uvedené príklady takýchto grafov.

Užitočné vzorce súvisiace s kvadratickou rovnicou

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):




,
kde
; .

Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa v tvare:
.
Z toho vidno, že rovnica

vykonaná o
a .
To je a sú koreňmi kvadratickej rovnice
.

Príklady určenia koreňov kvadratickej rovnice

Príklad 1

(1.1) .

rozhodnutie

.
V porovnaní s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je kladný, rovnica má dva skutočné korene:
;
;
.

Odtiaľ dostaneme rozklad štvorcového trinomu na faktory:

.

Graf funkcie y = 2 x 2 + 7 x + 3 pretína os x v dvoch bodoch.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Pretína os x (os) v dvoch bodoch:
a .
Tieto body sú koreňmi pôvodnej rovnice (1.1).

Odpoveď

;
;
.

Príklad 2

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(2.1) .

rozhodnutie

Kvadratickú rovnicu napíšeme vo všeobecnom tvare:
.
V porovnaní s pôvodnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) korene:
;
.

Potom má rozklad trojčlenu tvar:
.

Graf funkcie y = x 2 - 4 x + 4 sa v jednom bode dotýka osi x.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Dotýka sa osi x (osi) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom pôvodnej rovnice (2.1). Pretože tento koreň je rozdelený dvakrát:
,
potom sa takýto koreň nazýva násobok. To znamená, že sa domnievajú, že existujú dva rovnaké korene:
.

Odpoveď

;
.

Príklad 3

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(3.1) .

rozhodnutie

Kvadratickú rovnicu napíšeme vo všeobecnom tvare:
(1) .
Prepíšme pôvodnú rovnicu (3.1):
.
V porovnaní s (1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Diskriminant je negatívny, . Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Môžete nájsť zložité korene:
;
;
.

Potom


.

Graf funkcie nepretína os x. Neexistujú žiadne skutočné korene.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Nepretína abscisu (os). Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Odpoveď

Neexistujú žiadne skutočné korene. Komplexné korene:
;
;
.

Poďme pracovať s kvadratické rovnice. Toto sú veľmi populárne rovnice! Vo svojej najvšeobecnejšej forme vyzerá kvadratická rovnica takto:

Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

No, chápete...

Ako riešiť kvadratické rovnice? Ak máte kvadratickú rovnicu v tomto tvare, potom je všetko jednoduché. Pamätajte na čarovné slovíčko diskriminačný . Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodnite sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na triky od diskriminujúceho! Jeho používanie je jednoduché a bezproblémové. Takže vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom je rovnaký diskriminačný. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a zvážte. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad pre prvú rovnicu a =1; b = 3; c= -4. Tu píšeme:

Príklad takmer vyriešený:

To je všetko.

Aké prípady sú možné pri použití tohto vzorca? Sú len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej môžete extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Presne povedané, nejde o jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale to hrá rolu pri nerovnostiach, kde si danú problematiku preštudujeme podrobnejšie.

3. Diskriminant je negatívny. Záporné číslo nemá druhú odmocninu. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo myslíte, nemôžete sa pokaziť? No áno, ako...
Najčastejšími chybami je zámena so znakmi hodnôt a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa to dá zmiasť?), Ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko klesne. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Vyjde to tak akurát. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa vyrieši jednoducho a bez chýb!

takze ako riešiť kvadratické rovnice cez diskriminant, ktorý sme si zapamätali. Alebo sa naučil, čo je tiež dobré. Dokážete správne identifikovať a, b a c. Vieš ako pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - pozorne?

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Toto je neúplné kvadratické rovnice . Dajú sa vyriešiť aj cez diskriminant. Musíte len správne zistiť, čo sa tu rovná a, b a c.

Realizované? V prvom príklade a = 1; b = -4; a c? Vôbec neexistuje! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly do vzorca nahraďte nulu c, a všetko nám vyjde. Podobne s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme s, a b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akejkoľvek diskriminácie. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo sa dá robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z tohto? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš? Potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? Niečo...
Preto môžeme s istotou napísať: x = 0, alebo x = 4

Všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako cez diskriminant.

Druhá rovnica sa dá tiež ľahko vyriešiť. Posúvame 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Získajte:

aj dva korene . x = +3 a x = -3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vytiahnutím X zo zátvoriek, alebo jednoduchým prenesením čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto metódy. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, a v druhom prípade nie je čo vytiahnuť zo zátvoriek ...

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré je to potom bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem. Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po akejkoľvek transformácii dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať vzorec koreňov! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv x na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x na druhú vás môže poriadne rozladiť. Zabudnúť na to je ľahké... Zbavte sa mínusov. ako? Áno, ako sa učí v predchádzajúcej téme! Musíme celú rovnicu vynásobiť -1. Dostaneme:

A teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Rozhodnite sa sami. Mali by ste skončiť s koreňmi 2 a -1.

Druhý príjem. Skontrolujte svoje korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, ľahko skontrolujte korene. Stačí ich namnožiť. Mali by ste dostať voľný termín, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyšlo, znamená to, že sa už niekde pokazili. Hľadajte chybu. Ak to vyšlo, musíte zložiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mal by byť pomer b s opak znamenie. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred x, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude menej.

Tretia recepcia. Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v predchádzajúcej časti. Pri práci so zlomkami chyby z nejakého dôvodu stúpajú ...

Mimochodom, sľúbil som zlý príklad s kopou mínusov na zjednodušenie. Rado sa stalo! Tu je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodovanie je zábava!

Zopakujme si teda tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient pre ňu je rovný jednej, riešenie sa dá ľahko skontrolovať pomocou Vietovej vety. Urob to!

Zlomkové rovnice. ODZ.

Pokračujeme v zvládnutí rovníc. S lineárnymi a kvadratickými rovnicami už vieme pracovať. Zostáva posledný pohľad zlomkové rovnice. Alebo sa tiež nazývajú oveľa pevnejšie - zlomkové racionálne rovnice. Toto je to isté.

Zlomkové rovnice.

Ako už názov napovedá, tieto rovnice nevyhnutne obsahujú zlomky. Ale nielen zlomky, ale zlomky, ktoré majú neznámy v menovateli. Aspoň v jednom. Napríklad:

Dovoľte mi pripomenúť, ak len v menovateľoch čísla, to sú lineárne rovnice.

Ako sa rozhodnúť zlomkové rovnice? V prvom rade sa zbavte zlomkov! Potom sa rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú. A potom vieme, čo máme robiť... V niektorých prípadoch sa to môže zmeniť na identitu, napríklad 5=5, alebo nesprávny výraz, napríklad 7=2. Ale to sa stáva zriedka. Nižšie to spomeniem.

Ale ako sa zbaviť zlomkov!? Veľmi jednoduché. Použitie všetkých rovnakých identických transformácií.

Musíme vynásobiť celú rovnicu rovnakým výrazom. Aby sa znížili všetci menovatelia! Všetko bude hneď jednoduchšie. Vysvetľujem na príklade. Povedzme, že potrebujeme vyriešiť rovnicu:

Ako ich učili na základnej škole? Všetko prenášame jedným smerom, redukujeme na spoločného menovateľa atď. Zabudnite, aký zlý sen! To je to, čo musíte urobiť, keď pridávate alebo odčítate zlomkové výrazy. Alebo pracovať s nerovnosťami. A v rovniciach hneď vynásobíme obe časti výrazom, ktorý nám dá možnosť zredukovať všetky menovateľa (teda v podstate o spoločného menovateľa). A čo je toto za výraz?

Na ľavej strane, ak chcete zmenšiť menovateľa, musíte vynásobiť x+2. A vpravo je potrebné násobenie číslom 2. Takže rovnica sa musí vynásobiť číslom 2(x+2). Vynásobíme:

Toto je obvyklé násobenie zlomkov, ale napíšem podrobne:

Upozorňujeme, že ešte neotváram zátvorku. (x + 2)! Takže to píšem celé:

Na ľavej strane je úplne zmenšená (x+2), a v pravom 2. Podľa potreby! Po redukcii dostaneme lineárne rovnica:

Túto rovnicu môže vyriešiť každý! x = 2.

Poďme vyriešiť ďalší príklad, trochu komplikovanejší:

Ak si pamätáme, že 3 = 3/1, a 2x = 2x/ 1 možno napísať:

A opäť sa zbavíme toho, čo sa nám v skutočnosti nepáči - zo zlomkov.

Vidíme, že na zmenšenie menovateľa s x je potrebné zlomok vynásobiť (x - 2). A jednotky nám nie sú prekážkou. Nuž, množme sa. Všetkyľavá strana a všetky pravá strana:

Opäť zátvorky (x - 2) neprezrádzam. Pracujem so zátvorkou ako celkom, ako keby to bolo jedno číslo! Toto sa musí robiť vždy, inak sa nič nezníži.

S pocitom hlbokej spokojnosti striháme (x - 2) a dostaneme rovnicu bez zlomkov, v pravítku!

A teraz otvoríme zátvorky:

Dávame podobné, prenesieme všetko na ľavú stranu a získame:

Klasická kvadratická rovnica. Ale to mínus dopredu nie je dobré. Vždy sa ho môžete zbaviť vynásobením alebo delením -1. Ale ak sa pozriete pozorne na príklad, všimnete si, že je najlepšie rozdeliť túto rovnicu -2! Jedným ťahom zmizne mínus a koeficienty budú krajšie! Delíme -2. Na ľavej strane - člen podľa členu a na pravej strane - jednoducho vydeľte nulu -2, nulu a dostanete:

Riešime cez diskriminant a kontrolujeme podľa Vietovej vety. Dostaneme x = 1 a x = 3. Dva korene.

Ako vidíte, v prvom prípade sa rovnica po transformácii stala lineárnou a tu je kvadratická. Stáva sa, že po zbavení sa zlomkov sa všetky x zmenšia. Niečo zostalo, napríklad 5=5. Znamená to, že x môže byť čokoľvek. Nech je to čokoľvek, stále sa to zníži. A získajte čistú pravdu, 5=5. Ale po odstránení zlomkov sa to môže ukázať ako úplne nepravdivé, napríklad 2=7. A to znamená, že žiadne riešenia! S ľubovoľným x sa ukáže ako nepravdivé.

Uvedomil si hlavný spôsob riešenia zlomkové rovnice? Je to jednoduché a logické. Pôvodný výraz zmeníme tak, aby zmizlo všetko, čo sa nám nepáči. Alebo zasahovať. V tomto prípade ide o zlomky. To isté urobíme so všetkými druhmi zložitých príkladov s logaritmami, sínusmi a inými hrôzami. my vždy toho všetkého sa zbavíme.

Musíme však zmeniť pôvodný výraz v smere, ktorý potrebujeme podľa pravidiel, áno ... Rozvojom čoho je príprava na skúšku z matematiky. Tu sa učíme.

Teraz sa naučíme, ako obísť jeden z hlavné prepady na skúške! Najprv sa však pozrime, či do toho spadnete alebo nie?

Uveďme si jednoduchý príklad:

Vec je už známa, obe časti vynásobíme (x - 2), dostaneme:

Pamätajte, so zátvorkami (x - 2) pracujeme ako s jedným, integrálnym výrazom!

Tu som už nepísal ten v menovateľoch, nedôstojný ... A nekreslil som zátvorky do menovateľov, okrem x - 2 nie je nič, nemôžete kresliť. Skracujeme:

Otvárame zátvorky, posúvame všetko doľava, dávame podobné:

Riešime, kontrolujeme, dostaneme dva korene. x = 2 a x = 3. Dobre.

Predpokladajme, že úloha hovorí zapísať koreň alebo ich súčet, ak existuje viac ako jeden koreň. čo napíšeme?

Ak sa rozhodnete, že odpoveď je 5, vy boli prepadnutí. A úloha sa vám nebude počítať. Pracovali márne ... Správna odpoveď je 3.

Čo sa deje?! A skúste to skontrolovať. Dosaďte hodnoty neznámeho do originálny príklad. A ak pri x = 3 všetko spolu úžasne rastie, dostaneme 9 = 9, potom s x = 2 deliť nulou! Čo sa absolútne nedá. Prostriedky x = 2 nie je riešením a v odpovedi sa nezohľadňuje. Toto je takzvaný cudzí alebo extra koreň. Jednoducho to zahodíme. Existuje len jeden konečný koreň. x = 3.

Ako to?! Počujem pobúrené výkriky. Učili nás, že rovnicu možno vynásobiť výrazom! Toto je rovnaká premena!

Áno, identické. Pod malou podmienkou - výraz, ktorým násobíme (delíme) - odlišný od nuly. ALE x - 2 pri x = 2 rovná sa nule! Takže je to všetko fér.

A čo teraz môžem urobiť?! Nenásobiť výrazom? Kontrolujete zakaždým? Opäť nejasné!

Pokojne! Žiadna panika!

V tejto ťažkej situácii nás zachránia tri čarovné písmená. Viem, čo si myslel. Správne! Toto je ODZ . Oblasť platných hodnôt.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Rovnice využíval človek od pradávna a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Diskriminant vám umožňuje riešiť akékoľvek kvadratické rovnice pomocou všeobecného vzorca, ktorý má nasledujúci tvar:

Diskriminačný vzorec závisí od stupňa polynómu. Vyššie uvedený vzorec je vhodný na riešenie kvadratických rovníc nasledujúceho tvaru:

Diskriminant má nasledujúce vlastnosti, ktoré potrebujete vedieť:

* "D" je 0, ak má polynóm viacero koreňov (rovnaké korene);

* "D" je symetrický polynóm vzhľadom na korene polynómu, a preto je vo svojich koeficientoch polynóm; navyše koeficienty tohto polynómu sú celé čísla bez ohľadu na rozšírenie, v ktorom sú korene.

Predpokladajme, že dostaneme kvadratickú rovnicu nasledujúceho tvaru:

1 rovnica

Podľa vzorca máme:

Keďže \, potom má rovnica 2 korene. Poďme si ich definovať:

Kde môžem vyriešiť rovnicu prostredníctvom diskriminačného online riešiteľa?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https: //. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa, ako vyriešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa k našej skupine, vždy vám radi pomôžeme.

Úlohy pre kvadratickú rovnicu sa študujú v školských osnovách aj na univerzitách. Chápu sa ako rovnice tvaru a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kde X- premenná, a,b,c – konštanty; a<>0 Problém je nájsť korene rovnice.

Geometrický význam kvadratickej rovnice

Graf funkcie, ktorá je reprezentovaná kvadratickou rovnicou, je parabola. Riešeniami (koreňmi) kvadratickej rovnice sú priesečníky paraboly s osou x. Z toho vyplýva, že existujú tri možné prípady:
1) parabola nemá žiadne priesečníky s osou x. To znamená, že je v hornej rovine s vetvami nahor alebo v dolnej s vetvami nadol. V takýchto prípadoch kvadratická rovnica nemá skutočné korene (má dva komplexné korene).

2) parabola má jeden priesečník s osou Ox. Takýto bod sa nazýva vrchol paraboly a kvadratická rovnica v ňom nadobúda svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu. V tomto prípade má kvadratická rovnica jeden skutočný koreň (alebo dva rovnaké korene).

3) Posledný prípad je v praxi zaujímavejší - existujú dva body priesečníka paraboly s osou x. To znamená, že existujú dva skutočné korene rovnice.

Na základe analýzy koeficientov pri mocninách premenných možno vyvodiť zaujímavé závery o umiestnení paraboly.

1) Ak je koeficient a väčší ako nula, potom parabola smeruje nahor, ak je záporná, vetvy paraboly smerujú nadol.

2) Ak je koeficient b väčší ako nula, tak vrchol paraboly leží v ľavej polrovine, ak má zápornú hodnotu, tak v pravej.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice

Prenesme konštantu z kvadratickej rovnice

pre znamienko rovnosti dostaneme výraz

Vynásobte obe strany číslom 4a

Ak chcete získať celý štvorec vľavo, pridajte b ^ 2 v oboch častiach a vykonajte transformáciu

Odtiaľto nájdeme

Vzorec diskriminantu a korene kvadratickej rovnice

Diskriminant je hodnota radikálového výrazu. Ak je kladný, potom rovnica má dva reálne korene, vypočítané podľa vzorca Keď je diskriminant nulový, kvadratická rovnica má jedno riešenie (dva zhodné korene), ktoré sa dajú ľahko získať z vyššie uvedeného vzorca pre D = 0. Keď je diskriminant záporný, neexistujú žiadne skutočné korene. Avšak na štúdium riešení kvadratickej rovnice v komplexnej rovine a ich hodnota sa vypočíta podľa vzorca

Vietov teorém

Uvažujme dva korene kvadratickej rovnice a na ich základe zostrojte kvadratickú rovnicu Samotná Vieta veta ľahko vyplýva zo zápisu: ak máme kvadratickú rovnicu tvaru potom sa súčet jej koreňov rovná koeficientu p s opačným znamienkom a súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu q. Vzorec pre vyššie uvedené bude vyzerať takto Ak je konštanta a v klasickej rovnici nenulová, musíte ňou rozdeliť celú rovnicu a potom použiť Vietovu vetu.

Schéma kvadratickej rovnice o faktoroch

Nech je úloha stanovená: rozložiť kvadratickú rovnicu na faktory. Aby sme to vykonali, najprv vyriešime rovnicu (nájdime korene). Ďalej dosadíme nájdené korene do vzorca na rozšírenie kvadratickej rovnice.Tento problém bude vyriešený.

Úlohy pre kvadratickú rovnicu

Úloha 1. Nájdite korene kvadratickej rovnice

x^2-26x+120=0.

Riešenie: Napíšte koeficienty a dosaďte do diskriminačného vzorca

Odmocnina tejto hodnoty je 14, je ľahké ju nájsť pomocou kalkulačky alebo si ju zapamätať pri častom používaní, avšak pre pohodlie vám na konci článku uvediem zoznam druhých mocnín čísel, ktoré môžu byť často nájsť v takýchto úlohách.
Nájdená hodnota sa dosadí do koreňového vzorca

a dostaneme

Úloha 2. vyriešiť rovnicu

2x2+x-3=0.

Riešenie: Máme kompletnú kvadratickú rovnicu, vypíšte koeficienty a nájdite diskriminant


Pomocou známych vzorcov nájdeme korene kvadratickej rovnice

Úloha 3. vyriešiť rovnicu

9x2 -12x+4=0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu. Určte diskriminant

Máme prípad, keď sa korene zhodujú. Hodnoty koreňov nájdeme podľa vzorca

Úloha 4. vyriešiť rovnicu

x^2+x-6=0.

Riešenie: V prípadoch, keď sú pre x malé koeficienty, je vhodné použiť Vietovu vetu. Jeho podmienkou získame dve rovnice

Z druhej podmienky dostaneme, že súčin sa musí rovnať -6. To znamená, že jeden z koreňov je negatívny. Máme nasledujúcu dvojicu možných riešení (-3;2), (3;-2) . Berúc do úvahy prvú podmienku, zamietame druhú dvojicu riešení.
Korene rovnice sú

Úloha 5. Nájdite dĺžky strán obdĺžnika, ak je jeho obvod 18 cm a plocha 77 cm 2.

Riešenie: Polovica obvodu obdĺžnika sa rovná súčtu priľahlých strán. Označme x - väčšiu stranu, potom 18-x je jej menšia strana. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu týchto dĺžok:
x(18x)=77;
alebo
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Nájdite diskriminant rovnice

Vypočítame korene rovnice

Ak x=11, potom 18x=7, platí to aj naopak (ak x=7, potom 21-x=9).

Úloha 6. Rozlož kvadratickú rovnicu 10x 2 -11x+3=0.

Riešenie: Vypočítajte korene rovnice, na to nájdeme diskriminant

Nájdenú hodnotu dosadíme do vzorca koreňov a vypočítame

Aplikujeme vzorec na rozšírenie kvadratickej rovnice z hľadiska koreňov

Rozšírením zátvoriek získame identitu.

Kvadratická rovnica s parametrom

Príklad 1. Pre aké hodnoty parametra a , má rovnica (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 jeden koreň?

Riešenie: Priamou substitúciou hodnoty a=3 vidíme, že nemá riešenie. Ďalej použijeme skutočnosť, že s nulovým diskriminantom má rovnica jeden koreň násobnosti 2. Vypíšme diskriminant

zjednodušiť to a rovnať sa nule

Získali sme kvadratickú rovnicu vzhľadom na parameter a, ktorej riešenie je ľahké získať pomocou Vietovej vety. Súčet koreňov je 7 a ich súčin je 12. Jednoduchým výpočtom zistíme, že čísla 3.4 budú koreňmi rovnice. Keďže sme už na začiatku výpočtov zamietli riešenie a=3, jediné správne bude - a=4. Teda pre a = 4 má rovnica jeden koreň.

Príklad 2. Pre aké hodnoty parametra a , rovnica a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 má viac ako jeden koreň?

Riešenie: Najprv zvážte singulárne body, budú to hodnoty a=0 a a=-3. Keď a=0, rovnica sa zjednoduší na tvar 6x-9=0; x=3/2 a bude tam jeden koreň. Pre a= -3 dostaneme identitu 0=0 .
Vypočítajte diskriminant

a nájdite hodnoty a, pre ktoré je kladné

Z prvej podmienky dostaneme a>3. V druhom prípade nájdeme diskriminant a korene rovnice


Definujme intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty. Dosadením bodu a=0 dostaneme 3>0 . Takže mimo intervalu (-3; 1/3) je funkcia záporná. Nezabudnite na bodku a=0čo by sa malo vylúčiť, keďže pôvodná rovnica má v sebe jeden koreň.
Výsledkom je, že dostaneme dva intervaly, ktoré spĺňajú podmienku úlohy

Podobných úloh bude v praxi veľa, skúste si s úlohami poradiť sami a nezabudnite brať do úvahy podmienky, ktoré sa navzájom vylučujú. Dobre si preštudujte vzorce na riešenie kvadratických rovníc, sú dosť často potrebné pri výpočtoch v rôznych problémoch a vedách.

Kvadratická rovnica - ľahké riešenie! *Ďalej v texte „KU“. Priatelia, zdalo by sa, že v matematike to môže byť jednoduchšie ako riešenie takejto rovnice. Niečo mi však hovorilo, že veľa ľudí s ním má problémy. Rozhodol som sa zistiť, koľko zobrazení poskytuje Yandex na žiadosť za mesiac. Tu je to, čo sa stalo, pozrite sa:

Čo to znamená? To znamená, že tieto informácie hľadá mesačne asi 70 000 ľudí, a to je leto a čo sa bude diať počas školského roka – žiadostí bude dvakrát toľko. Nie je to prekvapujúce, pretože tieto informácie hľadajú chlapci a dievčatá, ktorí už dávno ukončili školu a pripravujú sa na skúšku, a školáci sa tiež snažia osviežiť svoju pamäť.

Napriek tomu, že existuje veľa stránok, ktoré hovoria, ako vyriešiť túto rovnicu, rozhodol som sa tiež prispieť a materiál zverejniť. Po prvé, chcem, aby návštevníci prišli na moju stránku na základe tejto žiadosti; po druhé, v iných článkoch, keď príde reč „KU“, dám odkaz na tento článok; po tretie, poviem vám o jeho riešení trochu viac, ako sa zvyčajne uvádza na iných stránkach. Začnime! Obsah článku:

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

kde koeficienty a,ba s ľubovoľnými číslami, s a≠0.

V školskom kurze je materiál uvedený v tejto forme - rozdelenie rovníc do troch tried je podmienené:

1. Mať dva korene.

2. * Mať len jeden koreň.

3. Nemať korene. Tu stojí za zmienku, že nemajú skutočné korene

Ako sa vypočítavajú korene? Len!

Vypočítame diskriminant. Pod týmto „strašným“ slovom sa skrýva veľmi jednoduchý vzorec:

Koreňové vzorce sú nasledovné:

*Tieto vzorce musíte poznať naspamäť.

Môžete okamžite napísať a rozhodnúť sa:

Príklad:

1. Ak D > 0, potom rovnica má dva korene.

2. Ak D = 0, potom rovnica má jeden koreň.

3. Ak D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pozrime sa na rovnicu:

Pri tejto príležitosti, keď je diskriminant nula, školský kurz hovorí, že sa získa jeden koreň, tu sa rovná deviatim. To je pravda, ale...

Toto znázornenie je trochu nesprávne. V skutočnosti existujú dva korene. Áno, áno, nečudujte sa, ukáže sa, že dva rovnaké korene, a aby sme boli matematicky presní, mali by byť v odpovedi napísané dva korene:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. V škole si môžete zapísať a povedať, že koreň je len jeden.

Teraz nasledujúci príklad:

Ako vieme, koreň záporného čísla sa neextrahuje, takže v tomto prípade neexistuje žiadne riešenie.

To je celý rozhodovací proces.

Kvadratická funkcia.

Takto vyzerá riešenie geometricky. Toto je mimoriadne dôležité pochopiť (v budúcnosti v jednom z článkov podrobne rozoberieme riešenie kvadratickej nerovnosti).

Toto je funkcia formulára:

kde x a y sú premenné

a, b, c sú dané čísla, kde a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že sa ukáže, že riešením kvadratickej rovnice s "y" rovným nule nájdeme priesečníky paraboly s osou x. Môžu byť dva z týchto bodov (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) alebo žiadny (diskriminant je záporný). Viac o kvadratickej funkcii Môžete zobraziťčlánok Inny Feldmanovej.

Zvážte príklady:

Príklad 1: Rozhodnite sa 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpoveď: x 1 = 8 x 2 = -12

* Ľavú a pravú stranu rovnice by ste mohli okamžite vydeliť 2, teda zjednodušiť ju. Výpočty budú jednoduchšie.

Príklad 2: Rozhodnite sa x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dostali sme, že x 1 \u003d 11 a x 2 \u003d 11

V odpovedi je dovolené napísať x = 11.

Odpoveď: x = 11

Príklad 3: Rozhodnite sa x 2 – 8 x + 72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálnych číslach neexistuje riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenie

Diskriminant je negatívny. Existuje riešenie!

Tu si povieme o riešení rovnice v prípade, že dostaneme záporný diskriminant. Vieš niečo o komplexných číslach? Nebudem sa tu rozpisovať o tom, prečo a kde vznikli a aká je ich špecifická úloha a nevyhnutnosť v matematike, to je téma na veľký samostatný článok.

Koncept komplexného čísla.

Trochu teórie.

Komplexné číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b sú reálne čísla, i je takzvaná imaginárna jednotka.

a+bi je JEDNO ČÍSLO, nie sčítanie.

Imaginárna jednotka sa rovná odmocnine mínus jedna:

Teraz zvážte rovnicu:

Získajte dva konjugované korene.

Neúplná kvadratická rovnica.

Zvážte špeciálne prípady, keď sa koeficient "b" alebo "c" rovná nule (alebo sa oba rovnajú nule). Riešia sa jednoducho bez akýchkoľvek diskriminačných činidiel.

Prípad 1. Koeficient b = 0.

Rovnica má tvar:

Poďme sa transformovať:

Príklad:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Prípad 2. Koeficient c = 0.

Rovnica má tvar:

Transformovať, faktorizovať:

*Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Príklad:

9x 2 – 45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 alebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Prípad 3. Koeficienty b = 0 a c = 0.

Tu je jasné, že riešenie rovnice bude vždy x = 0.

Užitočné vlastnosti a vzorce koeficientov.

Existujú vlastnosti, ktoré umožňujú riešiť rovnice s veľkými koeficientmi.

aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a + b+ c = 0, potom

— ak pre koeficienty rovnice aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a+ s =b, potom

Tieto vlastnosti pomáhajú riešiť určitý druh rovnice.

Príklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Súčet koeficientov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, takže

Príklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnosť a+ s =b, znamená

Zákonitosti koeficientov.

1. Ak v rovnici ax 2 + bx + c \u003d 0 je koeficient „b“ (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom jeho korene sú

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ak v rovnici ax 2 - bx + c \u003d 0 je koeficient „b“ (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sú jeho korene

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 15x 2 – 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ak v rovnici ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" rovná sa (2 – 1) a koeficient „c“ číselne sa rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene rovnaké

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ak sa v rovnici ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficient "b" rovná (a 2 - 1) a koeficient c sa číselne rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Príklad. Zvážte rovnicu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietov teorém.

Vietova veta je pomenovaná po slávnom francúzskom matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocou Vietovej vety je možné vyjadriť súčet a súčin koreňov ľubovoľnej KU pomocou jej koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Suma sumárum, číslo 14 dáva len 5 a 9. Toto sú korene. S určitou zručnosťou, pomocou prezentovanej vety, môžete vyriešiť veľa kvadratických rovníc okamžite ústne.

Navyše Vietova veta. pohodlné, pretože po vyriešení kvadratickej rovnice zvyčajným spôsobom (cez diskriminant) možno výsledné korene skontrolovať. Odporúčam to robiť stále.

SPÔSOB PRENOSU

Pri tejto metóde sa koeficient „a“ vynásobí voľným členom, akoby sa naň „preniesla“, preto je tzv. spôsob prenosu. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Ak a± b+c≠ 0, potom sa použije technika prenosu, napríklad:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Podľa Vietovej vety v rovnici (2) je ľahké určiť, že x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Získané korene rovnice je potrebné vydeliť 2 (keďže boli „vyhodené“ z x 2), dostaneme

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Aké je zdôvodnenie? Pozrite sa, čo sa deje.

Diskriminanty rovníc (1) a (2) sú:

Ak sa pozriete na korene rovníc, získajú sa iba rôzne menovatele a výsledok závisí presne od koeficientu pri x 2:

Druhé (upravené) korene sú 2-krát väčšie.

Preto výsledok vydelíme 2.

*Ak hodíme trojicu, tak výsledok vydelíme 3 atď.

Odpoveď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq ur-ie a skúšku.

O jeho dôležitosti poviem stručne – MALI BY STE SA SCHOPNI ROZHODNÚŤ rýchlo a bez rozmýšľania, treba poznať vzorce koreňov a rozlišovača naspamäť. Mnoho úloh, ktoré sú súčasťou úloh USE, spočíva v riešení kvadratickej rovnice (vrátane geometrických).

Čo stojí za povšimnutie!

1. Tvar rovnice môže byť „implicitný“. Napríklad je možný nasledujúci záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 alebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 alebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte to priniesť do štandardného formulára (aby ste sa pri riešení nezmiatli).

2. Pamätajte, že x je neznáma hodnota a možno ju označiť ľubovoľným iným písmenom - t, q, p, h a inými.