Týmto videom začínam sériu lekcií o sústavách rovníc. Dnes si povieme niečo o riešení sústav lineárnych rovníc metóda pridávania Je to jeden z najjednoduchších spôsobov, no zároveň jeden z najefektívnejších.

Metóda pridávania pozostáva z troch jednoduchých krokov:

1. Pozrite sa na systém a vyberte premennú, ktorá má v každej rovnici rovnaké (alebo opačné) koeficienty;
2. Vykonajte algebraické odčítanie (pre opačné čísla - sčítanie) rovníc od seba navzájom a potom priveďte podobné pojmy;
3. Vyriešte novú rovnicu získanú po druhom kroku.

Ak je všetko vykonané správne, potom na výstupe dostaneme jedinú rovnicu s jednou premennou- Nebude ťažké to vyriešiť. Potom zostáva len nahradiť nájdený koreň v pôvodnom systéme a získať konečnú odpoveď.

V praxi to však nie je také jednoduché. Existuje na to niekoľko dôvodov:

• Riešenie rovníc sčítaním znamená, že všetky riadky musia obsahovať premenné s rovnakými/opačnými koeficientmi. Čo ak táto požiadavka nie je splnená?
• Nie vždy, po sčítaní / odčítaní rovníc týmto spôsobom dostaneme krásnu konštrukciu, ktorá sa ľahko rieši. Je možné nejako zjednodušiť výpočty a urýchliť výpočty?

Ak chcete získať odpoveď na tieto otázky a zároveň sa vysporiadať s niekoľkými ďalšími jemnosťami, ktoré mnohí študenti „prepadnú“, pozrite si môj video tutoriál:

Touto lekciou začíname sériu prednášok o sústavách rovníc. A začneme tým najjednoduchším z nich, a to tými, ktoré obsahujú dve rovnice a dve premenné. Každý z nich bude lineárny.

Systémy je materiál pre 7. ročník, ale táto lekcia bude užitočná aj pre stredoškolákov, ktorí si chcú oprášiť svoje vedomosti na túto tému.

Vo všeobecnosti existujú dva spôsoby riešenia takýchto systémov:

1. Metóda pridávania;
2. Metóda vyjadrenia jednej premennej pomocou inej.

Dnes sa budeme zaoberať prvou metódou – použijeme metódu odčítania a sčítania. Na to však musíte pochopiť nasledujúcu skutočnosť: akonáhle máte dve alebo viac rovníc, môžete vziať ľubovoľné dve z nich a sčítať ich. Pridávajú sa termín po termíne, t.j. "X" sa pridávajú k "X" a uvádzajú sa podobné;

Výsledkom takýchto machinácií bude nová rovnica, ktorá, ak má korene, bude určite medzi koreňmi pôvodnej rovnice. Našou úlohou je teda urobiť odčítanie alebo sčítanie tak, aby zmizlo buď $x$ alebo $y$.

Ako to dosiahnuť a aký nástroj na to použiť - o tom teraz budeme hovoriť.

Riešenie jednoduchých problémov pomocou metódy sčítania

Učíme sa teda aplikovať metódu sčítania na príklade dvoch jednoduchých výrazov.

Úloha č.1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Všimnite si, že $y$ má koeficient $-4$ v prvej rovnici a $+4$ v druhej. Sú navzájom protichodné, takže je logické predpokladať, že ak ich spočítame, tak vo výslednom množstve sa „hry“ navzájom zničia. Pridáme a dostaneme:

Riešime najjednoduchšiu konštrukciu:

Skvelé, našli sme X. Čo s ním teraz robiť? Môžeme ho dosadiť do ktorejkoľvek z rovníc. Dajme to do prvého:

\[-4y=12\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

Odpoveď: $\left(2;-3\right)$.

Úloha č. 2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Tu je situácia úplne podobná, len s X-kami. Dajme si ich dokopy:

Dostali sme najjednoduchšiu lineárnu rovnicu, poďme ju vyriešiť:

Teraz nájdime $x$:

Odpoveď: $\left(-3;3\right)$.

Dôležité body

Takže sme práve vyriešili dva jednoduché systémy lineárnych rovníc pomocou metódy sčítania. Ešte raz kľúčové body:

1. Ak existujú opačné koeficienty pre jednu z premenných, potom je potrebné pridať všetky premenné v rovnici. V tomto prípade bude jeden z nich zničený.
2. Nájdenú premennú dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc systému, aby sme našli druhú.
3. Konečný záznam odpovede môže byť prezentovaný rôznymi spôsobmi. Napríklad takto - $x=...,y=...$, alebo vo forme súradníc bodov - $\left(...;... \right)$. Uprednostňuje sa druhá možnosť. Hlavná vec na zapamätanie je, že prvá súradnica je $x$ a druhá je $y$.
4. Nie vždy platí pravidlo písať odpoveď vo forme súradníc bodov. Nemožno ho napríklad použiť, keď rola premenných nie je $x$ a $y$, ale napríklad $a$ a $b$.

V nasledujúcich úlohách budeme uvažovať o technike odčítania, keď koeficienty nie sú opačné.

Riešenie jednoduchých úloh metódou odčítania

Úloha č.1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Všimnite si, že tu neexistujú žiadne opačné koeficienty, ale existujú rovnaké. Preto odčítame druhú rovnicu od prvej rovnice:

Teraz dosadíme hodnotu $x$ do ktorejkoľvek z rovníc systému. Poďme prvý:

Odpoveď: $\left(2;5\right)$.

Úloha č. 2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Opäť vidíme rovnaký koeficient $5$ pre $x$ v prvej a druhej rovnici. Preto je logické predpokladať, že musíte odpočítať druhú od prvej rovnice:

Vypočítali sme jednu premennú. Teraz nájdime druhú, napríklad dosadením hodnoty $y$ do druhej konštrukcie:

Odpoveď: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuansy riešenia

Čo teda vidíme? V podstate sa schéma nelíši od riešenia predchádzajúcich systémov. Rozdiel je len v tom, že rovnice nesčítavame, ale odčítavame. Robíme algebraické odčítanie.

Inými slovami, akonáhle uvidíte systém pozostávajúci z dvoch rovníc s dvoma neznámymi, prvá vec, na ktorú sa musíte pozrieť, sú koeficienty. Ak sú kdekoľvek rovnaké, rovnice sa odčítajú a ak sú opačné, použije sa metóda sčítania. Vždy sa to robí tak, že jeden z nich zmizne a v konečnej rovnici, ktorá zostane po odčítaní, by zostala iba jedna premenná.

Samozrejme, to nie je všetko. Teraz zvážime systémy, v ktorých sú rovnice vo všeobecnosti nekonzistentné. Tie. nie sú v nich také premenné, ktoré by boli buď rovnaké alebo opačné. V tomto prípade sa na vyriešenie takýchto systémov používa dodatočná technika, a to násobenie každej z rovníc špeciálnym koeficientom. Ako to nájsť a ako riešiť takéto systémy vo všeobecnosti, teraz o tom budeme hovoriť.

Riešenie úloh násobením koeficientom

Príklad č. 1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Vidíme, že ani pre $x$, ani pre $y$ nie sú koeficienty nielenže vzájomne opačné, ale vo všeobecnosti nijako nekorelujú s inou rovnicou. Tieto koeficienty nijako nezmiznú, ani keď rovnice od seba sčítame alebo odčítame. Preto je potrebné aplikovať násobenie. Skúsme sa zbaviť premennej $y$. Aby sme to dosiahli, vynásobíme prvú rovnicu koeficientom $y$ z druhej rovnice a druhú rovnicu koeficientom $y$ z prvej rovnice bez zmeny znamienka. Vynásobíme a získame nový systém:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Pozrime sa na to: pre $y$ opačné koeficienty. V takejto situácii je potrebné použiť metódu sčítania. Pridajme:

Teraz musíme nájsť $y$. Ak to chcete urobiť, nahraďte $x$ v prvom výraze:

\[-9y=18\vľavo| :\vľavo(-9 \vpravo) \vpravo.\]

Odpoveď: $\left(4;-2\right)$.

Príklad č. 2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Opäť platí, že koeficienty pre žiadnu z premenných nie sú konzistentné. Vynásobme koeficientmi pri $y$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 11x+4y=-18\vľavo| 6 \vpravo. \\& 13x-6y=-32\vľavo| 4 \vpravo. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo .\]

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Náš nový systém je ekvivalentný s predchádzajúcim, ale koeficienty $y$ sú navzájom opačné, a preto je ľahké použiť metódu sčítania tu:

Teraz nájdite $y$ dosadením $x$ do prvej rovnice:

Odpoveď: $\left(-2;1\right)$.

Nuansy riešenia

Tu je kľúčové pravidlo nasledovné: vždy násobte iba kladnými číslami - to vás ušetrí od hlúpych a urážlivých chýb spojených so zmenou znamenia. Vo všeobecnosti je schéma riešenia pomerne jednoduchá:

1. Pozeráme sa na systém a analyzujeme každú rovnicu.
2. Ak vidíme, že ani pre $y$, ani pre $x$ nie sú koeficienty konzistentné, t.j. nie sú ani rovnaké, ani opačné, potom urobíme nasledovné: vyberieme premennú, ktorej sa chceme zbaviť, a potom sa pozrieme na koeficienty v týchto rovniciach. Ak vynásobíme prvú rovnicu koeficientom z druhej a vynásobíme druhú, zodpovedajúcu, koeficientom z prvej, potom nakoniec dostaneme systém, ktorý je úplne ekvivalentný predchádzajúcemu, a koeficienty na $ y$ bude konzistentné. Všetky naše akcie alebo transformácie sú zamerané len na získanie jednej premennej v jednej rovnici.
3. Nájdeme jednu premennú.
4. Nájdenú premennú dosadíme do jednej z dvoch rovníc systému a nájdeme druhú.
5. Odpoveď zapíšeme v tvare súradníc bodov, ak máme premenné $x$ a $y$.

Ale aj taký jednoduchý algoritmus má svoje vlastné jemnosti, napríklad koeficienty $x$ alebo $y$ môžu byť zlomky a iné „škaredé“ čísla. Tieto prípady teraz zvážime oddelene, pretože v nich môžete konať trochu iným spôsobom ako podľa štandardného algoritmu.

Riešenie úloh so zlomkovými číslami

Príklad č. 1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Najprv si všimnite, že druhá rovnica obsahuje zlomky. Ale všimnite si, že môžete rozdeliť $ 4 $ 0,8 $. Dostávame 5 $. Vynásobme druhú rovnicu 5 $:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Odčítame od seba rovnice:

$n$ sme našli, teraz vypočítame $m$:

Odpoveď: $n=-4;m=5$

Príklad č. 2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 2,5p+1,5k=-13\vľavo| 4 \vpravo. \\& 2p-5k=2\vľavo| 5 \vpravo. \\\koniec (zarovnanie )\ správny.\]

Aj tu, rovnako ako v predchádzajúcom systéme, existujú zlomkové koeficienty, avšak pre žiadnu z premenných koeficienty do seba nezapadajú o celé číslo. Preto používame štandardný algoritmus. Zbavte sa $p$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Použime metódu odčítania:

Nájdite $p$ dosadením $k$ do druhého konštruktu:

Odpoveď: $p=-4;k=-2$.

Nuansy riešenia

To je celá optimalizácia. V prvej rovnici sme nenásobili vôbec ničím a druhá rovnica bola vynásobená 5 $. V dôsledku toho sme získali konzistentnú a dokonca rovnakú rovnicu pre prvú premennú. V druhom systéme sme postupovali podľa štandardného algoritmu.

Ako však nájsť čísla, ktorými musíte rovnice vynásobiť? Ak totiž vynásobíme zlomkovými číslami, dostaneme nové zlomky. Preto musia byť zlomky vynásobené číslom, ktoré by dalo nové celé číslo, a potom by sa mali premenné vynásobiť koeficientmi podľa štandardného algoritmu.

Na záver by som chcel upozorniť na formát záznamu odpovede. Ako som už povedal, keďže tu nemáme $x$ a $y$, ale iné hodnoty, používame neštandardný zápis tvaru:

Riešenie zložitých sústav rovníc

Na záver dnešného videonávodu sa pozrime na pár skutočne zložitých systémov. Ich zložitosť bude spočívať v tom, že budú obsahovať premenné vľavo aj vpravo. Preto, aby sme ich vyriešili, budeme musieť použiť predspracovanie.

Systém #1

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnať)& 3\vľavo(2x-y \vpravo)+5=-2\vľavo(x+3y\vpravo)+4 \\& 6\vľavo(y+1 \vpravo )-1=5\vľavo (2x-1 \vpravo)+8 \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Každá rovnica nesie určitú zložitosť. Preto s každým výrazom robme ako s bežnou lineárnou konštrukciou.

Celkovo dostaneme konečný systém, ktorý je ekvivalentný pôvodnému:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Pozrime sa na koeficienty $y$: $3$ sa zmestí do $6$ dvakrát, takže prvú rovnicu vynásobíme $2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Koeficienty $y$ sú teraz rovnaké, takže od prvej rovnice odpočítame druhý: $$

Teraz nájdime $y$:

Odpoveď: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Systém #2

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnať)& 4\vľavo(a-3b \vpravo)-2a=3\vľavo(b+4 \vpravo)-11 \\& -3\vľavo(b-2a \vpravo )-12=2\vľavo(a-5 \vpravo)+b \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Transformujme prvý výraz:

Poďme sa zaoberať druhým:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Náš počiatočný systém bude mať celkovo nasledujúcu formu:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Pri pohľade na koeficienty $a$ vidíme, že prvú rovnicu je potrebné vynásobiť $2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Od prvej konštrukcie odpočítame druhú:

Teraz nájdite $a$:

Odpoveď: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

To je všetko. Dúfam, že vám tento videonávod pomôže pochopiť túto náročnú tému, konkrétne riešenie systémov jednoduchých lineárnych rovníc. Ďalej bude k tejto téme oveľa viac lekcií: budeme analyzovať zložitejšie príklady, kde bude viac premenných a samotné rovnice už budú nelineárne. Do skorého videnia!

Systémy rovníc sú široko používané v hospodárskom priemysle pri matematickom modelovaní rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických ciest (problém dopravy) alebo rozmiestnenia zariadení.

Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Sústava lineárnych rovníc je označenie pre dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Vyriešte sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pre ktoré sa systém stáva skutočnou rovnosťou, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty x a y.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny všeobecný analytický spôsob riešenia takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. ročníka všeobecnovzdelávacieho školského programu je pomerne jednoduché a je veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussovej a Cramerovej sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice a potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešenia systémov sčítacou metódou sa vykonáva sčítanie po členoch a násobenie rovníc rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica s jednou premennou.

Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie sa jeden z koeficientov premennej musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Metóda riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Z príkladu je vidieť, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú štvorcovú trojčlenku. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda spočíva vo vynesení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovú os. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako je zrejmé z príkladu, pre každý riadok boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

V nasledujúcom príklade je potrebné nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, sústava nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrix a jeho odrody

Matice slúžia na stručný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je jednostĺpcová matica s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a iných nulových prvkov sa nazýva identita.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak sa aspoň jeden prvok v riadku nerovná nule. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje znížiť ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie sústav Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na nájdenie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. Algebraickými transformáciami a substitúciami sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad gaussovského riešenia opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je jedným z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať vynaliezavosť detí študujúcich v nadstavbovom študijnom programe na hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje vo vykonávaní potrebných algebraických operácií, kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.

Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.

Algebraická metóda sčítania

Sústavu rovníc s dvoma neznámymi môžete riešiť rôznymi spôsobmi – grafickou metódou alebo metódou premennej zmeny.

V tejto lekcii sa zoznámime s ďalším spôsobom riešenia sústav, ktorý sa vám určite bude páčiť – ide o metódu algebraického sčítania.

A kde sa zrodil nápad – dať niečo do systémov? Pri riešení systémov je hlavným problémom prítomnosť dvoch premenných, pretože nedokážeme riešiť rovnice s dvoma premennými. Preto je potrebné jedného z nich nejakým právnym spôsobom vylúčiť. A takými legitímnymi spôsobmi sú matematické pravidlá a vlastnosti.

Jedna z týchto vlastností znie takto: súčet opačných čísel je nula. To znamená, že ak existujú opačné koeficienty pre jednu z premenných, tak ich súčet sa bude rovnať nule a túto premennú budeme môcť z rovnice vylúčiť. Je jasné, že nemáme právo pridávať len výrazy s premennou, ktorú potrebujeme. Je potrebné sčítať rovnice ako celok, t.j. samostatne pridajte podobné výrazy na ľavej strane a potom na pravej strane. V dôsledku toho dostaneme novú rovnicu obsahujúcu iba jednu premennú. Poďme sa pozrieť na konkrétne príklady.

Vidíme, že v prvej rovnici je premenná y a v druhej je opačné číslo y. Takže túto rovnicu možno vyriešiť adičnou metódou.

Jedna z rovníc zostáva tak, ako je. Každý, kto sa vám najviac páči.

Ale druhá rovnica sa získa sčítaním týchto dvoch rovníc po členoch. Tie. Pridajte 3x až 2x, pridajte y k -y, pridajte 8 až 7.

Dostaneme sústavu rovníc

Druhá rovnica tohto systému je jednoduchá rovnica s jednou premennou. Z toho nájdeme x \u003d 3. Nahradením nájdenej hodnoty v prvej rovnici nájdeme y \u003d -1.

Odpoveď: (3; - 1).

Vzorka dizajnu:

Riešte sústavu rovníc algebraickým sčítaním

V tomto systéme neexistujú žiadne premenné s opačnými koeficientmi. Vieme však, že obe strany rovnice možno vynásobiť rovnakým číslom. Vynásobme prvú rovnicu sústavy 2.

Potom bude mať prvá rovnica tvar:

Teraz vidíme, že s premennou x existujú opačné koeficienty. Urobíme teda to isté ako v prvom príklade: jednu z rovníc necháme nezmenenú. Napríklad 2y + 2x \u003d 10. A druhé dostaneme pridaním.

Teraz máme systém rovníc:

Z druhej rovnice ľahko zistíme y = 1 a potom z prvej rovnice x = 4.

Vzorka dizajnu:

Poďme si to zhrnúť:

Naučili sme sa riešiť sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi pomocou metódy algebraického sčítania. Teraz teda poznáme tri hlavné metódy riešenia takýchto systémov: grafickú metódu, metódu zmeny premennej a metódu sčítania. Pomocou týchto metód je možné vyriešiť takmer každý systém. V zložitejších prípadoch sa používa kombinácia týchto techník.

Zoznam použitej literatúry:

1. Mordkovich A.G., Algebra ročník 7 v 2 častiach, 1. časť, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. - 10. vydanie, revidované - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra ročník 7 v 2 častiach, 2. časť, Zošit úloh pre vzdelávacie inštitúcie / [A.G. Mordkovich a ďalší]; upravil A.G. Mordkovich - 10. vydanie, revidované - Moskva, Mnemosyne, 2007.
3. JA. Tulchinskaya, Algebra 7. ročník. Bleskový prieskum: príručka pre študentov vzdelávacích inštitúcií, 4. vydanie, revidované a doplnené, Moskva, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., algebra ročník 7. Tematické testové práce v novej podobe pre študentov vzdelávacích inštitúcií v redakcii A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrová L.A. Algebra 7. ročník. Samostatná práca pre študentov vzdelávacích inštitúcií, spracovaná A.G. Mordkovich - 6. vydanie, stereotypné, Moskva, "Mnemosyne", 2010.

Pomocou metódy sčítania sa rovnice systému sčítavajú po členoch, pričom 1 alebo obe (niekoľko) rovníc možno vynásobiť ľubovoľným číslom. Výsledkom je ekvivalentný SLE, kde jedna z rovníc má iba jednu premennú.

Na vyriešenie systému člen po člene sčítanie (odčítanie) postupujte podľa nasledujúcich krokov:

1. Vyberieme premennú, pre ktorú sa budú robiť rovnaké koeficienty.

2. Teraz musíte rovnice sčítať alebo odčítať a dostať rovnicu s jednou premennou.

Systémové riešenie sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Daný systém:

Po analýze tohto systému môžete vidieť, že koeficienty premennej sú rovnaké v absolútnej hodnote a rôzne v znamienku (-1 a 1). V tomto prípade je možné rovnice jednoducho pridať po členoch:

Akcie, ktoré sú zakrúžkované červenou farbou, sa vykonávajú v mysli.

Výsledkom termwise sčítania bolo zmiznutie premennej r. Práve v tomto a Toto je v skutočnosti zmysel metódy - zbaviť sa prvej z premenných.

-4 - r + 5 = 0 → r = 1,

Ako systém vyzerá riešenie takto:

odpoveď: X = -4 , r = 1.

Príklad 2

Daný systém:

V tomto príklade môžete použiť „školskú“ metódu, ktorá má však dosť veľké mínus – keď vyjadríte akúkoľvek premennú z akejkoľvek rovnice, dostanete riešenie v obyčajných zlomkoch. A riešenie zlomkov trvá dosť času a zvyšuje sa pravdepodobnosť, že urobíte chybu.

Preto je lepšie používať sčítanie (odčítanie) rovníc po členoch. Poďme analyzovať koeficienty zodpovedajúcich premenných:

Nájdite číslo, ktoré možno deliť 3 a ďalej 4 , pričom je potrebné, aby toto číslo bolo čo najmenšie. Toto je najmenší spoločný násobok. Ak je pre vás ťažké nájsť správne číslo, môžete koeficienty vynásobiť:.

Ďalši krok:

Vynásobte prvú rovnicu číslom ,

Vynásobte tretiu rovnicu číslom ,

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program dáva nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, pre rodičov na ovládanie riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať domácu úlohu z matematiky či algebry hotovú čo najrýchlejšie? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný výcvik a/alebo výcvik vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Pravidlá pre zadávanie rovníc

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sú rovnice najskôr zjednodušené. Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov.
Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomkové čísla vo forme desatinných a obyčajných zlomkov.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť bodkou alebo čiarkou.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Vyriešte sústavu rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc substitučnou metódou:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz v inej rovnici systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime z prvej rovnice y až x: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x namiesto y do druhej rovnice dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnice y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Zvážte iný spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc - metódu sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitučnou metódou prechádzame z danej sústavy do inej jemu ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc metódou sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty pre jednu z premenných stali opačnými číslami;
2) pridajte člen po člene ľavú a pravú časť rovníc systému;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním členov po členoch ľavej a pravej časti rovníc dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38 \) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38 \). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Riešenie systému rovníc sme teda našli pridaním: \(x=11; y=-9 \) alebo \((11; -9) \)

Využijúc fakt, že v rovniciach sústavy sú koeficienty y opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch častí každej z rovníc pôvodnej symme), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a OGE testy online Hry, hádanky Grafické znázornenie funkcií Slovník pravopisu ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných škôl v Rusku Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh