Vo vzťahu k pevnej osi ("axiálny moment zotrvačnosti") sa nazýva hodnota J a rovná súčtu súčinov hmotností všetkých n hmotné body systému na druhé mocniny ich vzdialeností od osi:

• m i- hmotnosť i-tý bod,
• RI- vzdialenosť od i-tý bod k osi.

Axiálny moment zotrvačnosti telo J a je mierou zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri translačnom pohybe.

Ak je teleso homogénne, teda jeho hustota je všade rovnaká

Huygens-Steinerova veta

Moment zotrvačnosti pevného telesa vzhľadom na ktorúkoľvek os závisí nielen od hmotnosti, tvaru a veľkosti telesa, ale aj od polohy telesa vzhľadom na túto os. Podľa Steinerovej vety (Huygens-Steinerova veta) moment zotrvačnosti telo J vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu moment zotrvačnosti toto telo Jc vzhľadom k osi prechádzajúcej ťažiskom tela rovnobežne s uvažovanou osou a súčinom hmotnosti tela m na štvorcovú vzdialenosť d medzi nápravami:

kde je celková hmotnosť telesa.

Napríklad moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej jej koncom je:

Axiálne momenty zotrvačnosti niektorých telies

Telo	Popis	Poloha osi a	Moment zotrvačnosti J a
	Hmotný bod hmoty m	Na diaľku r z bodu, pevný
	Dutý tenkostenný valec alebo krúžok s polomerom r a masy m	Os valca
	Pevný polomer valca alebo disku r a masy m	Os valca
	Dutý hrubostenný masový valec m s vonkajším polomerom r2 a vnútorný polomer r1	Os valca
	Pevná dĺžka valca l, polomer r a masy m
	Dutý tenkostenný valec (prstenec) dĺžka l, polomer r a masy m	Os je kolmá na valec a prechádza jeho ťažiskom
	Rovná tenká dĺžka tyče l a masy m	Os je kolmá na tyč a prechádza jej ťažiskom
	Rovná tenká dĺžka tyče l a masy m	Os je kolmá na tyč a prechádza jej koncom
	Tenkostenná guľa polomeru r a masy m	Os prechádza stredom gule
	polomer gule r a masy m	Os prechádza stredom lopty
	Polomer kužeľa r a masy m	os kužeľa
	Rovnoramenný trojuholník s výškou h, základňa a a hmotnosti m	Os je kolmá na rovinu trojuholníka a prechádza vrcholom
	Pravý trojuholník so stranou a a hmotnosti m	Os je kolmá na rovinu trojuholníka a prechádza ťažiskom
	Štvorec so stranou a a hmotnosti m	Os je kolmá na rovinu štvorca a prechádza ťažiskom

Odvodenie vzorcov

Tenkostenný valec (krúžok, obruč)

Odvodenie vzorca

Moment zotrvačnosti telesa sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti jeho častí. Rozdelenie tenkostenného valca na prvky s hmotou dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

Pretože všetky prvky tenkostenného valca sú v rovnakej vzdialenosti od osi otáčania, vzorec (1) sa prevedie na tvar

Hrubostenný valec (krúžok, obruč)

Odvodenie vzorca

Nech je homogénny prstenec s vonkajším polomerom R, vnútorný polomer R 1, tl h a hustota ρ. Rozlámeme ho na tenké krúžky s hrúbkou DR. Hmotnosť a moment zotrvačnosti tenkého prstenca s polomerom r bude

Moment zotrvačnosti hrubého prstenca nájdeme ako integrál

Pretože objem a hmotnosť prstenca sú rovnaké

získame konečný vzorec pre moment zotrvačnosti prstenca

Homogénny disk (plný valec)

Odvodenie vzorca

Uvažovať valec (disk) ako krúžok s nulovým vnútorným polomerom ( R 1 = 0), získame vzorec pre moment zotrvačnosti valca (disku):

pevný kužeľ

Odvodenie vzorca

Rozdeľte kužeľ na tenké kotúče s hrúbkou dh, kolmo na os kužeľa. Polomer takéhoto disku je

kde R je polomer základne kužeľa, H je výška kužeľa, h je vzdialenosť od vrcholu kužeľa k disku. Hmotnosť a moment zotrvačnosti takéhoto disku bude

Integrácia, chápeme

Pevná jednotná lopta

Odvodenie vzorca

Rozdeľte guľu na tenké kotúče dh, kolmo na os otáčania. Polomer takéhoto disku umiestneného vo výške h od stredu gule zistíme podľa vzorca

Hmotnosť a moment zotrvačnosti takéhoto disku bude

Moment zotrvačnosti gule nájdeme integráciou:

tenkostenná guľa

Odvodenie vzorca

Na odvodenie použijeme vzorec pre moment zotrvačnosti homogénnej gule polomeru R:

Vypočítajme, o koľko sa zmení moment zotrvačnosti gule, ak sa pri konštantnej hustote ρ jej polomer zväčší o nekonečne malú hodnotu DR.

Tenká tyč (os prechádza stredom)

Odvodenie vzorca

Rozdeľte tyč na malé fragmenty dĺžky DR. Hmotnosť a moment zotrvačnosti takéhoto fragmentu je

Integrácia, chápeme

Tenká tyč (os prechádza cez koniec)

Odvodenie vzorca

Pri pohybe osi otáčania zo stredu tyče na jej koniec sa ťažisko tyče posunie vzhľadom na os o vzdialenosť l/2. Podľa Steinerovej vety bude nový moment zotrvačnosti rovný

Bezrozmerné momenty zotrvačnosti planét a ich satelitov

Veľký význam pre štúdium vnútornej štruktúry planét a ich satelitov majú ich bezrozmerné momenty zotrvačnosti. Bezrozmerný moment zotrvačnosti telesa s polomerom r a masy m sa rovná pomeru momentu jeho zotrvačnosti okolo osi rotácie k momentu zotrvačnosti hmotného bodu rovnakej hmotnosti vo vzťahu k pevnej osi rotácie umiestnenej vo vzdialenosti r(rovná Pán 2). Táto hodnota odráža rozloženie hmoty do hĺbky. Jednou z metód na jej meranie na planétach a satelitoch je určenie Dopplerovho posunu rádiového signálu vysielaného AMS letiacim okolo danej planéty alebo satelitu. Pre tenkostennú guľu je bezrozmerný moment zotrvačnosti rovný 2/3 (~0,67), pre homogénnu guľu - 0,4 a vo všeobecnosti čím je menší, tým väčšia je hmotnosť tela sústredená v jeho strede. Napríklad Mesiac má bezrozmerný moment zotrvačnosti blízky 0,4 (rovná sa 0,391), takže sa predpokladá, že je relatívne homogénny, jeho hustota sa s hĺbkou mení len málo. Bezrozmerný moment zotrvačnosti Zeme je menší ako u homogénnej gule (rovnajúci sa 0,335), čo je argument v prospech existencie hustého jadra v nej.

odstredivý moment zotrvačnosti

Odstredivé momenty zotrvačnosti telesa vzhľadom na osi pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému sú tieto veličiny:

kde X, r a z- súradnice malého prvku telesa s objemom dV, hustota ρ a hmotnosti dm.

Os OX sa nazýva hlavná os zotrvačnosti tela ak sú odstredivé momenty zotrvačnosti Jxy a Jxz sú súčasne nulové. Cez každý bod telesa je možné nakresliť tri hlavné osi zotrvačnosti. Tieto osi sú na seba navzájom kolmé. Momenty zotrvačnosti tela vzhľadom na tri hlavné osi zotrvačnosti nakreslené v ľubovoľnom bode O telá sa nazývajú hlavné momenty zotrvačnosti tela.

Hlavné osi zotrvačnosti prechádzajúce ťažiskom telesa sa nazývajú hlavné centrálne osi zotrvačnosti tela a momenty zotrvačnosti okolo týchto osí sú jeho hlavné centrálne momenty zotrvačnosti. Os symetrie homogénneho telesa je vždy jednou z jeho hlavných centrálnych osí zotrvačnosti.

Geometrický moment zotrvačnosti

Geometrický moment zotrvačnosti - geometrická charakteristika rezu pohľadu

kde je vzdialenosť od stredovej osi k akejkoľvek elementárnej ploche vzhľadom na neutrálnu os.

Geometrický moment zotrvačnosti nesúvisí s pohybom materiálu, odráža len stupeň tuhosti prierezu. Používa sa na výpočet polomeru otáčania, vychýlenia nosníka, výberu prierezu nosníkov, stĺpov atď.

Mernou jednotkou SI je m 4 . V stavebných výpočtoch, literatúre a sortimente najmä valcovaného kovu sa uvádza v cm 4.

Z neho sa vyjadruje modul prierezu:

Centrálny moment zotrvačnosti

Centrálny moment zotrvačnosti(alebo moment zotrvačnosti okolo bodu O) je množstvo

Centrálny moment zotrvačnosti možno vyjadriť ako hlavné axiálne alebo odstredivé momenty zotrvačnosti: .

Tenzor zotrvačnosti a elipsoid zotrvačnosti

Moment zotrvačnosti telesa okolo ľubovoľnej osi prechádzajúcej ťažiskom a so smerom daným jednotkovým vektorom možno znázorniť ako kvadratickú (bilineárnu) formu:

kde je tenzor zotrvačnosti. Matica tenzora zotrvačnosti je symetrická, má rozmery a skladá sa z komponentov odstredivého momentu:

Výberom vhodného súradnicového systému možno maticu tenzora zotrvačnosti zredukovať na diagonálny tvar. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť problém vlastných hodnôt pre tenzorovú maticu:
,
kde je ortogonálna prechodová matica k vlastnej báze tenzora zotrvačnosti. Vo svojej vlastnej podstate sú osi súradníc nasmerované pozdĺž hlavných osí tenzora zotrvačnosti a tiež sa zhodujú s hlavnými poloosami elipsoidu tenzora zotrvačnosti. Veľkosti sú hlavné momenty zotrvačnosti. Výraz (1) vo svojom vlastnom súradnicovom systéme má tvar:

odkiaľ pochádza rovnica

Zvážte teraz problém určenie momentu zotrvačnosti rôzne telá. generál vzorec na zistenie momentu zotrvačnosti objekt vzhľadom na os z má tvar

Inými slovami, musíte pridať všetky hmotnosti a vynásobiť každú z nich druhou mocninou vzdialenosti od osi (x 2 i + y 2 i). Všimnite si, že to platí aj pre trojrozmerné telo, aj keď vzdialenosť má taký „dvojrozmerný vzhľad“. Vo väčšine prípadov sa však obmedzíme na dvojrozmerné telá.

Ako jednoduchý príklad uvažujme tyč otáčajúcu sa okolo osi prechádzajúcej jej koncom a kolmej na ňu (obr. 19.3). Teraz potrebujeme sčítať všetky hmotnosti vynásobené druhými mocničkami vzdialenosti x (v tomto prípade sú všetky y nula). Pod súčtom samozrejme myslím integrál x 2 vynásobený „prvkami“ hmotnosti. Ak tyč rozdelíme na kúsky dĺžky dx, potom príslušný prvok hmotnosti bude úmerný dx a ak by dx bola dĺžka celej tyče, potom by sa jej hmotnosť rovnala M. Preto

Rozmer momentu zotrvačnosti sa vždy rovná hmotnosti krát druhá mocnina dĺžky, takže jediná významná hodnota, ktorú sme vypočítali, je faktor 1/3.

A aký bude moment zotrvačnosti I, ak os otáčania prechádza stredom tyče? Aby sme to našli, musíme opäť vziať integrál, ale už v rozsahu od -1/2L do +1/2L. Všimnite si však jednu vlastnosť tohto prípadu. Takú tyč s osou prechádzajúcou stredom si možno predstaviť ako dve tyče s osou prechádzajúcou koncom, pričom každá má hmotnosť M/2 a dĺžku L/2. Momenty zotrvačnosti dvoch takýchto tyčí sa navzájom rovnajú a sú vypočítané podľa vzorca (19.5). Preto je moment zotrvačnosti celej tyče

Prút je teda oveľa jednoduchšie krútiť v strede ako na konci.

Vo výpočte momentov zotrvačnosti iných pre nás zaujímavých telies je samozrejme možné pokračovať. Ale keďže takéto výpočty vyžadujú veľa skúseností s výpočtom integrálov (čo je samo o sebe veľmi dôležité), ako také nás nezaujímajú. Existuje však niekoľko veľmi zaujímavých a užitočných teorémov. Nech je nejaké telo a my to chceme vedieť moment zotrvačnosti okolo nejakej osi. To znamená, že chceme nájsť jeho zotrvačnosť pri otáčaní okolo tejto osi. Ak teleso pohybujeme za tyč podopierajúcu jeho ťažisko tak, aby sa pri otáčaní okolo osi neotáčalo (v tomto prípade naň nepôsobia momenty zotrvačných síl, takže sa teleso neotočí, keď s ním začneme pohybovať) , potom na to, aby ste ho otočili, potrebujete presne rovnakú silu, ako keby bola všetka hmota sústredená v ťažisku a moment zotrvačnosti by sa jednoducho rovnal I 1 = MR 2 c.m. , kde R c.m je vzdialenosť od ťažiska k osi rotácie. Tento vzorec je však, samozrejme, nesprávny. Nedáva správny moment zotrvačnosti tela. Koniec koncov, v skutočnosti sa pri otáčaní telo otáča. Netočí sa len ťažisko (čo by dalo hodnotu I 1), voči ťažisku sa musí otáčať aj samotné teleso. K momentu zotrvačnosti I 1 teda treba pridať I c - moment zotrvačnosti okolo ťažiska. Správna odpoveď je, že moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi je

Táto veta sa nazýva translačná veta paralelnej osi. Dokazuje sa to veľmi jednoducho. Moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi sa rovná súčtu hmotností vynásobených súčtom štvorcov x a y, t.j. I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Teraz zameriame svoju pozornosť na x, ale to isté možno povedať o y. Nech x-ová súradnica je vzdialenosť daného konkrétneho bodu od počiatku; pozrime sa však, ako sa veci zmenia, ak zmeriame vzdialenosť x` od ťažiska namiesto x od začiatku. Aby sme to zistili, musíme napísať
x i = x` i + X c.m.
Nájdeme kvadratúru tohto výrazu
x 2 i = x' 2 i + 2X c.m. x'i + X 2 cm m.

Čo sa stane, ak to vynásobíte m i a sčítate celé r? Ak vezmeme konštanty zo súčtového znamienka, zistíme

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 cm. Σm i

Tretia suma sa dá ľahko vypočítať; je to len MX 2 ts.m. . Druhý člen pozostáva z dvoch faktorov, z ktorých jeden je Σm i x` i ; rovná sa x`- súradnici ťažiska. Ale to musí byť nula, pretože x` sa meria od ťažiska a v tomto súradnicovom systéme je priemerná poloha všetkých častíc, vážená ich hmotnosťami, nulová. Prvý člen je, samozrejme, súčasťou x z I c. Dostávame sa teda k vzorcu (19.7).

Skontrolujme vzorec (19.7) na jednom príklade. Len skontrolujeme, či to bude použiteľné pre prút. Už sme zistili, že moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na jej koniec sa musí rovnať ML 2 /3. A ťažisko tyče je samozrejme vo vzdialenosti L/2. Takže by sme mali dostať, že ML2/3=ML2/12+M(L/2)2. Keďže jedna štvrtina + jedna dvanástina = jedna tretina, neurobili sme žiadnu chybu.

Mimochodom, na nájdenie momentu zotrvačnosti (19.5) nie je vôbec potrebné počítať integrál. Dá sa jednoducho predpokladať, že sa rovná hodnote ML 2 vynásobenej nejakým neznámym koeficientom γ. Potom je možné použiť úvahy o dvoch poloviciach a získať koeficient 1/4γ pre moment zotrvačnosti (19.6). Teraz pomocou vety o preklade paralelnej osi dokážeme, že γ=1/4γ + 1/4, odkiaľ γ=1/3. Vždy sa dá nájsť nejaká odbočka!

Pri aplikácii vety o paralelnej osi je dôležité pamätať na to, že os I musí byť rovnobežná s osou, okolo ktorej chceme vypočítať moment zotrvačnosti.

Za zmienku snáď stojí ešte jedna vlastnosť, ktorá je často veľmi užitočná pri hľadaní momentu zotrvačnosti niektorých typov telies. Spočíva v nasledujúcom: ak máme plochý útvar a trojicu súradnicových osí s počiatkom umiestneným v tejto rovine a osou z smerujúcou kolmo na ňu, potom sa moment zotrvačnosti tohto útvaru k osi z rovná na súčet momentov zotrvačnosti okolo osí x a y . Dokazuje sa to celkom jednoducho. Všimni si

Moment zotrvačnosti homogénnej pravouhlej dosky, napríklad s hmotnosťou M, šírkou ω a dĺžkou L okolo osi kolmej na ňu a prechádzajúcej jej stredom, je jednoducho

keďže moment zotrvačnosti okolo osi ležiacej v rovine dosky a rovnobežnej s jej dĺžkou je rovný Mω 2 /12, teda presne rovnaký ako pri tyči dĺžky ω, a moment zotrvačnosti okolo inej osi v rovnaká rovina sa rovná ML 2 / 12, rovnaká ako pri tyči dĺžky L.

Uveďme si teda vlastnosti momentu zotrvačnosti okolo danej osi, ktorú budeme nazývať os z:

1. Moment zotrvačnosti je

2. Ak sa objekt skladá z niekoľkých častí a je známy moment zotrvačnosti každej z nich, potom sa celkový moment zotrvačnosti rovná súčtu momentov zotrvačnosti týchto častí.
3. Moment zotrvačnosti okolo danej osi sa rovná momentu zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom plus súčin celkovej hmotnosti krát druhá mocnina vzdialenosti tejto osi od ťažiska.
4. Moment zotrvačnosti plochého útvaru okolo osi kolmej na jeho rovinu sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti okolo ľubovoľných dvoch ďalších vzájomne kolmých osí ležiacich v rovine útvaru a pretínajúcich sa s kolmou osou.

V tabuľke. 19.1 ukazuje momenty zotrvačnosti niektorých elementárnych útvarov, ktoré majú jednotnú hustotu hmoty, a v tabuľke. 19.2 - momenty zotrvačnosti niektorých obrázkov, ktoré možno získať z tabuľky. 19.1 pomocou vlastností uvedených vyššie.

Telesá okolo ľubovoľnej osi možno nájsť výpočtom. Ak je látka v tele distribuovaná nepretržite, výpočet jej momentu zotrvačnosti sa redukuje na výpočet integrálu

kde r- vzdialenosť od hmotného prvku dm k osi otáčania.

Moment zotrvačnosti tenkej homogénnej tyče okolo kolmej osi. Nechajte os prechádzať koncom tyče ALE(obr. 4.4).

Pre moment zotrvačnosti môžeme písať I A = kml 2, kde l- dĺžka tyče, k- koeficient proporcionality. Stred tyče S je jeho ťažiskom. Podľa Steinerovej vety I A = I C + m(l/2) 2. hodnota ja C možno znázorniť ako súčet momentov zotrvačnosti dvoch tyčí, SA a SW, dĺžka každého z nich je l/2, hmotnosť m/2, a preto moment zotrvačnosti je I C = km(l/ 2) 2 . Dosadením týchto výrazov do vzorca pre Steinerovu vetu dostaneme

,

kde k = 1/3. V dôsledku toho nájdeme

(4.16)

Moment zotrvačnosti nekonečne tenkého kruhového prstenca(kruhy). Moment zotrvačnosti okolo osi Z(obr. 4.5) sa rovná

Iz = mR 2 , (4.17)

kde R je polomer prstenca. Kvôli symetrii I X = I Y.

Vzorec (4.17) samozrejme udáva aj moment zotrvačnosti dutého homogénneho valca s nekonečne tenkými stenami okolo svojej geometrickej osi.

Ryža. 4.5 Obr. 4.6

Moment zotrvačnosti nekonečne tenkého disku a pevného valca. Predpokladá sa, že kotúč a valec sú homogénne, t.j. látka je v nich rozložená s konštantnou hustotou. Nechajte os Z prechádza stredom disku S kolmo na jeho rovinu (obr. 4.6). Zvážte nekonečne tenký prsteň s vnútorným polomerom r a vonkajší polomer r + dr. Oblasť takéhoto krúžku dS = 2 p rdr. Jeho moment zotrvačnosti nájdeme podľa vzorca (4.17), rovná sa dIz = r 2 dm. Moment zotrvačnosti celého disku je určený integrálom Kvôli rovnomernosti disku dm= , kde S= p R 2 je plocha celého disku. Zavedením tohto výrazu pod znakom integrálu získame

(4.18)

Vzorec (4.18) udáva aj moment zotrvačnosti homogénneho pevného valca okolo jeho pozdĺžnej geometrickej osi.

Výpočet momentu zotrvačnosti telesa okolo osi možno často zjednodušiť tak, že sa najskôr vypočíta moment zotrvačnosti jeho vzhľadom na bod. Samotný moment zotrvačnosti tela voči bodu nehrá v dynamike žiadnu rolu. Ide čisto o pomocný koncept, ktorý slúži na zjednodušenie výpočtov. Moment zotrvačnosti telesa okolo bodu O volal súčet súčinov hmotností hmotných bodov, z ktorých sa teleso skladá, druhou mocninou ich vzdialeností R k bodu O: q = Σ mR 2. V prípade spojitého rozdelenia hmoty sa tento súčet redukuje na integrál q = ∫R 2 dm. Je samozrejmé, že moment θ by sa nemal zamieňať s momentom zotrvačnosti ja okolo osi. V prípade momentu ja omši dm sa vynásobia štvorcami vzdialeností k tejto osi av prípade momentu θ - k pevnému bodu.

Zvážte najprv jeden hmotný bod s hmotnosťou m a so súradnicami X, pri,z vzhľadom na pravouhlý súradnicový systém (obr. 4.7). Druhé mocniny jeho vzdialeností k súradnicovým osám X,Y,Z rovnaké resp y 2 + z 2,z2 + x2,x 2 + y 2 a momenty zotrvačnosti okolo rovnakých osí

I X= m(r 2 + z 2), ja = m(z 2 + X 2),

Ja Z = m(X 2 + r 2).

Pridaním týchto troch rovností dostaneme I X + I Y + I Z = 2m(X 2 + y 2 +z 2).

ale X 2 + y 2 +z 2 = R 2, kde R- vzdialenosť bodu m od počiatku O. Takže

I X + I Y + I Z = 29 . (4.19)

Tento pomer platí nielen pre jeden hmotný bod, ale aj pre ľubovoľné teleso, keďže teleso možno považovať za súbor hmotných bodov. teda súčet momentov zotrvačnosti telesa okolo troch vzájomne kolmých osí pretínajúcich sa v jednom bode O sa rovná dvojnásobku momentu zotrvačnosti toho istého telesa okolo tohto bodu.

Moment zotrvačnosti dutej gule s nekonečne tenkými stenami.

Najprv nájdeme moment zotrvačnosti θ okolo stredu lopty. Je zrejmé, že sa rovná θ = mR 2 . Potom použijeme vzorec (4.19). Za predpokladu, že v ňom vzhľadom na symetriu I X = I Y = I Z = I. V dôsledku toho nájdeme moment zotrvačnosti dutej gule vzhľadom na jej priemer

Moment zotrvačnosti
Na výpočet momentu zotrvačnosti musíme mentálne rozdeliť teleso na dostatočne malé prvky, ktorých body možno považovať za ležiace v rovnakej vzdialenosti od osi rotácie, potom nájsť súčin hmotnosti každého prvku druhou mocninou jeho vzdialenosti od osi a nakoniec spočítajte všetky výsledné produkty. Je zrejmé, že ide o veľmi pracnú úlohu. Na počítanie
momenty zotrvačnosti telies pravidelného geometrického tvaru, v niektorých prípadoch možno použiť metódy integrálneho počtu.
Nájdenie konečného súčtu momentov zotrvačnosti prvkov telesa nahradíme súčtom nekonečného počtu momentov zotrvačnosti vypočítaných pre nekonečne malé prvky:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (at ∆m → 0).
Vypočítajme moment zotrvačnosti homogénneho disku alebo plného valca s výškou h okolo svojej osi symetrie

Rozdeľme disk na prvky vo forme tenkých sústredných prstencov so stredmi na osi jeho symetrie. Výsledné krúžky majú vnútorný priemer r a vonkajšie r + dr a výšku h. Ako DR<< r , potom môžeme predpokladať, že vzdialenosť všetkých bodov prstenca od osi je r.
Pre každý jednotlivý krúžok moment zotrvačnosti
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
kde ΣΔm je hmotnosť celého prstenca.
Hlasitosť zvonenia 2prhdr. Ak je hustota materiálu disku ρ , potom hmotnosť prsteňa
ρ2prhdr.
Krúžkový moment zotrvačnosti
i = 2πρhr 3dr.
Na výpočet momentu zotrvačnosti celého disku je potrebné sčítať momenty zotrvačnosti krúžkov od stredu disku ( r = 0) na jeho okraj ( r = R), t.j. vypočítajte integrál:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
alebo
I = (1/2)πρhR 4.
Ale hmotnosť disku m = ρπhR 2, teda,
I = (1/2) mR2.
Uvádzame (bez výpočtu) momenty zotrvačnosti pre niektoré telesá pravidelného geometrického tvaru, vyrobené z homogénnych materiálov


 1. Moment zotrvačnosti tenkého prstenca okolo osi prechádzajúcej jeho stredom kolmým na jeho rovinu (alebo tenkostenného dutého valca okolo jeho osi symetrie):
I = mR2.
 2. Moment zotrvačnosti hrubostenného valca okolo osi symetrie:
I = (1/2)m(R12-R22)
kde R1− vnútorné a R2− vonkajšie polomery.
 3. Moment zotrvačnosti disku okolo osi, ktorá sa zhoduje s jedným z jeho priemerov:
I = (1/4) mR2.
 4. Moment zotrvačnosti tuhého valca okolo osi kolmej na tvoriacu čiaru a prechádzajúcej jej stredom:
I \u003d m (R 2 / 4 + h 2 / 12)
kde R- polomer základne valca, h je výška valca.
 5. Moment zotrvačnosti tenkej tyče okolo osi prechádzajúcej jej stredom:
I = (1/12) ml 2,
kde l je dĺžka tyče.
 6. Moment zotrvačnosti tenkej tyče okolo osi prechádzajúcej jedným z jej koncov:
I = (1/3) ml 2
7. Moment zotrvačnosti gule okolo osi zhodnej s jedným z jej priemerov:
I = (2/5)mR2.

Ak je známy moment zotrvačnosti telesa okolo osi prechádzajúcej jeho ťažiskom, potom moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek inej osi rovnobežnej s prvou možno nájsť na základe takzvanej Huygens-Steinerovej vety.
moment zotrvačnosti tela ja vzhľadom na ktorúkoľvek os sa rovná momentu zotrvačnosti telesa Je okolo osi rovnobežnej s danou a prechádzajúcej cez ťažisko telesa plus hmotnosť telesa m krát druhá mocnina vzdialenosti l medzi nápravami:
I \u003d I c + ml 2.
Ako príklad vypočítame moment zotrvačnosti gule s polomerom R a hmotnosti m zavesené na závite dĺžky l, vzhľadom na os prechádzajúcu závesným bodom O. Hmotnosť nite je malá v porovnaní s hmotnosťou gule. Od momentu zotrvačnosti gule okolo osi prechádzajúcej cez ťažisko Ic = (2/5) mR2 a vzdialenosť
medzi nápravami ( l + R), potom moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej bodom zavesenia:
I = (2/5) mR2 + m(l + R)2.
Rozmer momentu zotrvačnosti:
[I] = [m] × = ML 2.

Dodatok. Moment zotrvačnosti a jeho výpočet.

Nechajte tuhé teleso otáčať sa okolo osi Z (obrázok 6). Dá sa znázorniť ako sústava rôznych hmotných bodov m i, ktoré sa v čase nemenia, z ktorých každý sa pohybuje po kružnici s polomerom RI ležiace v rovine kolmej na os Z. Uhlové rýchlosti všetkých hmotných bodov sú rovnaké. Moment zotrvačnosti telesa okolo osi Z je hodnota:

kde - moment zotrvačnosti samostatného hmotného bodu okolo osi OZ. Z definície vyplýva, že moment zotrvačnosti je aditívne množstvo t.j. moment zotrvačnosti telesa pozostávajúceho z oddelených častí sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti častí.

Obrázok 6

Je zrejmé, že [ ja] = kg × m2. Dôležitosť pojmu moment zotrvačnosti je vyjadrená v troch vzorcoch:

; ; .

Prvý z nich vyjadruje moment hybnosti telesa, ktoré sa otáča okolo pevnej osi Z (je vhodné porovnať tento vzorec s výrazom pre hybnosť telesa P = mVc, kde Vc je rýchlosť ťažiska). Druhý vzorec sa nazýva základná rovnica dynamiky rotačného pohybu telesa okolo pevnej osi, teda inými slovami, druhý Newtonov zákon pre rotačný pohyb (porovnaj so zákonom pohybu ťažiska: ). Tretí vzorec vyjadruje kinetickú energiu telesa rotujúceho okolo pevnej osi (porovnaj s výrazom pre kinetickú energiu častice ). Porovnanie vzorcov nám umožňuje dospieť k záveru, že moment zotrvačnosti pri rotačnom pohybe hrá úlohu podobnú hmotnosti v tom zmysle, že čím väčší je moment zotrvačnosti telesa, tým menšie uhlové zrýchlenie nadobudne, pričom všetky ostatné veci sú rovnaké ( telo sa, obrazne povedané, ťažšie otáča). V skutočnosti je výpočet momentov zotrvačnosti redukovaný na výpočet trojného integrálu a možno ho vykonať len pre obmedzený počet symetrických telies a len pre osi symetrie. Počet osí, okolo ktorých sa môže teleso otáčať, je nekonečne veľký. Medzi všetkými osami vyniká jedna, ktorá prechádza nádherným bodom tela - ťažisko (bod, na opísanie pohybu ktorého si stačí predstaviť, že celá hmota sústavy je sústredená v ťažisku a na tento bod pôsobí sila rovnajúca sa súčtu všetkých síl). Ale existuje aj nekonečne veľa osí prechádzajúcich cez ťažisko. Ukazuje sa, že pre každé tuhé teleso ľubovoľného tvaru existujú tri navzájom kolmé osi Cx, Cy, Cz, volal osi voľnej rotácie , ktoré majú pozoruhodnú vlastnosť: ak je teleso skrútené okolo ktorejkoľvek z týchto osí a vyhodené hore, tak pri následnom pohybe telesa zostane os rovnobežná sama so sebou, t.j. nebude padať. Krútenie okolo akejkoľvek inej osi túto vlastnosť nemá. Hodnota momentov zotrvačnosti typických telies okolo uvedených osí je uvedená nižšie. Ak os prechádza ťažiskom, ale zviera s osami uhly a, b, g Cx, Cy, Cz podľa toho sa moment zotrvačnosti okolo takejto osi rovná

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Stručne zvážte výpočet momentu zotrvačnosti pre najjednoduchšie telesá.

1.Moment zotrvačnosti dlhej tenkej homogénnej tyče okolo osi prechádzajúcej ťažiskom tyče a kolmej na ňu.

Nechať byť t - hmotnosť tyče, l - jeho dĺžka.

,

index " s» v momente zotrvačnosti Ic znamená, že ide o moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej cez bod ťažiska (stred symetrie telesa), C(0,0,0).

2. Moment zotrvačnosti tenkej pravouhlej platne.

; ;

3. Moment zotrvačnosti pravouhlého rovnobežnostena.

, t. C(0,0;0)

4. Moment zotrvačnosti tenkého prstenca.

;

, t. C(0,0;0)

5. Moment zotrvačnosti tenkého disku.

Kvôli symetrii

; ;

6. Moment zotrvačnosti pevného valca.

;

Vďaka symetrii:

7. Moment zotrvačnosti pevnej gule.

, t. C(0,0;0)

8. Moment zotrvačnosti pevného kužeľa.

, t. C(0,0,0)

kde R je polomer základne, h je výška kužeľa.

Pripomeňme, že cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Nakoniec, ak os O neprechádza ťažiskom, potom moment zotrvačnosti telesa možno vypočítať pomocou Huygens Steinerovej vety.

I o \u003d I c + md 2, (**)

kde ja o je moment zotrvačnosti telesa okolo ľubovoľnej osi, Je- moment zotrvačnosti okolo osi rovnobežnej s ňou, prechádzajúcej cez ťažisko,
m- telesná hmotnosť, d- vzdialenosť medzi nápravami.

Postup výpočtu momentov zotrvačnosti pre telesá štandardného tvaru vzhľadom na ľubovoľnú os je nasledujúci.