Domov
Čerpacie stanice
Ako nakresliť odvesnicu v pravouhlom trojuholníku. Vlastnosti kolmice na úsečku

Ako nakresliť odvesnicu v pravouhlom trojuholníku. Vlastnosti kolmice na úsečku

V trojuholníku sú takzvané štyri pozoruhodné body: priesečník stredníc. Priesečník priesečníkov, priesečník výšok a priesečník odvesníc. Uvažujme o každom z nich.

Priesečník stredov trojuholníka

Veta 1

Na priesečníku mediánov trojuholníka: Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a delia priesečník v pomere $2:1$ od vrcholu.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ je jeho medián. Keďže mediány rozdeľujú strany na polovicu. Uvažujme strednú čiaru $A_1B_1$ (obr. 1).

Obrázok 1. Stredy trojuholníka

Podľa vety 1 $AB||A_1B_1$ a $AB=2A_1B_1$, teda $\uhol ABB_1=\uhol BB_1A_1,\ \uhol BAA_1=\uhol AA_1B_1$. Preto sú trojuholníky $ABM$ a $A_1B_1M$ podobné podľa prvého kritéria podobnosti trojuholníkov. Potom

Podobne je dokázané, že

Veta bola dokázaná.

Priesečník priesečníkov trojuholníka

Veta 2

Na priesečníku priesečníkov trojuholníka: Priečnice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $AM,\ BP,\ CK$ sú jeho osi. Nech bod $O$ je priesečníkom osi $AM\ a\ BP$. Nakreslite z tohto bodu kolmo na strany trojuholníka (obr. 2).

Obrázok 2. Osy trojuholníka

Veta 3

Každý bod osy nerozšíreného uhla je rovnako vzdialený od jeho strán.

Podľa vety 3 máme: $OX=OZ,\ OX=OY$. Preto $OY=OZ$. Bod $O$ je teda rovnako vzdialený od strán uhla $ACB$, a preto leží na jeho stredovej osi $CK$.

Veta bola dokázaná.

Priesečník odvesničiek trojuholníka

Veta 4

Odvesny strán trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz.

Nech je daný trojuholník $ABC$, $n,\ m,\ p$ jeho odvesny. Nech bod $O$ je priesečníkom odvesníc $n\ a\ m$ (obr. 3).

Obrázok 3. Kolmice trojuholníka

Na dôkaz potrebujeme nasledujúcu vetu.

Veta 5

Každý bod kolmice na úsečku je rovnako vzdialený od koncov danej úsečky.

Podľa vety 3 máme: $OB=OC,\ OB=OA$. Preto $OA=OC$. To znamená, že bod $O$ je rovnako vzdialený od koncov úsečky $AC$, a teda leží na jej odvesne $p$.

Veta bola dokázaná.

Priesečník nadmorských výšok trojuholníka

Veta 6

Výšky trojuholníka alebo ich predĺženia sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ je jeho výška. Nakreslite čiaru cez každý vrchol trojuholníka rovnobežnú so stranou oproti vrcholu. Dostaneme nový trojuholník $A_2B_2C_2$ (obr. 4).

Obrázok 4. Výšky trojuholníka

Pretože $AC_2BC$ a $B_2ABC$ sú rovnobežníky so spoločnou stranou, potom $AC_2=AB_2$, to znamená, že bod $A$ je stredom strany $C_2B_2$. Podobne dostaneme, že bod $B$ je stredom strany $C_2A_2$ a bod $C$ je stredom strany $A_2B_2$. Z konštrukcie máme, že $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sú teda odvesny trojuholníka $A_2B_2C_2$. Potom podľa vety 4 máme, že výšky $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sa pretínajú v jednom bode.

Stredná kolmá (stredová kolmica alebo mediatrix) - rovno , kolmý do tohto segment a prechádza cez ňu stredná.

Vlastnosti

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2), kde dolný index označuje stranu, na ktorú je nakreslená kolmica, S je plocha trojuholníka a tiež sa predpokladá, že strany sú spojené nerovnosťami a \geqslant b \geqslant c. p_a\geq p_b a p_c\geq p_b. Inými slovami, v prípade trojuholníka sa najmenšia kolmica osi vzťahuje na stredný segment.

Napíšte recenziu na článok "Stredná kolmica"

Poznámky

Úryvok charakterizujúci odvesnicu

Kutuzov sa zastavil, aby žuval, prekvapene hľadel na Wolzogena, akoby nerozumel tomu, čo mu bolo povedané. Wolzogen, ktorý si všimol vzrušenie des alten Herrna, [starého pána (Nemca)], s úsmevom povedal:
- Nepovažoval som sa za oprávneného skrývať pred vaším lordstvom to, čo som videl... Vojaci sú v úplnom neporiadku...
- Videl si? Videl si? .. - skríkol Kutuzov so zamračeným výrazom, rýchlo vstal a postupoval na Wolzogen. „Ako sa opovažuješ... ako sa opovažuješ...!“ kričal, hrozivo gestikuloval trasúcimi sa rukami a dusil sa. - Ako sa opovažujete, môj drahý pane, povedať mi to? Nič nevieš. Povedzte odo mňa generálovi Barclayovi, že jeho informácie sú nesprávne a že skutočný priebeh bitky je mne, vrchnému veliteľovi, známy lepšie ako jemu.
Wolzogen chcel niečo namietať, ale Kutuzov ho prerušil.
- Nepriateľ je odrazený na ľavom a porazený na pravom boku. Ak ste dobre nevideli, milý pane, nedovoľte si povedať, čo neviete. Choďte za generálom Barclayom a povedzte mu o mojom nevyhnutnom úmysle zajtra zaútočiť na nepriateľa, “povedal Kutuzov stroho. Všetci boli ticho a bolo počuť jeden ťažký dych zadýchaného starého generála. - Všade odrazený, za čo ďakujem Bohu a našej statočnej armáde. Nepriateľ je porazený a zajtra ho vyženieme z posvätnej ruskej zeme, - povedal Kutuzov krížiac sa; a zrazu sa rozplakal. Wolzogen, pokrčil plecami a skrútil pery, potichu ustúpil nabok, čudujúc sa uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [o tejto tyranii starého pána. (nemčina)]
"Áno, tu je, môj hrdina," povedal Kutuzov bacuľatému, peknému čiernovlasému generálovi, ktorý v tom čase vstupoval na mohylu. Bol to Raevskij, ktorý strávil celý deň na hlavnom bode poľa Borodino.
Raevskij oznámil, že jednotky sú pevne na svojich miestach a Francúzi sa už neodvážia zaútočiť. Po jeho vypočutí Kutuzov povedal po francúzsky:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous dôchodca? [Takže si nemyslíš, ako ostatní, že by sme mali ustúpiť?]

Poučenie

Nakreslite čiaru cez priesečníky kružníc. Dostali ste kolmicu na daný segment.

Teraz dostaneme bod a čiaru. Z tohto bodu je potrebné nakresliť kolmicu k. Umiestnite ihlu do bodu. Nakreslite kruh s polomerom (polomer musí byť od bodu po priamku, aby kruh mohol pretínať priamku v dvoch bodoch). Teraz máte na rade dva body. Tieto body vytvárajú priamku. Zostrojte kolmicu na úsečku, konce sú získané body podľa vyššie uvedeného algoritmu. Kolmica musí prechádzať počiatočným bodom.

Budovanie rovných čiar je základom technického kreslenia. Teraz sa to čoraz viac robí pomocou grafických editorov, ktoré poskytujú dizajnérom veľké možnosti. Niektoré konštrukčné princípy však zostávajú rovnaké ako pri klasickom kreslení – pomocou ceruzky a pravítka.

Budete potrebovať

  • - papier;
  • - ceruzka;
  • - pravítko;
  • - počítač so softvérom AutoCAD.

Poučenie

Začnite s klasickou zostavou. Určite rovinu, v ktorej nakreslíte čiaru. Nech je to rovina listu papiera. V závislosti od podmienok problému usporiadajte . Môžu byť ľubovoľné, ale je možné, že je daný súradnicový systém. Ľubovoľné body umiestnite tam, kde sa vám najviac páči. Označte ich A a B. Pomocou pravítka ich spojte. Podľa axiómy je vždy možné nakresliť priamku cez dva body, a to iba jeden.

Nakreslite súradnicový systém. Dovoľte, aby ste dostali body A (x1; y1). Aby sa im to podarilo, je potrebné vyčleniť požadovaný počet pozdĺž osi x a cez vyznačený bod nakresliť priamku rovnobežnú s osou y. Potom nakreslite hodnotu rovnajúcu sa y1 pozdĺž príslušnej osi. Nakreslite kolmicu z označeného bodu, kým sa nepretína s. Miestom ich priesečníka bude bod A. Rovnakým spôsobom nájdite bod B, ktorého súradnice môžeme označiť ako (x2; y2). Spojte obe bodky.

V AutoCADe je možné vytvoriť priamku s niekoľkými . Funkcia "podľa" je zvyčajne predvolene nastavená. V hornom menu nájdite kartu „Domov“. Pred sebou uvidíte panel Kreslenie. Nájdite tlačidlo s priamou čiarou a kliknite naň.

AutoCAD tiež umožňuje nastaviť súradnice oboch. Zadajte príkazový riadok nižšie (_xline). Stlačte Enter. Zadajte súradnice prvého bodu a tiež stlačte enter. Rovnakým spôsobom definujte druhý bod. Dá sa určiť aj kliknutím myšou umiestnením kurzora na požadované miesto na obrazovke.

V AutoCADe môžete postaviť priamku nielen dvoma bodmi, ale aj uhlom sklonu. Z kontextovej ponuky Kresliť vyberte priamku a potom možnosť Uhol. Počiatočný bod je možné nastaviť kliknutím myši alebo pomocou , ako v predchádzajúcej metóde. Potom nastavte veľkosť rohu a stlačte Enter. V predvolenom nastavení bude čiara umiestnená v požadovanom uhle k horizontále.

Podobné videá

Na zložitom výkrese (diagrame) kolmosť priame a lietadlo určené základnými ustanoveniami: ak je jedna strana pravého uhla rovnobežná lietadlo projekcie, potom sa na túto rovinu premietne pravý uhol bez skreslenia; ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky lietadlo, je na to kolmá lietadlo.

Budete potrebovať

  • Ceruzka, pravítko, uhlomer, trojuholník.

Poučenie

Príklad: cez bod M nakreslite kolmicu na lietadlo Ak chcete nakresliť kolmicu na lietadlo, ležia v ňom dve pretínajúce sa čiary lietadlo a zostrojte na ne kolmú priamku. Ako tieto dve pretínajúce sa čiary sú zvolené čelná a horizontálna. lietadlo.

Frontálna f(f₁f₂) je priamka ležiaca v lietadlo a rovnobežne s prednou časťou lietadlo projekcie П₂. Takže f₂ je jeho prirodzená hodnota a f₁ je vždy rovnobežné s x₁₂. Z bodu A₂ nakreslite h₂ rovnobežne s x₁₂ a získajte bod 1₂ na B₂C₂.

Pomocou projekčnej čiary komunikačného bodu 1₁ na В₁С₁. Spojte sa s A₁ – to je h₁ – prirodzená veľkosť horizontály. Z bodu B₁ nakreslite f₁‖x₁₂, na A₁C₁ získajte bod 2₁. Nájdite bod 2₂ na A₂C₂ pomocou spojovacej čiary projekcie. Spojte sa s bodom B₂ – to bude f₂ – plná veľkosť prednej strany.

Zostrojené prirodzené horizontály h₁ a frontály f₂ priemetov kolmice na lietadlo. Z bodu M₂ nakreslite jeho predný priemet a₂ pod uhlom 90



Sekcie