Body možného extrému funkcie. Zvyšovanie, znižovanie a extrémy funkcie

Zvážte dva zuby známeho profilu píly. Nasmerujme os pozdĺž plochej strany píly a os - kolmo na ňu. Urobme si graf nejakej funkcie, znázornenej na obr. jeden.

Je celkom zrejmé, že v bode aj v bode sa hodnoty funkcie ukážu ako najväčšie v porovnaní s hodnotami v susedných bodoch vpravo a vľavo a v bode - najmenší v porovnaní so susednými bodmi. Body sa nazývajú extrémne body funkcie (z latinského extrému – „extrém“), body a sú maximálne body a bod je minimálny bod (z latinského maxima a minima – „najväčší“ a „najmenší“ “).

Upresnime definíciu extrému.

O funkcii v bode sa hovorí, že má maximum, ak existuje interval obsahujúci bod a patriaci do oblasti funkcie, takže pre všetky body tohto intervalu sa ukáže, že je . V súlade s tým má funkcia v bode minimum, ak je podmienka splnená pre všetky body určitého intervalu.

Na obr. Obrázky 2 a 3 znázorňujú grafy funkcií, ktoré majú v bode extrém.

Venujme pozornosť tomu, že podľa definície musí extrémny bod ležať v intervale nastavenia funkcie, a nie na jeho konci. Preto pre funkciu znázornenú na obr. 1, nemožno predpokladať, že má v bode minimum.

Ak v tejto definícii maxima (minima) funkcie nahradíme prísnu nerovnosť neprísnou , potom získame definíciu neprísneho maxima (neprísneho minima). Zoberme si napríklad profil vrcholu hory (obr. 4). Každý bod plochej oblasti - segment je neobmedzený maximálny bod.

V diferenciálnom počte je štúdium funkcie pre extrémy veľmi efektívne a celkom jednoducho sa vykonáva pomocou derivácie. Jednou z hlavných teorém diferenciálneho počtu, ktorá stanovuje nevyhnutnú podmienku pre extrém diferencovateľnej funkcie, je Fermatova veta (pozri Fermatovu vetu). Nech má funkcia v bode extrém. Ak v tomto bode existuje derivácia, potom sa rovná nule.

V geometrickom jazyku Fermatova veta znamená, že v extrémnom bode je dotyčnica ku grafu funkcie vodorovná (obr. 5). Opačné tvrdenie, samozrejme, nie je pravdivé, čo ukazuje napríklad graf na obr. 6.

Veta je pomenovaná po francúzskom matematikovi P. Fermatovi, ktorý ako jeden z prvých vyriešil množstvo extrémnych problémov. Ten ešte nemal k dispozícii koncept derivácie, ale vo svojom výskume aplikoval metódu, ktorej podstata je vyjadrená vo výroku vety.

Postačujúcou podmienkou pre extrém diferencovateľnej funkcie je zmena znamienka derivácie. Ak v určitom bode derivácia zmení znamienko z mínus na plus, t.j. jeho pokles je nahradený zvýšením, potom bude bod minimálnym bodom. Naopak, bod bude maximálny bod, ak derivácia zmení znamienko z plus na mínus, t.j. prechádza od vzostupu k zostupu.

Bod, v ktorom sa derivácia funkcie rovná nule, sa nazýva stacionárny. Ak sa diferencovateľná funkcia skúma pre extrém, potom by sa mali nájsť všetky jej stacionárne body a znamienka derivácie by sa mali zvážiť naľavo a napravo od nich.

Skúmame funkciu pre extrém.

Poďme nájsť jeho derivát: .

Hodnoty funkcie nájdeme v extrémnych bodoch: , . Graf funkcie je znázornený na obr. osem.

Všimnite si, že existujú prípady, keď sa extrém dosiahne v bode, kde derivát neexistuje. Toto sú krajné body profilu píly, príklad takejto funkcie je uvedený aj na obr. jeden.

Maximálne a minimálne úlohy majú veľký význam vo fyzike, mechanike a rôznych aplikáciách matematiky. Boli to problémy, ktoré viedli matematiku k vytvoreniu diferenciálneho počtu a diferenciálny počet poskytol účinnú všeobecnú metódu na riešenie extrémnych problémov pomocou derivácie.

Funkčné extrémy

Definícia 2

Bod $x_0$ sa nazýva bod maxima funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\le f(x_0 )$ je spokojný.

Definícia 3

Bod $x_0$ sa nazýva maximálny bod funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\ge f(x_0) $ je spokojný.

Pojem extrém funkcie úzko súvisí s pojmom kritický bod funkcie. Predstavme si jeho definíciu.

Definícia 4

$x_0$ sa nazýva kritický bod funkcie $f(x)$, ak:

1) $x_0$ - vnútorný bod definičnej oblasti;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ alebo neexistuje.

Pre pojem extrém možno formulovať vety o dostatočných a nevyhnutných podmienkach jeho existencie.

Veta 2

Dostatočný extrémny stav

Nech je bod $x_0$ kritický pre funkciu $y=f(x)$ a leží v intervale $(a,b)$. Nech na každom intervale $\left(a,x_0\right)\ a\ (x_0,b)$ existuje derivácia $f"(x)$ a udržiava konštantné znamienko. Potom:

1) Ak je na intervale $(a,x_0)$ derivácia $f"\left(x\right)>0$ a na intervale $(x_0,b)$ je derivácia $f"\left(x\ správny)

2) Ak je derivácia $f"\left(x\right)0$ na intervale $(a,x_0)$, potom bod $x_0$ je minimálny bod pre túto funkciu.

3) Ak je na intervale $(a,x_0)$ aj na intervale $(x_0,b)$ derivácia $f"\left(x\right) >0$ alebo derivácia $f"\left(x \správny)

Táto veta je znázornená na obrázku 1.

Obrázok 1. Dostatočný stav pre existenciu extrémov

Príklady extrémov (obr. 2).

Obrázok 2. Príklady extrémnych bodov

Pravidlo na skúmanie funkcie pre extrém

2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;

7) Urobte závery o prítomnosti maxím a miním v každom intervale pomocou vety 2.

Funkcia vzostupne a zostupne

Najprv si predstavme definície rastúcich a klesajúcich funkcií.

Definícia 5

Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva rastúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1

Definícia 6

Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva klesajúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1f(x_2)$.

Skúmanie funkcie pre zvyšovanie a znižovanie

Pomocou derivácie môžete skúmať funkcie na zvyšovanie a znižovanie.

Ak chcete preskúmať funkciu pre intervaly nárastu a poklesu, musíte urobiť nasledovné:

1) Nájdite definičný obor funkcie $f(x)$;

2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;

3) Nájdite body, kde je rovnosť $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;

4) Nájdite body, kde $f"(x)$ neexistuje;

5) Označte na súradnicovej čiare všetky nájdené body a definičný obor danej funkcie;

6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom výslednom intervale;

7) Záver: na intervaloch kde $f"\vľavo(x\vpravo)0$ sa funkcia zvyšuje.

Príklady úloh na štúdium funkcií zvyšovania, znižovania a prítomnosti extrémnych bodov

Príklad 1

Preskúmajte funkciu zvyšovania a znižovania a prítomnosť bodov maxím a miním: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Keďže prvých 6 bodov je rovnakých, najskôr ich vyžrebujeme.

1) Definičná oblasť - všetky reálne čísla;

2) $f"\vľavo(x\vpravo)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ existuje vo všetkých bodoch domény definície;

5) Súradnicová čiara:

Obrázok 3

6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom intervale:

\ \.

rozhodnutie

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie podľa vzorca pre deriváciu súčinu y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Vypočítajme nuly derivácie: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Umiestnime znamienka derivácie a určme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie na daný interval.

Z obrázku je zrejmé, že na segmente [-3; 0] pôvodná funkcia na segmente rastie a klesá. Najväčšia hodnota na intervale [-3; 2] sa dosiahne pri x=0 a rovná sa y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Odpoveď

Podmienka

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=12x-12tg x-18 na segmente \vľavo.

rozhodnutie

y"= (12x)"-12(tgx)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. To znamená, že pôvodná funkcia nie je rastúca na uvažovanom intervale a nadobúda najväčšiu hodnotu na ľavom konci segmentu, to znamená na x=0. Najvyššia hodnota je y(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite minimálny bod funkcie y=(x+8)^2e^(x+52).

rozhodnutie

Minimálny bod funkcie nájdeme pomocou derivácie. Nájdite deriváciu danej funkcie pomocou vzorcov pre deriváciu súčinu, deriváciu x^\alfa a e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Usporiadajme znamienka derivácie a určme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie. e^(x+52)>0 pre ľubovoľné x . y"=0 kedy x=-8, x = -10.

Obrázok ukazuje, že funkcia y=(x+8)^2e^(x+52) má jeden minimálny bod x=-8.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite maximálny bod funkcie y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

rozhodnutie

ODZ: x \geqslant 0. Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Vypočítajme nuly derivácie:

8-\sqrtx=0;

\sqrtx=8;

x=64.

Usporiadajme znamienka derivácie a určme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie.

Z obrázku je vidieť, že bod x=64 je jediným maximálnym bodom danej funkcie.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=5x^2-12x+2\ln x+37 na segmente \left[\frac35; \frac75\vpravo].

rozhodnutie

ODZ: x>0.

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Definujme nuly derivácie: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\vľavo[\frac35; \frac75\vpravo].

Usporiadame znamienka derivácie a určíme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie na uvažovanom intervale.

Z obrázku je vidieť, že na segmente \left[\frac35; 1\vpravo] pôvodná funkcia klesá, a na segmente \vľavo zvyšuje. Teda najmenšia hodnota na segmente \left[\frac35; \frac75\right] sa dosiahne pri x=1 a rovná sa y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=(x+4)^2(x+1)+19 na segmente [-5; -3].

rozhodnutie

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie pomocou vzorca pre deriváciu produktu.

Zvyšovanie a znižovanie intervalov poskytuje veľmi dôležité informácie o správaní funkcie. Ich nájdenie je súčasťou procesu skúmania funkcií a vytvárania grafov. Okrem toho sa pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt funkcie v určitom intervale venuje osobitná pozornosť extrémnym bodom, pri ktorých dochádza k zmene z nárastu na pokles alebo od poklesu k zvýšeniu.

V tomto článku uvedieme potrebné definície, sformulujeme dostatočné kritérium pre nárast a pokles funkcie na intervale a dostatočné podmienky pre existenciu extrému a celú túto teóriu aplikujeme na riešenie príkladov a problémov.

Navigácia na stránke.

Zvyšovanie a znižovanie funkcie na intervale.

Definícia rastúcej funkcie.

Funkcia y=f(x) narastá na intervale X, ak pre ľubovoľné a nerovnosť je uspokojená. Inými slovami, väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Znižujúca sa definícia funkcie.

Funkcia y=f(x) klesá na intervale X, ak pre nejaké a nerovnosť . Inými slovami, väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

POZNÁMKA: ak je funkcia definovaná a spojitá na koncoch intervalu nárastu alebo poklesu (a;b) , teda na x=a a x=b , potom sú tieto body zahrnuté do intervalu nárastu alebo poklesu. Toto nie je v rozpore s definíciami rastúcej a klesajúcej funkcie na intervale X .

Napríklad z vlastností základných elementárnych funkcií vieme, že y=sinx je definované a spojité pre všetky reálne hodnoty argumentu. Preto z nárastu funkcie sínus na intervale môžeme uplatniť nárast na intervale .

Extrémne body, funkčné extrémy.

Pointa sa volá maximálny bod funkciu y=f(x), ak nerovnosť platí pre všetky x z jej okolia. Zavolá sa hodnota funkcie v maximálnom bode maximálna funkcia a označujú .

Pointa sa volá minimálny bod funkciu y=f(x), ak nerovnosť platí pre všetky x z jej okolia. Zavolá sa hodnota funkcie v minimálnom bode funkčné minimum a označujú .

Okolie bodu sa chápe ako interval , kde je dostatočne malé kladné číslo.

Minimálny a maximálny počet bodov sa nazýva extrémne body a volajú sa hodnoty funkcií zodpovedajúce extrémnym bodom funkčné extrémy.

Nezamieňajte extrémy funkcií s maximálnymi a minimálnymi hodnotami funkcie.

Na prvom obrázku je maximálna hodnota funkcie na segmente dosiahnutá v maximálnom bode a rovná sa maximu funkcie a na druhom obrázku je maximálna hodnota funkcie dosiahnutá v bode x=b , čo nie je maximálny bod.

Dostatočné podmienky pre zvyšovanie a znižovanie funkcií.

Na základe dostatočných podmienok (znakov) pre nárast a pokles funkcie sa zistia intervaly nárastu a poklesu funkcie.

Tu sú formulácie znakov rastúcich a klesajúcich funkcií na intervale:

• ak je derivácia funkcie y=f(x) kladná pre ľubovoľné x z intervalu X , potom sa funkcia zväčší o X ;
• ak je derivácia funkcie y=f(x) záporná pre ľubovoľné x z intervalu X , potom je funkcia na X klesajúca.

Na určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie je teda potrebné:

Zvážte príklad nájdenia intervalov rastúcich a klesajúcich funkcií, aby ste objasnili algoritmus.

Príklad.

Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie.

rozhodnutie.

Prvým krokom je nájsť rozsah funkcie. V našom príklade by výraz v menovateli nemal zaniknúť, teda .

Prejdime k hľadaniu derivácie funkcie:

Na určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie dostatočným kritériom riešime nerovnice a na definičnom obore. Využime zovšeobecnenie intervalovej metódy. Jediný skutočný koreň čitateľa je x = 2 a menovateľ zaniká pri x = 0 . Tieto body rozdeľujú definičný obor na intervaly, v ktorých si derivácia funkcie zachováva svoje znamienko. Označme tieto body na číselnej osi. Plusmi a mínusmi podmienečne označujeme intervaly, v ktorých je derivácia kladná alebo záporná. Nižšie uvedené šípky schematicky znázorňujú zvýšenie alebo zníženie funkcie na príslušnom intervale.

teda a .

V bode x=2 funkcia je definovaná a spojitá, preto ju treba pridať k vzostupným aj zostupným intervalom. V bode x=0 funkcia nie je definovaná, takže tento bod nie je zahrnutý v požadovaných intervaloch.

Uvádzame graf funkcie na porovnanie získaných výsledkov s ňou.

odpoveď:

Funkcia sa zvyšuje pri , klesá na intervale (0;2] .

Dostatočné podmienky pre extrém funkcie.

Ak chcete nájsť maximá a minimá funkcie, môžete použiť ľubovoľné z troch extrémnych znamienok, samozrejme, ak funkcia spĺňa ich podmienky. Najbežnejší a najpohodlnejší je prvý z nich.

Prvá postačujúca podmienka pre extrém.

Nech je funkcia y=f(x) diferencovateľná v -okolí bodu a je spojitá v samotnom bode.

Inými slovami:

Algoritmus na nájdenie extrémnych bodov podľa prvého znamienka funkcie extrém.

• Nájdenie rozsahu funkcie.
• Deriváciu funkcie nájdeme na definičnom obore.
• Určíme nuly čitateľa, nuly menovateľa derivácie a body definičného oboru, kde derivácia neexistuje (všetky uvedené body sú tzv. body možného extrému pri prechode cez tieto body môže derivácia len zmeniť svoje znamienko).
• Tieto body rozdeľujú definičný obor funkcie na intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko. Znamienka derivácie určíme na každom z intervalov (napríklad výpočtom hodnoty derivácie funkcie v ľubovoľnom bode jedného intervalu).
• Vyberáme body, v ktorých je funkcia spojitá a pri prechode cez ktoré derivácia mení znamienko - sú to krajné body.

Príliš veľa slov, uvažujme o niekoľkých príkladoch hľadania extrémnych bodov a extrémov funkcie pomocou prvej postačujúcej podmienky pre extrém funkcie.

Príklad.

Nájdite extrémy funkcie.

rozhodnutie.

Rozsah funkcie je celá množina reálnych čísel okrem x=2 .

Nájdeme derivát:

Nuly v čitateli sú body x=-1 a x=5 , menovateľ ide na nulu pri x=2. Označte tieto body na číselnej osi

Určíme znamienka derivácie na každom intervale, preto vypočítame hodnotu derivácie v ktoromkoľvek z bodov každého intervalu, napríklad v bodoch x=-2, x=0, x=3 a x= 6.

Derivácia je teda na intervale kladná (na obrázku dáme nad tento interval znamienko plus). Podobne

Preto dáme mínus na druhý interval, mínus na tretí a plus na štvrtý.

Zostáva vybrať body, v ktorých je funkcia spojitá a jej derivácia mení znamienko. Toto sú extrémne body.

V bode x=-1 funkcia je spojitá a derivácia mení znamienko z plus na mínus, preto podľa prvého znamienka extrému je x=-1 maximálny bod, zodpovedá maximu funkcie .

V bode x=5 funkcia je spojitá a derivácia mení znamienko z mínus na plus, preto x=-1 je minimálny bod, zodpovedá minimu funkcie .

Grafické znázornenie.

odpoveď:

UPOZORNENIE: prvý dostatočný znak extrému nevyžaduje, aby bola funkcia diferencovateľná v samotnom bode.

Príklad.

Nájdite extrémne body a extrémy funkcie .

rozhodnutie.

Oblasťou funkcie je celá množina reálnych čísel. Samotná funkcia môže byť napísaná ako:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

V bode x=0 derivát neexistuje, pretože hodnoty jednostranných limitov sa nezhodujú, keď má argument tendenciu k nule:

Pôvodná funkcia je zároveň spojitá v bode x=0 (pozri časť o skúmaní spojitosti funkcie):

Nájdite hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia zmizne:

Všetky získané body označíme na reálnej čiare a určíme znamienko derivácie na každom z intervalov. Na tento účel vypočítame hodnoty derivácie v ľubovoľných bodoch každého intervalu, napríklad keď x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

t.j.

Teda podľa prvého znaku extrému je minimálny počet bodov , maximálny počet bodov je .

Vypočítame zodpovedajúce minimá funkcie

Vypočítame zodpovedajúce maximá funkcie

Grafické znázornenie.

odpoveď:

.

Druhý znak extrému funkcie.

Ako vidíte, tento znak extrému funkcie vyžaduje existenciu derivácie aspoň do druhého rádu v bode .