Urobme si kresbu

V našom probléme má funkcia U(x) špeciálny, nespojitý tvar: medzi stenami sa rovná nule a na okrajoch jamky (na stenách) je nekonečná:

Napíšeme Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy častíc v bodoch medzi stenami:

alebo, ak vezmeme do úvahy vzorec (1.1)

Rovnicu (1.3) je potrebné doplniť o okrajové podmienky na stenách studne. Zoberme si, že vlnová funkcia súvisí s pravdepodobnosťou nájdenia častíc. Okrem toho podľa podmienok problému nie je možné detekovať častice mimo stien. Potom musí vlnová funkcia na stenách a mimo nich zmiznúť a okrajové podmienky problému nadobudnú jednoduchú formu:

Teraz začnime riešiť rovnicu (1.3) . Najmä možno vziať do úvahy, že jeho riešením sú de Broglieho vlny. Jedna de Broglieho vlna ako riešenie však zjavne neplatí pre náš problém, pretože určite opisuje voľnú časticu „bežiacu“ jedným smerom. V našom prípade častica prebieha medzi stenami „tam a späť“. V tomto prípade, na základe princípu superpozície, možno požadované riešenie znázorniť ako dve de Broglieho vlny prebiehajúce k sebe s hybnosťou p a -p, teda v tvare:

Konštanty a možno nájsť z jednej z okrajových podmienok a podmienok normalizácie. Ten naznačuje, že ak spočítate všetky pravdepodobnosti, to znamená, že zistíte pravdepodobnosť nájdenia elektrónu medzi stenami vo všeobecnosti v (akomkoľvek mieste), dostanete jednu (pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti je 1), t.j.:

Podľa prvej okrajovej podmienky máme:

Dostávame teda riešenie nášho problému:

Ako je známe,. Nájdené riešenie je preto možné prepísať takto:

Konštanta A sa určí z podmienky normalizácie. Ale tu to nie je mimoriadne zaujímavé. Druhá okrajová podmienka zostáva nevyužitá. Aký výsledok poskytuje? Aplikované na nájdené riešenie (1.5) vedie k rovnici:

Z toho vidíme, že v našom probléme impulz p nemôže nadobúdať žiadne hodnoty, ale iba hodnoty

Mimochodom, n nemôže byť rovné nule, pretože vlnová funkcia by sa potom rovnala nule všade na intervale (0…l)! To znamená, že častica medzi stenami nemôže byť v pokoji! Musí sa hýbať. Vodivé elektróny sa nachádzajú v podobných podmienkach v kove. Dosiahnutý záver platí aj pre nich: elektróny v kove nemôžu byť stacionárne.

Najmenšia možná hybnosť pohybujúceho sa elektrónu je

Ukázali sme, že hybnosť elektrónu pri odraze od stien mení znamienko. Preto na otázku, aká je hybnosť elektrónu, keď je uzamknutý medzi stenami, nemožno jednoznačne odpovedať: buď +p, alebo -p. Hybnosť je neurčitá. Jeho stupeň neistoty je evidentne definovaný takto: =p-(-p)=2p. Neistota súradnice sa rovná l; ak sa pokúsite "chytiť" elektrón, potom sa nájde v medziach medzi stenami, ale kde presne nie je známe. Keďže najmenšia hodnota p je , dostaneme:

Heisenbergov vzťah sme potvrdili za podmienok našej úlohy, teda za podmienky, že existuje najmenšia hodnota p. Ak vezmeme do úvahy ľubovoľne možnú hodnotu hybnosti, potom vzťah neurčitosti nadobudne nasledujúci tvar:

To znamená, že pôvodný Heisenberg-Bohrov postulát o neistote stanovuje len spodnú hranicu neistôt možných pri meraniach. Ak bol na začiatku pohybu systém vybavený minimálnymi neistotami, časom môžu rásť.

Vzorec (1.6) však poukazuje na ďalší mimoriadne zaujímavý záver: ukazuje sa, že hybnosť systému v kvantovej mechanike nie je vždy schopná plynule sa meniť (ako je to vždy v klasickej mechanike). Spektrum hybnosti častíc v našom príklade je diskrétne; hybnosť častíc medzi stenami sa môže meniť iba skokmi (kvantami). Hodnota skoku v uvažovanom probléme je konštantná a rovná sa .

Na obr. 2. Spektrum možných hodnôt hybnosti častice je jasne znázornené. Diskrétnosť zmeny mechanických veličín, ktorá je klasickej mechanike úplne cudzia, teda v kvantovej mechanike vyplýva z jej matematického aparátu. Na otázku, prečo sa hybnosť mení pri skokoch, nie je možné nájsť jednoznačnú. Takéto sú zákony kvantovej mechaniky; z nich logicky vyplýva náš záver – to je celé vysvetlenie.

Prejdime teraz k energii častice. Energia súvisí s hybnosťou podľa vzorca (1). Ak je spektrum hybnosti diskrétne, potom sa automaticky ukáže, že spektrum hodnôt energie častíc medzi stenami je tiež diskrétne. A je elementárny. Ak sa možné hodnoty podľa vzorca (1.6) dosadia do vzorca (1.1), dostaneme:

kde n = 1, 2,... a nazýva sa kvantové číslo.

Takto sme dostali energetické hladiny.

ryža. 3.

Ryža. 3 je znázornené usporiadanie energetických hladín zodpovedajúcich podmienkam nášho problému. Je jasné, že pre iný problém bude usporiadanie energetických hladín iné. Ak je častica nabitá (napríklad je to elektrón), potom, keďže nie je na najnižšej energetickej úrovni, bude schopná spontánne vyžarovať svetlo (vo forme fotónu). Zároveň prejde na nižšiu energetickú hladinu v súlade s podmienkou:

Vlnové funkcie pre každý stacionárny stav v našom probléme sú sínusoidy, ktorých nulové hodnoty nevyhnutne padajú na steny. Dve takéto vlnové funkcie pre n = 1,2 sú znázornené na obr. jeden.

Potreba pravdepodobnostného prístupu k popisu mikročastíc je najdôležitejším rozlišovacím znakom kvantovej teórie. Možno de Broglieho vlny interpretovať ako pravdepodobnostné vlny, t.j. uvážiť, že pravdepodobnosť detekcie mikročastice v rôznych bodoch priestoru sa mení podľa vlnového zákona? Takáto interpretácia de Broglieho vĺn je už nesprávna, už len preto, že pravdepodobnosť nájdenia častice v niektorých bodoch priestoru môže byť negatívna, čo nedáva zmysel.

Na odstránenie týchto ťažkostí nemecký fyzik M. Born v roku 1926 navrhol, že podľa vlnového zákona sa nemení samotná pravdepodobnosť, ale veličina tzv. amplitúda pravdepodobnosti a označené ψ(x,y,z,t). Táto hodnota sa nazýva vlnová funkcia(alebo ψ-funkcia). Amplitúda pravdepodobnosti môže byť zložitá a pravdepodobnosť Wúmerné štvorcu jeho modulu:

(|Y| 2 =YY*, Y * - komplexná konjugovaná funkcia Y). Teda popis stavu mikroobjektu pomocou vlnovej funkcie má štatistický, pravdepodobnostný charakter: druhý mocninový modul vlnovej funkcie (kvadratický modul amplitúdy de Broglieho vĺn) určuje pravdepodobnosť nájdenia častice v danom čase t v oblasti so súradnicami X a x+dx, y a y+dy, z a z+dz.

V kvantovej mechanike sa stav mikročastíc popisuje zásadne novým spôsobom - pomocou vlnovej funkcie, ktorá je hlavným nositeľom informácií o ich korpuskulárne a vlnové vlastnosti. Pravdepodobnosť nájdenia častice v prvku s objemom d V rovná sa

Hodnota

(štvorcový modul funkcie Y) dáva zmysel hustota pravdepodobnosti, t.j. určuje pravdepodobnosť nájdenia častice v jednotkovom objeme v susedstve bodu so súradnicami x, y, z. Fyzikálny význam teda nemá samotná funkcia Y, ale druhá mocnina jej modulu |Y| 2, ktorý je daný intenzita de Broglieho vĺn.

Pravdepodobnosť nájdenia častice naraz t v konečnom zväzku V, podľa vety o sčítaní pravdepodobnosti sa rovná

Od |Y| 2d V je definovaná ako pravdepodobnosť, potom je potrebné normalizovať vlnovú funkciu Y tak, aby sa pravdepodobnosť určitej udalosti zmenila na jednotku, ak objem V vziať nekonečný objem celého priestoru. To znamená, že za tejto podmienky sa častica musí nachádzať niekde vo vesmíre. Preto podmienka pre normalizáciu pravdepodobností

kde tento integrál je vypočítaný cez celý nekonečný priestor, t.j. cez súradnice x, y, z od –¥ do ¥ Podmienka teda naznačuje objektívnu existenciu častice v priestore.

Aby bola vlnová funkcia objektívnou charakteristikou stavu mikročastíc, musí spĺňať množstvo obmedzujúcich podmienok. Funkcia Y, ktorá charakterizuje pravdepodobnosť detekcie pôsobenia mikročastice v objemovom prvku, by mala byť konečný(pravdepodobnosť nemôže byť väčšia ako jedna), jednoznačné(pravdepodobnosť nemôže byť nejednoznačná) a nepretržitý(pravdepodobnosť sa nemôže náhle zmeniť).

Vlnová funkcia vyhovuje princíp superpozície: ak systém môže byť v rôznych stavoch opísaných vlnovými funkciami Y 1 , Y 2 ,..., Y n,... potom môže byť aj v stave Y opísanom lineárnou kombináciou týchto funkcií:

kde C n (n=1, 2, ...) sú ľubovoľné, komplexné čísla. Doplnenie vlnové funkcie(amplitúdy pravdepodobnosti), nie pravdepodobnosti(určená štvorcami modulov vlnových funkcií) zásadne odlišuje kvantovú teóriu od klasickej štatistickej teórie, v ktorej pre nezávislé udalosti platí: pravdepodobnostná veta sčítania.

Vlnová funkcia Y, ktorá je hlavnou charakteristikou stavu mikroobjektov, umožňuje v kvantovej mechanike vypočítať priemerné hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich daný mikroobjekt. Napríklad priemerná vzdialenosť á rñ elektrónu z jadra sa vypočíta podľa vzorca

Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy. Základnú rovnicu nerelativistickej kvantovej mechaniky sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole), nie je odvodená, ale postulovaná. Správnosť tejto rovnice potvrdzuje súhlas so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona. Schrödingerova rovnica má tvar

kde ћ=h/(2p), hmotnosť m-častice, D-Laplaceov operátor i je imaginárna jednotka, U(x, y, z, t) je potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje, Y(x, y, z, t) je požadovaná vlnová funkcia častice. .

Rovnica platí pre akúkoľvek časticu (so spinom " vlastný nezničiteľný mechanický moment hybnosti elektrónu" nesúvisí s pohybom elektrónu v priestore, rovná 0;), pohybujúce sa malou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. rýchlosťou v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной 2) производные musí byť nepretržitý; 3) funkcia |Y| 2 musí byť integrovateľné; tento stav sa v najjednoduchších prípadoch redukuje na podmienku normalizácie pravdepodobností.

Rovnica

je všeobecná Schrödingerova rovnica. Nazýva sa aj časovo závislá Schrödingerova rovnica. Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrosvete je možné jeho rovnicu zjednodušiť odstránením závislosti Y na čase, inými slovami, nájsť Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy – stavy s pevnými hodnotami energie. To je možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, t.j. funkcia U=U(x, y, z) nie je explicitne závislá od času a má význam potenciálnej energie. V tomto prípade môže byť riešenie Schrödingerovej rovnice reprezentované ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá je len funkciou času a závislosť od času je vyjadrená faktorom , takže

kde E je celková energia častice, ktorá je v prípade stacionárneho poľa konštantná. Dosadením do všeobecnej Schrödingerovej rovnice dostaneme

odkiaľ po vydelení spoločným faktorom a zodpovedajúcimi transformáciami dospejeme k rovnici, ktorá definuje funkciu y:

Táto rovnica sa nazýva Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy. Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu E častice ako parameter. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých sa uložením okrajových podmienok vyberajú riešenia, ktoré majú fyzikálny význam. Pre Schrödingerovu rovnicu sú takéto podmienky podmienkami pravidelnosti vlnových funkcií: vlnové funkcie musia byť konečné, jednohodnotové a spojité spolu s ich prvými deriváciami. Skutočný fyzikálny význam majú teda iba riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami y. Regulárne riešenia však neprebiehajú pre žiadne hodnoty parametra E, ale len pre ich určitú množinu, ktorá je charakteristická pre daný problém. Tieto energetické hodnoty sa nazývajú vlastné hodnoty. Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným hodnotám energie, sa nazývajú vlastné funkcie. Vlastné hodnoty E môžu tvoriť súvislý alebo diskrétny rad. V prvom prípade sa hovorí o spojitom alebo spojitom spektre, v druhom o diskrétnom spektre.

V aproximácii ideálneho plynu má Clausius-Clapeyronova rovnica tvar

Druhá Maxwellova rovnica je zovšeobecnením...: zákona elektromagnetickej indukcie

Kde a je koeficient trenia. Táto rovnica môže byť prepísaná ako

Hydrostatika. Základné vlastnosti hydrostatického tlaku. Základná rovnica hydrostatiky.

Diferenciálnej rovnice. Charakteristický polynóm.

Pri vývoji de Broglieho myšlienky vlnových vlastností častíc získal Schrödinger v roku 1926 rovnicu

104. (20)

kde m je hmotnosť častice, je imaginárna jednotka, U je potenciálna energia častice, D je Laplaceov operátor [pozri (1.10)].

Riešenie Schrödingerovej rovnice umožňuje nájsť vlnovú funkciu Y(x, y, z, t) častice, ktorá popisuje mikrostav častice a jej vlnové vlastnosti.

Ak je pole vonkajších síl v čase konštantné (t.j. stacionárne), potom U nezávisí výslovne od t. V tomto prípade sa riešenie rovnice (20) rozdelí na dva faktory

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

V stacionárnom prípade má Schrödingerova rovnica tvar

(22)

kde E, U - celková a potenciálna energia, m - hmotnosť častice.

Treba poznamenať, že historicky názov "vlnová funkcia" vznikol vďaka tomu, že rovnica (20) alebo (22), ktorá túto funkciu určuje, sa vzťahuje na tvar vlnových rovníc.

104. Atóm vodíka a vodíku podobné "atómy" (He +, Li 2+ a iné) ako najjednoduchšie kvantovomechanické systémy: kvantové stavy, radiálne a uhlové zložky vlnovej funkcie, orbitálna symetria.

Na základe svojho výskumu Rutherford v roku 1911 navrhol jadrovú energiu (planetárny) model atómu. Podľa tohto modelu sa elektróny pohybujú po uzavretých dráhach okolo kladného jadra, tvoriaceho elektrónový obal atómu, v oblasti s lineárnymi rozmermi rádovo 10 -10 m. Náboj jadra je Ze(Z-- sériové číslo prvku v systéme Mendelejev, e -.elementárny náboj), veľkosť 10 -15 - 10 -14 m, hmotnosť, takmer rovnaká ako hmotnosť atómu. Keďže atómy sú neutrálne, náboj jadra sa rovná celkovému náboju elektrónov, t.j. musí sa otáčať okolo jadra Z elektróny.

atóm vodíka a systémy podobné vodíku- sú to systémy pozostávajúce z jadra s nábojom Ze a jedného elektrónu (napríklad ióny He +, Li 2+).

Riešenie problému energetických hladín elektrónu pre atóm vodíka (ako aj systémy podobné vodíku: héliový ión He + , dvojnásobne ionizované lítium Li + + atď.) sa redukuje na problém pohybu elektrónov v Coulombovo pole jadra.

Potenciálna energia interakcie elektrónu s jadrom s nábojom Ze(pre atóm vodíka Z=1),

kde r je vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom. Graficky funkčné U(r) je znázornená hrubou krivkou na obr. 6, nekonečne klesajúci (narastajúci. modulo) pri znižovaní r, teda keď sa elektrón priblíži k jadru.

Stav elektrónu v atóme vodíka je opísaný vlnovou funkciou Ψ, ktorá vyhovuje stacionárnej Schrödingerovej rovnici, berúc do úvahy hodnotu (1):“

, (2)

kde m je hmotnosť elektrónu, E je celková energia elektrónu v atóme.

Toto je takzvaná stacionárna Schrödingerova rovnica pre elektrón vodíkového atómu VDPA.

1. Energia. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že rovnice typu (2) majú riešenia, ktoré spĺňajú požiadavky jednoznačnosti, konečnosti a spojitosti vlnovej funkcie Ψ len pre vlastné hodnoty energie.

(n= 1, 2, 3,…), (3)

t.j. pre diskrétny súbor negatívnych energetických hodnôt.

Tak, ako v prípade „potenciálnej studne“ s nekonečne vysokými „stenami“, riešenie Schrödingerovej rovnice pre atóm vodíka vedie k objaveniu sa diskrétnych energetických hladín. Možné hodnoty E 1 , E 2 , E 3, ... sú znázornené na obr. 6 ako vodorovné čiary. Najnižšia úroveň E 1 zodpovedajúca minimálnej možnej energii, - základné, iné ( En >E1, n= 2, 3,…) – vzrušený. o E < 0 движение электрона является súvisiace je vo vnútri hyperbolickej „potenciálnej studne“. Z obrázku vyplýva, že so zvyšujúcim sa hlavným kvantovým číslom P energetické hladiny sú tesnejšie n=∞ E ∞ = 0. Kedy E> 0 pohyb elektrónu je zadarmo; oblasť kontinua E > 0(na obr. 6 tieňované) zodpovedá ionizovaný atóm. Ionizačná energia atómu vodíka je

Ei = - E 1 = ja 4 / (8h 2 ε 0 2) = 13,55 eV.

2. Kvantové čísla. V kvantovej mechanike je dokázané, že Schrödingerova rovnica (2) je splnená vlastnými funkciami , určený tromi kvantovými číslami: hlavným P, orbitálny l a magnetické m l.

Hlavné kvantové číslo n podľa (3) určuje energetické hladiny elektrónu v atóme a môže nadobudnúť akékoľvek celočíselné hodnoty, počnúc od jednej:

Schrödingerova rovnica je pomenovaná po rakúskom fyzikovi Erwinovi Schrödingerovi. Je to hlavný teoretický nástroj kvantovej mechaniky. V kvantovej mechanike hrá Schrödingerova rovnica rovnakú úlohu ako pohybová rovnica (druhý Newtonov zákon) v klasickej mechanike. Schrödingerova rovnica je napísaná pre tzv r- funkcie (psi - funkcie). Vo všeobecnom prípade je funkcia psi funkciou súradníc a času: r = r (x, y, z, t). Ak je mikročastica v stacionárnom stave, potom funkcia psi nezávisí od času: r= r (x,y,z).

V najjednoduchšom prípade jednorozmerného pohybu mikročastice (napríklad iba pozdĺž osi X ) Schrödingerova rovnica má tvar:

kde y(x)– psi - funkcia závisí len od jednej súradnice X ; m – hmotnosť častíc; - Planckova konštanta (= h/2π); E je celková energia častice, U - potenciálna energia. V klasickej fyzike kvantita (EÚ ) by sa rovnala kinetickej energii častice. V kvantovej mechanike v dôsledku vzťahy neistoty pojem kinetická energia nemá zmysel. Všimnite si, že potenciálna energia U je vlastnosť vonkajšie silové pole v ktorom sa častica pohybuje. Táto hodnota je celkom jednoznačná. V tomto prípade je to tiež funkcia súradníc U = U (x,y,z).

V trojrozmernom prípade, keď r = r (x,y,z) namiesto prvého člena v Schrödingerovej rovnici by sa mal napísať súčet troch parciálnych derivácií funkcie psi vzhľadom na tri súradnice.

Na čo sa používa Schrödingerova rovnica? Ako už bolo uvedené, toto je základná rovnica kvantovej mechaniky. Ak si to zapíšeme a vyriešime (čo vôbec nie je ľahká úloha) pre konkrétnu mikročasticu, tak dostaneme hodnotu psi-funkcie v akomkoľvek bode priestoru, v ktorom sa častica pohybuje. čo to dáva? Druhá mocnina modulu psi funkcie charakterizuje pravdepodobnosť detekcia častice v určitej oblasti priestoru. Vezmite nejaký bod v priestore so súradnicami X , r , z (obr. 6). Aká je pravdepodobnosť nájdenia častice v tomto bode? Odpoveď: táto pravdepodobnosť je nulová! (bod nemá rozmery, častica jednoducho nemôže fyzicky zasiahnuť bod). Otázka je teda položená nesprávne. Povedzme to inak: aká je pravdepodobnosť nájdenia častice v malej oblasti priestoru s objemom dV = dx dy dz v strede v danom bode? odpoveď:

kde dP je elementárna pravdepodobnosť detekcie častice v elementárnom objeme dV . Rovnica (22) platí pre skutočnú psi-funkciu (môže byť aj komplexná, v takom prípade by mala byť druhá mocnina modulu psi-funkcie dosadená do rovnice (22). Ak má oblasť priestoru konečný objem V , potom pravdepodobnosť P na detekciu častice v tomto objeme sa zistí integráciou výrazu (22) cez objem V :

Pripomeň si to pravdepodobnostný popis pohybu mikročastíc je základná myšlienka kvantovej mechaniky. Pomocou Schrödingerovej rovnice je teda vyriešený hlavný problém kvantovej mechaniky: opis pohybu skúmaného objektu, v tomto prípade kvantovomechanickej častice.

Všimli sme si množstvo ďalších dôležitých faktov. Ako je možné vidieť zo vzorca (21), Schrödingerova rovnica je diferenciálna rovnica druhého rádu. Následne sa v procese jeho riešenia objavia dve ľubovoľné konštanty. Ako ich nájsť? K tomu použite tzv hraničné podmienky: z konkrétneho obsahu fyzikálneho problému by mala byť známa hodnota psi-funkcie na hraniciach oblasti pohybu mikročastice. Okrem toho tzv normalizačný stav, ktoré funkcia psi musí spĺňať:

Význam tejto podmienky je jednoduchý: pravdepodobnosť detekcie častice aspoň niekde v oblasti jej pohybu je istá udalosť, ktorej pravdepodobnosť sa rovná jednej.

Práve okrajové podmienky napĺňajú riešenie Schrödingerovej rovnice fyzikálnym významom. Bez týchto podmienok je riešenie rovnice čisto matematickým problémom, ktorý nemá fyzikálny význam. V ďalšej časti na konkrétnom príklade uvažujeme o aplikácii okrajových podmienok a podmienky normalizácie pri riešení Schrödingerovej rovnice.

funkcia psi

vlnová funkcia (štátna funkcia, funkcia psi, amplitúda pravdepodobnosti) - komplexne hodnotená funkcia používaný v kvantová mechanika pre pravdepodobnostný popisštátov kvantový mechanický systém. V širokom zmysle to isté ako stavový vektor.

Variant názvu "amplitúda pravdepodobnosti" je spojený s štatistická interpretácia vlnová funkcia: hustota pravdepodobnosti nájdenia častice v danom bode priestoru v danom čase sa rovná druhej mocnine absolútnej hodnoty vlnovej funkcie tohto stavu.

Fyzikálny význam druhej mocniny modulu vlnovej funkcie

Vlnová funkcia závisí od súradníc (alebo zovšeobecnených súradníc) systému a vo všeobecnosti od času a je tvorená tak, že námestie jej modul bola hustota pravdepodobnosti(pre diskrétne spektrá - len pravdepodobnosť) na detekciu systému v polohe opísanej súradnicami v čase:

Potom v danom kvantovom stave systému, opísanom vlnovou funkciou, je možné vypočítať pravdepodobnosť, že častica bude detegovaná v ktorejkoľvek oblasti priestoru s konečným objemom: .

Množina súradníc, ktoré fungujú ako argumenty funkcie, predstavuje úplný súbor fyzikálnych veličín ktoré možno merať v systéme. V kvantovej mechanike je možné zvoliť niekoľko úplných množín veličín, takže vlnovú funkciu toho istého stavu možno zapísať z rôznych argumentov. Určuje kompletný súbor veličín zvolených na zaznamenávanie vlnovej funkcie reprezentácia vlnovej funkcie. Áno, je to možné koordinovať výkon, impulzívny prezentácia, v kvantová teória poľa použité druhá kvantizácia a reprezentácia plniaceho čísla alebo Fock reprezentácia atď.

Ak je vlnová funkcia, napríklad elektrónu v atóme, uvedená v súradnicovom zobrazení, potom druhá mocnina modulu vlnovej funkcie je hustota pravdepodobnosti nájdenia elektrónu v určitom bode v priestore. Ak je v reprezentácii hybnosti daná rovnaká vlnová funkcia, potom druhá mocnina jej modulu je hustota pravdepodobnosti nájdenia jedného alebo druhého spáds.

Úvod

Je známe, že priebeh kvantovej mechaniky je jedným z najťažších na pochopenie. To nesúvisí ani tak s novým a „nezvyčajným“ matematickým aparátom, ale predovšetkým s ťažkosťami pochopenia z pohľadu klasickej fyziky revolučných myšlienok kvantovej mechaniky a zložitosťou interpretácie výsledkov.

Vo väčšine učebníc kvantovej mechaniky je prezentácia materiálu spravidla založená na analýze riešení stacionárnej Schrödingerovej rovnice. Stacionárny prístup však neumožňuje priame porovnanie výsledkov riešenia kvantovomechanického problému s analogickými klasickými výsledkami. Okrem toho mnohé procesy študované v rámci kvantovej mechaniky (ako je prechod častice cez potenciálovú bariéru, rozpad kvázistacionárneho stavu atď.) sú v zásade nestacionárne, a preto môžu byť chápané v plnom rozsahu len na základe riešení nestacionárnej Schrödingerovej rovnice. Keďže počet analyticky riešiteľných problémov je malý, použitie počítača v procese štúdia kvantovej mechaniky je obzvlášť dôležité.

Schrödingerova rovnica a fyzikálny význam jej riešení

Schrödingerova vlnová rovnica

Jednou zo základných rovníc kvantovej mechaniky je Schrödingerova rovnica, ktorá určuje zmenu stavov kvantových systémov v čase. Píše sa vo forme

kde H je Hamiltonián systému, ktorý sa zhoduje s energetickým operátorom, ak nezávisí od času. Typ operátora je určený vlastnosťami systému. Pre nerelativistický pohyb častice hmoty v potenciálnom poli U(r) je operátor reálny a je reprezentovaný súčtom operátorov kinetickej a potenciálnej energie častice.

Ak sa častica pohybuje v elektromagnetickom poli, Hamiltonov operátor bude zložitý.

Hoci rovnica (1.1) je rovnicou prvého rádu v čase, vďaka pomyselnej jednote má aj periodické riešenia. Preto sa Schrödingerova rovnica (1.1) často nazýva Schrödingerova vlnová rovnica a jej riešenie sa nazýva časovo závislá vlnová funkcia. Rovnica (1.1) so známym tvarom operátora H umožňuje určiť hodnotu vlnovej funkcie v ktoromkoľvek nasledujúcom časovom okamihu, ak je táto hodnota v počiatočnom časovom okamihu známa. Schrödingerova vlnová rovnica teda vyjadruje princíp kauzality v kvantovej mechanike.

Schrödingerovu vlnovú rovnicu možno získať na základe nasledujúcich formálnych úvah. V klasickej mechanike je známe, že ak je energia daná ako funkcia súradníc a hybnosti

potom prechod na klasickú Hamiltonovu-Jacobiho rovnicu pre akčnú funkciu S

možno získať z (1.3) formálnou transformáciou

Rovnakým spôsobom sa rovnica (1.1) získa z (1.3) pri prechode z (1.3) na operátorovú rovnicu formálnou transformáciou

ak (1.3) neobsahuje súčin súradníc a hybností, alebo obsahuje také súčiny z nich, ktoré po odovzdaní operátorom (1.4) medzi sebou pendlujú. Ak po tejto transformácii zrovnáme výsledky pôsobenia na funkciu operátorov pravej a ľavej časti výslednej operátorovej rovnosti, dostaneme sa k vlnovej rovnici (1.1). Tieto formálne transformácie by sme však nemali brať ako odvodenie Schrödingerovej rovnice. Schrödingerova rovnica je zovšeobecnením experimentálnych údajov. Nie je odvodený v kvantovej mechanike, rovnako ako Maxwellove rovnice nie sú odvodené v elektrodynamike, princíp najmenšej akcie (alebo Newtonove rovnice) nie je odvodený v klasickej mechanike.

Je ľahké overiť, že rovnica (1.1) je splnená pre vlnovú funkciu

opisujúci voľný pohyb častice s určitou hodnotou hybnosti. Vo všeobecnom prípade je platnosť rovnice (1.1) dokázaná zhodou so skúsenosťami všetkých záverov získaných pomocou tejto rovnice.

Ukážme, že rovnica (1.1) implikuje dôležitú rovnosť

čo naznačuje zachovanie normalizácie vlnovej funkcie v čase. Vynásobme (1.1) vľavo funkciou * a vynásobme rovnicu komplexne konjugovanú k (1.1) funkciou a odčítajme druhú rovnicu od prvej získanej rovnice; potom nájdeme

Integráciou tohto vzťahu nad všetkými hodnotami premenných a zohľadnením samoväzbovosti operátora dostaneme (1.5).

Ak vo vzťahu (1.6) dosadíme za pohyb častice v potenciálnom poli explicitné vyjadrenie Hamiltonovho operátora (1.2), dostaneme sa k diferenciálnej rovnici (rovnici kontinuity)

kde je hustota pravdepodobnosti a vektor

možno nazvať vektor hustoty prúdu pravdepodobnosti.

Komplexná vlnová funkcia môže byť vždy reprezentovaná ako

kde a sú skutočné funkcie času a súradníc. Takže hustota pravdepodobnosti

a hustota prúdu pravdepodobnosti

Z (1.9) vyplýva, že j = 0 pre všetky funkcie, ktorých funkcia Φ nezávisí od súradníc. Najmä j = 0 pre všetky reálne funkcie.

Riešenia Schrödingerovej rovnice (1.1) sú vo všeobecnosti reprezentované komplexnými funkciami. Používanie zložitých funkcií je veľmi pohodlné, aj keď nie nevyhnutné. Namiesto jednej komplexnej funkcie môže byť stav systému opísaný dvoma reálnymi funkciami a splnením dvoch spojených rovníc. Napríklad, ak je operátor H reálny, potom dosadením funkcie do (1.1) a oddelením reálnej a imaginárnej časti dostaneme systém dvoch rovníc

v tomto prípade má tvar hustota pravdepodobnosti a hustota prúdu pravdepodobnosti

Vlnové funkcie v reprezentácii hybnosti.

Fourierova transformácia vlnovej funkcie charakterizuje rozdelenie hybnosti v kvantovom stave. Je potrebné odvodiť integrálnu rovnicu s Fourierovou transformáciou potenciálu ako jadra.

rozhodnutie. Medzi funkciami a existujú dva vzájomne inverzné vzťahy.

Ak sa ako definícia použije vzťah (2.1) a aplikuje sa naň operácia, potom, berúc do úvahy definíciu 3-rozmernej funkcie,

v dôsledku toho, ako je ľahké vidieť, dostaneme inverzný vzťah (2.2). Podobné úvahy sa používajú nižšie pri odvodzovaní vzťahu (2.8).

potom pre Fourierov obraz potenciálu, ktorý máme

Za predpokladu, že vlnová funkcia spĺňa Schrödingerovu rovnicu

Nahradením tu namiesto výrazov (2.1) a (2.3) dostaneme

V dvojitom integráli prechádzame od integrácie nad premennou k integrácii nad premennou a potom znova označíme túto novú premennú pomocou. Integrál nad zaniká pri akejkoľvek hodnote iba vtedy, ak je samotný integrand rovný nule, ale potom

Toto je požadovaná integrálna rovnica s Fourierovou transformáciou potenciálu ako jadra. Samozrejme, integrálnu rovnicu (2.6) možno získať len za podmienky, že existuje Fourierova transformácia potenciálu (2.4); na to musí napríklad potenciál klesať na veľké vzdialenosti, aspoň ako, kde.

Treba poznamenať, že z normalizačného stavu

nasleduje rovnosť

Dá sa to ukázať nahradením výrazu (2.1) za funkciu do (2.7):

Ak tu najskôr vykonáme integráciu, potom ľahko získame vzťah (2.8).