René pravouhlý súradnicový systém v priestore. Zavedenie súradnicového systému
Pravouhlý súradnicový systém v priestore je trojica vzájomne kolmých osí pretínajúcich sa v jednom bode O, nazývanom počiatok.
Súradnicové osi sa zvyčajne označujú písmenami a nazývajú sa os x, os y, os aplikácie alebo os Oy, os (obr. 33).
Orty súradnicových osí Ox, Oy, Oz označujeme príslušne alebo Budeme používať najmä druhý spôsob zápisu.
Rozlišujte medzi pravým a ľavým súradnicovým systémom.
Súradnicový systém sa nazýva správny, ak od konca tretieho ortu po otočenie z prvého ortu do druhého ortu bolo vidieť prebiehajúce proti hodinám (obr. 34, a).
Súradnicový systém sa nazýva ľavý, ak od konca tretieho jednotkového vektora rotácia z prvej osi k druhej osi prebieha v smere hodinových ručičiek (obr. 34, b).
Ak teda skrutku zaskrutkujete v smere vektora k a potom ju otáčate v prípade pravého systému, závit by mal byť pravý a v prípade ľavého systému vľavo (obr. 35).
Mnohé ustanovenia vektorovej algebry nezávisia od toho, či používame pravý alebo ľavý súradnicový systém. Niekedy však na tejto okolnosti záleží. V budúcnosti budeme vždy používať správny súradnicový systém, ako je vo fyzike zvykom.
Na určenie polohy bodu v priestore použijeme karteziánske pravouhlé súradnice (obr. 2).
Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore tvoria tri vzájomne kolmé súradnicové osi OX, OY, OZ. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok, na každej osi je zvolený kladný smer označený šípkami a jednotka merania segmentov na osiach. Jednotky sú zvyčajne (nie nevyhnutne) rovnaké pre všetky osi. Os OX sa nazýva abscissa axis (alebo jednoducho úsečka), os OY sa nazýva ordináta (ordináta), os OZ sa nazýva aplikačná os (applicate).
Poloha bodu A v priestore je určená tromi súradnicami x, y a z. Súradnica x sa rovná dĺžke úseku OB, súradnica y sa rovná dĺžke úseku OC, súradnica z je dĺžka úseku OD vo vybraných jednotkách. Segmenty OB, OC a OD sú definované rovinami nakreslenými z bodu rovnobežného s rovinami YOZ, XOZ a XOY.
Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A a súradnica z sa nazýva aplikácia bodu A.
Symbolicky je to napísané takto:
alebo naviažte súradnicový záznam na konkrétny bod pomocou indexu:
x A , y A , z A ,
Každá os sa považuje za číselnú os, to znamená, že má kladný smer a záporné súradnice sú priradené bodom ležiacim na zápornom lúči (vzdialenosť sa berie so znamienkom mínus). To znamená, že ak napríklad bod B neleží, ako na obrázku, na lúči OX, ale na jeho pokračovaní v opačnom smere od bodu O (na zápornej časti osi OX), potom úsečka x bodu A by bolo záporné (mínus vzdialenosť OB ). Podobne pre ďalšie dve osi.
Súradnicové osi OX, OY, OZ znázornené na obr. 2 tvoria pravý súradnicový systém. To znamená, že ak sa pozriete na rovinu YOZ pozdĺž kladného smeru osi OX, pohyb osi OY smerom k osi OZ bude v smere hodinových ručičiek. Túto situáciu možno opísať pomocou pravidla gimlet: ak sa gimlet (pravotočivá skrutka) otáča v smere od osi OY k osi OZ, potom sa bude pohybovať pozdĺž kladného smeru osi OX.
Vektory jednotkovej dĺžky smerujúce pozdĺž súradnicových osí sa nazývajú súradnicové vektory. Zvyčajne sa označujú ako 
(obr. 3). Je tam aj označenie 
Orty tvoria základ súradnicového systému.
V prípade pravého súradnicového systému platia nasledujúce vzorce s vektorovými súčinmi orts:
Usporiadaná sústava dvoch alebo troch na seba kolmých pretínajúcich sa osí so spoločným počiatkom (pôvodom) a spoločnou jednotkou dĺžky sa nazýva pravouhlý karteziánsky súradnicový systém .
Všeobecný karteziánsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) môžu tiež zahŕňať nie nevyhnutne kolmé osi. Na počesť francúzskeho matematika Reného Descarta (1596-1662) je pomenovaný taký súradnicový systém, v ktorom sa na všetkých osiach počíta spoločná jednotka dĺžky a osi sú priame.
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine má dve osi pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore - tri osi. Každý bod v rovine alebo v priestore je určený usporiadanou množinou súradníc - čísel v súlade s jednotkovou dĺžkou súradnicového systému.
Všimnite si, že ako vyplýva z definície, existuje kartézsky súradnicový systém na priamke, teda v jednom rozmere. Zavedenie karteziánskych súradníc na priamke je jedným zo spôsobov, ako sa ľubovoľnému bodu na priamke priradí presne definované reálne číslo, teda súradnica.
Metóda súradníc, ktorá vznikla v dielach Reného Descartesa, znamenala revolučnú reštrukturalizáciu celej matematiky. Algebraické rovnice (alebo nerovnice) bolo možné interpretovať vo forme geometrických obrazov (grafov) a naopak hľadať riešenia geometrických problémov pomocou analytických vzorcov, sústav rovníc. Áno, nerovnosť z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy a nachádza sa nad touto rovinou o 3 jednotky.
Príslušnosť bodu k danej krivke pomocou karteziánskeho súradnicového systému zodpovedá skutočnosti, že čísla X a r splniť nejakú rovnicu. Súradnice bodu kruhu so stredom v danom bode ( a; b) splniť rovnicu (X - a)² + ( r - b)² = R² .
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine
Dve kolmé osi v rovine so spoločným počiatkom a rovnakou mierkou Kartézsky súradnicový systém v rovine . Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y . Tieto osi sa nazývajú aj súradnicové osi. Označiť podľa MX a Mr respektíve priemet ľubovoľného bodu M na náprave Vôl a Oj. Ako získať projekcie? Prejdite cez bodku M Vôl. Táto čiara pretína os Vôl v bode MX. Prejdite cez bodku M priamka kolmá na os Oj. Táto čiara pretína os Oj v bode Mr. To je znázornené na obrázku nižšie.
X a r bodov M budeme nazývať príslušne veľkosti smerovaných segmentov OMX a OMr. Hodnoty týchto smerových segmentov sa vypočítajú ako X = X0 - 0 a r = r0 - 0 . Kartézske súradnice X a r bodov M úsečka a ordinát . Skutočnosť, že bodka M má súradnice X a r, sa označuje takto: M(X, r) .
Súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri kvadrant , ktorých číslovanie je znázornené na obrázku nižšie. Označuje tiež usporiadanie znakov pre súradnice bodov v závislosti od ich umiestnenia v jednom alebo inom kvadrante.
Okrem karteziánskych pravouhlých súradníc v rovine sa často zvažuje aj polárny súradnicový systém. O spôsobe prechodu z jedného súradnicového systému do druhého - v lekcii polárny súradnicový systém .
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore
Kartézske súradnice v priestore sú zavedené v úplnej analógii s karteziánskymi súradnicami v rovine.
Tri vzájomne kolmé osi v priestore (súradnicové osi) so spoločným začiatkom O a rovnaký tvar jednotky mierky Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore .
Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y , tretia - os Oz, alebo os aplikácie . Nechaj MX, Mr Mz- projekcie ľubovoľného bodu M medzery na osi Vôl , Oj a Oz resp.
Prejdite cez bodku M VôlVôl v bode MX. Prejdite cez bodku M rovina kolmá na os Oj. Táto rovina pretína os Oj v bode Mr. Prejdite cez bodku M rovina kolmá na os Oz. Táto rovina pretína os Oz v bode Mz.
Kartézske pravouhlé súradnice X , r a z bodov M budeme nazývať príslušne veľkosti smerovaných segmentov OMX, OMr a OMz. Hodnoty týchto smerových segmentov sa vypočítajú ako X = X0 - 0 , r = r0 - 0 a z = z0 - 0 .
Kartézske súradnice X , r a z bodov M sú podľa toho pomenované úsečka , ordinát a nášivka .
Súradnicové osi sú v pároch umiestnené v súradnicových rovinách xOy , yOz a zOx .
Problémy o bodoch v karteziánskom súradnicovom systéme
Príklad 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na osi x.
Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na os x sa nachádza na samotnej osi x, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordinátu (súradnicu na osi Oj, ktorú os x pretína v bode 0), rovný nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice týchto bodov na osi x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Príklad 2 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na osi y.
Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na os y sa nachádza na samotnej osi y, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a úsečku (súradnicu na osi Vôl, ktorú os y pretína v bode 0), rovný nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice týchto bodov na osi y:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Príklad 3 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Vôl .
Vôl Vôl Vôl, bude mať rovnakú úsečku ako daný bod a zvislá súradnica sa v absolútnej hodnote rovná osi daného bodu a v opačnom znamienku. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Vôl :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Vyriešte problémy v karteziánskom súradnicovom systéme sami a potom sa pozrite na riešenia
Príklad 4 Určte, v ktorých kvadrantoch (štvrtiny, obrázok s kvadrantmi - na konci odseku "Obdĺžnikový karteziánsky súradnicový systém v rovine") môže byť bod umiestnený M(X; r) , ak
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − r = 0 ;
4) X + r = 0 ;
5) X + r > 0 ;
6) X + r < 0 ;
7) X − r > 0 ;
8) X − r < 0 .
Príklad 5 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj .
Pokračujeme v riešení problémov spoločne
Príklad 6 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj .
Riešenie. Otočte o 180 stupňov okolo osi Oj smerovaný úsečku od osi Oj až do tohto bodu. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oj, bude mať rovnakú ordinátu ako daný bod a úsečka sa v absolútnej hodnote rovná úsečke daného bodu a v opačnom znamienku. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Príklad 7 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Nájdite súradnice bodov, ktoré sú symetrické k týmto bodom vzhľadom na počiatok.
Riešenie. Otočíme sa o 180 stupňov okolo počiatku smerovaného segmentu idúceho z počiatku do daného bodu. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický s daným bodom vzhľadom na počiatok súradníc bude mať úsečku a ordinátu rovnú v absolútnej hodnote úsečke a osi daného bodu. , ale opačne ako oni. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na počiatok:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Príklad 8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov:
1) v lietadle Oxy ;
2) do lietadla Oxz ;
3) do lietadla Oyz ;
4) na osi x;
5) na osi y;
6) na osi aplikácie.
1) Priemet bodu do roviny Oxy nachádza sa v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a ordinátu rovnú úsečke a osi daného bodu a aplikáciu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxy :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Priemet bodu do roviny Oxz nachádza sa v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Priemet bodu do roviny Oyz nachádza sa v tejto rovine samotnej, a preto má ordinátu a aplikáciu rovnajúcu sa zvislej osi a aplikácii daného bodu a úsečku rovnajúcu sa nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na os x sa nachádza na samotnej osi x, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordináta a aplikácia projekcie sa rovnajú nule (keďže os ordinát a aplikovaná os pretínajú úsečku v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na os x:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Priemet bodu na osi y sa nachádza na samotnej osi y, teda na osi Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a súradnica a aplikovaná projekcia sa rovnajú nule (keďže súradnica a aplikovaná os pretínajú os súradnice v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na osi y:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Priemet bodu na osi aplikácie sa nachádza na samotnej osi aplikácie, teda na osi. Oz, a preto má aplikáciu rovnajúcu sa aplikácii samotného bodu a úsečka a ordináta projekcie sa rovnajú nule (keďže os úsečky a ordináta pretínajú os aplikácie v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na osi aplikácie:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Príklad 9 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v priestore
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Nájdite súradnice bodov, ktoré sú symetrické k týmto bodom vzhľadom na:
1) lietadlo Oxy ;
2) lietadlo Oxz ;
3) lietadlo Oyz ;
4) os x;
5) os y;
6) os aplikácie;
7) pôvod súradníc.
1) "Posunúť" bod na druhej strane osi Oxy Oxy, bude mať úsečku a zvislú os rovnajúcu sa úsečke a zvislej osi daného bodu a aplikáciu rovnajúcu sa veľkosti úsečky daného bodu, ale opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Posunúť" bod na druhej strane osi Oxz na rovnakú vzdialenosť. Podľa obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oxz, bude mať úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnajúcu sa veľkosti osy daného bodu, ale jej opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Posunúť" bod na druhej strane osi Oyz na rovnakú vzdialenosť. Podľa obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oyz, bude mať súradnicu a aplikáciu rovnajúcu sa súradnici a aplikácii daného bodu a úsečku rovnajúcu sa veľkosti úsečky daného bodu, ale opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogicky so symetrickými bodmi v rovine a bodmi v priestore symetrickými k údajom vzhľadom na roviny si všimneme, že v prípade symetrie okolo niektorej osi karteziánskeho súradnicového systému v priestore, súradnica na osi, okolo ktorej je symetria nastavená si zachová svoje znamienko a súradnice na ďalších dvoch osiach budú v absolútnej hodnote rovnaké ako súradnice daného bodu, ale opačné v znamienku.
4) Úsečka si zachová svoje znamienko, kým ordináta a aplikácia zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom o osi x:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordináta si zachová svoje znamienko, zatiaľ čo úsečka a aplikácia zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom o osi y:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Žiadosť si zachová svoje znamienko a úsečka a ordináta zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom o osi aplikácie:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogicky k symetrii v prípade bodov v rovine, v prípade symetrie o pôvode súradníc, všetky súradnice bodu symetrického k danej súradnici sa budú v absolútnej hodnote rovnať súradniciam daného bodu, ale opačne ako oni. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov, ktoré sú symetrické k údajom vzhľadom na počiatok.
Ak cez bod O v priestore nakreslíme tri per-pero-di-ku-lar-čiary, nazveme ich, vezmeme na-pravo-lenie, označujúce jednotlivé rezy, potom dostaneme pravouhlý si-ste-mu ko-or-di-nat v priestore. Osy ko-or-di-nat sú na-zy-va-yut-sya takto: Oh - os abs-ciss, Oy - os or-di-nat a Oz - os up-pli-kat. Celé si-ste-ma ko-or-di-nat znamená-me-cha-et-sya - Oxyz. Týmto spôsobom sú tri lietadlá co-or-di-nat-nye: Oxy, Oxz, Oyz.
Uvádzame príklad stavby bodu B (4; 3; 5) v pravouhlom systéme co-or-di-nat (pozri obr. 1).
Ryža. 1. Konštrukcia bodu B v priestore
Prvý ko-alebo-di-na-ta bod B - 4, takže od-cla-dy-va-em po Ox 4, stlmíme priamu para-ral-lel-ale os Oy, aby sme znovu nastavili -che-tion s priamkou, ktorá prechádza cez y \u003d 3. Takto dostaneme bod K. Tento bod leží v rovine Oxy a má co-or-di-na-you K (4; 3; 0). Teraz musíte pro-ve-sti priame par-ral-lel-ale osi Oz. A rovno, niekto-raj prechádza bodom s app-pli-ka-to 5 a para-ral-lel-on dia-go-on-či už par-ral-le-lo-gram -ma v rovine Oxy. Na ich re-se-che-nii dostaneme požadovaný bod B.
Zvážte rozdelenie bodov, pre niektorých sa jeden alebo dva co-alebo-di-na-you rovnajú 0 (pozri obr. 2).
Napríklad bod A(3;-1;0). Je potrebné pokračovať na osi Oy doľava na hodnotu -1, nájsť bod 3 na osi Ox a na re-se-ce-priamok prechádzajúcich týmito hodnotami -tion dostaneme bod A. bod má app-pli-ka-tu 0, čo znamená, že leží v rovine Oxy.
Bod C (0; 2; 0) má abs-cis-su a app-pli-ka-tu 0 - nie from-me-cha-e. Or-di-na-ta sa rovná 2, čo znamená, že bod C leží iba na osi Oy, niečo-raj je-la-is-a-re-re-se-che-no-je plochý stey Oxy a Oyz.
Pre posunutie bodu D (-4; 0; 3) pokračujeme po osi Ox späť pre na-cha-lo ko-or-di-nat do bodu -4. Teraz obnovte-a-sto-nav-li-va-em z tohto bodu per-pen-di-ku-lyar - rovno, rovnobežne s osou Oz, aby ste znovu-re-se-che-niya s priamkou, rovnobežné s osou Ox a prechádzajúce cez hodnotu 3 na osi Oz. Podľa aktuálneho D (-4; 0; 3). Pretože or-di-na-tom bode sa rovná 0, potom bod D leží v rovine Oxz.
Ďalším bodom je E(0;5;-3). Alebo-di-na-ta body 5, app-pli-ka-ta -3, prechádzame priamkami prechádzajúcimi cez tieto hodnoty osami odpovede na odpoveď a na ich re-se-che-nii , dostaneme bod E (0; 5; -3). Tento bod má prvé co-alebo-di-to-tu 0, čo znamená, že leží v rovine Oyz.
2. Vektorové súradnice
Prekliaty pravouhlý si-ste-mu ko-or-di-nat vo vesmíre Oxyz. Za-da-dim v priestore pravouhlého si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. Na každej z osí lo-zhi-tel-nyh in-lu-od-lo-weep od na-cha-la ko-or-di-nat jeden vektor, t.j. vektor-torus, dĺžka niečoho-ro- go sa rovná jednej. Označujeme jeden vektor osi abs-ciss, jeden vektor osi alebo-di-nat a jeden vektor osi up-pli-kat (pozri obr. 1). Tieto očné viečka sú čo-on-right-le-na s on-right-le-ni-i-mi osami, majú jednu dĺžku a or-to-go-nal-na - v pároch -ale per-per-di -ku-lyar-ny. Taký storočia-ra-na-zy-va-yut ko-or-di-nat-ny-mi veku-do-ra-mi alebo ba-zi-sumec.
Ryža. 1. Raz-lo-rovnaky-vek-ten-ra v troch co-or-di-nat-ny storocie-to-framy
Vezmite mem-tor, in-me-stim ho v na-cha-lo ko-or-di-nat a rozšírte tento vektor-tor v troch istých-plan-nar-nym - le-zha -shim v rôznych rovinách - storočie k rámu. Aby sme to urobili, znížme projekciu bodu M na rovinu Oxy a nájdime vektorovú priekopu co-alebo-di-on-ya, a. On-lu-cha-eat:. Ras-look-ráfik na od-del-no-sti každej z týchto storočí-tej priekopy. Vektorový torus leží na osi Ox, čo znamená, že podľa vlastnosti násobenia vektora číslom môže byť reprezentovaný ako nejaký druh čísla x ženského rodu na co-or-di-nat-ny vektore. , a dĺžka očného viečka je presne x-krát väčšia ako dĺžka . Rovnakým spôsobom vyšliapume storočie-to-ra-mi a, a v lu-cha-jesť časy-lo-rovnakoveké storočie-ta-ra v troch ko-or-di-nat-ny. storočia - do barana:
Co-ef-fi-qi-en-you tejto doby x, y a z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi veku-to-ra vo vesmíre.
Ras-look-rim right-vi-la, some-rye poses-in-la-yut podľa ko-or-di-on-tam danej stáročia-do priekopy nájsť ko-or-di-na- si ich súčet a rozdiel, ako aj co-or-di-na-you pro-from-ve-de-niya daného storočia-that-ra na danom čísle.
1) Zložitosť:
2) You-chi-ta-nie:
3) Násobenie číslom: 
,
Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go sova-pa-yes-et s na-cha-šrot ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya polomer-storočia-rum.(obr. 2). Vector-tor - ra-di-us-vector, kde x, y a z sú co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion tohto storočia-to-ra podľa co-or - di-nat-ny storocia-do-barana,,. V tomto prípade x je prvá ko-alebo-di-on-ta bodu A na osi Ox, y je ko-alebo-di-on-ta bodu B na osi Oy, z je ko-alebo - di-na-ta bod C na osi Oz. Podľa ri-sun-ku je jasné, že ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-men-but is-la-yut-sya ko- alebo-di-on-ta-mi body M.
Zoberme si bod A(x1;y1;z1) a bod B(x2;y2;z2) (pozri obr. 3). Storočnicu si predstavujeme ako rozdiel storočie a priekopy a podľa jeho vlastnosti storočnicu. Navyše, a - ra-di-us-vek-to-ry, a ich co-or-di-na-you co-pa-da-yut s co-or-di-na-ta-mi con- tsov tieto storočia-priekopa. Potom si môžeme predstaviť ko-or-di-na-you storočie-ta-ra ako rozdiel s-od-rep-tu-u-ing-co-alebo-di-nat storočie-ta-prikopa a : . Takýmto spôsobom ko-or-di-na-you storočia-do-ra môžeme vy-ra-zit cez ko-or-di-na-you konca a na-cha-la storočia-do-ra. .
Ras-pozri sa na príklady, il-lu-stri-ru-yu-sche vlastnosti storočnej priekopy a ich vy-ra-rovnako-cez co-or-di-on-you. Take-meme storočie-to-ry , , . Sme požiadaní-shi-va-yut vektor. V tomto prípade nájsť to znamená nájsť čo-alebo-di-na-ya storočie-to-ra, niekoho, kto je tým úplne determinovaný. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie namiesto sto storočia-a-prikopa s-od-rep-stven-ale ich co-alebo-di-on-y. By-lu-cha-eat:
Teraz vynásobíme číslo 3 pre každé co-or-di-na-tu v zátvorkách a to isté de-la-em s 2:
Máme súčet troch storočných priekop, ukladáme ich podľa vyššie preštudovanej vlastnosti:
odpoveď: 
Príklad č.2.
Dané: Trojuholníkový pi-ra-mi-da AOBC (pozri obr. 4). Lietadlá AOB, AOC a OCB - v pároch, ale per-pen-di-ku-lyar-ny. OA = 3, OB = 7, OC = 4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.
Nájsť: ,,,,,,,.
Riešenie: Predstavme si pravouhlý si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz so začiatkom počítania v bode O. Podľa podmienky poznáme body A, B a C na osiach a se-re -di-ny okrajov pi-ra-mi-dy - M, P a N. Podľa ri-sun-ku on-ho-dim ko-alebo -di-on-you vrcholy pi-ra-mi. -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).
Obdĺžnikový (iné názvy - plochý, dvojrozmerný) súradnicový systém, pomenovaný podľa francúzskeho vedca Descarta (1596-1650) "karteziánsky súradnicový systém v rovine", je tvorený priesečníkom dvoch číselných osí v rovine v pravom uhle ( kolmo) tak, aby kladná poloos jednej smerovala doprava (os x alebo úsečka) a druhá nahor (os y alebo os y).
Priesečník osí sa zhoduje s bodom 0 každej z nich a nazýva sa počiatok.
Pre každú z osí je zvolená ľubovoľná mierka (jednotkový segment dĺžky). Každý bod roviny zodpovedá jednému páru čísel, ktoré sa nazývajú súradnice tohto bodu v rovine. Naopak, každá usporiadaná dvojica čísel zodpovedá jednému bodu roviny, pre ktorú sú tieto čísla súradnicami.
Prvá súradnica bodu sa nazýva úsečka tohto bodu a druhá súradnica sa nazýva ordináta.
Celá rovina súradníc je rozdelená na 4 kvadranty (štvrtiny). Kvadranty sú umiestnené od prvého do štvrtého proti smeru hodinových ručičiek (pozri obr.).
Ak chcete určiť súradnice bodu, musíte nájsť jeho vzdialenosť k osi x a osi y. Keďže vzdialenosť (najkratšiu) určuje kolmica, znížia sa dve kolmice (pomocné čiary na súradnicovej rovine) z bodu na osi tak, že ich priesečník je miestom daného bodu v súradnicovej rovine. Priesečníky kolmic s osami sa nazývajú priemety bodu na súradnicové osi.
Prvý kvadrant je ohraničený kladnými poloosami úsečky a ordináty. Preto súradnice bodov v tejto štvrtine roviny budú kladné
(znamienka „+“ a
Napríklad bod M (2; 4) na obrázku vyššie.
Druhý kvadrant je ohraničený zápornou poloosou úsečky a kladnou osou y. Preto súradnice bodov pozdĺž osi x budú záporné (znamienko „-“) a na osi y kladné (znamienko „+“).
Napríklad bod C (-4; 1) na obrázku vyššie.
Tretí kvadrant je ohraničený zápornou poloosou úsečky a zápornou osou y. Preto súradnice bodov pozdĺž úsečky a ordinátov budú záporné (znamienka "-" a "-").
Napríklad bod D (-6; -2) na obrázku vyššie.
Štvrtý kvadrant je ohraničený kladnou poloosou úsečky a zápornou osou y. Preto súradnice bodov pozdĺž osi x budú kladné (znamienko „+“). a pozdĺž osi y - záporné (znamienko "-").
Napríklad bod R (3; -3) na obrázku vyššie.
Zostavenie bodu podľa jeho daných súradníc
nájdeme prvú súradnicu bodu na osi x a nakreslíme cez ňu pomocnú čiaru - kolmicu;
nájdeme druhú súradnicu bodu na osi y a nakreslíme cez ňu pomocnú čiaru - kolmicu;
priesečník dvoch kolmíc (pomocných čiar) a bude zodpovedať bodu s danými súradnicami.