Ako sú celé čísla atď. Typy čísel

Číslo je abstrakcia používaná na kvantifikáciu objektov. Čísla vznikli v primitívnej spoločnosti v súvislosti s potrebou ľudí počítať predmety. Postupom času, s rozvojom vedy, sa číslo stalo najdôležitejším matematickým pojmom.

Ak chcete vyriešiť problémy a dokázať rôzne vety, musíte pochopiť, aké typy čísel sú. Medzi hlavné typy čísel patria: prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla.

Celé čísla- to sú čísla získané prirodzeným počítaním predmetov, alebo skôr ich číslovaním ("prvý", "druhý", "tretí" ...). Množina prirodzených čísel sa označuje latinským písmenom N (možno si zapamätať na základe anglického slova natural). Dá sa to povedať N ={1,2,3,....}

Celé čísla sú čísla z množiny (0, 1, -1, 2, -2, ....). Táto množina sa skladá z troch častí – prirodzených čísel, záporných celých čísel (opak prirodzených čísel) a čísla 0 (nula). Celé čísla sú označené latinkou Z . Dá sa to povedať Z ={1,2,3,....}.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Latinské písmeno sa používa na označenie racionálnych čísel Q . Všetky prirodzené a celé čísla sú racionálne. Ako príklady racionálnych čísel môžete uviesť: ,,.

Reálne (skutočné) čísla sú čísla, ktoré sa používajú na meranie spojitých veličín. Množinu reálnych čísel označujeme latinským písmenom R. Reálne čísla zahŕňajú racionálne čísla a iracionálne čísla. Iracionálne čísla sú čísla, ktoré sa získajú v dôsledku vykonávania rôznych operácií s racionálnymi číslami (napríklad extrakcia koreňa, výpočet logaritmov), ale zároveň nie sú racionálne. Príklady iracionálnych čísel sú ,,.

Na číselnej osi môže byť zobrazené akékoľvek reálne číslo:

Pre vyššie uvedené množiny čísel platí nasledujúce tvrdenie:

To znamená, že množina prirodzených čísel je zahrnutá do množiny celých čísel. Množina celých čísel je zahrnutá do množiny racionálnych čísel. A množina racionálnych čísel je zahrnutá do množiny reálnych čísel. Toto tvrdenie možno ilustrovať pomocou Eulerových kruhov.

Celé čísla

Definícia prirodzených čísel sú kladné celé čísla. Prirodzené čísla sa používajú na počítanie predmetov a na mnohé iné účely. Tu sú čísla:

Toto je prirodzený rad čísel.
Nula je prirodzené číslo? Nie, nula nie je prirodzené číslo.
Koľko prirodzených čísel existuje? Existuje nekonečná množina prirodzených čísel.
Aké je najmenšie prirodzené číslo? Jedna je najmenšie prirodzené číslo.
Aké je najväčšie prirodzené číslo? Nedá sa to špecifikovať, pretože existuje nekonečná množina prirodzených čísel.

Súčet prirodzených čísel je prirodzené číslo. Takže sčítanie prirodzených čísel a a b:

Súčin prirodzených čísel je prirodzené číslo. Takže súčin prirodzených čísel a a b:

c je vždy prirodzené číslo.

Rozdiel prirodzených čísel Nie vždy existuje prirodzené číslo. Ak je minuend väčší ako subtrahend, potom rozdiel prirodzených čísel je prirodzené číslo, inak nie je.

Podiel prirodzených čísel Nie vždy existuje prirodzené číslo. Ak pre prirodzené čísla a a b

kde c je prirodzené číslo, znamená to, že a je rovnomerne deliteľné b. V tomto príklade a je dividenda, b je deliteľ, c je kvocient.

Deliteľ prirodzeného čísla je prirodzené číslo, ktorým je prvé číslo rovnomerne deliteľné.

Každé prirodzené číslo je deliteľné 1 a samo sebou.

Jednoduché prirodzené čísla sú deliteľné iba 1 a samy sebou. Tu máme na mysli rozdelené úplne. Príklad, čísla 2; 3; 5; 7 je deliteľné iba 1 a sebou samým. Sú to jednoduché prirodzené čísla.

Jedna sa nepovažuje za prvočíslo.

Čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla. Príklady zložených čísel:

Jedna sa nepovažuje za zložené číslo.

Množinu prirodzených čísel tvorí jedna, prvočísla a zložené čísla.

Množinu prirodzených čísel označujeme latinským písmenom N.

Vlastnosti sčítania a násobenia prirodzených čísel:

komutatívna vlastnosť sčítania

asociatívna vlastnosť sčítania

(a + b) + c = a + (b + c);

komutatívna vlastnosť násobenia

asociatívna vlastnosť násobenia

(ab)c = a(bc);

distributívna vlastnosť násobenia

A (b + c) = ab + ac;

Celé čísla

Celé čísla sú prirodzené čísla, nula a opak prirodzených čísel.

Čísla oproti prirodzeným číslam sú záporné celé čísla, napríklad:

1; -2; -3; -4;...

Množina celých čísel je označená latinským písmenom Z.

Racionálne čísla

Racionálne čísla sú celé čísla a zlomky.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako periodický zlomok. Príklady:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Z príkladov je zrejmé, že akékoľvek celé číslo je periodický zlomok s periódou nula.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok m/n, kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Predstavme si číslo 3,(6) z predchádzajúceho príkladu ako taký zlomok.

Celé čísla

Čísla používané pri počítaní sa nazývajú prirodzené čísla. Napríklad $ 1, 2, 3 $ atď. Prirodzené čísla tvoria množinu prirodzených čísel, ktorá sa označuje ako $N$ . Tento zápis pochádza z latinského slova naturalis- prirodzené.

Opačné čísla

Definícia 1

Ak sa dve čísla líšia iba znamienkami, nazývajú sa v matematike opačné čísla.

Napríklad čísla $5$ a $-5$ sú opačné čísla, pretože líšia sa len znakmi.

Poznámka 1

Pre každé číslo existuje opačné číslo a navyše iba jedno.

Poznámka 2

Nula je opakom samej seba.

Celé čísla

Definícia 2

celý prirodzené čísla, ich opačné čísla a nula sa nazývajú čísla.

Množina celých čísel zahŕňa množinu prirodzených čísel a ich protikladov.

Označte celé čísla $Z.$

Zlomkové čísla

Čísla v tvare $\frac(m)(n)$ sa nazývajú zlomky alebo zlomkové čísla. Zlomkové čísla možno písať aj v desiatkovom zápise, t.j. vo forme desatinných miest.

Napríklad: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ atď.

Rovnako ako celé čísla, aj zlomkové čísla môžu byť kladné alebo záporné.

Racionálne čísla

Definícia 3

Racionálne čísla je množina čísel, ktorá obsahuje množinu celých a zlomkových čísel.

Akékoľvek racionálne číslo, či už celé alebo zlomkové, môže byť reprezentované ako zlomok $\frac(a)(b)$, kde $a$ je celé číslo a $b$ je prirodzené číslo.

To isté racionálne číslo teda možno zapísať rôznymi spôsobmi.

Napríklad,

To ukazuje, že každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný desatinný zlomok alebo nekonečný desatinný periodický zlomok.

Množina racionálnych čísel je označená $Q$.

V dôsledku vykonania akejkoľvek aritmetickej operácie na racionálnych číslach bude výslednou odpoveďou racionálne číslo. To sa dá ľahko dokázať, pretože pri sčítaní, odčítaní, násobení a delení obyčajných zlomkov dostanete obyčajný zlomok

Iracionálne čísla

Počas štúdia matematického kurzu sa človek často stretáva pri riešení čísel s neracionálnymi číslami.

Napríklad na overenie existencie množiny neracionálnych čísel riešime rovnicu $x^2=6$ Koreňmi tejto rovnice sú čísla $\surd 6$ a -$\surd 6$. Tieto čísla nebudú racionálne.

Taktiež pri hľadaní uhlopriečky štvorca so stranou $3$, použitím Pytagorovej vety, dostaneme, že uhlopriečka sa bude rovnať $\surd 18$. Toto číslo tiež nie je racionálne.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálny.

Iracionálne číslo sa teda nazýva nekonečný desatinný neperiodický zlomok.

Jedným z najbežnejších iracionálnych čísel je číslo $\pi $

Pri vykonávaní aritmetických operácií s iracionálnymi číslami sa získaný výsledok môže ukázať ako racionálne aj iracionálne číslo.

Ukážeme to na príklade hľadania súčinu iracionálnych čísel. Poďme nájsť:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

rozhodnutie

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Tento príklad ukazuje, že výsledkom môže byť racionálne alebo iracionálne číslo.

Ak sú racionálne a iracionálne čísla zapojené do aritmetických operácií súčasne, výsledkom bude iracionálne číslo (samozrejme okrem násobenia $0$).

Reálne čísla

Množina reálnych čísel je množina obsahujúca množinu racionálnych a iracionálnych čísel.

Množina reálnych čísel je označená $R$. Symbolicky možno množinu reálnych čísel označiť $(-?;+?).$

Už sme povedali, že nekonečný desatinný neperiodický zlomok sa nazýva iracionálne číslo a každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný desatinný zlomok alebo nekonečný desatinný periodický zlomok, takže každý konečný a nekonečný desatinný zlomok bude skutočným číslom.

Pri vykonávaní algebraických operácií sa budú dodržiavať nasledujúce pravidlá

1. pri násobení a delení kladných čísel bude výsledné číslo kladné
2. pri násobení a delení záporných čísel bude výsledné číslo kladné
3. pri násobení a delení záporných a kladných čísel bude výsledné číslo záporné

Reálne čísla možno porovnávať aj medzi sebou.

Matematická analýza je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom funkcií založených na myšlienke nekonečne malej funkcie.

Základné pojmy matematickej analýzy sú množstvo, množina, funkcia, infinitezimálna funkcia, limita, derivácia, integrál.

Hodnota všetko, čo sa dá zmerať a vyjadriť číslom, sa nazýva.

veľa je súbor niektorých prvkov spojených nejakým spoločným znakom. Prvky množiny môžu byť čísla, postavy, predmety, koncepty atď.

Množiny sa označujú veľkými písmenami a prvky množiny malými písmenami. Prvky súpravy sú uzavreté v zložených zátvorkách.

Ak prvok X patrí do sady X, potom napíš X∈X (∈ - patrí).
Ak je množina A súčasťou množiny B, napíšte A ⊂ B (⊂ - je obsiahnutý).

Množinu možno definovať jedným z dvoch spôsobov: enumeráciou a definujúcou vlastnosťou.

Enumerácia napríklad definuje nasledujúce množiny:

• A=(1,2,3,5,7) - množina čísel
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) je množina niektorých prvkov x 1 ,x 2,...,x n
• N=(1,2,...,n) je množina prirodzených čísel
• Z=(0,±1,±2,...,±n) je množina celých čísel

Volá sa množina (-∞;+∞). číselný rad a každé číslo je bodom tejto priamky. Nech a je ľubovoľný bod na reálnej čiare a δ je kladné číslo. Interval (a-δ; a+δ) sa nazýva δ-okolie bodu a.

Množina X je ohraničená zhora (zdola), ak existuje také číslo c, že ​​pre ľubovoľné x ∈ X je splnená nerovnosť x≤с (x≥c). Číslo c sa v tomto prípade volá horný (spodný) okraj množiny X. Množina ohraničená hore aj dole sa nazýva obmedzené. Najmenšia (najväčšia) z horných (spodných) plôch súpravy sa nazýva presná horná (spodná) plocha túto sadu.

Základné číselné sady

N	(1,2,3,...,n) Množina všetkých
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Nastav celé čísla. Množina celých čísel zahŕňa množinu prirodzených čísel.
Q	Kopa racionálne čísla. Okrem celých čísel existujú aj zlomky. Zlomok je vyjadrením tvaru , kde p je celé číslo, q- prirodzený. Desatinné miesta možno zapísať aj ako . Napríklad: 0,25 = 25/100 = 1/4. Celé čísla možno zapísať aj ako . Napríklad vo forme zlomku s menovateľom „jedna“: 2 = 2/1. Akékoľvek racionálne číslo teda možno zapísať ako desatinný zlomok – konečne alebo nekonečne periodický.
R	Veľa zo všetkých reálne čísla. Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodické zlomky. Tie obsahujú: Dve množiny (racionálne a iracionálne čísla) spolu tvoria množinu reálnych (alebo reálnych) čísel.

Ak množina neobsahuje žiadne prvky, potom sa volá prázdna sada a zaznamenané Ø .

Prvky logickej symboliky

Zápis ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kvantifikátor

Pri písaní matematických výrazov sa často používajú kvantifikátory.

kvantifikátor sa nazýva logický symbol, ktorý kvantitatívne charakterizuje prvky, ktoré za ním nasledujú.

• ∀- všeobecný kvantifikátor, sa používa namiesto slov „pre všetkých“, „pre kohokoľvek“.
• ∃- existenciálny kvantifikátor, sa používa namiesto slov „existuje“, „má“. Používa sa aj kombinácia symbolov ∃!, ktorá sa číta tak, že existuje iba jeden.

Operácie na súpravách

Dva množiny A a B sú rovnaké(A=B), ak pozostávajú z rovnakých prvkov.
Napríklad, ak A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), potom A=B.

únia (súčet) množiny A a B sa nazývajú množina A ∪ B, ktorej prvky patria aspoň do jednej z týchto množín.
Napríklad, ak A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), potom A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Križovatka (produkt) množiny A a B sa nazývajú množina A ∩ B, ktorej prvky patria do množiny A aj do množiny B.
Napríklad, ak A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), potom A ∩ B = (2,4)

rozdiel množiny A a B sa nazývajú množina AB, ktorej prvky patria do množiny A, ale do množiny B nepatria.
Ak napríklad A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), potom AB = (1,2)

Symetrický rozdiel množiny A a B sa nazývajú množina A Δ B, čo je spojenie rozdielov množín AB a BA, teda A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Napríklad, ak A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), potom A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5.6)

Vlastnosti množinových operácií

Vlastnosti permutability

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

asociatívna vlastnosť

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Počitateľné a nepočítateľné množiny

Aby bolo možné porovnať akékoľvek dve množiny A a B, medzi ich prvkami sa vytvorí korešpondencia.

Ak je táto korešpondencia jedna k jednej, potom sa množiny nazývajú ekvivalentné alebo ekvivalentné, A B alebo B A.

Príklad 1

Súbor bodov nohy BC a prepona AC trojuholníka ABC majú rovnakú mocnosť.

Prirodzené čísla sú čísla, ktorými sa všetko kedysi začalo. A dnes sú to prvé čísla, s ktorými sa človek v živote stretne, keď sa v detstve naučí počítať na prstoch alebo na paličkách.

Definícia: prirodzené čísla sa nazývajú čísla, ktoré sa používajú na počítanie predmetov (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Číslo 0 nie je prirodzené. Má tiež svoju vlastnú samostatnú históriu v dejinách matematiky a objavila sa oveľa neskôr ako prirodzené čísla.]

Množinu všetkých prirodzených čísel (1, 2, 3, 4, 5, ...) označujeme písmenom N.

Celé čísla

Potom, čo sme sa naučili počítať, ďalšia vec, ktorú urobíme, je naučiť sa vykonávať aritmetické operácie s číslami. Zvyčajne sa najskôr (na počítadle palíc) naučia vykonávať sčítanie a odčítanie.

So sčítaním je všetko jasné: sčítaním ľubovoľných dvoch prirodzených čísel dostaneme vždy rovnaké prirodzené číslo. Ale pri odčítaní zistíme, že nemôžeme odčítať väčšie od menšieho, aby výsledkom bolo prirodzené číslo. (3 − 5 = čo?) Tu prichádza myšlienka záporných čísel. (Záporné čísla už nie sú prirodzené)

V štádiu výskytu záporných čísel (a objavili sa neskôr ako zlomkové) boli aj ich odporcovia, ktorí ich považovali za nezmysly. (Na prstoch sa dajú zobraziť tri predmety, desať, prirovnaním sa dá znázorniť tisíc predmetov. A čo je „mínus tri vrecúška“? - V tom čase sa síce čísla používali samostatne, izolovane od konkrétne predmety, ktorých počet označujú, boli stále v mysliach ľudí oveľa bližšie k týmto špecifickým subjektom ako dnes.) Ale rovnako ako námietky, hlavný argument v prospech záporných čísel vyšiel z praxe: záporné čísla umožnili pohodlne sledovať dlhy. 3 - 5 = -2 - Mal som 3 mince, minul som 5. Takže nielenže mi došli mince, ale ešte som niekomu dlžil 2 mince. Ak vrátim jeden, dlh sa zmení na −2+1=−1, ale môže byť vyjadrený aj ako záporné číslo.

V dôsledku toho sa v matematike objavili záporné čísla a teraz máme nekonečný počet prirodzených čísel (1, 2, 3, 4, ...) a existuje rovnaký počet ich protikladov (−1, −2, − 3, -4, ...). Pridajme k nim ďalšiu 0. A množina všetkých týchto čísel sa bude nazývať celé čísla.

Definícia: Prirodzené čísla, ich protiklady a nula tvoria množinu celých čísel. Označuje sa písmenom Z.

Akékoľvek dve celé čísla je možné od seba odčítať alebo pridať, aby sa získalo celé číslo.

Myšlienka celočíselného sčítania už naznačuje možnosť násobenia ako jednoducho rýchlejší spôsob sčítania. Ak máme 7 vriec po 6 kilogramoch, môžeme pridať 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (7x pripočítame k aktuálnemu súčtu 6), alebo si jednoducho zapamätáme, že výsledkom takejto operácie bude vždy 42. Rovnako ako sčítanie šiestich sedmičiek, aj 7+7+7+7+7+7 vždy dá 42.

Výsledky operácie sčítania istýčísla sama so sebou istý koľkokrát sa vypíše pre všetky dvojice čísel od 2 do 9 a vytvorí sa násobilka. Na násobenie celých čísel väčších ako 9 je v stĺpci vynájdené pravidlo násobenia. (To platí aj pre desatinné čísla a o čom bude reč v jednom z nasledujúcich článkov.) Akékoľvek dve celé čísla, ktoré sa navzájom vynásobia, vždy povedú k celému číslu.

Racionálne čísla

Teraz rozdelenie. Analogicky s tým, ako je odčítanie inverznou hodnotou sčítania, prichádzame k myšlienke delenia ako inverznej hodnoty k násobeniu.

Keď sme mali 7 vriec po 6 kilogramoch, pomocou násobenia sme ľahko vypočítali, že celková hmotnosť obsahu vriec je 42 kilogramov. Predstavte si, že sme celý obsah všetkých vriec vysypali na jednu spoločnú kôpku s hmotnosťou 42 kilogramov. A potom si to rozmysleli a chceli obsah distribuovať späť do 7 vriec. Koľko kilogramov padne do jedného vreca, ak rozdelíme rovnomerne? - Jednoznačne 6.

A ak chceme rozdeliť 42 kilogramov do 6 vriec? Tu sa zamyslíme nad tým, akých rovnakých celkových 42 kilogramov by mohlo byť, keby sme na hromadu nasypali 6 vriec po 7 kilogramoch. A to znamená, že pri rovnomernom rozdelení 42 kilogramov do 6 vriec dostaneme 7 kilogramov v jednom vreci.

A ak rozdelíte 42 kilogramov rovnomerne do 3 vriec? A aj tu začneme vyberať číslo, ktoré by po vynásobení 3 dalo 42. Pre „tabuľkové“ hodnoty, ako v prípade 6 7=42 => 42:6=7, vykonáme operáciu delenia , jednoducho si zapamätajte tabuľku násobenia. Pre zložitejšie prípady sa používa rozdelenie do stĺpca, o ktorom bude reč v niektorom z nasledujúcich článkov. V prípade 3 a 42 si možno „výberom“ pripomenúť, že 3 · 14 = 42. Preto 42:3=14. Každá taška bude obsahovať 14 kilogramov.

Teraz skúsme rozdeliť 42 kilogramov rovným dielom do 5 vriec. 42:5=?
Všimli sme si, že 5 8=40 (malé) a 5 9=45 (veľa). Teda ani 8 kilogramov vo vreci, ani 9 kilogramov, z 5 vriec nám v žiadnom prípade nevyjde 42 kilogramov. Zároveň je jasné, že v skutočnosti nám nič nebráni rozdeliť akékoľvek množstvo (napr. obilniny) na 5 rovnakých častí.

Operácia delenia celých čísel navzájom nemusí nevyhnutne viesť k celému číslu. Tak sme sa dostali ku konceptu zlomku. 42:5 \u003d 42/5 \u003d 8 celých 2/5 (ak sa počítajú v obyčajných zlomkoch) alebo 42:5 \u003d 8,4 (ak sa počítajú v desatinných zlomkoch).

Bežné a desatinné zlomky

Dá sa povedať, že akýkoľvek obyčajný zlomok m/n (m je ľubovoľné celé číslo, n je ľubovoľné prirodzené) je len špeciálna forma zápisu výsledku delenia čísla m číslom n. (m sa nazýva čitateľ zlomku, n je menovateľ) Výsledok delenia napríklad čísla 25 číslom 5 môžeme zapísať aj ako obyčajný zlomok 25/5. To však nie je potrebné, pretože výsledok delenia 25 číslom 5 možno jednoducho zapísať ako celé číslo 5. (A 25/5 = 5). Ale výsledok delenia čísla 25 číslom 3 už nemôže byť reprezentovaný ako celé číslo, takže tu je potrebné použiť zlomok, 25:3=25/3. (Môžete vybrať časť celého čísla 25/3= 8 celá 1/3. Podrobnejšie o obyčajných zlomkoch a operáciách s obyčajnými zlomkami sa budeme zaoberať v nasledujúcich článkoch.)

Obyčajné zlomky sú dobré, pretože na vyjadrenie výsledku delenia akýchkoľvek dvoch celých čísel ako zlomku stačí napísať deliteľa do čitateľa zlomku a deliteľa do menovateľa. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Potom, ak je to možné, zmenšite zlomok a/alebo zvýraznite časť celého čísla (tieto operácie s obyčajnými zlomkami budú podrobne popísané v nasledujúcich článkoch). Problém je, že vykonávať aritmetické operácie (sčítanie, odčítanie) s obyčajnými zlomkami už nie je také pohodlné ako s celými číslami.

Pre pohodlie zápisu (v jednom riadku) a pre pohodlie výpočtov (s možnosťou výpočtov v stĺpci, ako pre bežné celé čísla) boli okrem obyčajných zlomkov vynájdené aj desatinné zlomky. Desatinný zlomok je obyčajný zlomok zapísaný špeciálnym spôsobom s menovateľom 10, 100, 1000 atď. Napríklad bežný zlomok 7/10 je rovnaký ako desatinný zlomok 0,7. (8/100 = 0,08; 2 celé čísla 3/10 = 2,3; 7 celých čísel 1/1000 = 7,001). Prevodu obyčajných zlomkov na desatinné a naopak bude venovaný samostatný článok. Operácie s desatinnými zlomkami – ostatné články.

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako spoločný zlomok s menovateľom 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Definícia: Všetky čísla, ktoré možno znázorniť ako spoločný zlomok, sa nazývajú racionálne čísla. Množinu racionálnych čísel označujeme písmenom Q.

Pri vzájomnom delení ľubovoľných dvoch celých čísel (okrem delenia 0) dostaneme ako výsledok vždy racionálne číslo. Pre obyčajné zlomky existujú pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, ktoré vám umožňujú vykonať zodpovedajúcu operáciu s ľubovoľnými dvoma zlomkami a tiež získať racionálne číslo (zlomok alebo celé číslo).

Množina racionálnych čísel je prvá z množín, ktoré sme uvažovali, v ktorej môžete sčítať, odčítať, násobiť a deliť (okrem delenia 0), pričom nikdy neprekročíte túto množinu (to znamená, že vždy dostanete racionálne číslo ako výsledok).

Zdalo by sa, že neexistujú žiadne iné čísla, všetky čísla sú racionálne. Ale ani toto nie je tak.

Reálne čísla

Existujú čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok m / n (kde m je celé číslo, n je prirodzené číslo).

Aké sú tieto čísla? O operácii umocnenia sme ešte neuvažovali. Napríklad 4 2 \u003d 4 4 \u003d 16. 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Tak ako je násobenie vhodnejšou formou zápisu a výpočtu sčítania, tak aj umocňovanie je formou zápisu na násobenie toho istého čísla samo sebou v určitom počte ráz.

Ale teraz zvážte operáciu, opak zvýšenia sily - extrahovanie koreňa. Druhá odmocnina z 16 je číslo, ktoré je odmocnené 16, čo je 4. Druhá odmocnina z 9 je 3. Ale odmocnina z 5 alebo 2, napríklad, nemôže byť reprezentovaná racionálnym číslom. (Dôkaz tohto tvrdenia, ďalšie príklady iracionálnych čísel a ich históriu nájdete napríklad na Wikipédii)

V GIA v 9. ročníku je úlohou určiť, či číslo obsahujúce koreň vo svojom zázname je racionálne alebo iracionálne. Úlohou je pokúsiť sa toto číslo previesť do tvaru, ktorý neobsahuje koreň (pomocou vlastností koreňov). Ak koreň nemožno odstrániť, potom je počet iracionálny.

Ďalším príkladom iracionálneho čísla je číslo π, známe každému z geometrie a trigonometrie.

Definícia: Racionálne a iracionálne čísla spolu nazývame reálne (alebo reálne) čísla. Množina všetkých reálnych čísel je označená písmenom R.

V reálnych číslach, na rozdiel od racionálnych čísel, môžeme vyjadriť vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi na priamke alebo rovine.
Ak nakreslíte priamku a vyberiete na nej dva ľubovoľné body alebo dva ľubovoľné body na rovine, môže sa ukázať, že presnú vzdialenosť medzi týmito bodmi nemožno vyjadriť racionálnym číslom. (Príklad - prepona pravouhlého trojuholníka s nohami 1 a 1 sa podľa Pytagorovej vety bude rovnať odmocnine z dvoch - teda iracionálnemu číslu. Patrí sem aj presná dĺžka uhlopriečky bunky tetrády (dĺžka uhlopriečky akéhokoľvek ideálneho štvorca s celočíselnými stranami).)
A v množine reálnych čísel môžu byť ľubovoľné vzdialenosti na priamke, v rovine alebo v priestore vyjadrené zodpovedajúcim reálnym číslom.